延安大学数学与计算机科学院，浙江 绍兴

收稿日期：2023年11月28日；录用日期：2023年12月15日；发布日期：2024年1月18日

摘要

本研究利用天文学和数学模型，结合MATLAB编程，通过分析树木的受光情况，建立了太阳高度角和太阳方位角模型，并构建了锥形树冠模型来近似树冠形状，对延安地区核桃树阴影的高度、方向和面积变化情况进行了详尽的分析。首先，根据延安的经纬度计算出时角和方位角，并建立太阳高度角和太阳方位角模型，得出了一年中每日每时的太阳高度角和太阳方位角数据。随后，利用影长公式和阴影方向角公式，得到核桃树每小时的阴影高度、方向变化和面积变化情况。本研究为了解核桃树的生长环境提供了重要的参考价值，有助于优化核桃树种植布局和光照条件，提高核桃林的产量和质量，同时也为类似植物的生长环境分析提供了新的研究思路。

关键词

圆锥形树冠，太阳高度角，太阳方位角，阴影，核桃树

Modeling Solar Altitude and Azimuth, and Analyzing Walnut Tree Shadow Patterns in Yan’an Region

Mengting Zhu

School of Mathematics and Computer Science, Yan’an University, Shaoxing Zhejiang

Received: Nov. 28^th, 2023; accepted: Dec. 15^th, 2023; published: Jan. 18^th, 2024

ABSTRACT

This study utilized astronomical and mathematical models, combined with MATLAB programming, to analyze the sunlight conditions of trees. We established models for solar altitude and azimuth, and constructed a conical tree crown model to approximate the shape of the tree crown. A detailed analysis of the changes in height, direction, and area of shadows cast by walnut trees in the Yan’an region was conducted. Initially, the solar hour angle and azimuth were calculated based on the latitude and longitude of Yan’an, and the models for solar altitude and azimuth were established to obtain the data on daily and hourly solar altitude and azimuth throughout the year. Subsequently, using the shadow length formula and shadow direction angle formula, we determined the hourly changes in shadow height, direction, and area for the walnut trees. This study provides significant reference value for understanding the growth environment of walnut trees, aiding in the optimization of walnut tree planting layout and lighting conditions to enhance the yield and quality of walnut forests. Furthermore, it offers a new research approach for analyzing the growth environment of similar plants.

Keywords:Conical Crown, Solar Altitude Angle, Solar Azimuth Angle, Shadow, Walnut Tree

Copyright © 2024 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

林草植被在维护生态环境安全方面发挥了重要作用。核桃树作为一种重要的经济树种，对当地的生态环境和经济社会的长期稳定发展做出了重要贡献。然而，在核桃树的种植和管理过程中，单株树木树冠的受光及遮阴而形成阴影随时间、季节变化的问题仍然存在。最近的研究表明，利用遥感技术和地理信息系统结合核桃树的生长模型，可以更精确地预测核桃树的阴影范围和变化规律，从而更好地指导核桃树的种植布局和管理，提高林地的生态效益和经济效益。同时，利用无人机和传感器技术实时监测核桃树的生长状态和阴影情况，为精准的管理和调控提供数据支持。此外，为了解决太阳高度角和太阳方位角计算的适用性和单株树木树冠的阴影变化问题，本文采用MATLAB软件建立了太阳高度角和太阳方位角模型，并根据核桃树的平均高度、太阳高度角和太阳方位角，计算出了一年中每日每时核桃树的影子高度、方位、面积变化，进而分析了阴影面积的变化情况，为优化核桃树种植布局和光照条件提供参考。

2. 模型假设

1) 不考虑地形坡度；

2) 核桃树生长垂直于地平线，太阳光线平行；

3) 忽略核桃树的树干长度，近似认为树高等于树冠高度；

4) 近似认为核桃树外形都相同，树冠呈圆锥形 [1] ，阴影面积呈等腰三角形；

5) 一年以365天计。

3. 单株核桃树的阴影随时间季节的变化情况

3.1. 太阳高度角α的计算

太阳高度角是指对于地球上的某个参照物，太阳光线与地平线的夹角，即某地太阳光线与该地作垂直于地心的地表切线的夹角 [2] 。太阳高度角程序定义了延安所在地的纬度phi，然后使用linspace函数生成了从1到365的一年中的日期，通过计算太阳赤纬、时角和太阳高度角，得到了在延安地区一年中每日每时的太阳高度角数据，并将其存在一个365行24列的矩阵solar_altitude中。表1太阳高度角摘取了春分、夏至、秋分、冬至四日的程序计算结果。

表1. 太阳高度角

其中太阳高度角为负数，表示此时延安处于黑夜，核桃树阴影高度为0，阴影面积为0。

3.2. 太阳方位角β的计算

太阳方位角是指太阳直射光线在地平面上的投影线与地平面正南向所夹的角 [3] 。太阳方位角程序计算了一年中每一天每个小时的太阳方位角。首先，程序将纬度和经度从度转换为弧度。然后，对于一年中的每一天，以及每天的24个小时，程序计算了每个小时的世界时、世界时对应的世纪数、格林尼治平恒星时、局部平恒星时、时角、赤纬以及太阳方位角。在计算过程中，程序使用了一些天文学的公式和常量，如格林尼治平恒星时的计算公式，地球轨道倾角(23.44度)，以及太阳方位角的计算公式。最后程序将计算出的太阳方位角存储在一个365行24列的矩阵solarAzimuth中。表2太阳方位角摘取了春分、夏至、秋分、冬至四日的程序计算结果。

