设为首页
加入收藏
期刊导航
网站地图
首页
期刊
数学与物理
地球与环境
信息通讯
经济与管理
生命科学
工程技术
医药卫生
人文社科
化学与材料
会议
合作
新闻
我们
招聘
千人智库
我要投稿
办刊
期刊菜单
●领域
●编委
●投稿须知
●最新文章
●检索
●投稿
文章导航
●Abstract
●Full-Text PDF
●Full-Text HTML
●Full-Text ePUB
●Linked References
●How to Cite this Article
PureMathematics
n
Ø
ê
Æ
,2021,11(6),1031-1047
PublishedOnlineJune2021inHans.http://www.hanspub.org/journal/pm
https://doi.org/10.12677/pm.2021.116117
Ê
‡
©•
§
ž
m
õ
«
•
ž
˜
Ì
•{
{{{
JJJ
ŒŒŒ
þ
°
Œ
Æ
n
Æ
§
þ
°
Â
v
F
Ï
µ
2021
c
5
1
F
¶
¹
^
F
Ï
µ
2021
c
6
2
F
¶
u
Ù
F
Ï
µ
2021
c
6
10
F
Á
‡
©
é
Ê
‡
©•
§
J
Ñ
ž
m
õ
«
•
ž
˜
Ì
•{
.
T
•{
3
˜
m
•
•
þ
æ
^
Legendre-
Petrov-Galerkin
•{
,
3
ž
m
•
•
þ
æ
^
õ
«
•
Legendre-tau
•{
,
=
:
r
ž
m
«
m
©
¤
õ
‡
«
•
,
¿
3
z
‡
«
•
þ
æ
^
Legendre-tau
•{
.
Ó
ž
,
©
‰
Ñ
T
•{
3
‚
5
¯
K
þ
Ø
©
Û
,
À
·
Ä
¼
ê¦
X
ê
Ý
D
Õ
,
é
š
‚
5
•
§
¥
š
‚
5
‘
æ
^
3
Chebyshev-Gauss-
Lobatto
:
þ
Š
?
1
O
Ž
.
•
Ï
L
˜
ê
Š
Ž
~
y
Ž
{
k
5
.
'
…
c
Ê
‡
©•
§
§
ž
˜
Ì
•{
§
Legendre-Petrov-Galerkin
•{
§
Legendre-Tau
•{
§
Chebyshev-Gauss-Lobatto
Š
Multi-DomainSpace-TimeSpectralMethod
inTimeforSolvingFifth-OrderPartial
DifferentialEquation
RongyuYu
CollegeofSciences,ShanghaiUniversity,Shanghai
Received:May1
st
,2021;accepted:Jun.2
nd
,2021;published:Jun.10
th
,2021
©
Ù
Ú
^
:
{
J
Œ
.
Ê
‡
©•
§
ž
m
õ
«
•
ž
˜
Ì
•{
[J].
n
Ø
ê
Æ
,2021,11(6):1031-1047.
DOI:10.12677/pm.2021.116117
{
J
Œ
Abstract
In thispaper,we propose themulti-domain space-time spectral method intime forthe
fifth-orderpartialdifferentialequation.Legendre-Petrov-Galerkinmethodisapplied
inspacedirection,andmulti-domain Legendre-taumethod isappliedintime direction,
thatis: dividingthetimeintervalintomultipledomainsandLegendre-taumethodis
appliedineachdomain. Atthesametime, theerroranalysisofthemethodonlinear
problemsisgiveninthispaper,andwechooseproperbasisfunctionstomakethe
coefficientmatrixsparse, thenonlineartermforthenonlinearequationiscomputed
byinterpolationthroughChebyshev-Gauss-Lobattopoints.Finally,somenumerical
examplesaregiventoverifytheeffectivenessofthealgorithm.
Keywords
Fifth-OrderPartialDifferentialEquation,Space-TimeSpectralMethod,
Legendre-Petrov-GalerkinMethod,Legendre-TauMethod,
Chebyshev-Gauss-LobattoInterpolation
Copyright
c
2021byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution InternationalLicense (CCBY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
c
ó
3
¢
S
¯
K
¥
,
Ê
‡
©•
§
k
X
2
•
A^
,
ù
•
§Ñ
y
3
Ô
n
!
å
Æ
!
1
Æ
!
9
D
!
Ä
!
6
N
$
Ä
!
›
›
±
9
)
Ô
X
Ú
•
¡
,
~
X
:
2
Â
Korteweg-deVries(KdV)
•
§
[1–8].
3
d
ƒ
c
,
I
S
˜
‰
ï
ó
Š
ö
®
²
é
Ê
‡
©•
§
?
1
Œ
þ
ï
Ä
,
3
[9]
¥
Xu
Ú
Shu
J
Ñ
Local-Discontious-Galerkin(LDG)
•{
5
¦
)
Ê
Å
Ä
•
§
,
¿
‰
Ñ
T
•{
-
½
5
©
Û
±
9
Ï
L
˜
ê
Š
Ž
~
`
²
T
•{
°
Ý
.
3
[10]
¥
Cheng
Ú
Shu
J
Ñ
Discontious-Galerkin(DG)
k
•
•{
5
¦
)
ž
m
•
6
p
•
§
,
Ó
ž
‰
Ñ
-
½
5
©
Û
Ú
Ø
O
;
ê
Š
(
J
L
²
,
©
¡
õ
‘
ª
g
ê
•
k
g
ž
,
T‚
ª
°
Ý
ò
¬
ˆ
k+1
.
3
[11]
¥
ë
ùÚ
o
)
é
˜
a
|
Ü
Ê
•
§
…
ܯ
KJ
Ñ
˜
«
w
ª
©
‚
ª
,
¿
…
y
²
T‚
ª
3
÷
v
˜
½
^
‡
ž´
-
½
.
ò
X
e
Ê
‡
©•
§
Š
•
.
•
§
?
1ï
Ä
:
DOI:10.12677/pm.2021.1161171032
n
Ø
ê
Æ
{
J
Œ
∂
t
U
+
∂
5
x
U
=
f
(
x,t
)
,x
∈
I
x
,t
∈
I
t
;
U
(
±
1
,t
) =
∂
x
U
(
±
1
,t
) =
∂
2
x
U
(1
,t
) = 0
,t
∈
I
t
;
U
(
x,
−
1) =
U
0
(
x
)
,x
∈
I
x
.
(1.1)
Ù
¥
I
x
= (
−
1
,
1)
,I
t
= (
−
1
,
1)
,U
=
U
(
x,t
).
é
u
¦
)
ž
m
•
6
‡
©•
§
,
•
§
°
(
)
3
ž
m
Ú
˜
m
•
•
þ
v
1
w
ž
,
X
J
3
ž
m
•
•
þ
æ
^
©
‚
ª
,
¬
N
´
—
Ì
°
Ý¿
”
.
Ó
ž
,
ž
˜
õ
‘
ª
g
ê
˜
½
ž
,
æ
^
ž
m
ü
«
•
ž
˜
Ì
•{
?
1
¦
)
¤
Ø
Œ
.
Ï
d
©
é
Ê
‡
©•
§
J
Ñ
ž
m
õ
«
•
ž
˜
Ì
•
{
,
±
B
~
Ø
.
©
‰
Ñ
•
§
(1.1)
ž
m
õ
«
•
ž
˜
Ì
‚
ª
.
