Advances in Applied Mathematics
Vol. 13  No. 01 ( 2024 ), Article ID: 79792 , 13 pages
10.12677/AAM.2024.131041

一类静电磁Schrödinger-Maxwell系统涡旋基态解的存在性

姬玉萍,滕凯民*

太原理工大学数学学院,山西 晋中

收稿日期:2023年12月25日;录用日期:2024年1月19日;发布日期:2024年1月25日

摘要

本文研究了一种新的静电磁Schrödinger-Maxwell系统,利用Nehari流形方法证明了涡旋柱对称基态解的存在性。

关键词

静电磁Schrödinger-Maxwell系统,基态解,Nehari流形方法

Existence of Vortex Ground State Solutions for a Class of Electromagnetostatic Schrödinger-Maxwell System

Yuping Ji, Kaimin Teng*

School of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Jinzhong Shanxi

Received: Dec. 25th, 2023; accepted: Jan. 19th, 2024; published: Jan. 25th, 2024

ABSTRACT

In this paper, we study a new type of electromagnetostatic Schrödinger-Maxwell system, and the existence of vortex ground state solutions possessing cylindrically symmetry is established by using the Nehari manifold approach.

Keywords:Electromagnetostatic Schrödinger-Maxwell System, Ground State Solutions, Nehari Manifold Approach

Copyright © 2024 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

本文研究如下静电磁Schrödinger-Maxwell系统

(1)

涡旋基态解的存在性,其中 3 p < 5 , u : 3 , ϕ : 3 A : 3 3

在1998年,Benci和Fortunato在 [6] 中介绍了如下系统

{ Δ u + ( ϕ + S t + | S A | 2 ) u = f ( u ) , x 3 , t u 2 + 2 div [ ( S A ) u 2 ] = 0 , x 3 , div ( ϕ + A t ) = u 2 , x 3 , × × A + t ( ϕ + A t ) = ( S A ) u 2 , x 3 . (2)

在 [1] [2] 和 [3] 中,选取

u = u ( x ) , S = ω t , A = 0 , ϕ = ϕ ( x ) , ω ,

系统(2)退化为如下Schrödinger-Poisson系统

(3)

在过去的几十年里,许多学者对系统(3)或其更一般形式的基态、束缚态、变号解的存在性和多重性进行了大量的研究,在这里我们就不再一一列举。感兴趣的读者可以参考文献 [4] - [10] 及它们的参考文献。

在2009年,Benci和Fortunato在 [7] 中研究如下的Klein-Gordon-Maxwell系统

{ ( t + i ϕ ) 2 ψ ( i A ) 2 ψ + W ( | ψ | ) ψ | ψ | = 0 , ( t A + ϕ ) = ( Im t ψ ψ + ϕ ) | ψ | 2 , × ( × A ) + t ( t A + ϕ ) = ( Im ψ ψ A ) | ψ | 2 . (4)

系统(4)可能有三种类型解:静电解: A = 0 , ϕ 0 ;静磁解: A 0 , ϕ = 0 和静电磁解: A 0 , ϕ = 0 。选取

ψ ( t , x ) = u ( x ) e i ( k θ ( x ) ω t ) , A = A ( x ) , ϕ = ϕ ( x ) , ω , k \ { 0 } ,

其中

Σ = { ( x 1 , x 2 , x 3 ) 3 : x 1 = x 2 = 0 } ,

θ : 3 \ Σ / ( 2 π ) , θ ( x 1 , x 2 , x 3 ) = Im log ( x 1 + i x 2 ) . (5)

易得, θ ( x ) = ( x 2 r 2 , x 1 r 2 , 0 ) r 2 = x 1 2 + x 2 2

于是系统(4)退化为如下系统

(6)

在 [11] 中Benci和Fortunato利用山路引理证明了系统(6)解的存在性。

在2017年,Avenia等人在 [12] 中考虑了如下的静电磁Klein-Gordon-Maxwell-Proca系统

(7)