表2. 太阳方位角

3.3. 阴影面积的计算

1) 计算阴影高度Ls和阴影底边长度Ds

根据三角几何关系，树木的阴影高度Ls和阴影底边长度Ds可以表示为：

其中H为核桃树树冠的平均高度，R为圆锥形树冠的底面半径。

2) 计算阴影方向角θ

阴影的方向一般与太阳方位角β相关。在北半球，计算θ的公式如下：

θ = 180˚ − β

部分计算结果见表3阴影方向角。

表3. 阴影方向角

3) 阴影面积的计算

在本文中，假设树冠阴影与树冠底部横截面相接，树冠的平均高度H为7 m，底面半径R为3 m。

由

$\text{Ls}=\text{H}÷\tan (\; \alpha \; )$

$\text{Ds}=2\text{R}÷\tan (\; \alpha \; )$

可知，根据三角形面积公式，树冠阴影面积Sy可以表示为：

Sy = 0.5 × Ls × Ds [4]

部分计算结果见表4阴影面积。

表4. 阴影面积

3.4. 模型分析

在夏季，太阳高度角一般较大，因此树木的阴影高度Ls和阴影面积Ds会相对较小；在冬季，太阳高度角较小，因此Ls和Ds会相对较大；阴影方向θ会随着一天中时间的变化而变化，这是由太阳方位角β的变化所导致的，从而一天中会出现正午影长最短，日出日落时的影长最长，且上午的影子方向和下午的影子方向呈对称分布的现象；在早晨和傍晚，太阳高度角较小，因此树木的阴影高度会较长；在中午，太阳高度角较大，树木的阴影高度会较短。此太阳高度角和方位角模型的计算结果符合以上所有结论，模型准确。

3.5. 结果分析

1) 太阳高度角在6月22日和12月23日分别达到最大值75.43˚和最小值29.64˚，对称于正午。正午核桃树树冠在6月22日受光面积最大，阴影面积最小达1.42 m²；在12月23日受光面积最小，阴影面积最大达64.84 m²。

图1. 阴影高度

图2. 阴影面积

2) 在春分、夏至、秋分、冬至四个季节中，太阳的日照时间和影子方向和高度均呈现不同的变化。在不同季节中，影子的方向和高度也有所不同：春分日日照时长为12小时，阴影方向呈现东南–东北逆时针变化，阴影高度在11时~12时影子高度达最小值5.33 m，在6时、17时达最大值67.21 m；夏至日日照时长最长达14小时，阴影方向呈现东南–东北–西北–西南逆时针变化，阴影高度在11时~12时达最小值1.82 m，在5时、18时达最大值49.38 m；秋分日日照时长为12小时，阴影方向呈现西北–西南逆时针变化，阴影高度在11时~12时达最小值5.25 m，在6时、17时达最大值64.43 m；冬至日日照时长10小时，达一年中最短，阴影方向呈现西南–东南逆时针变化，阴影高度在11时~12时达最小值12.3 m，在7时、16时达最大值153.24 m。

3) 阴影高度和面积呈U形变化，与受光面积呈正比，且随季节变化呈现不同的方向和大小。在一天中，正午时树冠阴影面积达最小值，受光面积最大；在日出、日落时阴影面积达最大值，受光面积最小。夏至日树冠阴影面积达到最小值，冬至日达到最大值。由于太阳方位角和太阳高度角的变化，阴影面积呈现以正午11~12时为对称轴，正午时阴影面积最小，然后依次向两边呈指数型递增，太阳转至地平线以下后阴影面积降为0。春分日每时的阴影面积要高于秋分日每时的阴影面积。见图1阴影高度和图2阴影面积。

4. 结语

本文对延安地区核桃树的阴影变化情况进行了较为全面的分析。通过使用太阳高度角和方位角模型，我们能够根据不同日期和时间的输入，模拟核桃树在不同季节和一天中不同时间的阴影高度和方向。这使得我们能够更好地了解核桃树树冠的受光和遮阴情况。这项研究对于核桃树的种植和管理提供了重要的参考价值，有助于优化核桃树种植布局和光照条件，提高核桃的产量和质量，促进核桃树的健康生长。

5. 基金项目

省级大学生创新创业训练项目(项目编号：S202310719150)。

文章引用

朱梦婷. 延安地区太阳高度角和方位角建模及核桃树阴影变化分析
Modeling Solar Altitude and Azimuth, and Analyzing Walnut Tree Shadow Patterns in Yan’an Region[J]. 建模与仿真, 2024, 13(01): 442-449. https://doi.org/10.12677/MOS.2024.131042

参考文献