˜
m
•
•
þ
æ
^
Legendre-Petrov-Galerkin
•
{
,
ž
m
•
•
þ
æ
^
õ
«
•
Legendre-tau
•{
,
=
:
r
ž
m
«
m
©
¤
õ
‡
«
•
,
¿
3
z
‡
«
•
þ
æ
^
Legendre-tau
•{
.
©
e
5
S
N
•
)
:1)
0
©
Ž
{
‚
ª
9
n
Ø
©
Û
¥
I
‡
^
˜
Î
Ò
P
ÒÚ
Ú
n
;
2)
‰
Ñ
Ê
‡
©•
§
'
u
ž
m
õ
«
•
ž
˜
Ì
•{
l
Ñ
‚
ª
,
¿
£
ã
Ž
{
¢–
; 3)
é
Ê
‚
5
‡
©•
§
l
Ñ
‚
ª
?
1
Ø
©
Û
;4)
Ï
L
˜
ê
Š
Ž
~
y
©
Ž
{
k
5
.
2.
ý
•
£
9P
Ò
!
Ì
‡
0
©
Ž
{
‚
ª
9
n
Ø
©
Û
¥
I
‡
^
˜
Î
Ò
P
ÒÚ
Ú
n
.
2.1.
Î
Ò
P
Ò
-
Ω=
I
t
⊗
I
x
.
σ
•
š
K
ê
,
P
H
σ
(
I
x
)
•
˜
„
½
Â
Sobolev
˜
m
,
…
‰
ê
†
Œ
‰
ê
©
O
P
•
k·k
I
x
,σ
Ú
|·|
I
x
,σ
.
•
Ä
à
g
>
.
^
‡
,
é
s
≥
1,
½
Â
[12]:
H
s
0
(
I
x
) =
{
v
∈
H
s
(
I
x
)
|
v
(
±
1) =
v
0
(
±
) =
···
=
v
(
s
−
1)
(
±
1) = 0
}
.
˜
m
•
•
l
Ñ
:
é
u
?
¿
ê
N,
P
N
(
I
x
)
L
«
«
m
I
x
þ
¤
k
g
ê
Ø
‡
L
N
g
õ
‘
ª
¤
˜
m
.
½
Â
:
H
2
,
3
0
(
I
x
) =
{
v
∈
H
2
0
(
I
x
)
∩
H
3
(
I
x
)
|
∂
2
x
(1) = 0
}
, H
2
,
2
0
(
I
x
) =
H
2
0
(
I
x
)
∩
H
2
(
I
x
)
.
du
˜
m
•
•
"
é
¡
5
,
·
‚
À
Á
&
¼
ê
˜
m
Ø
Ó
u
u
¼
ê
˜
m
:
V
N
=
P
N
(
I
x
)
∩
H
2
,
3
0
(
I
x
)
,V
∗
N
=
P
N
(
I
x
)
∩
H
2
,
2
0
(
I
x
)
.
L
j
(
x
)
•
g
ê
Ø
‡
L
j
Legendre
õ
‘
ª
,
é
0
≤
j
≤
N
−
5,
½
Â
[12]:
DOI:10.12677/pm.2021.1161171033
n
Ø
ê
Æ
{
J
Œ
γ
j
(
x
) =
L
j
(
x
)+
a
(
j
)
1
L
j
+1
(
x
)+
a
(
j
)
2
L
j
+2
(
x
)+
a
(
j
)
3
L
j
+3
(
x
)+
a
(
j
)
4
L
j
+4
(
x
)+
a
(
j
)
5
L
j
+5
(
x
)
,
Ù
¥
a
(
j
)
1
=
−
2
j
+3
2
j
+7
,a
(
j
)
2
=
−
2(2
j
+5)
2
j
+7
,a
(
j
)
3
=
2(2
j
+3)
2
j
+9
,a
(
j
)
4
=
2
j
+3
2
j
+7
,a
(
j
)
5
=
−
(2
j
+3)(2
j
+5)
(2
j
+7)(2
j
+9)
.
3ù
p
·
‚
-
γ
j
(
x
)
•
V
N
þ
Ä
¼
ê
,
K
é
N
≥
5,
k
V
N
= span
{
γ
0
(
x
)
,γ
1
(
x
)
,
···
,γ
N
−
5
(
x
)
}
.
L
n
(
x
)
•
g
ê
Ø
‡
L
n
Legendre
õ
‘
ª
,
é
0
≤
n
≤
N
−
5,
½
Â
:
ψ
n
(
x
) =
c
n
+1
(
L
n
(
x
)
−
L
n
+2
(
x
))
−
c
n
+3
(
L
n
+2
(
x
)
−
L
n
+4
(
x
))
.
Ù
¥
c
n
=
1
2
n
+1
,
3ù
p
·
‚
-
ψ
n
(
x
)
•
V
∗
N
−
1
þ
Ä
¼
ê
,
K
é
N
≥
5,
k
V
∗
N
−
1
= span
{
ψ
0
(
x
)
,ψ
1
(
x
)
,
···
,ψ
N
−
5
(
x
)
}
.
½
Â
Ý
K
Ž
f
P
α,β
N
:
L
2
˜
ω
α,β
(
I
x
)
→
P
N
(
I
x
)
,
P
P
N
:=
P
0
,
0
N
,
…
÷
v
(
P
α,β
N
u
−
u,v
)
I
x
,
˜
ω
α,β
= 0
,
∀
v
∈
P
N
(
I
x
)
.
•
;
•
3
n
Ø
©
Û
¥
Ñ
y
Ê
ê
,
·
‚
I
‡Ú
\X
e
Ý
K
Ž
f
.
½
Â
P
∗
N
:
H
2
,
3
0
→
V
N
÷
v
(
∂
3
x
(
P
∗
N
u
−
u
)
,∂
2
x
v
)
I
x
= 0
,
∀
v
∈
V
∗
N
−
1
.
(2.1)
Œ
•
P
∗
N
u
•
3
…
•
˜
,
¦
P
∗
N
u
=
e
P
N
u
: =
∂
−
3
x
P
N
−
3
∂
3
x
u,
(2.2)
Ù
¥
∂
−
1
x
v
(
x
) =
−
Z
1
x
v
(
y
)
dy,∂
−
m
x
v
(
x
) = (
∂
−
1
x
)
m
.
d
½
Â
•
,
e
P
N
u
(1) =
∂
x
e
P
N
u
(1) =
∂
2
x
e
P
N
u
(1) = 0,
…
k
e
P
N
u
(
−
1) =
−
(
x
+1)
∂
−
2
x
P
N
−
3
∂
3
x
u
(
x
)
|
1
−
1
+
Z
1
−
1
(
x
+1)
∂
2
x
u
(
x
)
dx
= (
x
+1)
∂
x
u
(
x
)
|
1
−
1
−
Z
1
−
1
∂
x
u
(
x
)
dx
= 0
.
∂
x
e
P
N
u
(
−
1) =
−
(
x
+1)
∂
−
1
x
P
N
−
3
∂
3
x
u
(
x
)
|
1
−
1
+
Z
1
−
1
(
x
+1)
∂
3
x
u
(
x
)
dx
= (
x
+1)
∂
2
x
u
(
x
)
|
1
−
1
−
Z
1
−
1
∂
2
x
u
(
x
)
dx
= 0
.
