太原师范学院数学系，山西 晋中

收稿日期：2021年12月24日；录用日期：2022年1月14日；发布日期：2022年1月27日

摘要

本文研究带不等式和等式约束的广义E-凸区间值优化问题(IOP_E)，引入E- ${\partial }_C$ 凸，E- ${\partial }_C$ 伪凸，严格E- ${\partial }_C$ 伪凸，E- ${\partial }_C$ 拟凸等广义E-凸性条件，给出(IOP_E)的必要性和充分性最优性条件。

关键词

E-凸区间值优化问题，广义E-凸性，E-KKT最优性条件

Optimality Conditions for Generalized E-Convex Interval-Valued Optimization Problems

Huihui Wang, Haijun Wang, Jia’nan Du

Department of Mathematics, Taiyuan Normal University, Jinzhong Shanxi

Received: Dec. 24^th, 2021; accepted: Jan. 14^th, 2022; published: Jan. 27^th, 2022

ABSTRACT

In this paper, we studied the generalized E-convex interval-valued optimization problems with inequality and equality constraints (IOP_E). We gave the necessary and sufficient optimality conditions for (IOP_E) by the generalized E-convex conditions, such as E- ${\partial }_C$ convexity, E- ${\partial }_C$ pseudoconvexity, strict E- ${\partial }_C$ pseudoconvexity, E- ${\partial }_C$ quasiconvexity.

Keywords:E-Convex Interval-Valued Optimization Problems, Generalized E-Convexity, E-KKT Optimality Conditions

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

近年来许多学者讨论了参数不确定的数学规划问题，区间值优化问题就是其中一种。Wu [1] 研究了一类区间值优化问题，提出了一种新的凸性概念(LU-凸)，并给出一些区间值优化问题的最优性条件。Sun和Wang [2] 研究了带有不等式约束的不可微区间值规划问题，给出了该问题的FJ和KKT型必要和充分最优性条件。Tung [3] 研究了带有不等式约束的凸半无限区间值规划问题，在凸性假设下给出了KKT型必要和充分最优性条件。Ahmad [4] 等研究了带有消失约束的连续可微区间值优化问题(IVVC)，并在一定的约束条件下给出了IVVC的充分和必要最优性条件。

凸性是最优化问题中的重要性质，许多学者引入了较弱的凸性的条件。Youness [5] 首先提出了E-凸集、E-凸函数等定义，并给出这些定义在E-凸规划问题中的一些应用。蔡章华和范晓冬 [6] 给出了E-凸区间值函数及其在优化问题中的应用。Luu和Mai [7] 在广义凸性假设下，研究了一类带有不等式约束和等式约束的不可微区间值优化问题，给出了该问题的FJ和KKT型必要最优性条件。Abdulaleem [8] 研究了E-可微的多目标规划问题，在广义E-凸性假设下，给出该问题的E-KKT必要和充分最优性条件。Antczak和Abdulaleem [9] 研究了E-可微的多目标区间值优化问题，在广义E-凸性假设下，给出该问题的E-KKT必要和充分最优性条件。邓春艳等 [10] 研究了E-可微的LU-E-不变凸区间值优化问题和LU-E-预不变凸区间值优化问题。

受上述文献的启发，本文引入广义E- ${\partial }_C$ 凸性概念，讨论了广义E-凸区间值优化问题(IOP_E)的必要和充分最优性条件。

2. 预备知识

设 $R^n$ 是一个n维欧氏空间， $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 表示 $R^n$ 上的内积。任给 $\bar{x}\in R^n$，$U\left(\bar{x}\right)$ 表示在点 $\bar{x}$ 处的邻域。设 $C\subseteq R^n$，$clC$，$convC$ 分别表示C的闭包和凸包，C在点 $\bar{x}\in clC$ 处的切锥定义为：

$T\left(C,\bar{x}\right):=\left\{v\in R^n|\exists t_n\to 0,\exists v_n\to v,\forall n\in N,\bar{x}+t_n{v}_n\in C\right\},$

