设为首页
加入收藏
期刊导航
网站地图
首页
期刊
数学与物理
地球与环境
信息通讯
经济与管理
生命科学
工程技术
医药卫生
人文社科
化学与材料
会议
合作
新闻
我们
招聘
千人智库
我要投稿
办刊
期刊菜单
●领域
●编委
●投稿须知
●最新文章
●检索
●投稿
文章导航
●Abstract
●Full-Text PDF
●Full-Text HTML
●Full-Text ePUB
●Linked References
●How to Cite this Article
AdvancesinAppliedMathematics
A^
ê
Æ
?
Ð
,2021,10(10),3390-3398
PublishedOnlineOctober2021inHans.http://www.hanspub.org/journal/aam
https://doi.org/10.12677/aam.2021.1010356
A
a
IC-
²
¡
ã
ò
z
5
XXX
õõõ
hhh
ú
ô
“
‰
Œ
Æ
§
ê
Æ
†
O
Ž
Å
‰
ÆÆ
§
ú
ô
7
u
Â
v
F
Ï
µ
2021
c
9
18
F
¶
¹
^
F
Ï
µ
2021
c
10
14
F
¶
u
Ù
F
Ï
µ
2021
c
10
21
F
Á
‡
e
ã
G
z
˜
‡
f
ã
H
Ñ
k
δ
(
H
)
≤
k
,
K
¡
G
´
k
-
ò
z
.
Š
â
Ø
¹
k
-
(
k
∈{
3
,
5
,
6
}
)
²
¡
ã
´
3-
ò
z
,
©
y
²
Ø
¹
k
-
IC-
²
¡
ã
´
4-
ò
z
.
©
„
?
˜
Ú
y
²
3-
†
4-
Ø
ƒ
,3-
†
5-
Ø
ƒ
½
4-
†
4-
Ø
ƒ
IC-
²
¡
ã
•
´
4-
ò
z
.
Ó
ž
,
©
‰
Ñ
Ø
¹
k
-
(
k
∈{
3
,
4
,
5
,
6
}
)
…
4-
K
IC-
²
¡
ã
~
f
"
'
…
c
IC-
²
¡
ã
§
ò
z
5
§
=
£
DegeneracyofSomeClassesofIC-Planar
Graphs
HonghuiTian
DepartmentofMathematics,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang
Received:Sep.18
th
,2021;accepted:Oct.14
th
,2021;published:Oct.21
st
,2021
Abstract
Ifeverysubgraph
H
ofgraph
G
has
δ
(
H
)
≤
k
,then
G
is
k
-degenerate.Aplanar
©
Ù
Ú
^
:
X
õ
h
.
A
a
IC-
²
¡
ã
ò
z
5
[J].
A^
ê
Æ
?
Ð
,2021,10(10):3390-3398.
DOI:10.12677/aam.2021.1010356
X
õ
h
graphwithout
k
-cycles
(
k
∈{
3
,
5
,
6
}
)
is3-degenerate,thispaperprovesthatanIC-
planargraphwithout
k
-cyclesis4-degenerate.Thispaperisfurtherprovedthatthe
IC-planargraphwith3-cycl enotadjacentto4-cycle,3-cyclenotadjacentto5-cycle
or4-cyclenotadjacentto4-cycleisalso4-degenerate.Andwegiveanexampleof
4-regularIC-planargraphswithout
k
-cycles
(
k
∈{
3
,
4
,
5
,
6
}
)
.
Keywords
IC-PlanarGraph,Degeneracy,Discharging
Copyright
c
2021byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution InternationalLicense(CCBY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
Ú
ó
©
¤
?
Ø
ã
Ñ
´
k
•
{
ü
Ã
•
ã
.
©
¥
™
\
`
²
â
Š
„
©
[1].
V
(
G
),
E
(
G
)
©
OL
«
ã
G
º:
8
Ú
>
8
.
²
¡
ã
´
ã
3
²
¡
þ
˜
«
i
\
,
¦
?
¿
ü
^
>
=
3
à:
?
ƒ
.
e
G
´
²
¡
ã
,
·
‚
^
F
(
G
)
5
L
«
ã
G
¡
8
.
X
J
ã
G
Œ
±
i
\
²
¡
þ
,
¦
z
^
>
•
õ
˜
g
,
K
¡
Ù
•
1-
²
¡
ã
,
T
²
¡
i
\
¡
•
1-
²
¡
i
\
.1-
²
¡
ã
´
Ringel[2]
u
1965
c
ï
Ä
²
¡
ã
:
-
¡
/
Ú
ž
J
Ñ
.
e
ã
G
´
1-
²
¡
ã
…
•
3
˜
«
²
¡
i
\
,
¦
¹
:
>
|
¤
8
Ü
´
ã
G
˜
‡
š
(
=
?
¿
ü
^
>
o
‡
à:Ñ
Ø
-
Ü
),
K
¡
ã
G
´
IC-
²
¡
ã
,
T
²
¡
i
\
¡
•
IC-
²
¡
i
\
.IC-
²
¡
ã
´
Alberson[3]
3
2008
c
J
Ñ
5
,
¿ß
Ž
z
‡
IC-
²
¡
ã
Ñ
´
5-
Œ
/
.
d
ß
Ž
5
Kral
†
Stacho[4]
y
²
¤
á
.
e
ã
G
IC-
²
¡
i
\
÷
v
Ù
:
‡
ê´
¤
k
IC-
²
¡
i
\
¥
•
,
K
¡
d
IC-
²
¡
i
\
•
•
`
IC-
²
¡
i
\
.