DOI:10.12677/pm.2021.1161171034
n
Ø
ê
Æ
{
J
Œ
e
P
N
u
∈
V
N
,
…
∀
v
∈
V
∗
N
−
1
,
k
(
∂
3
x
(
e
P
N
u
−
u
)
,∂
2
x
v
)
I
x
= (
P
N
−
3
∂
3
x
u
−
∂
3
x
u,∂
2
x
v
)
I
x
= 0
,
Ó
ž
,
Ž
f
P
∗
N
•
÷
v
(
∂
2
x
P
∗
N
u
(
x
))(
−
1) =
∂
−
1
x
P
N
−
3
∂
3
x
u
(
−
1) =
∂
2
x
u
(
−
1)
.
(2.3)
e
5
`
²
ž
m
•
•
l
Ñ
:
é
u
‰
½
ê
K
,
·
‚
ò
«
m
I
t
=(
−
1
,
1)
©
)
¤
K
‡
f
«
m
:
I
k
=(
b
k
−
1
,b
k
]
,h
k
=
b
k
−
b
k
−
1
,k
= 1
,
2
,
···
,K,
−
1 =
b
0
<b
1
<
···
<b
K
= 1
.
-
Ω =
I
k
⊗
I
x
,ω
k
α,β
= (
b
k
−
t
)
α
(
t
−
b
k
−
1
)
β
|
I
k
,
˜
ω
α,β
= (1
−
x
)
α
(1+
x
)
β
•
Ω
k
þ
¼
ê
.
P
(
·
,
·
)
Ω
k
,ω
k
,
˜
ω
Ú
k·k
Ω
k
,ω
k
,
˜
ω
©
O
•
L
2
ω
k
,
˜
ω
(Ω
k
)
S
È
Ú
‰
ê
.
ϕ
•
š
K
ê
,
P
H
ϕ
(
I
k
)
•
˜
„
½
Â
Sobolev
˜
m
,
…
‰
ê
†
Œ
‰
ê
©
O
P
•
k·k
I
k
,ϕ
Ú
|·|
I
k
,ϕ
.
Ú
\
©
¡
Sobolev
˜
m
:
e
H
ϕ
(
I
t
) =
{
v
:
v
k
≡
v
|
I
k
∈
H
ϕ
(
I
k
)
,
1
≤
k
≤
K
}
,
Ù
þ
Œ
‰
ê
½
Â
•
:
|
v
|
e
H
ϕ
(
I
t
)
= (
K
X
k
=1
|
v
k
|
2
ϕ,I
k
)
1
2
.
é
u
?
¿
ê
M
k
,
·
‚
À
e
H
1
(
I
t
)
˜
‡
f
˜
m
X
M
k
K
Š
•
ž
m
•
•
þ
Á
&
¼
ê
˜
m
,
§
d
I
k
þ
¤
k
g
ê
Ø
‡
L
M
k
©
¡
õ
‘
ª
|
¤
.
À
˜
m
Y
M
k
−
1
K
Š
•
ž
m
•
•
þ
u
¼
ê
˜
m
,
=
X
M
k
K
=
Y
M
k
K
∩
e
H
1
(
I
t
)
,
Y
M
k
K
=
{
v
:
v
|
I
k
∈
P
M
k
(
I
k
)
,
1
≤
k
≤
K
}
,
Ù
¥
P
M
k
(
I
k
)
L
«
«
m
I
k
þ
¤
k
g
ê
Ø
‡
L
M
k
g
õ
‘
ª
¤
˜
m
.
Ó
ž
Ú
\
•
N
:
v
(
t
) =¯
v
(
¯
t
)
,t
=
1
2
(
h
k
¯
t
+
b
k
−
1
+
b
k
)
,t
∈
I
k
,
¯
t
∈
I
t
.
d
þ
ª
Œ
•
,∂
s
¯
t
v
= (
h
k
2
)
s
∂
s
t
v,s
= 1
,
2
,
···
.
L
i
(
¯
t
)
•
g
ê
Ø
‡
L
i
Legendre
õ
‘
ª
,
c
i
=
1
2
i
+1
,
é
1
≤
k
≤
K
,
½
Â
:
ϕ
M
k
0
(
t
) =
c
0
(
L
0
(
¯
t
)+
L
1
(
¯
t
));
ϕ
M
k
i
(
t
) =
c
i
(
L
i
−
1
(
¯
t
)
−
L
i
+1
(
¯
t
))
,
1
≤
i
≤
M
k
−
1;
˜
ϕ
M
k
i
(
t
) =
L
i
(
¯
t
)
,
0
≤
i
≤
M
k
−
1
.
DOI:10.12677/pm.2021.1161171035
n
Ø
ê
Æ
{
J
Œ
é
0
≤
i
≤
M
k
−
1,
©
O
-
ϕ
M
k
i
(
t
)
,
˜
ϕ
M
k
i
(
t
)
•
X
M
k
K
,
Y
M
k
−
1
K
þ
Ä
¼
ê
,
K
é
M
k
≥
1
,
1
≤
k
≤
K
,
k
X
M
k
K
= span
{
ϕ
M
k
0
(
t
)
,ϕ
M
k
1
(
t
)
,
···
,ϕ
M
k
M
k
−
1
(
t
)
}
,
Y
M
k
−
1
K
= span
{
˜
ϕ
M
k
0
(
t
)
,
˜
ϕ
M
k
1
(
t
)
,
···
,
˜
ϕ
M
k
M
k
−
1
(
t
)
}
.
½
Â
Ý
K
Ž
f
P
L
M
k
:
L
2
(
I
k
)
→
P
M
k
(
I
k
)
÷
v
(
P
L
M
k
u
−
u,v
)
I
k
= 0
,
∀
v
∈
P
M
k
(
I
k
)
.
½
Â
Ý
K
Ž
f
P
1
M
k
:
H
1
(
I
k
)
→
P
M
k
(
I
k
)
÷
v
P
1
M
k
u
=
u
(
b
k
−
1
)+
Z
t
b
k
−
1
P
L
M
k
−
1
∂
t
u
(
s
)
ds.
½
Â
Ý
K
Ž
f
P
1
M
:
d
P
k
1
,M
k
:
H
1
(
I
k
)
→
P
M
k
(
I
k
)
)
¤
,
P
u
(
t
)
|
I
k
=
u
k
(
t
),
…
÷
v
P
1
M
u
(
t
)
|
I
k
≡P
k
1
,M
k
u
k
(
t
) :=
P
1
M
k
¯
u
k
(
¯
t
)
.
(2.4)
½
Â
Chebyshev-Gauss
Š
Ž
f
:
Π
C
N
:
C
(
¯
I
x
)
→
P
N
,
Π
C
N,M
k
:
C
(
¯
Ω
k
)
→
P
N
×
P
M
k
,
÷
v
Π
C
N
u
(
x
j
) =
u
(
x
j
)
,
Π
C
N,M
k
u
(
x
j
,t
k
) =
u
(
x
j
,t
k
)
,
Ù
¥
x
j
•
I
x
þ
Chebyshev-Gauss-Lobatto(CGL)
:
, (
x
j
,t
k
)
•
Ω
k
þ
CGL
:
.
P
:
W
k
=
V
N
⊗X
M
k
K
,
f
W
k
=
V
∗
N
−
1
⊗Y
M
k
−
1
K
.
2.2.
n
Ø
©
Û
¥
I
‡
^
Ú
n
Ú
n
1.
(
„
[13]:Lemma3.3)
e
u
∈
H
ϕ
(
I
k
)
,
…
ϕ
≥
1
,
é
1
≤
k
≤
K,
K
k
kP
k
1
,M
k
u
−
u
k
I
k
≤
Ch
k
M
−
ϕ
k
k
∂
ϕ
t
u
k
I
k
,ω
k
ϕ
−
1
,ϕ
−
1
.
(2.5)
Ú
n
2.