且利用Nehari流形方法证明了系统(7)圆柱对称基态解的存在性。

就目前现有的文献来看,众多学者都是在静电情况下( A = 0 , ϕ 0 )研究的Schrödinger-Maxwell系统,也就是我们常说的Schrödinger-Poisson系统,关于Schrödinger-Maxwell系统的静电磁解的研究未见任何研究结果。

所以受文献 [11] 、 [13] 和 [14] 的启发,本文的主要目的是研究系统(2)涡旋静电磁解的存在性,也就是形如

u = u ( x ) , S = l θ ( x ) + ω t , A = A ( x ) , ϕ = ϕ ( x ) ,

的解,其中 ω , l \ { 0 } 并且 θ 如(5)中所定义,那么系统(2)退化为如下系统

(8)

注意到, div [ ( l θ A ) u 2 ] = div [ × ( × A ) ] = 0 ,且选取 f ( u ) = | u | p 1 u ,则系统(8)就变成了系统(1)。

问题(1)所对应的能量泛函 I : H ^ 1 × D 1 , 2 ( 3 ) × ( D 1 , 2 ( 3 ) ) 3 定义为

I ( u , ϕ , A ) = 1 2 3 ( | u | 2 + ω | u | 2 + ϕ u 2 + | l θ A | 2 u 2 + | × A | 2 ) d x 1 4 3 | ϕ | 2 d x 1 p + 1 3 | u | p + 1 d x . (9)

由于系统(1)中的旋度算子具有无限维的核空间,所以问题(1)的主要困难在于能量泛函I是强不定的。为了解决这个困难,我们在第二节中引入空间 A ,使得对于任意的 A A ,有

3 | × A | 2 d x = 3 | A | 2 d x .

本文主要结果陈述如下:

定理1.1 假设 ω > 0 并且 3 p < 5 ,那么系统(1)存在涡旋基态解 ( u , ϕ , A ) H ^ 1 × ( D 1 , 2 ( 3 ) ) × A ,其满足:1) u = u ( r , x 3 ) ϕ = ϕ ( r , x 3 )

2) A = b ( r , x 3 ) θ = b ( r , x 3 ) ( x 2 r 2 , x 1 r 2 , 0 )

本文结构如下。在第2节中,我们给出了一些引理并通过约化方法将(9)化为单变量泛函。在第3节中,我们利用Nehari流形方法来证明系统(1)基态解的存在性。

2. 准备工作

在本节中,我们将使用以下符号:

C i ( i = 1 , 2 , ) 表示正数;

p 表示勒贝格空间 L p ( 3 ) 的范数。

2.1. 工作空间

定义Sobolev空间

H 1 ( 3 ) = { u : 3 : u L 2 ( 3 ) , u L 2 ( 3 ) }

其对应范数为

u H 1 ( 3 ) = ( u 2 2 + u 2 2 ) 1 2 .

空间 D 1 , 2 ( 3 ) C 0 ( 3 ) 的完备,其对应范数为

u D 1 , 2 ( 3 ) = ( u 2 2 ) 1 2 .

空间 H ^ 1 C 0 ( 3 \ Σ ) 的完备,其对应范数为

u H ^ 1 = ( 3 | u | 2 + ω | u | 2 + l 2 u 2 r 2 d x ) 1 2 , r = x 1 2 + x 2 2

其中 x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) 3 。事实上, H ^ 1 H 1 ( 3 ) ,并且 H ^ 1 C 0 ( 3 ) H ^ 1 中稠密。

2.2. 准备性引理

引理2.1 ( [2] 命题3.1)固定 u H ^ 1 Δ ϕ = u 2 存在唯一解 ϕ u D 1 , 2 ( 3 )

引理2.2 映射 Φ : u H ^ 1 ϕ u D 1 , 2 ( 3 ) C 1 的并且对于任意的 v H ^ 1 ,有

Φ ( u ) [ v ] = 2 Δ 1 [ u v ] (10)

证明:类似于文献 [15] 中命题2.1的证明,定义映射

T : H ^ 1 × D 1 , 2 ( 3 ) D 1 , 2 ( ℝ 3 )

满足 T ( u , ϕ ) = Δ 1 [ u 2 ] + ϕ 。经计算,易知

u T ( u , ϕ ) : H ^ 1 D 1 , 2 ( 3 ) , v 2 Δ 1 [ u v ] , ϕ T ( u , ϕ ) : D 1 , 2 ( 3 ) D 1 , 2 ( 3 ) , w w .