G
´
IC-
²
¡
ã
…
´
•
`
IC-
²
¡
i
\
.
-
C
(
G
)
´
G
¥
¤
k
:
|
¤
8
Ü
,
E
0
(
G
)
´
G
¥
Ø
¹
:
>
|
¤
8
Ü
.
U
X
e
•
ª
½
Â
G
'
é
²
¡
ã
G
×
:
V
(
G
×
)=
V
(
G
)
∪
C
(
G
)
,E
(
G
×
)=
E
0
(
G
)
∪{
xz,yz
|
xy
∈
E
(
G
)
\
E
0
(
G
),
…
z
´
¹
3
>
xy
þ
:
}
.
K
G
×
´
²
¡
ã
,
…
é
?
¿
z
∈
C
(
G
),
k
d
G
×
(
z
)=4.
¡
C
(
G
)
¥
:
•
b
:
,
V
(
G
)
¥
:
•
ý
:
.
d
IC-
²
¡
ã
½
Â
•
?
¿
ü
‡
b
:
3
G
×
¥
Ø
ƒ
,
…
z
˜
‡
ý
:
–
õ
†
˜
‡
b
:
ƒ
.
e
G
×
¥
¡
f
–
†
˜
‡
b
:
'
é
,
K
¡
f
•
b
¡
;
Ø
†
b
:
'
é
¡
¡
•
ý
¡
.
-
v
∈
V
(
G
),
¡
:
v
¤
k
:
|
¤
8
Ü
•
:
v
•
,
P
Š
N
G
(
v
).
¡
d
G
(
v
)=
|
N
G
(
v
)
|
•
v
Ý
ê
.
δ
(
G
)=
min
{
d
G
(
v
)
|
v
∈
V
(
G
)
}
Ú
∆(
G
)=
max
{
d
G
(
v
)
|
v
∈
V
(
G
)
}
©
O
¡
Š
G
•
Ý
Ú
•
Œ
Ý
.
G
´
IC-
²
¡
ã
,
f
∈
F
(
G
×
).
¡
†
¡
f
ƒ
'
é
>
ê
•
¡
f
Ý
ê
(
z
^
•
>
O
Ž
ü
g
),
P
•
d
G
×
(
f
).
v
∈
V
(
G
),
X
J
d
G
(
v
)=
k
,
≥
k
,
½
≤
k
,
K
¡
v
•
k
-
:
,
k
+
-
:
½
k
−
-
:
.
a
q
/
,
Œ
DOI:10.12677/aam.2021.10103563391
A^
ê
Æ
?
Ð
X
õ
h
±
½
Â
k
-
¡
,
k
+
-
¡
½
k
−
-
¡
.
-
f
∈
F
(
G
×
),
e
f
>
.
:
U
^
ž
•
•
•
g
•
v
1
,v
2
,v
3
,
···
,v
n
,
K
Œ
P
Š
f
=[
v
1
v
2
···
v
n
].
^
d
k
(
f
)
Ú
d
k
+
(
f
)
©
OL
«
†
f
'
é
k
-
:
†
k
+
-
:
‡
ê
;
^
f
i
(
v
),
f
i
+
(
v
)
Ú
f
i
−
(
v
)
©
OL
«
G
×
¥
†
v
'
é
i
-
¡
,
i
+
-
¡
Ú
i
−
-
¡
‡
ê
,
^
α
(
v
)
5
L
«
†
v
'
é
b
3-
¡
‡
ê
.
e
ã
G
z
˜
‡
f
ã
H
Ñ
k
δ
(
H
)
≤
k
,
K
¡
ã
G
´
k
-
ò
z
.
Š
â
ë
Ï
²
¡
ã
Euler
ú
ª
Ú
º
Ã
½
n
´
?
¿˜
‡
²
¡
ã
Ñ
´
5-
ò
z
;
?
¿˜
‡
Ø
¹
3-
²
¡
ã
Ñ
´
3-
ò
z
.2002
c
,
Wang
Ú
Lih[5]
ü
Æ
ö
y
²
Ø
¹
5-
²
¡
ã
´
3-
ò
z
.
Ó
c
,Fijvaz
[6]
y
²
Ø
¹
6-
²
¡
ã
´
3-
ò
z
.
©
|
^
þ
ã
(
J
,
y
²
Ø
¹
k
-
(
k
∈{
3
,
5
,
6
}
)
IC-
²
¡
ã
Ñ
´
4-
ò
z
.
¿
‰
Ñ
Ø
¹
k
-
(
k
∈{
3
,
4
,
5
,
6
}
)
…
4-
K
IC-
²
¡
ã
.
Ó
ž
,
©
?
˜
Ú
y
²
3-
Ú
4-
Ø
ƒ
,
3-
Ú
5-
Ø
ƒ
½
4-
Ú
4-
Ø
ƒ
IC-
²
¡
ã
•
´
4-
ò
z
.
2.3-
Ø
†
4-
ƒ
IC-
²
¡
ã
ò
z
5
½½½
nnn
2.1.
Ø
¹
k
-
(
k
∈{
3
,
5
,
6
}
)
IC-
²
¡
ã
Ñ
´
4
-
ò
z
.
y
²
.
G
´
IC-
²
¡
ã
…
®
IC-
²
¡
i
\
,
E
0
(
G
)
´
G
¥
Ø
¹
:
>
|
¤
8
Ü
,
E
1
(
G
)
´
G
¥
¹
:
>
|
¤
8
Ü
.