(
„
[14]:Lemma3.1)
e
α
!
β>
−
1
,
…
u
∈
H
r
(
I
x
)
,
K
k
DOI:10.12677/pm.2021.1161171036
n
Ø
ê
Æ
{
J
Œ
k
∂
s
x
(
P
α,β
N
u
−
u
)
k
I
x
,
˜
ω
α
+
s,β
+
s
≤
CN
s
−
r
k
∂
r
x
(
P
α,β
N
u
−
u
)
k
I
x
,
˜
ω
α
+
r,β
+
r
≤
CN
s
−
r
k
∂
r
x
u
k
I
x
,
˜
ω
α
+
r,β
+
r
,
0
≤
s
≤
r.
(2.6)
Ú
n
3.
e
u
∈
H
2
,
3
0
(
I
x
)
∩
H
σ
(
I
x
)
,
…
σ
≥
3
,
K
k
k
∂
l
x
(
P
∗
N
u
−
u
)
k
I
x
,
˜
ω
l
−
3
,l
−
3
≤
CN
l
−
σ
k
∂
σ
x
u
k
I
x
,
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
,
0
≤
l
≤
3
.
(2.7)
y
:(1)
l
= 3
ž
,
P
I
•
ð
Ž
f
,
d
(2.2)
ª
Ú
(2.6)
ª
Œ
±
á
=
k
∂
3
x
(
P
∗
N
u
−
u
)
k
I
x
=
k
(
P
N
−
3
−
I
)
∂
3
x
u
k
I
x
≤
CN
3
−
σ
k
∂
σ
−
3
x
(
P
N
−
3
−
I
)
∂
3
x
u
k
I
x
,
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
=
CN
3
−
σ
k
∂
σ
x
(
P
∗
N
−
I
)
u
k
I
x
,
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
≤
CN
3
−
σ
k
∂
r
x
u
k
I
x
,
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
.
(2)
l
= 2
ž
,
-
g
=
∂
2
x
(
P
∗
N
u
−
u
),
d
(2.3)
ª
•
,
g
∈
H
1
0
(
I
x
).
Ï
L
e
Hardy’s
Ø
ª
[14],
k
g
˜
ω
−
1
,
−
1
∈
L
2
(
I
x
):
Z
1
−
1
v
2
(
x
)(1
−
x
2
)
β
−
2
dx
≤
sup
{
1
1
−
β
,
1
(1
−
β
)
2
}
Z
1
−
1
(
∂
x
v
)
2
(
x
)(1
−
x
2
)
β
dx,
Ù
¥
v
∈
H
1
0
(
I
x
)
,β<
1
,
d
(2.6)
ª
k
∂
2
x
(
P
∗
N
u
−
u
)
k
2
˜
ω
−
1
,
−
1
= (
∂
2
x
(
P
∗
N
u
−
u
)
,∂
x
∂
−
1
x
[
g
˜
ω
−
1
,
−
1
])
=
|
((
P
N
−
3
−
I
)
∂
3
x
u,∂
−
1
x
[
g
˜
ω
−
1
,
−
1
])
|
=
|
((
P
N
−
3
−
I
)
∂
3
x
u,
(
I
−
P
N
−
3
)
∂
−
1
x
[
g
˜
ω
−
1
,
−
1
])
|
≤k
(
P
N
−
3
−
I
)
∂
3
x
u
kk
(
I
−
P
N
−
3
)
∂
−
1
x
[
g
˜
ω
−
1
,
−
1
]
k
≤
CN
3
−
σ
k
∂
σ
−
3
x
(
P
N
−
3
−
I
)
∂
3
x
u
k
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
N
−
1
k
g
˜
ω
−
1
,
−
1
k
˜
ω
1
,
1
=
CN
2
−
σ
k
∂
σ
x
(
P
∗
N
−
I
)
u
k
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
k
g
k
˜
ω
−
1
,
−
1
≤
CN
2
−
σ
k
∂
σ
x
u
k
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
k
g
k
˜
ω
−
1
,
−
1
,
Ï
d
,
l
= 2
ž
,(2.7)
ª
•
¤
á
.
(3)
l
=1
ž
,
Ó
n
Œ
-
g
=
∂
x
(
P
∗
N
u
−
u
),
g
∈
H
2
0
(
I
x
).
2
g
$
^
þ
ã
Hardy’s
Ø
ª
,
k
g
˜
ω
−
2
,
−
2
∈
L
2
(
I
x
),
d
(2.6)
ª
DOI:10.12677/pm.2021.1161171037
n
Ø
ê
Æ
{
J
Œ
k
∂
x
(
P
∗
N
u
−
u
)
k
2
˜
ω
−
2
,
−
2
= (
∂
x
(
P
∗
N
u
−
u
)
,∂
2
x
∂
−
2
x
[
g
˜
ω
−
2
,
−
2
])
=
|
((
P
N
−
3
−
I
)
∂
3
x
u,
∂
−
2
x
[
g
˜
ω
−
2
,
−
2
])
|
=
|
((
P
N
−
3
−
I
)
∂
3
x
u,
(
I
−
P
N
−
3
)
∂
−
2
x
[
g
˜
ω
−
2
,
−
2
])
|
≤k
(
P
N
−
3
−
I
)
∂
3
x
u
kk
(
I
−
P
N
−
3
)
∂
−
2
x
[
g
˜
ω
−
2
,
−
2
]
k
≤
CN
3
−
σ
k
∂
σ
−
3
x
(
P
N
−
3
−
I
)
∂
3
x
u
k
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
N
−
2
k
g
˜
ω
−
2
,
−
2
k
˜
ω
2
,
2
=
CN
1
−
σ
k
∂
σ
x
(
P
∗
N
−
I
)
u
k
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
k
g
k
˜
ω
−
2
,
−
2
≤
CN
1
−
σ
k
∂
σ
x
u
k
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
k
g
k
˜
ω
−
2
,
−
2
,
Ï
d
,
l
= 1
ž
,(2.7)
ª
•
¤
á
.
(4)
l
=0
ž
,
Ó
n
Œ
-
g
=
P
∗
N
u
−
u
,
g
∈
H
3
0
(
I
x
).
2
g
$
^
þ
ã
Hardy’s
Ø
ª
,
k
g
˜
ω
−
3
,
−
3
∈
L
2
(
I
x
),
d
(2.6)
ª
k
P
∗
N
u
−
u
k
2
˜
ω
−
3
,
−
3
= (
P
∗
N
u
−
u,∂
3
x
∂
−
3
x
[
g
˜
ω
−
1
,
−
1
])
=
|
((
P
N
−
3
−
I
)
∂
3
x
u,
(
I
−
P
N
−
3
)
∂
−
3
x
[
g
˜
ω
−
3
,
−
3
])
|
≤
CN
3
−
σ
k
∂
σ
−
3
x
(
P
N
−
3
−
5
thbfI
)
∂
3
x
u
k
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
N
−
3
k
g
˜
ω
−
3
,
−
3
k
˜
ω
3
,
3
=
CN
−
σ
k
∂
σ
x
(
P
∗
N
−
I
)
u
k
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
k
g
k
˜
ω
−
3
,
−
3
≤
CN
−
σ
k
∂
σ
x
u
k
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
k
g
k
˜
ω
−
3
,
−
3
,
Ï
d
,
l
= 0
ž
,(2.7)
ª
E
¤
á
.
d
,
l
•
š
êž
,
Œ
d
˜
m
Š
¼
(
Ø
.
n
þ
,
é
(2.7)
ª
y
²
d
Ü
¤
.