C的严格负极锥表示为：

$C^s:=\left\{x^{*}\in R^n|\langle x^{*},x\rangle <0,\forall x\in C\backslash \left\{0\right\}\right\}.$

设f是 $R^n\to R$ 上的局部Lipschitz函数，则f在点 $\bar{x}$ 处关于方向v的Clarke方向导数为

${f^{\prime }}_c\left(\bar{x},v\right):=\underset{x\to \bar{x},t\downarrow 0}{\lim \sup }\frac{f\left(x+tv\right)-f\left(x\right)}{t}.$

f在点 $\bar{x}$ 处的Clarke次微分定义为

${\partial }_{C}f\left(\bar{x}\right):=\left\{\xi \in R^n:\langle \xi ,v\rangle \le {f^{\prime }}_c\left(\bar{x},v\right),\forall v\in R^n\right\}.$

众所周知， ${\partial }_{C}f\left(\bar{x}\right)$ 在 $R^n$ 上是一个非空凸紧集，集值映射 $\bar{x}\to {\partial }_{C}f\left(\bar{x}\right)$ 是上半连续的。

性质2.1 [11] 设 $f:R^n\to R$ 在点 $\bar{x}$ 处是局部Lipschitz的，则

${f^{\prime }}_c\left(\bar{x},v\right)=\max \left\{\langle \xi ,v\rangle :\xi \in {\partial }_{C}f\left(\bar{x}\right)\right\},\forall v\in R^n.$

设D是R上所有闭区间的集合。对任意的 $A=\left[a_1,a_2\right]\left(a_1\le a_2\right)$，$B=\left[b_1,b_2\right]\in D$，规定 $-A=\left[-a_2,-a_1\right]$，$A+B=\left[a_1+b_1,a_2+b_2\right]$，$A-B=\left[a_1-b_2,a_2-b_1\right]$，以及下面的LU序关系(见文献 [12] )。

$\begin{array}{l}A{\le }_{LU}B\iff a_1\le b_1,a_2\le b_2,\\ A{<}_{LU}B\iff A{\le }_{LU}B,A\ne B,\\ A{<}_{LU}^{s}B\iff a_1<b_1,a_2<b_2.\end{array}$

定义2.1 [9] 称集合 $M\subseteq R^n$ 是E-凸的，如果存在映射 $E:R^n\to R^n$ 使得对每个 $x,y\in M$，$0\le \lambda \le 1$ 满足 $\left(1-\lambda \right)E\left(x\right)+\lambda E\left(y\right)\in M$。

定义2.2 [9] 称函数 $f:M\to R$ 在 $M\subseteq R^n$ 上是E-凸的，当且仅当存在映射 $E:R^n\to R^n$ 使得M是非空E-凸集且

$f\left(\lambda E\left(x\right)+\left(1-\lambda \right)E\left(y\right)\right)\le \lambda f\left(E\left(x\right)\right)+\left(1-\lambda \right)f\left(E\left(y\right)\right).$

下面我们给出广义E- ${\partial }_C$ 凸性定义。

定义2.3设 $M\subseteq R^n$，函数 $f:M\to R$ 在点 $\bar{x}\in M$ 处是局部Lipschitz的，且存在映射 $E:R^n\to R^n$ 使得M是非空E-凸集，称f在点 $\bar{x}$ 处是E- ${\partial }_C$ 凸的，如果对 $\forall x\in M$，有

$f\left(E\left(x\right)\right)-f\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\ge \langle \xi ,x-\bar{x}\rangle ,\forall \xi \in {\partial }_{C}f\left(E\left(\bar{x}\right)\right).$

定义2.4设 $M\subseteq R^n$，函数 $f:M\to R$ 在点 $\bar{x}\in M$ 处是局部Lipschitz的，且存在映射 $E:R^n\to R^n$ 使得M是非空E-凸集，

