ABSTRACT

How to take scientific index for performance evaluation of mutual-funds is the key to evaluate funds’ performance reasonably. Chosen the open-ended stock funds with different investment styles in the fund market of China as the samples, the GARCH (1,1) model, which follows the t distribution and GED distribution separately, is used to evaluate the VaR by using the parameter method. Based on VaR, the Sharpe ratio is modified and then the risk adjusted returns of different funds are evaluated. Empirical results show that the downside risk of the funds can be measured by VaR and the fund performance is evaluated at the modified Sharpe ratio. It is also found that the performance of the value-type fund is relatively good, the growth-type fund is not evenly distributed, the balanced-type fund does not show the characteristics of growth and value, and the individual differences are great for funds of different types. Finally, some suggestions are proposed for the development of Chinese open-ended stock funds.

Keywords:Fund Performance Index, VaR Model, GARCH Model, GED Distribution, T Distribution

基于VaR的基金业绩指标修正及基金评价分析

贠欣屹，陈源，金辉

杭州电子科技大学经济学院，浙江 杭州

收稿日期：2017年10月2日；录用日期：2017年10月17日；发布日期：2017年10月26日

摘 要

如何采取科学的业绩评价指标是合理评价基金业绩的关键。选取我国基金市场上不同投资风格的开放式股票基金作为样本，分别采取服从t分布和GED分布的GARCH(1,1)模型并运用参数法估计VaR，然后基于VaR修正夏普比率并对不同基金进行风险调整收益评价。实证结果表明，基金的下行风险可通过VaR值来度量并以修正的夏普比率评测基金业绩。同时发现，价值型基金的业绩相对较好；成长型基金的分布不均匀；平衡型基金并没有表现出介于成长型和价值型的特点；不同基金的差异较大。最后，对我国开放式股票型基金的评价提出了建议。

关键词 :基金业绩指标，VaR模型，GARCH模型，GED分布，t分布

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1. 引言

自从2000年10月中国证监会发布《开放式证券投资基金试点办法》以来，我国开放式基金市场高速发展，其种类和数量快速增长。其中，股票型开放式基金占据了基金市场上的大部分份额，无论在数量上还是净值上均有较大优势。

面对基金市场上种类繁多的股票型开放式基金，需要根据合理的业绩评价指标进行判断。收益与风险的共存是基金产品的一个重要特征，较大的收益往往伴随高风险。对于基金业绩的评价应同时涉及风险与收益，只有综合考虑风险和收益率之后才能较科学地全面考察基金业绩。同时，相较于标准差、贝塔值等风险测度，基金的下跌波动风险即下行风险更值得关注。本文引入VaR(在值风险)度量下行风险并对风险调整收益指标夏普比率进行修正。在此基础上，选取我国基金市场上不同投资风格的股票型开放式基金作为样本，使用新的夏普比率进行基金业绩评价。

2. 文献综述

基金经营管理目标追求的是在相同风险下获得最大收益或在相同收益下承担较小的风险。因此，如何更好地准确地衡量风险成为评价基金收益的关键。根据投资组合理论，标准差和贝塔值一直是度量基金风险的主要指标。随着对风险研究的发展，VaR被逐渐引入到基金的风险及风险调整收益度量中。Dowd (2000) [1] 提出了基于VaR风险调整修正的广义夏普比率。Lau (2008) [2] 提出了基于在值风险的基金评估。Dulaney和McCann (2013) [3] 针对投资组合的评估与优化提出改进的夏普比率。Tehrani1，Mohammadi和Nejadolhosseini (2014) [4] 年根据新兴金融市场的基金数据，使用基于VaR的方法进行估算，发现在新兴金融市场的基金基于t分布GARCH模型的VaR评价体系较适应。史敏、汪寿阳和徐山鹰(2006) [5] 使用非对称分布，来模拟收益率时间序列的分布情况，并使用运用非对称分布的VaR模型来改造Sharpe测度。刘沛欣、田军和周勇(2012) [6] 结果实证分析风险基于VaR的夏普比率比传统的夏普比率更合理。李凯琪和沈蕾(2015) [7] 建立了基于GED分布的EGARCH模型，并引入在险价值考察基于互联网的基金产品的绩效水平。

另一方面，关于VaR的测量方法也得到广泛研究。Goorbergh (1999) [8] 对比了多种测量VaR的方法，经研究发现GARCH模型最能准确度量出VaR值。Angelidis等(2004, 2007) [9] [10] 则使用ARCH族模型估计在值风险，发现t分布和GED分布下的ARCH模型最符合VaR的估算，并且发现对于不同的样本量会显著影响VaR值的估算。唐振鹏(2010) [11] 表明基于GED分布的VaR值要比基于t分布精确，t分布假设会高估风险，GARCH函数能很好的度量VaR。李贺和叶中行(2007) [12] 运用极值法计算VaR，发现极值法能在最大限度上利用所有的极端历史数据。黄崇珍和曹奇(2017) [13] 通过不同的分布计算基金的VaR值，最后通过回溯检验计算基于各分布假设下VaR的精度，其研究表明t-GARCH-M(1,1)模型对于基金的收益率波动的度量最合适。