3.
Ê
‡
©•
§
l
Ñ
‚
ª
!
Ì
‡
Q
ã
Ê
‡
©•
§
'
u
ž
m
õ
«
•
ž
˜
Ì
•{
l
Ñ
‚
ª
.
˜
m
•
•
æ
^
Legendre-Petrov-Galerkin
•{
,
ž
m
•
•
æ
^
õ
«
•
Legendre-tau
•{
.
À
·
Ä
¼
ê¦
X
ê
Ý
D
Õ
,
J
p
¦
)
„
Ý
.
é
1
≤
k
≤
K
,
e
¡
•
Ä
•
§
(1.1)
3
Ω
k
þ
ž
˜
Ì
‚
ª
:
•
3
U
k
L
=
U
k
L
(
x,t
)
∈W
k
,
¦
(
∂
t
U
k
L
,v
)
Ω
k
+(
∂
3
x
U
k
L
,∂
2
x
v
)
Ω
k
= (
f,v
)
Ω
k
,
∀
v
∈
f
W
k
,
U
k
L
(
x,
−
1) =
P
∗
N
U
0
(
x
)
.
(3.1)
W
k
L
=
U
k
L
−
P
∗
N
U
0
,
K
(3.1)
ª
Œ
¤
:
•
3
W
k
L
∈W
k
,
¦
(
∂
t
W
k
L
,v
)
Ω
k
+(
∂
3
x
W
k
L
,∂
2
x
v
)
Ω
k
= (
f
−
∂
5
x
P
∗
N
U
0
(
x
)
,v
)
Ω
k
,
∀
v
∈
f
W
k
,
W
k
L
(
x,
−
1) = 0
.
(3.2)
DOI:10.12677/pm.2021.1161171038
n
Ø
ê
Æ
{
J
Œ
-
W
k
L
=
M
k
−
1
X
i
=0
N
−
5
X
j
=0
˜
w
k
ij
ϕ
M
k
i
γ
j
,v
=˜
ϕ
M
k
m
ψ
n
,m
= 0
,
1
,
···
,M
k
−
1
,n
= 0
,
1
,
···
,N
−
5
.
(3.3)
ò
W
k
L
,v
“
\
(3.2)
ª
,
P
W
k
= (˜
w
k
ij
)
M
k
×
(
N
−
4)
,
k
A
k
W
k
F
1
+
B
k
W
k
F
2
=
F
k
3
,
(3.4)
Ù
¥
A
k
= (
a
k
im
)
M
k
×
M
k
,a
k
im
= (
ϕ
M
k
i
0
,
˜
ϕ
M
k
m
)
I
k
,
B
k
= (
b
k
im
)
M
k
×
M
k
,b
k
im
= (
ϕ
M
k
i
,
˜
ϕ
M
k
m
)
I
k
,
F
1
= (
f
1
jn
)
(
N
−
4)
×
(
N
−
4)
,f
1
jn
= (
γ
j
,ψ
n
)
I
x
,
F
2
= (
f
2
jn
)
(
N
−
4)
×
(
N
−
4)
,f
2
jn
= (
γ
000
j
,ψ
00
n
)
I
x
,
F
k
3
= (
f
k
mn
)
M
k
×
(
N
−
4)
,f
k
mn
= (
f
−
∂
5
x
P
∗
N
U
0
(
x
)
,
˜
ϕ
M
k
m
ψ
n
)
Ω
k
.
•
•
B
O
Ž
,
©
•
Ä
ž
m
•
•
þ
õ
«
•
œ
¹
õ
‘
ª
g
ê
þ
†
ü
«
•
œ
¹
õ
‘
ª
g
ê
ƒ
Ó
,
…«
m
å
y
©
,
=
:
M
k
=
M,h
k
=
2
K
,k
= 1
,
···
,K
.
q
Ï
•
a
k
im
=
R
b
k
b
k
−
1
ϕ
M
k
i
0
(
t
)˜
ϕ
M
k
m
(
t
)
dt
=
R
1
−
1
ϕ
M
k
i
0
(
¯
t
)˜
ϕ
M
k
m
(
¯
t
)
d
¯
t,
b
k
im
=
R
b
k
b
k
−
1
ϕ
M
k
i
(
t
)˜
ϕ
M
k
m
(
t
)
dt
=
1
K
R
1
−
1
ϕ
M
k
i
(
¯
t
)˜
ϕ
M
k
m
(
¯
t
)
d
¯
t.
(3.5)
k
A
k
=
A
,
A
= (
a
im
)
M
×
M
,a
im
= (
ϕ
M
k
i
0
,
˜
ϕ
M
k
m
)
I
t
,
B
k
=
1
K
B
,
B
= (
b
im
)
M
×
M
,b
im
= (
ϕ
M
k
i
,
˜
ϕ
M
k
m
)
I
t
,
F
k
3
=
1
K
F
3
,
F
3
= (
f
mn
)
M
×
(
N
−
4)
,f
mn
= (
f
−
∂
5
x
P
∗
N
U
0
(
x
)
,
˜
ϕ
M
k
m
ψ
n
)
Ω
.
(3.6)
ò
(3.6)
ª
“
\
(3.4)
ª
,
K
k
AW
k
F
1
+
1
K
BW
k
F
2
=
1
K
F
3
.
(3.7)
e
¡
•
Ä
k
= 1(
1
˜
‡
«
m
)
¦
)
‚
ª
,
K
k
AW
1
F
1
+
1
K
BW
1
F
2
=
1
K
F
3
.
(3.8)
|
^
Ü
þ
È
Î
Ò
⊗
,(3.8)
ª
Œ
U
¤
(
F
T
1
⊗
A
+
1
K
F
T
2
⊗
B
)
w
1
=
1
K
f
3
,
(3.9)
DOI:10.12677/pm.2021.1161171039
n
Ø
ê
Æ
{
J
Œ
Ù
¥
w
1
,
f
3
©
O
•
W
1
,
F
3
•
þ
/
ª
.
d
(3.9)
ª
Œ
±
•
§
(1.1)
3
1
˜
‡
«
m
þ
ê
Š
)
:
U
1
L
(
x,t
)=
W
1
L
(
x,t
) +
P
∗
N
U
0
(
x
),
X
U
1
L
(
x,
−
1)
Š
•
1
‡
«
m
Ð
Š
,
“
\
(3.7)
ª
Œ
±
•
§
(1.1)
3
1
‡
«
m
þ
ê
Š
)
,
···
,
X
d
?
1
e
·
‚
Œ
±
•
§
(1.1)
3
z
‡
«
m
þ
ê
Š
)
.
4.
Ø
©
Û
!
Ì
‡
é
l
Ñ
‚
ª
(3.1)
?
1
Ø
©
Û
.
-
U
!
U
k
L
©
O
•
•
§
(1
.
1)
!
•
§
(3
.
1)
)
,
du
°
(
)
U
é
•
§
(1
.
1)
f
/
ª
E
¤
á
,
é
1
≤
k
≤
K
,
k
e
Ø
•
§¤
á
:
(
∂
t
(
U
−
U
k
L
)
,v
)
Ω
k
+(
∂
3
x
(
U
−
U
k
L
)
,∂
2
x
v
)
Ω
k
= 0
,
∀
v
∈
f
W
k
.
(4.1)
P
ˆ
u
k
=
P
∗
N
P
k
1
,M
k
U,
˜
u
k
=
U
k
L
−
ˆ
u
k
,
´
•
˜
u
k
(
x,
−
1) = 0
.