1) 称f在点 $\bar{x}$ 处是E- ${\partial }_C$ 伪凸的，如果对 $\forall x\in M$，有

$f\left(E\left(x\right)\right)-f\left(E\left(\bar{x}\right)\right)<0\Rightarrow \langle \xi ,x-\bar{x}\rangle <0,\forall \xi \in {\partial }_{C}f\left(E\left(\bar{x}\right)\right).$

2) 称f在点 $\bar{x}$ 处是严格E- ${\partial }_C$ 伪凸的，如果对 $\forall x\in M$，$x\ne \bar{x}$，有

$f\left(E\left(x\right)\right)-f\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\le 0\Rightarrow \langle \xi ,x-\bar{x}\rangle <0,\forall \xi \in {\partial }_{C}f\left(E\left(\bar{x}\right)\right).$

3) 称f在点 $\bar{x}$ 处是E- ${\partial }_C$ 拟凸的，如果对 $\forall x\in M$，有

$f\left(E\left(x\right)\right)-f\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\le 0\Rightarrow \langle \xi ,x-\bar{x}\rangle \le 0,\forall \xi \in {\partial }_{C}f\left(E\left(\bar{x}\right)\right).$

注2.1可以看出，当函数f是E- ${\partial }_C$ 凸时，它也是E- ${\partial }_C$ 伪凸或E- ${\partial }_C$ 拟凸的；当f是E-可微时，定义2.4即为 [9] 中定义2.8~2.11；当 $E\left(x\right)=x$，$M=R^n$ 时，定义2.3，2.4又为 [11] 中定义的广义凸性概念。

3. 广义E-凸区间值优化问题

我们讨论如下的区间值优化问题(见文献 [9] )。

$\left(IO{P}_E\right):\min F\left(E\left(x\right)\right)=\left[F^L\left(E\left(x\right)\right),F^U\left(E\left(x\right)\right)\right]$

$\begin{array}{l}\text{s}\text{.t}\text{.}{g}_j\left(E\left(x\right)\right)\le 0,j\in J=\left\{1,\cdots ,m\right\},\\ h_i\left(E\left(x\right)\right)=0,i\in I=\left\{1,\cdots ,n\right\}.\end{array}$

其中 $F:M\to D$，$g_j:M\to R,j\in J$，$h_i:M\to R,i\in I$ 在 $M\subseteq R^n$ 上是局部Lipschitz的， $E:R^n\to R^n$ 是一对一映射使得M是非空E-凸集。

设 $A_E:=\left\{x\in M:g_j\left(E\left(x\right)\right)\le 0,j\in J,h_i\left(E\left(x\right)\right)=0,i\in I\right\}$ 为(IOP_E)的可行集， $J\left(E\left(x\right)\right)=\left\{j\in J:g_j\left(E\left(x\right)\right)=0\right\}$ 是可行点x处的积极指标集。

定义3.1 [9] 称可行点 $\bar{x}$ 是(IOP_E)的局部LU最优解，如果不存在 $x\in A_E\cap U\left(\bar{x}\right)$ 使得 $F\left(E\left(x\right)\right){<}_{LU}F\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ 成立。

定义3.2 [9] 称可行点 $\bar{x}$ 是(IOP_E)的局部弱LU最优解，如果不存在 $x\in A_E\cap U\left(\bar{x}\right)$ 使得 $F\left(E\left(x\right)\right){<}_{LU}^{s}F\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ 成立。

定义3.3 [8] 称(IOP_E)在点 $\bar{x}$ 处满足E-Abadie约束条件(ACQ_E)，如果

$T\left(A_E,\bar{x}\right)=L_E\left(\bar{x}\right).$

其中

$L_E\left(\bar{x}\right)=\left\{v\in R^n|\langle {\xi }_j^g,v\rangle \le 0,\forall {\xi }_j^g\in {\partial }_C{g}_j\left(E\left(\bar{x}\right)\right),j\in J\left(E\left(\bar{x}\right)\right),\langle {\xi }_i^h,v\rangle =0,\forall {\xi }_i^h\in {\partial }_C{h}_i\left(E\left(\bar{x}\right)\right),i\in I\right\}$