K
d
IC-
²
¡
ã
½
Â
•
,
d
E
0
(
G
)
¥
>
Ñ
f
ã
G
1
´
²
¡
ã
,
d
E
1
(
G
)
¥
>
Ñ
f
ã
´
1-
K
ã
.
d
K
¿
•
G
1
´
Ø
¹
k
-
(
k
∈{
3
,
5
,
6
}
)
²
¡
ã
.
G
1
´
3-
ò
z
.
l
G
´
4-
ò
z
.
½½½
nnn
2.2.
3
-
Ø
†
4
-
ƒ
IC-
²
¡
ã
´
4
-
ò
z
.
y
²
.
G
´
½
n
2.2
:
ê
•
4
‡
~
ã
.
w
,
G
´
ë
Ï
,
G
´
•
`
IC-
²
¡
i
\
.
w
,
ä
ó
2.1
¤
á
.
ä
ó
2.1
δ
(
G
)
≥
5.
Ï
•
G
´
3-
Ø
†
4-
ƒ
IC-
²
¡
ã
,
¤
±
ä
ó
2.2
¤
á
.
ä
ó
2.2
ý
3-
¡
†
ý
3-
¡
Ø
ƒ
.
ä
ó
2.3
z
˜
‡
5
+
-
:
v
–
'
é
2
‡
4
+
-
¡
.
y
²
.
d
v
–
õ
†
˜
‡
b
:
•
α
(
v
)
≤
2.
α
(
v
)=0,
d
ä
ó
2.2
•
f
3
(
v
)
≤b
d
G
(
v
)
2
c
.
v
'
é
4
+
-
¡
‡
ê
≥
d
G
(
v
)
−b
d
G
(
v
)
2
c≥
3.
α
(
v
) =1
ž
,
Ø
”
†
v
'
é
b
3-
¡
•
f
1
= [
vv
1
v
2
]
…
v
2
•
b
:
.
K
†
v
'
é
…
±
vv
2
•
>
.
¡
7
•
4
+
-
¡
.
d
ä
ó
2.2
•
f
3
(
v
)
≤d
d
G
(
v
)
−
2
2
e
+ 1=
d
d
G
(
v
)
2
e
.
v
'
é
4
+
-
¡
‡
ê
≥
d
G
(
v
)
−d
d
G
(
v
)
2
e≥
2.
α
(
v
)=2
ž
,
d
v
–
õ
ƒ
˜
‡
b
:
•
,
†
v
'
é
ü
‡
b
3-
¡
7
•
f
1
=[
vv
1
v
2
]
Ú
f
2
=[
vv
2
v
3
]
…
v
2
•
b
:
.
d
ž
,
†
v
'
é
…
±
vv
1
(
½
vv
3
)
•
>
.
>
Ø
Ó
u
f
1
(
½
f
2
)
¡
•
4
+
-
¡
.
v
–
'
éü
‡
4
+
-
¡
.
n
þ
,
z
˜
‡
5
+
-
:
–
'
é
2
‡
4
+
-
¡
.
ä
ó
2.4
z
˜
‡
b
:
–
õ
'
é
2
‡
b
3-
¡
.
y
²
.
‡
y
{
.
v
´
b
:
,
…
Ù
3
G
×
¥
4
‡
:
•
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
…
3
²
¡
þ
•
^
ž
•
•
ü
.
K
v
1
v
3
∈
E
(
G
)
…
v
2
v
4
∈
E
(
G
).
b
f
1
=[
vv
1
v
2
],
f
2
=[
vv
2
v
3
]
9
f
3
=[
vv
3
v
4
]
´
3-
¡
.
K
G
¥
¹
ƒ
3-
v
1
v
2
v
3
v
1
Ú
4-
v
1
v
3
v
4
v
2
v
1
,
g
ñ
.
¤
±
,
z
˜
‡
b
:
–
õ
'
é
2
‡
b
3-
¡
.
e
¡
·
‚
^
=
£
•{
¤
½
n
2.2
y
²
.
é
v
∈
V
(
G
×
),
-
ch
(
v
)=
d
G
×
(
v
)
−
6;
é
f
∈
DOI:10.12677/aam.2021.10103563392
A^
ê
Æ
?
Ð
X
õ
h
F
(
G
×
),
-
ch
(
f
) = 2
d
G
×
(
f
)
−
6.
(
Ü
î
.
ú
ª
|
V
(
G
×
)
|−|
E
(
G
×
)
|
+
|
F
(
G
×
)
|
= 2
Ú
º
Ã
½
n
,
Œ
±
e
¡
ð
ª
µ
X
x
∈
V
(
G
×
)
∪
F
(
G
×
)
ch
(
x
) =
X
x
∈
V
(
G
×
)
(
d
G
×
(
v
)
−
6)+
X
x
∈
F
(
G
×
)
(2
d
G
×
(
f
)
−
6) =
−
12
e
¡
½
Â
·
=
£
5
K
,
…
3
=
£
L
§
¥
,
o
Ú
±
ØC
.
-
ch
0
(
x
)
´
x
∈
V
(
G
×
)
∪
F
(
G
×
)
3
²
L
=
£
ƒ
•
ª
.
e
U
y
²
é
¤
k
x
∈
V
(
G
×
)
∪
F
(
G
×
),
k
ch
0
(
x
)
≥
0.
ù
Ò
†
þ
¡
ð
ª
/
¤
g
ñ
,
l
¤
½
n
2.2
y
²
.