对于所有的 ( u , ϕ ) H ^ 1 × D 1 , 2 ( 3 ) ϕ T ( u , ϕ ) 是可逆的且 ( ϕ T ( u , ϕ ) ) 1 = I 。又由隐函数定理可知,对任意的 u H ^ 1 ,存在唯一解 ϕ u D 1 , 2 ( 3 ) ,使得

T ( u , ϕ u ) = 0 Φ C 1 ( H ^ 1 , D 1 , 2 ( 3 ) ) Φ ( u ) [ v ] = 2 Δ 1 [ u v ] .

引理2.3 假设 u H 1 ( 3 ) ,则

, (11)

ϕ u 0 (12)

并且存在 C > 0 使得

ϕ u 2 2 C u 12 5 4 . (13)

此外, ψ u = Φ ( u ) [ u ] 2 满足

Δ ψ u = u 2 (14)

, (15)

0 ψ u = ϕ u . (16)

证明:类似于 [12] 中引理2.1和 [16] 的引理2.2的证明,可证得引理2.3。

根据引理2.1和引理2.3,我们可考虑约化泛函

,(17)

其在 H ^ 1 × ( D 1 , 2 ( 3 ) ) 3 C 1 的,并且若 ( u , A ) 是J的临界点,那么 ( u , ϕ u , A ) 是I的临界点。

定义

H ^ 1 = { u H ^ 1 ( 3 ) : u ( x ) = u ( r , x 3 ) }

其中 r = x 1 2 + x 2 2 H ^ 1 的范数与 H ^ 1 ( 3 ) 的范数等价。类似地,定义空间 ( D 1 , 2 ( 3 ) )

注意到,若 u H ^ 1 ,则 ϕ u ( D 1 , 2 ( 3 ) ) 。令

A 0 = { B C 0 ( 3 \ Σ , 3 ) | B = b ( r , x 3 ) θ , b C 0 ( 3 \ Σ , ) }

并且定义 A A 0 的完备,其范数为 ( D 1 , 2 ( 3 ) ) 3 的范数,显然 A ( D 1 , 2 ( 3 ) ) 3

引理2.4 ( [13] 引理15)对任意的 A A ,有 div A = 0 , × A 2 = A 2 × × A = Δ A

因此,系统(1)中的最后一个方程可退化为

Δ A = ( l θ A ) u 2 . (18)

定义

V = H ^ 1 × A .

引理2.5 假设 ( u , A ) V ,若对任意的 v H ^ 1 u J ( u , A ) [ v ] = 0 ,则 u J ( u , A ) = 0 。若对任意的 B A A J ( u , A ) [ B ] = 0 ,则 A J ( u , A ) = 0

证明:类似于 [11] 中定理16的证明,若对任意的 v H ^ 1 u J ( u , A ) [ v ] = 0 ,我们令

η = Δ u + ( ω + ϕ ) u + | l θ A | 2 u | u | p 1 u | u | 4 u .

选取任意的 v H ^ 1 v = v 1 + v 2 ,其中 v 1 H ^ 1 v 2 ( H ^ 1 ) ,则

u J ( u , A ) [ v ] = η , v = u J ( u , A ) [ v 1 ] + η , v 2 = η , v 2 .