表示(IOP_E)在点 $\bar{x}$ 处的E-线性锥。

定理3.1 [13] (Motzkin择一定理)设 $D_1,D_2,D_3$ 为给定的矩阵， $D_1$ 是非空的。则下面两个结论有且仅有一个成立。

1) 方程 $D_{1}x<0$，$D_{2}x\le 0$，$D_{3}x=0$ 有解x。

2) 方程 $D_1^{\text{T}}{y}_1+D_2^{\text{T}}{y}_2+D_3^{\text{T}}{y}_3=0$，$y_1\ge 0$，$y_2\ge 0$ 有解 $y_1$，$y_2$，$y_3$。

定理3.2 (E-KKT必要最优性条件)设 $\bar{x}$ 是(IOP_E)的局部弱LU最优解。如果(ACQ_E)在点 $\bar{x}$ 处成立，则存在拉格朗日乘子 ${\alpha }^L,{\alpha }^U\in R_{+}$ ( ${\alpha }^L+{\alpha }^U=1$ )， $\lambda \in R^m$ ( ${\lambda }_j\ge 0,j\in J\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ )， $\mu \in R^n$ 使得

$0\in {\alpha }^L{\partial }_C{F}^L\left(E\left(\bar{x}\right)\right)+{\alpha }^U{\partial }_C{F}^U\left(E\left(\bar{x}\right)\right)+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{\lambda }_j{\partial }_C{g}_j\left(E\left(\bar{x}\right)\right)}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\mu }_i{\partial }_C{h}_i}\left(E\left(\bar{x}\right)\right),$ (3.1)

${\lambda }_j{g}_j\left(E\left(\bar{x}\right)\right)=0,\lambda \ge 0$ (3.2)

证明：首先证

${\left({\partial }_C{F}^L\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\cup {\partial }_C{F}^U\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\right)}^s\cap T\left(A_E,\bar{x}\right)=\varphi .$ (3.3)

假设存在 $v\in {\left({\partial }_C{F}^L\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\cup {\partial }_C{F}^U\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\right)}^s\cap T\left(A_E,\bar{x}\right)$，可得

$\langle {\xi }^L,v\rangle <0,\forall {\xi }^L\in {\partial }_C{F}^L\left(E\left(\bar{x}\right)\right),$

且

$\langle {\xi }^U,v\rangle <0,\forall {\xi }^U\in {\partial }_C{F}^U\left(E\left(\bar{x}\right)\right).$

因为 $F^L$，$F^U$ 在点 $\bar{x}$ 处是局部Lipschitz的，由性质2.1可知，存在

$x^{\text{*}}\in {\partial }_C{F}^L\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$

使得

${\left(F^L\right)}^{\prime }{}_c\left(E\left(\bar{x}\right),v\right)=\underset{{\xi }^L\in {\partial }_C{F}^L\left(E\left(\bar{x}\right)\right)}{\max }\langle {\xi }^L,v\rangle =\langle x^{*},v\rangle <0,$

同理有

${\left(F^U\right)}^{\prime }{}_c\left(E\left(\bar{x}\right),v\right)<0.$

又由 $v\in T\left(A_E,\bar{x}\right)$ 可得

${\left(F^L\right)}^{\prime }{}_c\left(E\left(\bar{x}\right),v\right)=\underset{v_n\to v,t_n\downarrow 0}{\lim \sup }\frac{F^L\left(E\left(\bar{x}\right)+t_n{v}_n\right)-F^L\left(E\left(\bar{x}\right)\right)}{t_n}\ge 0,$

或

${\left(F^U\right)}^{\prime }{}_c\left(E\left(\bar{x}\right),v\right)=\underset{v_n\to v,t_n\downarrow 0}{\lim \sup }\frac{F^U\left(E\left(\bar{x}\right)+t_n{v}_n\right)-F^U\left(E\left(\bar{x}\right)\right)}{t_n}\ge 0.$