综述所述，基金业绩评价涉及风险和收益两个方面。由于VaR能度量下行风险，已经被引入基金的风险调整收益指标中，其中VaR的测度方法是正确运用该指标的关键。研究发现基金的收益率序列模型存在ARCH效应，而广义自回归(GARCH)模型能有效的提高模型的精度，在VaR的测度中得到广泛运用。因此，将通过对基金收益率序列的检验建立合适的模型来度量VaR，在此基础上修正基金的风险调整收益指标，然后进行基金业绩的评价分析。

3. 研究准备

3.1. VaR定义

VaR(Value at Risk) 是指在一定的置信度α下，某一资产在未来特定时期内可能的最大损失。用公式表示为：

$P\left(\Delta V\left(\Delta t\right)\le \text{VaR}\right)=p=1-\alpha$ (1)

P——资产价值损失小于可能VaR的概率， $p=1-\alpha$ ；

ΔV——投资组合在时间Δt内的损失；

VaR——给定置信水平α下一定持有期的在险价值。

可见，VaR能很好地刻画市场变动引起的资产价值下行风险。VaR模型通常假设如下：1) 市场有效性假设，即市场是有效的；2) 市场波动随机，不存在自相关。

3.2. VaR的估计方法

为了准确的度量金融资产的风险，需要建立合适的模型以确定VaR值。目前，度量在值风险的方法有参数方法、蒙特卡洛模拟法和历史模拟法。由于样本数据的时间跨度对历史数据法的估计准确性有非常重大的影响，而蒙特卡罗模拟法的过程复杂、估计计算工作庞大，故本文采用参数法度量VaR。

3.2.1. 参数法

参数法假定投资组合的回报率或者损失序列服从某一分布。首先需要估计资产损失的均值估计值u_t与标准差估计值σ_t，然后按以下公式计算VaR值：

${\text{VaR}}_e=u_t+{\sigma }_t{\Phi }^{-1}\left(\alpha \right)$ (2)

其中， ${\Phi }^{-1}\left(\alpha \right)$ 是分布的逆函数。

从式(2)可知在给定置信度和假定分布之下，重要的是求解u_t和σ_t值。

3.2.2. GARCH模型

收益率序列分为可预测和不可预测的两部分。其中I_{t − 1}是t − 1时刻的信息，E为条件均值，ε_t新信息部分，则条件均值可看成k阶自回规AR(k)：

$E\left(r_t|I_{t-1}\right)=u_t=C_0+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{C}_i{r}_{t-i}}$ (3)

ε_t新信息部分即不可预测部分为：

${\epsilon }_t=Z_t{\sigma }_t$ (4)

其中Z_t是一个拥有零均值和单位方差的独立同分布的随机序列。 ${\epsilon }_t$ 的条件方差为 ${\sigma }_t^2$ 。虽然条件均值的新信息部分的序列是不相关的，但是在时间上是不独立的。

广义自回归模型，即GARCH(p，q)模型为：

${\sigma }_t^2={\alpha }_0+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{q}{\sum }}{\alpha }_i{\epsilon }_{t-i}^2}+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{p}{\sum }}{b}_j{\sigma }_{t-j}^2}$ (5)

其中 ${\alpha }_0>0$ ， ${\alpha }_i\ge 0$ ， $b_j\ge 0$ 。

GARCH(p,q)模型成功的描述了收益率时间序列的波动聚集性。由此可以计算出条件均值u_t和条件方差σ_t值。

3.3. 基于VaR的Sharpe比率

3.3.1. 传统夏普业绩指标

夏普(Sharpe)指数反映承担单位总风险所带来的超额收益，即在一定评价期内，金融资产投资组合的超额回报率与投资组合收益率的标准差之比来衡量基金的绩效。其计算公式为：

$S_p=\frac{E\left(r_p\right)-r_f}{\sigma }$ (6)

其中，S_p为Sharpe指数，E(r_p)为投资组合的平均回报率，r_f为无风险回报率，σ为投资组合回报率率所对应的标准差。本文中采取一年期基准存款收益率1.50%。

夏普指数越大，绩效就越好；反之，绩效就越差。

3.3.2. 修正指标构建

Sharpe比率考虑所有风险，描述基金单位风险的投资收益回报率，也成为最受关注的评价指标。但标准差度量的是基金收益率上行波动和下行波动的风险，而投资者往往关注的是下行风险，VaR能准确反映下行风险，因此用VaR替换标准差构建新的夏普比率计算公式如下：