(4.2)
ò
(4.2)
ª
“
\
(4.1)
ª
,
(
∂
t
˜
u
k
,v
)
Ω
k
+(
∂
3
x
˜
u
k
,∂
2
x
v
)
Ω
k
= (
∂
t
(
U
−
ˆ
u
k
)
,v
)
Ω
k
+(
∂
3
x
(
U
−
ˆ
u
k
)
,∂
2
x
v
)
Ω
k
.
(4.3)
du
(2.1)
ª
!
(2.4)
ª
,
þ
ª
m
à
Œ
±
{
z
¤
(
∂
t
(
U
−
ˆ
u
k
)
,v
)
Ω
k
+(
∂
3
x
(
U
−
ˆ
u
k
)
,∂
2
x
v
)
Ω
k
= (
∂
t
(
U
−
P
∗
N
P
k
1
,M
k
U
)
,v
)
Ω
k
+(
∂
3
x
(
U
−
P
∗
N
P
k
1
,M
k
U
)
,∂
2
x
v
)
Ω
k
= (
∂
t
(
U
−
P
∗
N
U
)
,v
)
Ω
k
+(
∂
3
x
(
U
−P
k
1
,M
k
U
)
,∂
2
x
v
)
Ω
k
.
(4.4)
-
v
=
ω
k
0
,
−
1
˜
ω
0
,
−
1
˜
u
k
,
“
\
(4.3)
ª
†
à
,
…
d
(3.5)
ª
•
,
k
(
∂
t
˜
u
k
,v
)
Ω
k
=
1
K
(
∂
t
˜
u
k
,
˜
u
k
)
Ω
,ω
0
,
−
1
,
˜
ω
0
,
−
1
=
1
2
K
k
˜
u
k
k
2
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
+
1
4
K
k
˜
u
k
(
x,
1)
k
2
I
x
,
˜
ω
0
,
−
1
.
(4.5)
(
∂
3
x
˜
u
k
,∂
2
x
v
)
Ω
k
=
1
K
2
(3
∂
2
x
v
+(1+
x
)
∂
3
x
v,∂
2
x
v
)
Ω
,ω
0
,
1
=
5
2
K
2
k
∂
2
x
v
k
2
Ω
,ω
0
,
1
+
1
K
2
k
∂
2
x
v
(1
,t
)
k
2
I
t
,ω
0
,
1
.
(4.6)
ò
v
=
ω
k
0
,
−
1
˜
ω
0
,
−
1
˜
u
k
“
\
(4.3)
ª
m
à
,
…
d
(3.5)
ª
Ú
d
–
]
Ø
ª
|
(
∂
t
(
U
−
P
∗
N
U
)
,v
)
Ω
k
|≤
1
K
k
∂
t
(
U
−
P
∗
N
U
)
k
Ω
,ω
0
,
−
1
,
˜
ω
0
,
−
1
k
˜
u
k
k
Ω
,ω
0
,
−
1
,
˜
ω
0
,
−
1
.
(4.7)
|
(
∂
3
x
(
U
−P
k
1
,M
k
U
)
,∂
2
x
v
)
Ω
k
|≤
5
K
2
k
∂
3
x
(
U
−P
k
1
,M
k
U
)
k
Ω
,ω
0
,
−
1
,
˜
ω
0
,
−
1
k
˜
u
k
k
Ω
,ω
0
,
−
1
,
˜
ω
0
,
−
1
.
(4.8)
ò
(4.4)
ª
!
(4.5)
ª
!
(4.6
ª
)
!
(4.7)
ª
!
(4.8)
ª
“
\
(4.3)
ª
,
k
DOI:10.12677/pm.2021.1161171040
n
Ø
ê
Æ
{
J
Œ
1
2
k
˜
u
k
k
2
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
+
1
4
k
˜
u
k
(
x,
1)
k
2
I
x
,
˜
ω
0
,
−
1
+
5
2
K
k
∂
2
x
v
k
2
Ω
,ω
0
,
1
+
1
K
k
∂
2
x
v
(1
,t
)
k
2
I
t
,ω
0
,
1
≤k
∂
t
(
U
−
P
∗
N
U
)
k
Ω
,ω
0
,
−
1
,
˜
ω
0
,
−
1
k
˜
u
k
k
Ω
,ω
0
,
−
1
,
˜
ω
0
,
−
1
+
5
K
k
∂
3
x
(
U
−P
k
1
,M
k
U
)
k
Ω
,ω
0
,
−
1
,
˜
ω
0
,
−
1
k
˜
u
k
k
Ω
,ω
0
,
−
1
,
˜
ω
0
,
−
1
.
(4.9)
|
^
½
È
©
Ä
5
Ÿ
,(4.9)
ª
Œ
n
¤
k
˜
u
k
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
≤
4
k
∂
t
(
U
−
P
∗
N
U
)
k
Ω
,ω
0
,
−
1
,
˜
ω
0
,
−
1
+
20
K
k
∂
3
x
(
U
−P
k
1
,M
k
U
)
k
Ω
,ω
0
,
−
1
,
˜
ω
0
,
−
1
.
(4.10)
qd
Ú
n
1
!
Ú
n
3
Ú
(3.5)
ª
•
,(4.10)
ª
Œ
z
¤
k
˜
u
k
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
≤
CN
−
σ
k
∂
σ
x
∂
t
U
k
Ω
,ω
0
,
−
1
,
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
+
C
M
−
ϕ
K
1
2
k
∂
ϕ
t
∂
3
x
U
k
Ω
,ω
ϕ
−
1
,ϕ
−
1
,
˜
ω
0
,
−
1
.
(4.11)
Ï
d
,
d
L
2
(Ω)
‰
ê
n
Ø
ª
5
Ÿ
Œ
á
=
X
e
'
u
l
Ñ
‚
ª
(3.1)
Ø
©
Û
½
n
.
½
n
1.
U
!
U
k
L
©
O
•
•
§
(1
.
1)
!
•
§
(3
.
1)
)
,
σ
≥
3
,ϕ
≥
1
,U
∈
L
2
(
I
x
;
H
ϕ
(
I
t
))
∩
L
2
(
I
t
;
H
σ
(
I
x
)
∩
H
2
,
3
0
(
I
x
))
,
K
é
1
≤
k
≤
K
,
•
3
~
ê
C
,
¦
k
U
−
U
k
L
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
≤
CN
−
σ
k
U
k
A
σ,ϕ
1
(Ω)
+
C
M
−
ϕ
K
1
2
k
U
k
B
ϕ
1
(Ω)
.
(4.12)
Ù
¥
k
U
k
A
σ,ϕ
1
(Ω)
=
k
∂
σ
x
U
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
+
k
∂
σ
x
∂
t
U
k
Ω
,ω
0
,
−
1
,
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
+
M
−
ϕ
K
1
2
k
∂
σ
x
∂
ϕ
t
U
k
Ω
,ω
ϕ
−
1
,ϕ
−
1
,
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
,
k
U
k
B
ϕ
1
(Ω)
=
k
∂
ϕ
t
U
k
Ω
,ω
ϕ
−
1
,ϕ
−
1
,
˜
ω
0
,
−
1
+
k
∂
ϕ
t
∂
3
x
U
k
Ω
,ω
ϕ
−
1
,ϕ
−
1
,
˜
ω
0
,
−
1
.
y
:
k
U
−
U
k
L
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
=
k
U
−
(ˆ
u
k
+ ˜
u
k
)
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
≤k
U
−
ˆ
u
k
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
+
k
˜
u
k
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
=
k
U
−
P
∗
N
P
k
1
,M
k
U
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
+
k
˜
u
k
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
.