因为 u , ϕ u , | l θ A | 2 | u | p 1 u 是圆柱对称的,由稠密理论可知 η ( H ^ 1 ) ,故 u J ( u , A ) = 0

同理,假设对任意的 B A A J ( u , A ) [ B ] = 0 ,且令

ξ = Δ A ( l θ A ) u 2 .

选取任意的 B ( D 1 , 2 ( 3 ) ) 3 B = B 1 + B 2 ,其中 B 1 A B 2 A ,则

A J ( u , A ) [ B ] = ξ , B = u J ( u , A ) [ B 1 ] + ξ , B 2 = ξ , B 2 .

由 [11] 中引理12知 ξ A ,故 A J ( u , A ) = 0

引理2.6 若 u H ^ 1 ,那么方程(18)存在唯一解 A u A

证明:固定 u H ^ 1 ,考虑在 A × A 上的双线性映射:

.

显然有

.

根据Hölder不等式,有

.

此外,根据Sobolev嵌入定理,可得

因此,线性映射是连续的。再因Lax-Milgram定理可知,存在唯一的 A u A ,满足

.

引理2.7 假设 u H ^ 1 ,则 A u 满足

, (19)

, (20)

. (21)

证明:若 u H ^ 1 ,在系统(1)的最后一个方程左右同时乘 A u 并在 3 上积分,我们很容易得到(19)。接下来,通过直接计算,可得

这蕴含了(20)和(21)成立。

引理2.8映射 A : u H ^ 1 A u A C 1 的且对于任意的 v H ^ 1 ,有

A ( u ) [ v ] = 2 ( Δ u 2 ) 1 [ ( l θ A u ) u v ] .

此外, Ψ u = A ( u ) [ u ] 2 满足

Δ Ψ u = ( l θ A u Ψ u ) u 2 (22)

, (23)

. (24)

证明:定义映射

T : H ^ 1 × A A

满足 T ( u , A ) = Δ 1 [ ( l θ A ) u 2 ] + A 。经计算,有

u T ( u , A ) : H ^ 1 A , v 2 Δ 1 [ ( l θ A ) u v ] , A T ( u , A ) : A A , V Δ 1 [ V u 2 ] + V .

易知对于所有的 ( u , A ) H ^ 1 × A A T ( u , A ) 是可逆的并且 ( A T ( u , A ) ) 1 = ( Δ u 2 ) 1 Δ 。又由隐函数定理可知,对任意的 u H ^ 1 ,存在唯一的 A u A 满足

T ( u , A u ) = 0 A C 1 ( H ^ 1 , A ) A ( u ) [ v ] = 2 ( Δ u 2 ) 1 [ ( l θ A ) u v ] .

因此, Ψ u = ( Δ u 2 ) 1 [ ( l θ A ) u 2 ] ,即 Ψ u 满足式(22)。

此外,由于 Δ A u = ( l θ A u ) u 2 和(22),可得

故(24)成立。

根据引理2.2和引理2.8,我们可考虑如下的约化泛函

J ( u ) = J ( u , A u ) = 1 2 3 | u | 2 d x + ω 2 3 | u | 2 d x + l 2 2 3 u 2 r 2 d x + 1 4 3 ϕ u u 2 d x 1 2 3 l θ A u u 2 d x 1 p + 1 3 | u | p + 1 d x , (25)

其在 H ^ 1 上是 C 1 的并且若 ( u , ϕ , A ) H ^ 1 × ( D 1 , 2 ( 3 ) ) × A 是I的临界点当且仅当 ( u , A ) H ^ 1 × A 是J的临界点, ϕ = ϕ u 当且仅当 u H ^ 1 J 的临界点, ϕ = ϕ u A = A u 。因此,我们只需寻找泛函 J 的临界点。

3. 定理1.1的证明

定义Nehari流形

N = { u H ^ 1 \ { 0 } : J ( u ) [ u ] = 0 } .

引理3.1 N 是非空的。

证明:对于任意的 t ,固定 u H ^ 1 \ { 0 } ,定义

j ( t ) = J ( t u ) [ t u ] = t 2 ( 3 | u | 2 + ( ω + ϕ t u ) u 2 + | l θ A t u | 2 u 2 d x ) t p + 1 3 | u | p + 1 d x .