·
‚
½
Â
X
e
=
£
5
K
µ
R1
µ
z
˜
‡
4
+
-
¡
=
2
d
G
×
(
f
)
−
6
d
G
×
(
f
)
‰
'
é
z
˜
‡
:
.
²
L
R1
ƒ
,
z
˜
‡
5
+
-
:
v
•
β
(
v
).
R2
µ
z
˜
‡
5
+
-
:
ò
max
{
0
,β
(
v
)
}
=
‰
†
§
ƒ
b
:
.
d
R1
Œ
ä
ó
2.5
¤
á
.
ä
ó
2.5
1)
z
‡
4-
¡
=
1
2
‰
¤
'
é
:
.
2)
z
‡
4-
¡
=
4
5
‰
¤
'
é
:
.
3)
z
‡
6
+
-
¡
=
1
‰
¤
'
é
:
.
e
¡
y
é
u
∀
x
∈
V
(
G
×
)
∪
F
(
G
×
),
Ñ
k
ch
0
(
x
)
≥
0.
f
∈
F
(
G
×
).
e
d
G
×
(
f
)=3,
K
ch
0
(
f
)=
ch
(
f
) = 2
d
G
×
(
v
)
−
6 =0.
e
d
G
×
(
f
)
≥
4,
K
d
R1
•
,
ch
0
(
f
) =
ch
(
f
)
−
2
d
G
×
(
f
)
−
6
d
G
×
(
f
)
×
d
G
×
(
f
) = 0.
v
∈
V
(
G
×
).
e
d
G
×
(
v
)
≥
5,
K
d
=
£
5
K
•
,
•
‡
y
β
(
v
)
≥
0.
d
ä
ó
2.3,
ä
ó
2.5
Ú
R1
Œ
±
β
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+ 2
×
1
2
≥
0.
e
¡
d
G
×
(
v
)=4.
d
ä
ó
2.1
•
v
•
b
:
.
v
3
G
×
¥
4
‡
:
•
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
…
3
²
¡
þ
•
^
ž
•
•
ü
.
-
f
i
´
±
vv
i
,
vv
i
+1
•
>
.
¡
,
i
= 1
,
2
,
3
,
4
…
v
5
=
v
1
.
d
ä
ó
2.1
•
d
G
×
(
v
i
)
≥
5,
i
= 1
,
2
,
3
,
4.
d
IC-
²
¡
ã
½
Â
•
,
v
i
3
G
×
¥
:
(
Ø
v
)
•
ý
:
.
œ
¹
1
µ
v
Ø
†
b
3-
¡
'
é
d
ä
ó
2.5
•
,
ch
0
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+
1
2
×
4 = 0.
œ
¹
2
µ
v
†
˜
‡
b
3-
¡
'
é
Ø
”
d
G
×
(
f
1
)=3,
=
f
1
=[
vv
1
v
2
].
K
†
v
3
Ú
v
4
ƒ
:Ñ
´
ý
:
.
d
ä
ó
2.2
•
,
f
3
(
v
3
)
≤
d
d
G
×
(
v
3
)
−
2
2
e
.
v
3
–
†
d
G
×
(
v
3
)
−
f
3
(
v
3
)
≥
d
G
×
(
v
3
)
−d
d
G
×
(
v
3
)
−
2
2
e≥
3
‡
4
+
-
¡
.
l
β
(
v
3
)
≥
d
G
×
(
v
3
)
−
6+
1
2
×
3 =
1
2
.
d
R2
•
v
3
–
=
1
2
‰
v
.
d
ä
ó
2.5
•
,
ch
0
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+
1
2
×
3+
1
2
= 0.
œ
¹
3
µ
v
†
ü
‡
b
3-
¡
'
é
f
1
=[
vv
1
v
2
]
…
f
2
=[
vv
2
v
3
].
K
d
3-
Ø
†
4-
…
v
1
,v
2
,v
3
:
•
ý
:
•
,
±
v
1
v
2
•
>
.
>
…
Ø
Ó
u
f
1
¡
•
5
+
-
¡
.
Ó
n
,
±
v
2
v
3
•
>
.
>
…
Ø
Ó
u
f
2
¡
•
5
+
-
¡
.
d
ä
ó
2.5
•
,
DOI:10.12677/aam.2021.10103563393
A^
ê
Æ
?
Ð
X
õ
h
β
(
v
2
)
≥
d
G
×
(
v
2
)
−
6 +
4
5
×
2=
3
5
.
d
R2
•
v
2
–
=
3
5
‰
v
.
d
ä
ó
2.2
•
f
3
(
v
4
)
≤d
d
G
×
(
v
4
)
−
2
2
e
.
¤
±
v
4
–
†
d
G
×
(
v
4
)
−
f
3
(
v
4
)
≥
d
G
×
(
v
4
)
−d
d
G
×
(
v
4
)
−
2
2
e≥
3
‡
4
+
-
¡
.
l
d
ä
ó
2.5
•
β
(
v
4
)
≥
d
G
×
(
v
4
)
−
6+
1
2
×
3 =
1
2
,
…
d
R2
•
v
4
–
=
1
2
‰
v
.
d
ä
ó
2.5
•
ch
0
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+
3
5
+
1
2
+
1
2
×
2 =
1
10
.
f
1
=[
vv
1
v
2
]
…
f
3
=[
vv
3
v
4
].