$S_p=\frac{E\left(r_p\right)-r_f}{\text{VaR}}$ (7)

3.4. 样本的选择与数据来源

根据和讯基金网和天天基金网数据查询2013年4月1日至2017年3月31日存续的股票基金，选取12只开放式股票型基金，其中成长型的基金5只，价值型基金5只，平衡型基金2只。样本基金的基本信息如表1所示。

选取时间区间为2013年4月1日到2017年3月31日的基金日收益率数据作为样本，其中2013年1月1日至2016年3月31日的样本数据作为VaR模型的设定、参数估计及计算，2016年4月1日至2017年3月31日的样本数据用于VaR值的回测检验。对基金日收益率的计算采用对数收益率，无风险利率为中国人民银行公布的一年期基准利率。

4. 实证分析

4.1. 基金收益率序列的检验

对金融资产收益率时间序列分布的大量研究表明，假定为收益率符合正态分布并不准确，其分布往往具有比正态分布更厚的尾部及更尖的峰部。直接使用假定为正态分布的VaR方法，可能造成VaR值高估或者是低估。此外，金融资产价格并不一定完全符合随机游走的规律，收益率序列的波动性还可能呈现聚

表1. 样本基金基本信息一览表

集效应。因此，下面逐项开展检验。

4.1.1. 尖峰厚尾和正态性检验

统计上用偏度和峰度来检验数据是否有偏和厚尾现象。分布的正态性则采用JB检验来进程。从检验结果可知，样本基金的偏度均小于0，峰度均大于3，表明12只基金收益率序列分布存在左偏性和尖峰厚尾现象。同时，12只基金的JB统计量均大于95%的置信度情况下的JB统计量临界值5.991，不符合正态分布。

4.1.2. 平稳性检验

为避免出现时间序列回归分析中的伪回归，需要考察样本数据序列中是否存在单位根过程，即数据是否平稳。ADF检验结果显示，在95%的置信度下，ADF的t值均小于1%、5%及10%显著性水平下的临界值，p值均接近为0，说明各个基金的收益率序列是平稳的。

4.1.3. 相关性及ARCH效应检验

进一步对收益率时间序列进行相关性检验。若自相关和偏相关图中的p值的最大值最小值均大于0.05则不存在相关性，若最小值小于0.05存在相关性，应建立ARAM(p,q)模型。从检验结果可知，样本基金的日收益率不存在自相关性。

为了检验ARCH效应，采用ARCH-LM检验方法。ARCH-LM检验是检验残差序列是否存在ARCH效应的拉格朗日乘数检验，若F、Q统计量的P值小于(1-置信度)，则存在ARCH效应。检验结果表明，在置信度95%的情况下，基金收益率序列均存在ARCH效应。

4.1.4. GARCH模型的建立

根据前文的检验结果，应建立GARCH(p,q)模型。为了确定GARCH模型的p值和q值，分别对GARCH(1,1)，GARCH(1,2)和GARCH(2,1)模型进行t检验。经检验发现只有GARCH(1,1)模型的参数通过检验，所以选择GARCH(1,1)模型。

4.2. VaR的计算

4.2.1. VaR计算模型

采取参数方法计算VaR值。根据前文的检验，本文假定基金日收益率率时间序列服从t分布和GED分布。因此，可通过建立基于GARCH(1,1)的条件方差模型预测得到条件方差σ_t，

${\sigma }_t^2={\alpha }_0+\alpha {\epsilon }_{t-1}+b{\sigma }_{t-1}$ (8)

同时，通过条件均值方程得到条件均值u_t。将计算得到的条件均值和条件方差代入相应的公式中分别算出假定收益率序列服从t分布和GED分布的VaR值。

t-GARCH-VaR计算公式：

$\text{VaR}=-u_t+{\sigma }_t{F}^{-1}\left(\alpha \right)$ (9)

其中u_t为条件均值，F⁻¹为t分布下的累积概率密度函数，给出置信水平α，可求出相应的分位数。

GED-GARCH-VaR计算公式：

$\text{VaR}=-u_t+{\sigma }_t{G}^{-1}\left(\alpha \right)$ (10)

其中u_t为条件均值，G⁻¹为t分布下的累积概率密度函数，给出置信水平α，可求出相应的分位数。

4.2.2. t和GED分布下的VaR值

设VaR的置信度为95%，根据式(9)和(10)的计算结果如表2所示。

4.3. VaR值的Kupiec检验

目前检验VaR模型准确性最常用的方法是回测检验，即kupiec (1995)检验法，通过检验实际发生的损失值超过VaR个数或检验损失超过VaR的概率来检验模型度量VaR的准确性。

