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Pure Mathematics
理论数学
, 2012, 2, 28-33
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.21006
Published Online January 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)
28 Copyright © 2012 Hanspub
Implicit-Explicit Multistep Finite Element Methods
for Some Nonlinear Reaction-Diffusion Equations
*
Haiming Gu
#
, Mengmeng Guo
Department of Mathematics, Qingdao University of Science and Technology, Qingdao
Email:
#
coolmi.g@163.com
Received: Nov. 30th, 2011; revised: Dec. 20th, 2011; accepted: Dec. 23rd, 2011
Abstract:
Implicit-explicit multistep methods were recently pr
oposed, and mainly used to nonlinearparabolicequa-
tions. We approximate the solution of
initial boundary value problems for some nonlinear reaction-diffusion
Equations, and discretize by Implicit-Exp licit Multistep finite element methods. The optimal order error esti-
mates is derived in this paper.
Keywords:
Nonlinear Reaction-Diffusion Equations; Implicit-Exp licit Multistep Finite Element Methods;
Optimal Order Error Estimates
一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法
*
顾海明
#
,郭蒙蒙
青岛科技大学数理学院,青岛
Email:
#
coolmi.g@163.com
收稿日期:
2011
年
11
月
30
日;修回日期:
2011
年
12
月
20
日;录用日期:
2011
年
12
月
23
日
摘 要:
隐–显多步有限元方法是近年来提出的一种方法,主要用于非线性抛物问题。我们对一类非
线性反应扩散方程的初边值问题进行近似,给出了隐–显多步有限元方法的逼近格式,并证明了该格
式的最优阶误差估计。
关键词:
非线性反应扩散方程;隐–显多步有限元方法;最优估计
1.
引言
隐–显多步有限元方法是由
Georgios Akrivis
,
Michel Crouzeix
,
Charalambos Makridakis
在
1998
年提出的,
他们对非线性抛物方程的初边值问题的结果进行近似
.
在空间中,用有限元方法进行描述,而对于时间变量的离
散,以线性多步格式为基础,方程的一部分显式离散,一部分隐式离散。这种演绎格式是稳定的,相容的,有
效的
[1-3]
。因为对于每个时间层,有相同的矩阵线性系统解,且在每个时间步长上,都要求他们实现。对于非线
性反应扩散方程的数值求解,我们通常是在空间中用有限元离散,而在时间上用低阶有限差分离散
[4]
。
本文在第
2
节中给出了文中所用到的一些记号,第
3
节中给出了给出的反应扩散方程的隐–显多步有限元
方法,在第
4
节中我们对该格式进行了最优误差估计。
*
青岛市应用基础项目资助。
#
通讯作者。
顾海明 等
一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法
2.
预备知识
考虑下列非线性反应扩散方程:设
2,3
d
Rd
是具有光滑边界
的有界区域。对于 ,求实值函
数
0
T
0,
u
T
,满足
,,
u
axuf xtu
t
,
,0,
x
t
T
0
(1)
,
uxt
,
,0,
x
t
T
(2)
0
,0
uxu x
,
x
(3)
其中, 及
ax
,,
f
xtu
为已知光滑函数。假设存在常数
a
和
a
,使得
ax
满足
0
aaxa
下面给出本文将要用到的一些记号。
1
00
, ,
qq
ii
ii
0
q
i
i
(4)
用上述多项式描述的数值求解一阶 步线性多步法,记为
..
ODE
-
q
,
,
,
。假设格式
,
为强
0
A
-
稳
定的隐式多步法,格式
,
为显式多步法。设格式
,
,
,
的收敛阶都为 阶
,
其中
为正整数,且
[1,5,6]
。
p
,
pq
pq
在假设 时,记多项式
pq
,
,
分别为
0
1
()1, , 1
q
j
q
qjq q
j
j
(5)
由上述多项式给出的隐式
,
格式是著名的 方法,这种方法对
1
..
BDF
6
q
是强
-
稳定的。
0
A
设 ,
,d
vw vws
,
vvv
2
k
[7,8]
s
W
是上模为
1
S
s
S
W
L
v
x
的
Sobolev
空间。
当 时,
2
s
2
WH
vvv
。
用
.
s
表示
.
s
的半范数,则当 时,半范数
2, 1
sk
2
1
vv
。
用表示函数值在边界上为
0
的
1
0
H
1
H
的子空间,则在子空间上
11
..
。
定义椭圆算子
A
:
A
vaxv
(6)
显然,算子
A
是在
Hilbert
空间
H
上的线性自共轭正定算子,且
,
A
vv
等价于
1
v
。不失一般性,记
1
,
vA
vv
。定义:
22
12
1
(
qq
vvv
)
(7)
对于
,
,我们定义
1
12 0
,,,
q
T
q
VH
1
12 0
,,,
q
T
q
WH
12 12
22
1
1
11
,,, ,
qq q
ii ii
ii i
VW VV
1
12 12
2
2
1,
1,
1
11
, max
qq
ii
j
i
j
iq
ii
VV V
,
对于线性算子 ,我们记
1
0
:
qq
MH H
1
0
Cop
yright © 2012 Hanspub 29
顾海明 等
一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法
1
0
,0
sup
q
VH V
M
V
M
V
3.