K
v
i
†
4-
v
1
v
2
v
3
v
4
v
1
'
é
,
i
=1
,
2
,
3
,
4.
d
3-
†
4-
Ø
•
,
±
v
1
v
2
•
>
.
>
…
Ø
Ó
u
f
1
¡
•
4
+
−
¡
.
Ó
n
,
±
v
3
v
4
•
>
.
>
…
Ø
Ó
u
f
3
¡
•
4
+
−
¡
.
d
ä
ó
2.2
•
,
f
3
(
v
i
)
≤
1+
d
d
G
×
(
v
i
)
−
3
2
e
=
d
d
G
×
(
v
i
)
−
1
2
e
,
i
= 1
,
2
,
3
,
4.
l
v
i
–
†
d
G
×
(
v
3
)
−d
d
G
×
(
v
3
)
−
1
2
e≥
3
‡
4
+
−
¡
'
é
.
l
d
ä
ó
2.5
•
,
β
(
v
i
)
≥
d
G
×
(
v
i
)
−
6+
1
2
×
3=
1
2
.
d
R2
•
,
v
i
(
i
= 1
,
2
,
3
,
4)
–
=
1
2
‰
v
.
ch
0
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+
1
2
×
4 = 0.
d
½
n
2.2
Œ
±
e
í
Ø
.
ííí
ØØØ
2.3.
Ø
¹
4
-
IC-
²
¡
ã
´
4
-
ò
z
.
d
½
n
2.1
Ú
í
Ø
2.3
Œ
±
e
í
Ø
.
ííí
ØØØ
2.4.
Ø
¹
k
-
(
k
∈{
3
,
4
,
5
,
6
}
)
IC-
²
¡
ã
´
4
-
ò
z
.
e
¡
·
‚
‰
Ñ
~
f
`
²
í
Ø
2.4
(
Ø
´
;
.
ã
1
´
Ø
¹
3-
†
5-
4-
K
IC-
²
¡
ã
.
›
¡
Nã
‚
ã
´
Ø
¹
4-
4-
K
IC-
²
¡
ã
.
K
5
´
Ø
¹
6-
4-
K
IC-
²
¡
ã
.
Figure1.
4-regularBipartiteIC-planargraph
ã
1.
4-
K
Ü
IC-
²
¡
ã
3.3-
Ø
†
5-
ƒ
IC-
²
¡
ã
ò
z
5
½½½
nnn
3.1.
3
-
Ø
†
5
-
ƒ
IC-
²
¡
ã
´
4
-
ò
z
.
y
²
.
G
´
½
n
3.1
:
ê
4
‡
~
ã
.
w
,
G
´
ë
Ï
,
G
´
•
`
IC-
²
¡
i
\
.
w
,
ä
ó
3.1
¤
á
.
ä
ó
3.1
δ
(
G
)
≥
5.
DOI:10.12677/aam.2021.10103563394
A^
ê
Æ
?
Ð
X
õ
h
v
∈
V
(
G
×
)
´
˜
‡
ý
:
.
-
v
1
,v
2
,
···
,v
d
´
v
3
G
×
…
¥
:
…
3
²
¡
þ
•
^
ž
•
•
ü
.
-
f
i
´
±
vv
i
,vv
i
+1
•
>
.
>
¡
,
Ù
¥
i
=1
,
2
,
···
,d
…
v
d
+1
=
v
1
.
-
f
i
,
f
i
+1
,
f
i
+2
•
ƒ
U
n
‡
¡
.
d
3-
Ø
†
5-
•
f
i
,
f
i
+1
,
f
i
+2
¥
7
k
˜
‡
4
+
-
¡
½
b
3-
¡
.
ä
ó
3.2
¤
á
.
ä
ó
3.2
z
˜
‡
ý
:
v
Ø
†
n
‡
ƒ
U
ý
3-
¡
'
é
.
ä
ó
3.3
z
‡
5
+
-
:
v
–
'
é
2
‡
4
+
-
¡
.
y
²
.
d
v
–
õ
†
˜
‡
b
:
•
α
(
v
)
≤
2.
α
(
v
)=0,
d
ä
ó
3.2
•
f
3
(
v
)
≤b
2
d
G
(
v
)
3
c
.
v
–
'
é
d
G
×
(
v
)
−
f
3
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−b
2
d
G
(
v
)
3
c≥
2
‡
4
+
-
¡
.
α
(
v
)=1
ž
,
Ø
”
†
v
'
é
b
3-
¡
•
f
1
=
[
vv
1
v
2
]
…
v
2
•
b
:
.
K
±
vv
2
•
>
.
>
…
Ø
Ó
u
f
¡
•
4
+
-
¡
.
d
ä
ó
3.2
•
f
3
(
v
)
≤d
2(
d
G
(
v
)
−
1)
3
e
.
v
–
'
é
d
G
×
(
v
)
−
f
3
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−b
2(
d
G
(
v
)
−
1)
3
c≥
2
‡
4
+
-
¡
.
α
(
v
)= 2
ž
,
d
v
–
õ
ƒ
˜
‡
b
:
•
,
†
v
'
é
ü
‡
b
3-
¡
7
•
f
1
=[
vv
1
v
2
]
Ú
f
2
=[
vv
2
v
3
],
…
v
2
•
b
:
.
-
f
3
,
f
4
©
O
±
vv
3
•
>
.
>
…
Ø
Ó
u
f
2
¡
Ú
±
vv
1
•
>
.