产生矛盾，所以(3.3)成立。又因为(ACQ_E)在点 $\bar{x}$ 处成立，故

${\left({\partial }_C{F}^L\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\cup {\partial }_C{F}^U\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\right)}^s\cap L_E\left(\bar{x}\right)=\varphi ,$

即下式

$\{\begin{array}{l}\langle {\xi }^L,x-\bar{x}\rangle <0,\forall {\xi }^L\in {\partial }_C{F}^L\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\\ \langle {\xi }^U,x-\bar{x}\rangle <0,\forall {\xi }^U\in {\partial }_C{F}^U\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\\ \langle {\xi }_j^g,x-\bar{x}\rangle \le 0,\forall {\xi }_j^g\in {\partial }_C{g}_j\left(E\left(\bar{x}\right)\right),j\in J\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\\ \langle {\xi }_i^h,x-\bar{x}\rangle =0,\forall {\xi }_i^h\in {\partial }_C{h}_i\left(E\left(\bar{x}\right)\right),i\in I\end{array}$

不成立。再由定理3.1可知存在 ${\alpha }^L,{\alpha }^U\in R_{+}$，$\eta \in R^{J\left(E\left(\bar{x}\right)\right)}$，$\eta \ge 0$，$\mu \in R^n$ 使得

$0\in {\alpha }^L{\partial }_C{F}^L\left(E\left(\bar{x}\right)\right)+{\alpha }^U{\partial }_C{F}^U\left(E\left(\bar{x}\right)\right)+{\displaystyle \underset{j\in J\left(E\left(\bar{x}\right)\right)}{\sum }{\eta }_j{\partial }_C{g}_j\left(E\left(\bar{x}\right)\right)}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\mu }_i{\partial }_C{h}_i\left(E\left(\bar{x}\right)\right)}$

成立。再取 $\{\begin{array}{l}{\lambda }_j={\eta }_j,j\in J\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\\ {\lambda }_j=0,j\notin J\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\end{array}$，即得(3.1)和(3.2)式。证毕。

注3.1 满足定理3.2中(3.1)和(3.2)式的点 $\left(\bar{x},{\alpha }^L,{\alpha }^U,\lambda ,\mu \right)$，称为(IOP_E)的KKT点。

定理3.3 设 $\left(\bar{x},{\alpha }^L,{\alpha }^U,\lambda ,\mu \right)$ 是(IOP_E)的一个KKT点， $I^{+}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)=\left\{i\in I:{\mu }_i>0\right\}$，$I^{-}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)=\left\{i\in I:{\mu }_i<0\right\}$。如果下面的条件成立：

1) 函数 $F^L$，$F^U$ 在点 $\bar{x}$ 处是E- ${\partial }_C$ 凸的，

2) 函数 $g_j$，$j\in J\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ 在点 $\bar{x}$ 处是E- ${\partial }_C$ 凸的，

3) 函数 $h_i\left(i\in I^{+}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\right)$，$-h_i\left(i\in I^{-}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\right)$ 在点 $\bar{x}$ 处是E- ${\partial }_C$ 凸的。

则 $\bar{x}$ 是(IOP_E)的局部弱LU最优解。

证明：反证法。假设 $\bar{x}$ 不是(IOP_E)的局部弱LU最优解，则存在 $x\in A_E\cap U\left(\bar{x}\right)$，满足 $F\left(E\left(x\right)\right){<}_{LU}^{s}F\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$。由条件1)~3)，可得

$F^L\left(E\left(x\right)\right)-F^L\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\ge \langle {\xi }^L,x-\bar{x}\rangle ,\forall {\xi }^L\in {\partial }_C{F}^L\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ (3.4)

$F^U\left(E\left(x\right)\right)-F^U\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\ge \langle {\xi }^U,x-\bar{x}\rangle ,\forall {\xi }^U\in {\partial }_C{F}^U\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ (3.5)