(4.13)
DOI:10.12677/pm.2021.1161171041
n
Ø
ê
Æ
{
J
Œ
q
k
U
−
P
∗
N
P
k
1
,M
k
U
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
=
k
(
I
−
P
∗
N
)
U
−
(
I
−
P
∗
N
)(
I
−P
k
1
,M
k
)
U
+(
I
−P
k
1
,M
k
)
U
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
≤k
(
I
−
P
∗
N
)
U
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
+
k
(
I
−
P
∗
N
)(
I
−P
k
1
,M
k
)
U
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
+
k
(
I
−P
k
1
,M
k
)
U
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
.
(4.14)
d
Ú
n
1
!
Ú
n
3
Ú
(3.5)
ª
•
,(4.14)
ª
Œ
n
¤
k
U
−
P
∗
N
P
k
1
,M
k
U
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
≤
CN
−
σ
k
∂
σ
x
U
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
+
CN
−
σ
M
−
ϕ
K
1
2
k
∂
σ
x
∂
ϕ
t
U
k
Ω
,ω
ϕ
−
1
,ϕ
−
1
,
˜
ω
σ
−
3
,σ
−
3
+
C
M
−
ϕ
K
1
2
k
∂
ϕ
t
U
k
Ω
,ω
ϕ
−
1
,ϕ
−
1
,
˜
ω
0
,
−
1
.
(4.15)
(
Ü
(4.11)
ª
Ú
(4.15)
ª
,(4.13)
ª
Œ
n
¤
k
U
−
U
k
L
k
Ω
,ω
0
,
−
2
,
˜
ω
0
,
−
1
≤
CN
−
σ
k
U
k
A
σ,ϕ
1
(Ω)
+
C
M
−
ϕ
K
1
2
k
U
k
B
ϕ
1
(Ω)
.
n
þ
,
½
n
1
(
Ø
¤
á
.
5.
ê
Š
(
J
!
Ì
‡
Ï
L
˜
ê
Š
Ž
~5
y
ž
m
õ
«
•
ž
˜
Ì
•{
é
¦
)
Ê
‡
©•
§
k
5
,
ê
Š
Ž
~
m
à
‘
Ú
š
‚
5
‘
æ
^
CGL
Š
?
n
,
¿
¦
^
¯
„
F
p
“
C
†
(FFT)
?
1
O
Ž
.
~
1.
•
Ä
X
e
Ê
•
§
:
∂
t
U
+
∂
3
x
U
+
∂
5
x
U
=
f
(
x,t
)
,x
∈
I
x
,t
∈
I
t
;
U
(
±
1
,t
) =
∂
x
U
(
±
1
,t
) =
∂
2
x
U
(1
,t
) = 0
,t
∈
I
t
;
U
(
x,
−
1) =
U
0
(
x
)
,x
∈
I
x
.
(5.1)
Ù
¥
I
x
= (
−
1
,
1)
,I
t
= (
−
1
,
1)
,U
=
U
(
x,t
)
.
-
U
(
x,t
) = (
x
−
1)
t
cos
2
(
πx
2
)
,x
∈
(
−
1
,
1)
,t
∈
(
−
1
,
1]
•
•
§
(5.1)
°
(
)
,
K
•
§Ð
Š
U
0
(
x
)
,
m
à
‘
f
©
O
•
:
U
0
(
x
) =
−
(
x
−
1)cos
2
(
πx
2
)
,
DOI:10.12677/pm.2021.1161171042
n
Ø
ê
Æ
{
J
Œ
f
=
x
−
1
2
+(
x
−
1
2
+
5
2
π
4
t
−
3
2
π
2
t
)
cos
(
πx
)+
x
−
1
2
π
3
t
(1
−
π
2
)sin(
πx
)
.
d
ê
Š
Ž
~
¢
(
J
d
ã
1-
ã
3
‰
Ñ
.
ã
¥
L
∞
-error
½
Â
X
e
:
k
U
−
U
L
k
L
∞
= max
i,j
|
U
(
x
j
,t
i
)
−
U
L
(
x
j
,t
i
)
|
,
k
U
−
U
k
L
k
L
∞
= max
i,k
|
U
(
x
j
,t
k
)
−
U
L
(
x
j
,t
k
)
|
,
Ù
¥
(
x
j
,t
i
)
!
(
x
j
,t
k
)
©
O
•
Ω
Ú
Ω
k
þ
CGL
:
,
i
=0
,
1
,
···
,M
−
1
,k
=0
,
1
,
···
,M
k
−
1
,j
=
0
,
1
,
···
,N
−
5.
M
L
«ž
m
•
•
ü
«
•
õ
‘
ª
g
ê
,
M
k
L
«ž
m
•
•
f
«
•
õ
‘
ª
g
ê
,
N
L
«
˜
m
•
•
õ
‘
ª
g
ê
.
Figure1.
Example1Convergenceofsingledomainintime
ã
1.
~
1
ž
m
ü
«
•
Â
ñ
5
Figure2.
Example1Convergenceoffourdomainsintime
ã
2.
~
1
ž
m
o
«
•
Â
ñ
5
~
2.
•
Ä
X
e
Ê
•
§
:
DOI:10.12677/pm.2021.1161171043
n
Ø
ê
Æ
{
J
Œ
Figure3.
Example1Convergenceofsixdomainsintime
ã
3.
~
1
ž
m
8
«
•
Â
ñ
5
∂
t
U
+
∂
2
x
U
+
∂
5
x
U
+
UU
x
=
f
(
x,t
)
,x
∈
I
x
,t
∈
I
t
;
U
(
±
1
,t
) =
∂
x
U
(
±
1
,t
) =
∂
2
x
U
(1
,t
) = 0
,t
∈
I
t
;
U
(
x,
−
1) =
U
0
(
x
)
,x
∈
I
x
.
(5.2)
Ù
¥
I
x
= (
−
1
,
1)
,I
t
= (
−
1
,
1)
,U
=
U
(
x,t
)
.
´
•
•
§
(5.2)
ž
m
õ
«
•
ž
˜
Ì
‚
ª
'
…
3
u
?
n
š
‚
5
‘
UU
x
,
d
ž
Œ
æ
^
š
‚
5
‘
3
CGL
:
þ
Š
é
Ù
?
1
O
Ž
,
T
•{
(
Ü
Chebyshev
˜
{
¯
„
C
†
O
Ž
`
:
†
Legendre
•{
û
Ð
-
½
5
.
•
§
(5.2)
Ù
¦
‘
?
n
•
ª
†
•
§
(1.1)
ƒ
Ó
.
3
é
•
§
(5.2)
ž
m
õ
«
•
ž
˜
Ì
‚
ª
?
1
ê
Š
O
Ž
ž
,
·
‚
æ
^
S
“
{
?
1
¦
)
,
=
:
S
“
g
ê
•
l
,
S
“
Ø
•
ε
,
•
g
é
•
§
(5.2)
ž
m
õ
«
•
ž
˜
Ì
‚
ª
?
1
S
“
,
c
ü
g
S
“
Ø
•
Œ
5
u
ε
ž
,
ªŽ
S
“
.
Figure4.
Example2Convergenceofsingledomainintime
ã
4.