显然, j ( 0 ) = 0 。对于充分小的 t > 0 ,有 j ( t ) > 0 lim t j ( t ) = 。因此,根据连续函数的介值性定理可知,存在 t ¯ > 0 ,使得 j ( t ¯ ) = J ( t ¯ u ) [ t ¯ u ] = 0 ,即 t ¯ u N

引理3.2 对任意的 u N ,有 u p + 1 C

证明:假设 u N ,通过计算,可得

这蕴含着

(26)

由(12)可推出。因此,

又由Sobolev嵌入定理易知, u p + 1 2 C ( u 2 2 + ω u 2 2 ) C u p + 1 p + 1

引理3.3 N 是自然约束。

证明:假设 u N J | N 的临界点,由拉格朗日乘子定理知,存在 λ ,使得 J ( u ) = λ u ( J ( u ) [ u ] )

下证 λ = 0 。因为 0 = J ( u ) [ u ] = λ u ( J ( u ) [ u ] ) [ u ] ,故只需证明 u ( J ( u ) [ u ] ) [ u ] 0

结合(16),(23)和(26),有

由于 p [ 3 , 5 ) ψ u 0 ,故, 因此 λ = 0

引理3.4 泛函 J | N 有正下界。

证明:假设 u N ,结合(16),(21)和(26),有

J ( u ) = 1 2 u 2 2 + ω 2 u 2 2 + l 2 2 3 u 2 r 2 d x + 1 4 3 ϕ u u 2 d x 1 2 3 l θ A u u 2 d x 1 p + 1 3 | u | p + 1 d x = p 1 2 ( p + 1 ) ( u 2 2 + ω u 2 2 ) + p 3 4 ( p + 1 ) 3 ϕ u u 2 d x + p 1 2 ( p + 1 ) ( l 2 3 u 2 r 2 d x 3 l θ A u u 2 d x ) + 1 p + 1 ( 3 l θ A u u 2 d x 3 | A u | 2 u 2 d x ) p 1 2 ( p + 1 ) ( u 2 2 + ω u 2 2 ) ,

故存在常数 C > 0 ,使得对于任意的 u N J ( u ) C

引理3.5 假设 { u n } N 是极小化序列,那么 { u n } H ^ 1 上有界。

证明:假设 { u n } N 是极小化序列,即

lim n J ( u n ) = inf u N J ( u ) = c .

由定理3.4可知

c lim n J ( u n ) lim n p 1 2 ( p + 1 ) ( u n 2 2 + ω u n 2 2 )

这蕴含了 { u n } H 1 ( 3 ) 上有界。经计算,有

J ( u n ) 1 2 u n 2 2 + ω 2 u n 2 2 + l 2 2 3 u n 2 r 2 d x 1 2 3 l θ A u n u n 2 d x 1 p + 1 3 | u n | p + 1 d x . (27)

故可推出 { A u n } A 上有界。由基本不等式和Hölder不等式可得

3 l θ A u n u n 2 d x 3 | l θ A u n u n 2 | d x 3 l r | A u n | u n 2 d x 1 2 3 | A u n | 2 u n 2 d x + 1 2 3 l 2 r 2 u n 2 d x C A u n 6 2 u u n 3 2 + l 2 2 3 u n 2 r 2 d x C + l 2 2 3 u n 2 r 2 d x . (28)

结合(27)和(28),有

J ( u n ) 1 2 u n 2 2 + ω 2 u n 2 2 + l 2 2 3 u n 2 r 2 d x 1 2 3 l θ A u n u n 2 d x 1 p + 1 3 | u n | p + 1 d x 1 2 u n 2 2 + ω 2 u n 2 2 + l 2 4 3 u n 2 r 2 d x 1 p + 1 3 | u n | p + 1 d x C 2 .