$g_j\left(E\left(x\right)\right)-g_j\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\ge \langle {\xi }_j^g,x-\bar{x}\rangle ,\forall {\xi }_j^g\in {\partial }_C{g}_j\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ (3.6)

$h_i\left(E\left(x\right)\right)-h_i\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\ge \langle {\xi }_i^h,x-\bar{x}\rangle ,\forall {\xi }_i^h\in {\partial }_C{h}_i\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ (3.7)

$-h_i\left(E\left(x\right)\right)+h_i\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\ge -\langle {\xi }_i^h,x-\bar{x}\rangle ,\forall {\xi }_i^h\in {\partial }_C{h}_i\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ (3.8)

结合(3.4)~(3.8)和它们相应的乘子，可得

$0>{\alpha }^L\left(F^L\left(E\left(x\right)\right)-F^L\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\right)\ge {\alpha }^L\langle {\xi }^L,x-\bar{x}\rangle ,\forall {\xi }^L\in {\partial }_C{F}^L\left(E\left(\bar{x}\right)\right),{\alpha }^L\in R_{+}$ (3.9)

$0>{\alpha }^U\left(F^U\left(E\left(x\right)\right)-F^U\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\right)\ge {\alpha }^U\langle {\xi }^U,x-\bar{x}\rangle ,\forall {\xi }^U\in {\partial }_C{F}^U\left(E\left(\bar{x}\right)\right),{\alpha }^U\in R_{+}$ (3.10)

$0\ge {\lambda }_j\left(g_j\left(E\left(x\right)\right)-g_j\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\right)\ge {\lambda }_j\langle {\xi }_j^g,x-\bar{x}\rangle ,\forall {\xi }_j^g\in {\partial }_C{g}_j\left(E\left(\bar{x}\right)\right),j\in J\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ (3.11)

$0={\mu }_i\left(h_i\left(E\left(x\right)\right)-h_i\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\right)\ge {\mu }_i\langle {\xi }_i^h,x-\bar{x}\rangle ,\forall {\xi }_i^h\in {\partial }_C{h}_i\left(E\left(\bar{x}\right)\right),i\in I^{+}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ (3.12)

$0={\mu }_i\left(h_i\left(E\left(x\right)\right)-h_i\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\right)\ge {\mu }_i\langle {\xi }_i^h,x-\bar{x}\rangle ,\forall {\xi }_i^h\in {\partial }_C{h}_i\left(E\left(\bar{x}\right)\right),i\in I^{-}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ (3.13)

结合(3.9)~(3.13)可得

$\langle {\alpha }^L{\xi }^L+{\alpha }^U{\xi }^U+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{\lambda }_j}{\xi }_j^g+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\mu }_i{\xi }_i^h},x-\bar{x}\rangle <0.$ (3.14)

与(3.1)矛盾，假设不成立。故 $\bar{x}$ 是(IOP_E)的局部弱LU最优解。证毕。

注3.2设定理3.3中函数 $F^L,F^U$ 在点 $\bar{x}$ 处是E- ${\partial }_C$ 伪凸的，其结论依然成立。

定理3.4设 $\left(\bar{x},{\alpha }^L,{\alpha }^U,\lambda ,\mu \right)$ 是(IOP_E)的一个KKT点， $I^{+}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)=\left\{i\in I:{\mu }_i>0\right\}$，$I^{-}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)=\left\{i\in I:{\mu }_i<0\right\}$。如果下面的条件成立：

1) 函数 $F^L$，$F^U$ 在点 $\bar{x}$ 处是E- ${\partial }_C$ 伪凸的，

2) 函数 $g_j$，$j\in J\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ 在点 $\bar{x}$ 处是E- ${\partial }_C$ 拟凸的，

3) 函数 $h_i\left(i\in I^{+}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\right)$，$-h_i\left(i\in I^{-}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\right)$ 在点 $\bar{x}$ 处是E- ${\partial }_C$ 拟凸的。