>
…
Ø
Ó
u
f
1
¡
.
e
d
G
×
(
f
3
)
≥
4
…
d
G
×
(
f
4
)
≥
4,
K
v
–
'
é
ü
‡
4
+
-
¡
.
e
d
G
×
(
f
3
)=3,
=
f
3
=[
vv
3
v
4
],
K
d
3-
Ø
†
5-
•
±
vv
4
•
>
.
>
…
Ø
Ó
u
f
3
¡
9
f
4
•
4
+
-
¡
.
v
–
'
éü
‡
4
+
-
¡
.
n
þ
,
z
˜
‡
5
+
-
:
–
'
é
2
‡
4
+
-
¡
.
e
¡
·
‚
^
=
£
5
K
¤
½
n
3.1
y
²
.
·
‚
æ
^†
½
n
2.2
ƒ
Ó
Ð
©
¼
ê
9
=
£
5
K
.
e
5
,
·
‚
I
‡
y
²
é
¤
k
x
∈
V
(
G
×
)
∪
F
(
G
×
),
k
ch
0
(
x
)
≥
0.
í
Ñ
†
½
n
2.2
˜
g
ñ
,
l
¤
é½
n
3.1
y
²
.
d
R1
Œ
ä
ó
3.4
¤
á
.
ä
ó
3.4
1)
z
‡
4-
¡
=
1
2
‰
¤
'
é
:
.
2)
z
‡
4-
¡
=
4
5
‰
¤
'
é
:
.
3)
z
‡
6
+
-
¡
=
1
‰
¤
'
é
:
.
e
¡
y
é
u
∀
x
∈
V
(
G
×
)
∪
F
(
G
×
),
Ñ
k
ch
0
(
x
)
≥
0.
f
∈
F
(
G
×
).
e
d
G
×
(
f
)=3,
K
ch
0
(
f
)=
ch
(
f
) = 2
d
G
×
(
v
)
−
6 =0.
e
d
G
×
(
f
)
≥
4,
K
d
R1
•
,
ch
0
(
f
) =
ch
(
f
)
−
2
d
G
×
(
f
)
−
6
d
G
×
(
f
)
×
d
G
×
(
f
) = 0.
v
∈
V
(
G
×
).
e
d
G
×
(
v
)
≥
5,
K
d
=
£
5
K
•
,
•
‡
y
β
(
v
)
≥
0.
Ï
L
ä
ó
3.3,
ä
ó
3.4
Ú
R1
Œ
•
β
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+2
×
1
2
≥
0.
e
d
G
×
(
v
)=4.
d
ä
ó
3.1
•
v
•
b
:
.
v
3
G
×
¥
4
‡
:
•
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
…
3
²
¡
þ
•
^
ž
•
•
ü
.
-
f
i
´
±
vv
i
,
vv
i
+1
•
>
.
¡
,
i
=1
,
2
,
3
,
4
…
v
5
=
v
1
.
d
ä
ó
3.1
•
d
G
×
(
v
i
)
≥
5,
i
=1
,
2
,
3
,
4.
d
IC-
²
¡
ã
½
Â
•
,
v
i
3
G
×
¥
:
(
Ø
v
)
•
ý
:
,
i
= 1
,
2
,
3
,
4.
œ
¹
1
µ
v
†
o
‡
b
3-
¡
'
é
K
f
1
=[
vv
1
v
2
],
f
2
=[
vv
2
v
3
],
f
3
=[
vv
3
v
4
]
…
f
4
=[
vv
4
v
1
].
d
v
1
•
†
˜
‡
b
:
ƒ
•
v
1
3
G
×
¥
Ø
v
Ù
{
:
•
ý
:
.
-
f
0
´
±
v
1
v
2
•
>
.
>
…
Ø
Ó
u
f
1
¡
,
f
00
´
±
v
4
v
1
•
>
.
>
…
Ø
Ó
u
f
4
¡
.
-
f
0
=[
v
1
v
2
x
1
···
x
k
].
e
d
G
×
(
f
0
)=3,
=
f
0
=[
v
1
v
2
x
1
],
K
G
¥
¹
ƒ
3-
v
1
v
2
x
1
v
1
Ú
5-
v
1
x
1
v
2
v
3
v
4
v
1
,
g
ñ
.
e
d
G
×
(
f
0
) = 4,
=
f
0
= [
v
1
v
2
x
1
x
2
],
d
IC-
²
¡
ã
½
Â
•
x
1
†
x
2
•
ý
:
.
d
δ
(
G
)
≥
5
•
x
1
,x
2
/
∈{
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
}
,
K
G
¥
¹
ƒ
3-
v
1
v
2
x
1
v
1
Ú
5-
v
1
x
2
x
1
v
2
v
3
v
1
,
g
ñ
.
d
G
×
(
f
0
)
≥
5.
d
é
¡
5
,
d
G
×
(
f
00
)
≥
5.
l
d
ä
ó
3.4
•
,
β
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+
4
5
×
2=
3
5
.
d
R2
•
,
v
1
–
=
DOI:10.12677/aam.2021.10103563395
A^
ê
Æ
?
Ð
X
õ
h
3
5
‰
v
.
d
é
¡
5
,
v
2
,v
3
,v
4
ˆ
–
=
3
5
‰
v
.
Ï
d
,
ch
0
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+4
×
3
5
=
2
5
.
œ
¹
2
µ
v
†
n
‡
b
3-
¡
'
é
.
Ø
”
f
1
=[
vv
1
v
2
],
f
2
=[
vv
2
v
3
]
†
f
3
=[
vv
3
v
4
].
e
y
d
G
×
(
f
4
)
≥
6.