因此, 1 2 u n 2 2 + ω 2 u n 2 2 + l 2 4 3 u n 2 r 2 d x J ( u n ) + 1 p + 1 3 | u n | p + 1 d x + C 2 ,故 { u n } H ^ 1 上有界。

引理3.6 任意的有界序列 { u n } N 是非消失的。

证明:假设序列 { u n } N 消失,即

lim n sup ξ 3 B r ¯ ( ξ ) u n 2 d x = 0 .

由Lions的消失引理(可见 [17] 的引理1.1)可知,当 2 < s < 6 时, u n 0 L s ( 3 ) ,这与引理3.2矛盾,证毕。

引理3.7 若 u n u 0 H ^ 1 \ { 0 } ,那么通过选取子列,则 ϕ u n ϕ u 0 ( D 1 , 2 ( 3 ) ) A u n A u 0 A 。因此, J ( u n ) J ( u 0 )

证明:根据引理3.5,通过选取子列仍记为 { u n } ,那么存在 u 0 H ^ 1 \ { 0 } ,使得

u n u 0 H ^ 1 \ { 0 } 中, (29)

u n u 0 L s ( 3 ) 中,其中 2 s 6 (30)

u n u 0 L l o c s ( 3 ) 中,其中 1 s < 6 . (31)

由(13)可得 { ϕ u n } ( D 1 , 2 ( 3 ) ) 中有界,则存在 ϕ 0 ( D 1 , 2 ( 3 ) ) ,使得

ϕ u n ϕ 0 ( D 1 , 2 ( 3 ) ) 中, (32)

ϕ u n ϕ 0 L 6 ( 3 ) 中, (33)

ϕ u n ϕ 0 L l o c s ( 3 ) 中,其中 1 s < 6 . (34)

又因为 { A u n } A 中有界,则存在 A 0 A ,使得

A u n A 0 A 中, (35)

A u n A 0 ( L 6 ( 3 ) ) 3 中, (36)

A u n A 0 ( L l o c s ( 3 ) ) 3 中,其中 1 s < 6 . (37)

下证 ϕ 0 = ϕ u 0 A 0 = A u 0 。由于系统(1)后两个方程解的唯一性,故只需证明

Δ ϕ 0 = u 0 2 (38)

Δ A 0 = ( l θ A 0 ) u 0 2 . (39)

ϕ n = ϕ u n ,因为 Δ ϕ n = u n 2 ,对 w C 0 ( 3 ) ,由(31)和(32),有

3 u n 2 w d x 3 u 0 2 w d x , 3 ϕ n w d x 3 ϕ 0 w d x .

因此,(38)成立。

V A 0 K = s u p p V ,记 A n = A u n ,因为 Δ A n = ( l θ A n ) u n 2 ,只需证明

3 A n V d x 3 A 0 V d x (40)

3 l θ V u n 2 d x 3 l θ V u 0 2 d x (41)

3 l θ V u n 2 d x 3 l θ V u 0 2 d x (42)

由(35),(40)显然成立。注意到, 3 ( l θ V ) 2 d x l 2 3 V 2 r 2 d x l 2 3 | b | 2 r 2 r 2 l 2 3 | b | 2 d x < ,并结合(30),于是(41)成立。

根据Hölder不等式,有

3 ( u n 2 A n u 0 2 A 0 ) V d x = 3 ( u n 2 u 0 2 ) A n V d x + 3 u 0 2 ( A n A 0 ) V d x = K ( u n 2 u 0 2 ) A n V d x + K u 0 2 ( A n A 0 ) V d x ( K | u n 2 u 0 2 | 3 2 d x ) 2 3 ( K | A n | 6 d x ) 1 6 ( K | V | 6 d x ) 1 6 + ( K | u 0 2 | 3 d x ) 1 3 ( K | A n A 0 | 3 d x ) 1 3 ( K | V | 6 d x ) 1 6 ( K | | u n | 3 | u 0 | 3 | d x ) 2 3 ( K | A n | 6 d x ) 1 6 ( K | V | 6 d x ) 1 6 + ( K | u 0 | 6 d x ) 1 3 ( K | A n A 0 | 3 d x ) 1 3 ( K | V | 6 d x ) 1 6 ,