隐
–
显多步有限元格式
(1)
的弱形式为:
,
1
0
vH
,,
u
vaxuv fv
t
,
(8)
取
0
,
NT Z
,
n
tn
,
。设
,
nn
vvxt
1
0
h
VH
为有限元空间,且相应于
上的拟一致正则剖分指
标为
r
。
设下列逼近性和逆性质都成立,
1
11
inf
hh
r
hh
r
uV
uuhuuMu h
(9)
2
,
d
hh
j
j
uMhu
,
0, 1
j
,
h
uV
h
(10)
定义
1
0
:
hh
A
HV
,,
,满足
1
0
:
hh
RH V
1
00
:
h
PH V
a)
,,(),
h
AvAva xv
,
h
V
b)
,,
h
AR vAv
,
h
V
(11)
c)
0
,,
Pv v
,
h
V
则有
0
hh
A
RPA
成立。
记 ,由椭圆投影的逼近性,可知
h
zuRu
1
11
11
,
r
r
r
zz u
zhz Mu
tt t
h
(12)
非线性反应扩散方程
(1)
的隐–显多步格式为:设给定
0
h
UV
,求
n
h
UV
为
的离散估计,
,满足
n
uut
n
0,1, ,
nN
1
0
00 0
,
qq q
ninini nini
iihi
ii i
UAUPftUU
(13)
0,1, ,
nNq
其初始值计算格式为
a)
0
0
h
URu
b)
,
, (14)
0
k
hk
URTu
1, 2,,1
kq
其中
21
12
000 00
2!1 !
k
kk
Tuu uuu
1
(15)
这里 为
(1)
的解在
处关于时间
t
的
i
阶导数,可以根据原方程计算求得。
0
1, 2,,1
i
ui
0
t
由多步格式
,
为强
-
稳定的,可得
0
A
0
qq
,则
qq
IA
h
为可逆算子。因此,格式
(13)(14)
有唯一
解。
4.
收敛性分析
令 ,由格式
(13)(14)
得
nn
h
Ru U
n
30 Cop
yright © 2012 Hanspub
顾海明 等
一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法
n
M
,
0,1,,1
nq
(16)
由
(8)
和
(13)
及
0
hh
A
RPA
,可得误差方程
1
12
00 0
qqq
nininninnn
iihi
ii i
3
A
FEEE
0,1, ,1
n
,
(17)
q
ni
其中
1
0
0
d
nni
ii h
F
PfRus
s
ni
, (18)
1
10
00
qq
nni
ii
ii
EP AuAu
(19)
1
20 0
000
qqq
nnini
hii i
iii
u
ERP uPut
t
ni
ni
h
(20)
1
30
0
,,
q
nninini
i
i
EPftuftRu
(21)
记
, 0,1,, 1
ii
iiih
qq
x
x
Ai q
x
,
(22)
1
23
1
2
121
0
0
, , ,
0
0
nq
nn
n
nq
nnn n
n
EE
E
2
nn
12 0
00
00
qq
h
I
A
I
,
,
12 3
00 0
00 0
nn n
qq q
n
FF F
F
,
1
2
nq
qqh
nq
qqh
n
qqh
n
qqh
A
A
A
A
则,误差方程
(17)
可改写为
1
nn
qqh qqh
AAF
nnn
(23)
下面运用
Crouzeix
在参考文献
[2]
中的结果
引理
1
存在常数
,
01
,
以及连续
:
qq
H
RC
,
使得对
,
矩阵
0
x
x
H
是可逆的,且对于矩阵
x
L
1
qq
qq
x
x
xx
x
LH
x
H
有
2
() 1
x
L
(24)
记
11
, , , ,
nnn nn
hh
HHA LLA YHHFH
1
n
F
则,误差方程
(23)
可以改写为
1
nn
qqhqqh
AYALY
nnn
F
(25)
将上式两端与 作内积,可得
1
n
Y
2
1111
12
,,,
nnnnnn nn
qqh
YALYYYYT
F
3
TT
(26)
Cop
yright © 2012 Hanspub 31
顾海明 等
一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法
由
Cauchy-Schwarz
不等式,得
1112121
1
11
11
,, ,
nnnnn n
qqh qq
nn nn
qq
TALYYLYYLAYA
YY YY
Y
(27)
由
Cauchy-Schwarz
不等式及
Poincare
不等式,得
11
11 11
2
1
111
1
,, ,
nnnnnTTnnnTn
nTnnnnn
TYHFHHYFHY
MHYMYYMYY
F
d
x
(28)
同理可得
1
3
1
nn
TMY
,
(29)
由
(27)(28)(29)
,及不等式
2
1
22
ab ab
2
,可得
2
2222 22
11 12
11
11 111
22 222
nnnnnnn
qqqq
YYY YYMY
2
1
1
n
Y
(30)
取
2
01
q
,有
22
2
2
12
1
2
nnn
YMYMY
2
n
(31)
下面我们估计
1
n
E
多步格式
,
,
,
是
阶收敛的,即
0
01
a)
0
0
q
i
i
b)
1
11
00 0
,1,2,,
qq q
kk k
iii
ii i
iki kik
(32)
由
Taylor
定理及
(32)
,可得
1
00
qq
nj nj
ii
ii
uu
,
(33)
1, 2,,
j
d
则
1
1
00
,
qq
nnini
ii
ii
EvAuAuvM v
,
(34)
即得
11
11
nn
EM
(35)
下面我们估计
(20)(21)
。由
Taylor
定理及
(32)
,可得
1
2
n
EMh
r
(36)
同理可得
1
1
00
qq
nj nj
iit
ii
uut
(37)
即得
1
3
n
EM
(38)
则有
1
223
nnn r
EE Mh
(39)
设
1212 122
,
rd d
h
h
(40)
32 Cop
yright © 2012 Hanspub
顾海明
等
一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法
Copyright © 2012 Hanspub 33
则
12
22
10 1
12
1
, 1,2,,
nnnr
M
MhnN q
综上可得
定理
1
是
(1)~(3)
的解,且充分光滑, 是格式
(13)(14)
的解
,
设
u
n
U
2
d
r
,且满足网格条件
(40)
,则有最优误
差估计
1
0
max
nnr
nN
ut UMh
参考文献
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,
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