为检验VaR模型估计的准确性，设立观察期，观察期天数为t天，统计观察期内损失值超过VaR值的个数n，即VaR值度量失败的个数n。并且求得失败率为n/t。如果模型估计VaR的效果良好，则随着检验期样本区间的增长，失败率应当趋于一恒定值即1-α。根据Kupiec (1995)检测法，在置信度为95%、H₀：p = 0.05的情况下，设定LR统计量：

$\text{LR}=-\ln \left[{\left(1-p\right)}^{t-n}{p}_n\right]+2{\left[1-\frac{n}{t}\right]}^{t-n}{\left(\frac{n}{t}\right)}^n$ (11)

其中统计量LR服从χ² (1)分布。如果LR大于3.841，则认为VaR模型不准确。也可以求出非拒绝区间[a,b]，失败个数落于此区间则估计通过检验，若n < a则VaR存在高估风险，若n > b则VaR存在低估风险。

根据样本数据在前述t分布和GED分布下的VaR结果，对实际损失的覆盖程度进行检验。当n满足式(11)时，得到非拒绝域[a,b]：

${\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(1\right)<\text{LR}<{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(1\right)$ (12)

选取2016年4月1日至2017年3月31日的基金日对数收益率为回测样本t = 244，α = 0.05，将 $0.000982<\text{LR}<5.023903$ 代入，得到非拒绝域为[5,18]。从表3知，假设收益率方差服从t分布的失败天数有4只基金落在非拒绝域而有8只基金小于5，而GED分布在大多数均落在了非拒绝域中，只有1只基金小于5。由此，GED-GARCH模型与t-GARCH模型均可能高估了风险，但相比之下，GED-GARCH则能相对精确的度量风险。因此，以下选取GED-GARCH模型度量VaR值。

表2. 95%置信度下t和GED分布VaR

表3. kupiec检验结果

4.4. 基于VaR的业绩评价

4.4.1. 样本基金的风险比较

为构建市场基准，假设其构成为上证指数和深圳指数各50%，运用上述过程计算市场基准的VaR值。表4比较了不同样本基金的总体风险：

总体上，用标准差和VaR值度量风险存在着一些差异。由此可见，只观察标准差，并不能准确、真实反映基金的下行风险，可能高估或者低估风险。比较市场基准，88.9%的样本基金低于其下行风险，只有2只基金风险高于该基准，说明中国开放式股票型基金下行风险总体控制良好。从投资风格来看，平衡型基金总体VaR值明显最低，而成长性基金和价值型基金VaR值相对较大，且相同风格的样本基金之间存在较大差异。

4.4.2. 基于VaR的Sharpe比率

根据式(7)，计算得出样本基金的修正夏普比率的结果如表5所示：

由表5可知，1) VaR调整前后的夏普比率比较接近，但是个别基金存在差异，若以传统夏普比率考虑风险，会出现高估和低估业绩。2) 修正后的夏普比率排名表明88%的基金超过了市场基准，说明大

表4. Kupiec检验结果

表5. 样本基金夏普比率排名

多数基金管理者风险控制较好。3) 从投资风格来看，根据以上结果发现，股票型基金市场中价值型基金的业绩相对稳定，且跑赢了大盘，表现较好，同时成长型基金的分布个体差异较大。平衡型基金并没有表现出介于成长型和价值型的特点，且不同基金的差异较大。

5. 结论与建议

选取我国公募基金市场上不同投资风格的12只股票型开放基金为样本，参考市场基准考察基金业绩情况，采用VaR度量风险并改进的风险调整收益指标，比较不同投资风格基金的风险和业绩，对我国股票型开放式基金进行评价，得出以下结论：

1) 我国股票型基金总体风险控制和业绩大都要优于股票市场总体情况。从不同的投资风格来看，平衡型基金风险控制总体最好。

2) 相同投资风格的基金之间的差异非常大，这可能跟基金管理公司和基金管理人的风格有关，各风格的基金中均拥有于其他风格相比较好的基金。

因此，本文对我国股票型开放式基金的评价提出以下建议：

1) 个别基金的下行风险与总体波动存在较大差别。若以传统夏普比率考虑风险，会出现高估和低估业绩。

2) 度量基金的下行风险和评测基金业绩时，可分别通过观察VaR值和基于VaR的Sharpe比率。

文章引用

贠欣屹,陈 源,金 辉. 基于VaR的基金业绩指标修正及基金评价分析
Modification of Fund Performance Index Based on VaR and Its Application on Funds Evaluation[J]. 商业全球化, 2017, 05(04): 88-96. http://dx.doi.org/10.12677/BGlo.2017.54011

参考文献 (References)