那么由(31),(37)及 { A n } 的有界性,(42)成立。

v H ^ 1 C 0 ( 3 ) 且令 M = s u p p v ,则有

J ( u n ) [ v ] = 3 u n v + ω u n v + l 2 u n r 2 v 2 l θ A n u n v d x + 3 ϕ n u n v + | A n | 2 u n v | u n | p 1 u n v d x , J ( u 0 ) [ v ] = 3 u 0 v + ω u 0 v + l 2 u 0 r 2 v 2 l θ A 0 u n v d x + 3 ϕ 0 u 0 v + | A 0 | 2 u 0 v | u 0 | p 1 u 0 v d x .

根据(31),(34)和 { ϕ n } 的有界性,可推出

由(31),(37)和 { A n } 的有界性可得

故当 n 时, J ( u n ) [ v ] J ( u 0 ) [ v ]

因为 N 是自然约束,由 [18] 中定理8.5知,可假设 { u n } J 的PS序列,即 J ( u n ) c 以及对于任意的 v H ^ 1 J ( u n ) [ v ] 0

定理1.1的证明 根据引理3.6,可知存在 R , σ > 0 ,序列 { x n = ( x 1 n , x 2 n , x 3 n ) } 3 ,使得

B R ( x n ) | u n ( x ) | 2 d x σ .

断言: r n 2 : = ( x 1 n ) 2 + ( x 2 n ) 2 有界。由于 u n ( x ) 具有柱对称性,则

B R ( x n ) | u n ( x ) | 2 d x = B R ( x ˜ n ) | u n ( x ) | 2 d x

其中 x 3 n = x ˜ 3 n ( x 1 n ) 2 + ( x 2 n ) 2 = ( x ˜ 1 n ) 2 + ( x ˜ 2 n ) 2 。注意到,若 | r n | ,则有

3 | u n ( x ) | 2 d x n = 1 B R ( x ˜ n ) | u n ( x ) | 2 d x n = 1 σ = +

这与 { u n } L 2 范数有界矛盾。故断言成立。定义 r 0 = R + sup n | r n | ,则有

B r 0 ( x ¯ n ) | u n ( x ) | 2 d x σ x ¯ n = ( 0 , 0 , x 3 n ) .

u ¯ n ( x ) = u n ( x + x ¯ n ) ,那么

B r 0 ( 0 ) | u ¯ n ( x ) | 2 d x σ . (43)

根据(43)可知存在 u H ^ 1 \ { 0 } ,使得 u ¯ n u 。此外, { u ¯ n } N 满足

J ( u n ) = J ( u ¯ n ) c J ( u n ) = J ( u ¯ n ) 0 .

由引理3.7可知 J ( u ¯ n ) J ( u ) ,故 J ( u ) = 0 。即u是 J 的临界点。结合(17)和(25)可得

J ( u ) = J ( u , A u ) = I ( u , ϕ u , A u ) .

因此, ( u , ϕ u , A u ) 是系统(1)的非平凡解且 u N

最后我们证明u是基态解。

根据Fatou引理和范数函数的弱下半连续性可知

inf N J ( u ) J ( u ) lim inf n J ( u n ) = inf N J ( u ) .

4. 结论

本文研究了一类静电磁Schrödinger-Maxwell系统涡旋基态解的存在性。通过柱对称处理旋度算子,把强不定问题约化为定的问题,最后利用Nehari流形方法证明基态解的存在性。

基金项目

山西省自然科学基金面上项目( 202303021211056)。

文章引用

姬玉萍,滕凯民. 一类静电磁Schr?dinger-Maxwell系统涡旋基态解的存在性
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  19. NOTES

    *通讯作者。

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