~
2
ž
m
ü
«
•
Â
ñ
5
-
DOI:10.12677/pm.2021.1161171044
n
Ø
ê
Æ
{
J
Œ
U
(
x,t
) = (
x
−
1)sin
2
(
πx
)
e
−
t
,x
∈
(
−
1
,
1)
,t
∈
(
−
1
,
1]
•
•
§
(5.2)
°
(
)
,
K
•
§Ð
Š
U
0
(
x
)
,
m
à
‘
f
©
O
•
:
U
0
(
x
) = (
x
−
1)sin
2
(
πx
)
e,
f
=2
π
2
(
x
−
20
π
2
−
1)
e
−
t
cos(2
πx
)+(
x
−
1)
e
−
t
sin
2
(
πx
)(
e
−
t
sin
2
(
πx
)+
π
(
x
−
1)
e
−
t
sin(2
πx
)
−
1)
+2
π
(8
π
3
x
−
8
π
+1)
e
−
t
sin(2
πx
)
.
S
“
#
N
Ø
•
ε
= 10
−
12
,
S
“g
ê
•
l
= 40
.
d
ê
Š
Ž
~
¢
(
J
d
ã
4-
ã
6
‰
Ñ
.
Figure5.
Example2Convergenceoffourdomainsintime
ã
5.
~
2
ž
m
o
«
•
Â
ñ
5
Figure6.
Example2Convergenceofsixdomainsintime
ã
6.
~
2
ž
m
8
«
•
Â
ñ
5
ã
1
!
ã
4
©
OL
«
~
1
!
~
2
æ
^
ž
m
ü
«
•
ž
˜
Ì
•{
?
1
O
Ž
¢
(
J
.
ã
2
!
ã
3
!
ã
5
!
ã
6
©
OL
«
~
1
!
~
2
æ
^
ž
m
õ
«
•
ž
˜
Ì
•{
?
1
O
Ž
¢
(
J
,
Ø
J
u
y
~
1
!
~
2
ž
m
õ
«
•
ž
˜
Ì
‚
ª
3
ž
m
†
˜
m
þ
þ
÷
v
Ì
Â
ñ
.
d
M
= 8
,N
=64
,K
= 6
ž
,
~
1
!
~
DOI:10.12677/pm.2021.1161171045
n
Ø
ê
Æ
{
J
Œ
2
ž
m
8
«
•
Ø
þ
'
ž
m
ü
«
•
•
,
Ù
Ø
Ñ
ˆ
10
−
14
þ
?
.
8
Œ
±
æ
^
ž
m
õ
«
•
ž
˜
Ì
•{
5
¦
)
d
a
•
§
,
~
Ø
.
6.
(
å
Š
©
J
Ñ
Ê
‡
©•
§
ž
m
õ
«
•
ž
˜
Ì
•{
.
T
•{
3
˜
m
•
•
þ
æ
^
Legendre-
Petrov-Galerkin
•{
,
3
ž
m
•
•
þ
æ
^
õ
«
•
Legendre-tau
•{
.
Ó
ž
,
©
‰
Ñ
T
•{
3
‚
5
¯
K
þ
Ø
©
Û
,
é
š
‚
5
•
§
¥
š
‚
5
‘
æ
^
3
Chebyshev-Gauss-Lobatto
:
þ
Š
?
1
O
Ž
.
•
,
©
Ù
"
—
‰
Ñ
˜
ê
Š
Ž
~
,
ê
Š
Ž
~
O
Ž
(
J
L
²
©
Ž
{
é
¦
)
Ê
‚
5
‡
©•
§
!
˜
Ê
š
‚
5
¯
K
Ñ
´
k
.
Ä
7
‘
8
I
[
g
,
‰
Æ
Ä
7
(11971016)
"
ë
•
©
z
[1]Xu,Y.andShu,C.W.(2005)LocalDiscontinuousGalerkinMethodsfortheKuramoto-
SivashinskyEquationsandtheIto-TypeCoupledKdVEquations.
ComputerMethodsinAp-
pliedMechanicsandEngineering
,
195
,3430-3447.https://doi.org/10.1016/j.cma.2005.06.021
[2]
’
r
,
Ç
J
•
.
˜
a
2
Â
KdV
•
§
w
ª
©
)
[J].
A^
ê
ÆÆ
,2007,30(2):368-376.
[3]Khanal,N.,Sharma,R.,Wu,J.andYuan,J.M.(2009)ADual-Petrov-GalerkinMethod
forExtendedFifth-OrderKorteweg-deVriesTypeEquations.
ConferencePublications
,
2009
,
442-450.
[4]Darvishi,M.andKhani,F.(2009)NumericalandExplicitSolutionsoftheFifth-Order
Korteweg-deVriesEquations.
Chaos,SolitonsandFractals
,
39
,2484-2490.
https://doi.org/10.1016/j.chaos.2007.07.034
[5]Edson, P. and Eben, M. (2013) Discrete Singular Convolution Method for Numerical Solutions
of Fifth OrderKorteweg-De VriesEquations.
JournalofAppliedMathematicsPhysics
,
1
, 5-15.
https://doi.org/10.4236/jamp.2013.17002
[6]Chen,W.,Li,J.,Miao,C.andWu,J.(2009)LowRegularitySolutionsofTwoFifth-Order
KDVTypeEquations.
Journald’AnalyseMathematique
,
107
,221-238.
https://doi.org/10.1007/s11854-009-0009-0
[7]Kenig,C.E.andPilod,D.(2015)Well-PosednessfortheFifth-OrderKdVEquationinthe
EnergySpace.
TransactionsoftheAmericanMathematicalSociety
,
367
,2551-2612.
https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2014-05982-5
[8]Gao,X.andZheng,X.(2016)UniqueContinuationPropertyforaClassofFifth-Order
Korteweg-de-VriesEquations.
ChineseJournalofEngineeringMathematics
,
33
,541-550.
DOI:10.12677/pm.2021.1161171046
n
Ø
ê
Æ
{
J
Œ
[9]Xu,Y.andShu,C.W.(2004)LocalDiscontinuousGalerkinMethodsforThreeClassesof
NonlinearWaveEquations.
JournalofComputationalMathematics
,
22
,250-274.
[10]Cheng,Y.andShu,C.W.(2008)ADiscontinuousGalerkinFiniteElementMethodforTime
Dependent Partial Differential Equationswith HigherOrder Derivatives.
MathematicsofCom-
putation
,
77
,699-730.https://doi.org/10.1090/S0025-5718-07-02045-5
[11]
ë
ù
,
o
)
.
˜
a
|
Ü
Ê
š
‚
5
‡
©•
§
˜
«
w
ª
©
‚
ª
[J].
‰
Æ
E
â
†
ó
§
,
2008,8(3):750-752.
[12]Shen,J. (2003)ANew Dual-Petrov-Galerkin Methodfor ThirdandHigher Odd-OrderDiffer-
entialEquations:ApplicationtotheKDVEquation.
SIAMJournalonNumericalAnalysis
,
41
,1595-1619.https://doi.org/10.1137/S0036142902410271
[13]Ma,H.P.andSun,W.W.(2000)ALegendre-Petrov-GalerkinandChebyshevCollocation
MethodforThird-OrderDifferentialEquations.
SIAMJournalonNumericalAnalysis
,
38
,
1425-1438.https://doi.org/10.1137/S0036142999361505
[14]Tang, J.and Ma,H. (2002)Singleand Multi-IntervalLegendre
τ
-Methodsin TimeforParabol-
icEquations.
AdvancesinComputationalMathematics
,
17
,349-367.
https://doi.org/10.1023/A:1016273820035
DOI:10.12677/pm.2021.1161171047
n
Ø
ê
Æ