则 $\bar{x}$ 是(IOP_E)的局部弱LU最优解。

证明：反证法。假设 $\bar{x}$ 不是(IOP_E)的局部弱LU最优解，则存在 $x\in A_E\cap U\left(\bar{x}\right)$，满足 $F\left(E\left(x\right)\right){<}_{LU}^{s}F\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$。因为

$g_j\left(E\left(x\right)\right)-g_j\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\le 0,j\in J\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$

$-h_i\left(E\left(x\right)\right)-\left(-h_i\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\right)=0,i\in I^{-}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$

$h_i\left(E\left(x\right)\right)-h_i\left(E\left(\bar{x}\right)\right)=0,i\in I^{+}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$

所以由条件1)~3)，可得

$\langle {\xi }^L,x-\bar{x}\rangle <0,\forall {\xi }^L\in {\partial }_C{F}^L\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ (3.15)

$\langle {\xi }^U,x-\bar{x}\rangle <0,\forall {\xi }^U\in {\partial }_C{F}^U\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ (3.16)

$\langle {\xi }_j^g,x-\bar{x}\rangle \le 0,\forall {\xi }_j^g\in {\partial }_C{g}_j\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ (3.17)

$\langle {\xi }_i^h,x-\bar{x}\rangle \le 0,\forall {\xi }_i^h\in {\partial }_C{h}_i\left(E\left(\bar{x}\right)\right),i\in I^{+}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ (3.18)

$\langle {\xi }_i^h,x-\bar{x}\rangle \le 0,\forall {\xi }_i^h\in -{\partial }_C{h}_i\left(E\left(\bar{x}\right)\right),i\in I^{-}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ (3.19)

由(3.15)~(3.19)和它们相应的乘子可得(3.14)成立，与(3.1)矛盾，假设不成立，证毕。

定理3.5设 $\left(\bar{x},{\alpha }^L,{\alpha }^U,\lambda ,\mu \right)$ 是(IOP_E)的一个KKT点， $I^{+}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)=\left\{i\in I:{\mu }_i>0\right\}$，$I^{-}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)=\left\{i\in I:{\mu }_i<0\right\}$。如果下面的条件成立：

1) 函数 $F^L$，$F^U$ 在点 $\bar{x}$ 处是严格E- ${\partial }_C$ 伪凸的，

2) 函数 $g_j$，$j\in J\left(E\left(\bar{x}\right)\right)$ 在点 $\bar{x}$ 处是E- ${\partial }_C$ 拟凸的，

3) 函数 $h_i\left(i\in I^{+}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\right)$，$-h_i\left(i\in I^{-}\left(E\left(\bar{x}\right)\right)\right)$ 在点 $\bar{x}$ 处是E- ${\partial }_C$ 拟凸的。

则 $\bar{x}$ 是(IOP_E)的局部LU最优解。

证明：定理3.5的证明过程与3.4类似，故省略。

4. 总结

本文研究了广义E-凸区间值优化问题(IOP_E)，引入E- ${\partial }_C$ 凸，E- ${\partial }_C$ 伪凸，严格E- ${\partial }_C$ 伪凸，E- ${\partial }_C$ 拟凸等广义E-凸性条件，在目标函数和约束函数均E-不可微的条件下，给出(IOP_E)的局部(弱) LU最优解存在的必要性和充分性条件。

致谢

作者对审稿人表示衷心的感谢！

基金项目

山西省高等学校科技创新项目(NO. 2019L0784)；山西省基础研究计划(自由探索类)青年项目(20210302124688)；太原师范学院研究生教育改革项目(SYYJSJG-2122)；太原师范学院大学生创新创业训练项目(CXCY2018)。

文章引用

王辉辉,王海军,杜佳楠. 广义E-凸区间值优化问题的最优性条件
Optimality Conditions for Generalized E-Convex Interval-Valued Optimization Problems[J]. 应用数学进展, 2022, 11(01): 342-348. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.111042

参考文献