¯¢
þ
,
X
J
d
G
×
(
f
4
)=4,
=
f
4
= [
vv
4
xv
2
],
K
d
ä
ó
3.1
•
x/
∈{
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
}
,
G
¥
¹
ƒ
3-
v
1
v
2
x
1
v
1
Ú
5-
v
1
v
2
v
3
v
4
xv
1
,
g
ñ
.
X
J
d
G
×
(
f
4
)=5,
=
f
4
=[
vv
4
x
1
x
2
v
2
],
@
o
d
ä
ó
3.1
•
x
1
,x
2
/
∈{
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
}
,
¤
±
G
¥
¹
ƒ
3-
v
1
v
2
x
1
v
1
Ú
5-
v
1
v
3
v
4
x
1
x
2
v
1
,
g
ñ
.
¤
±
,
d
G
×
(
f
4
)
≥
6.
d
ä
ó
3.3
Ú
3.4
•
,
β
(
v
1
)
≥
d
G
×
(
v
1
)
−
6+
1
2
+ 1=
1
2
.
d
R2
•
,
v
1
–
=
1
2
‰
v
.
Ó
n
,
v
4
–
=
1
2
‰
v
.
Ï
d
,
ch
0
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+1+
1
2
= 0.
œ
¹
3
µ
v
†
ü
‡
b
3-
¡
'
é
.
k
f
1
=[
vv
1
v
2
]
†
f
2
=[
vv
2
v
3
].
e
y
d
G
×
(
f
3
)
≥
5.
¯¢
þ
,
X
J
d
G
×
(
f
3
)=4,
=
f
3
=
[
vv
3
xv
4
],
K
d
ä
ó
3.1
•
x/
∈{
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
}
,
G
¥
¹
ƒ
3-
v
1
v
2
v
3
v
1
Ú
5-
v
1
v
3
xv
4
v
2
v
1
,
g
ñ
.
d
G
×
(
f
3
)
≥
5.
d
é
¡
5
,
d
G
×
(
f
4
)
≥
5.
d
ä
ó
3.3
Ú
3.4
•
,
β
(
v
3
)
≥
d
G
×
(
v
1
)
−
6 +
1
2
+
4
5
=
3
10
.
d
R2
•
,
v
3
–
=
3
10
‰
v
.
d
é
¡
5
,
v
4
–
=
3
10
‰
v
.
Ï
d
,
d
ä
ó
3.4
•
ch
0
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+
2
×
4
5
+2
×
3
10
=
1
5
.
2
f
1
=[
vv
1
v
2
]
Ú
f
3
=[
vv
3
v
4
].
e
d
G
×
(
f
2
)
≥
5
½
d
G
×
(
f
4
)
≥
5,
Ø
”
d
G
×
(
f
2
)
≥
5,
K
d
ä
ó
3.3
Ú
3.4
•
,
β
(
v
2
)
≥
d
G
×
(
v
1
)
−
6 +
1
2
+
4
5
=
3
10
.
d
R2
•
,
v
2
–
=
3
10
‰
v
.
Ó
n
,
v
3
–
=
3
10
‰
v
.
@
o
d
ä
ó
3.4
•
ch
0
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+2
×
4
5
+2
×
3
10
=
1
5
.
e
d
G
×
(
f
2
) =
d
G
×
(
f
4
) =4,
=
f
2
=[
vv
2
xv
3
]
Ú
f
4
=[
vv
4
yv
1
].
d
ä
ó
3.1
•
x,y/
∈{
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
}
.
-
f
0
´
±
v
2
x
•
>
.
>
…
Ø
Ó
u
f
2
¡
,
…
f
0
=[
v
2
xz
1
···
z
k
].
e
d
G
×
(
f
0
)=3,
K
G
¥
¹
ƒ
3-
v
2
xz
1
v
2
Ú
5-
v
2
z
1
xv
3
v
4
v
2
,
g
ñ
.
d
G
×
(
f
0
)
≥
4.
a
q
Œ
±
y
²
±
v
1
v
2
•
>
.
>
…
Ø
Ó
u
f
1
¡
•
4
+
-
¡
.
d
ä
ó
3.4
•
,
β
(
v
1
)
≥
d
G
×
(
v
1
)
−
6+
1
2
×
3 =
1
2
.
d
é
¡
5
,
k
β
(
v
i
)
≥
1
2
,
i
= 2
,
3
,
4.
d
R2
•
,
v
i
(
i
= 1
,
2
,
3
,
4)
–
=
1
2
‰
v
.
Ï
d
,
d
ä
ó
3.4
•
ch
0
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+2
×
1
2
+4
×
1
2
= 1.
œ
¹
4
µ
v
†
˜
‡
b
3-
¡
'
é
.
Ø
”
d
G
×
(
f
1
)=3,
=
f
1
=[
vv
1
v
2
].
d
ä
ó
3.2
•
,
f
3
(
v
3
)
≤d
2(
d
G
×
(
v
3
)
−
2)
3
e
.
l
v
3
–
'
é
d
G
×
(
v
3
)
−
f
3
(
v
3
)
≥
d
G
×
(
v
3
)
−d
2(
d
G
×
(
v
3
)
−
2)
3
e≥
3
‡
4
+
-
¡
.
d
ä
ó
3.4
•
,
β
(
v
3
)
≥
d
G
×
(
v
3
)
−
6 +
1
2
×
3 =
1
2
.
d
R2
•
,
v
3
–
=
1
2
‰
v
.
Ï
d
,
d
ä
ó
3.4
•
ch
0
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+3
×
1
2
+
×
1
2
= 0.
œ
¹
5
µ
v
Ø
†
b
3-
¡
'
é
d
ä
ó
3.4
•
,
ch
0
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+
1
2
×
4 = 0.
4.4-
Ø
†
4-
ƒ
IC-
²
¡
ã
ò
z
5
½½½
nnn
4.1.
4
-
Ø
†
4
-
ƒ
IC-
²
¡
ã
´
4
-
ò
z
.
y
²
.
G
´
½
n
4.1
:
ê
4
‡
~
ã
.
w
,
G
´
ë
Ï
,
G
´
•
`
IC-
²
¡
i
\
.
w
,
ä
ó
4.1
¤
á
.
ä
ó
4.1
δ
(
G
)
≥
5.
v
∈
V
(
G
×
)
´
˜
‡
ý
:
.
-
v
1
,v
2
,
d¸
ots,v
d
´
v
3
G
×
…
¥
:
…
3
²
¡
þ
•
^
ž
•
•
DOI:10.12677/aam.2021.10103563396
A^
ê
Æ
?
Ð
X
õ
h
ü
.
-
f
i
´
±
vv
i
,vv
i
+1
•
>
.
>
¡
,
Ù
¥
i
=1
,
2
,
···
,d
…
v
d
+1
=
v
1
.
d
4-
Ø
†
4-
•
f
i
,
f
i
+1
,
f
i
+2
¥
7
k
˜
‡
4
+
-
¡
½
b
3-
¡
.
ä
ó
4.2
¤
á
.
ä
ó
4.2
z
˜
‡
ý
:
v
Ø
†
n
‡
ƒ
U
ý
3-
¡
'
é
.
a
q
ä
ó
3.3
y
²
,
Œ
ä
ó
4.3
¤
á
.
ä
ó
4.3
z
‡
5
+
-
:
v
–
'
é
2
‡
4
+
-
¡
.
ä
ó
4.4
z
˜
‡
b
:
–
õ
'
é
3
‡
b
3-
¡
.
y
²
.
v
´
b
:
,
…
Ù
3
G
×
¥
4
‡
:
•
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
¿
…
3
²
¡
þ
•
^
ž
•
•
ü
.
K
v
1
v
3
∈
E
(
G
)
…
v
2
v
4
∈
E
(
G
).
-
f
i
´
±
vv
i
Ú
vv
i
+1
•
>
.
>
¡
,
Ù
¥
i
=1
,
2
,
3
,
4
…
v
5
=
v
1
.
·
‚
b
f
1
=[
vv
1
v
2
],
f
2
=[
vv
2
v
3
],
f
3
=[
vv
3
v
4
]
…
f
4
=[
vv
4
v
1
].
K
G
¥
¹
ƒ
4-
v
1
v
2
v
3
v
4
v
1
Ú
4-
v
1
v
3
v
4
v
2
v
1
,
g
ñ
.
¤
±
,
z
˜
‡
b
:
–
õ
'
é
3
‡
b
3-
¡
.
e
¡
·
‚
^
=
£
5
K
¤
½
n
4
y
²
.
·
‚
æ
^†
½
n
2.2
ƒ
Ó
Ð
©
¼
ê
9
=
£
5
K
.
e
5
,
·
‚
I
‡
y
²
é
¤
k
x
∈
V
(
G
×
)
∪
F
(
G
×
),
k
ch
0
(
x
)
≥
0.
l
í
Ñ
†
½
n
2.2
˜
g
ñ
,
l
¤
é½
n
4.1
y
²
.
d
R1
Œ
ä
ó
4.5
¤
á
.
ä
ó
4.5
1)
z
‡
4-
¡
=
1
2
‰
¤
'
é
:
.
2)
z
‡
4-
¡
=
4
5
‰
¤
'
é
:
.
3)
z
‡
6
+
-
¡
=
1
‰
¤
'
é
:
.
e
¡
y
é
u
∀
x
∈
V
(
G
×
)
∪
F
(
G
×
),
Ñ
k
ch
0
(
x
)
≥
0.
f
∈
F
(
G
×
).
e
d
G
×
(
f
)=3,
K
ch
0
(
f
)=
ch
(
f
) = 2
d
G
×
(
v
)
−
6 =0.
e
d
G
×
(
f
)
≥
4,
K
d
R1
•
,
ch
0
(
f
) =
ch
(
f
)
−
2
d
G
×
(
f
)
−
6
d
G
×
(
f
)
×
d
G
×
(
f
) = 0.
v
∈
V
(
G
×
).
e
d
G
×
(
v
)
≥
5,
d
=
£
5
K
•
,
I
y
β
(
v
)
≥
0.
d
ä
ó
4.3,
ä
ó
4.4
Ú
R1
•
β
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+2
×
1
2
≥
0.
e
d
G
×
(
v
) = 4.
d
ä
ó
4.1
•
v
•
b
:
.
-
v
3
G
×
¥
4
‡
:
•
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
…
3
²
¡
þ
•
^
ž
•
•
ü
.
K
v
1
v
3
∈
E
(
G
)
…
v
2
v
4
∈
E
(
G
).
-
f
i
´
±
vv
i
,
vv
i
+1
•
>
.
¡
,
i
=1
,
2
,
3
,
4
…
v
5
=
v
1
.
d
ä
ó
4.4
•
,
v
–
õ
'
é
3
‡
b
3-
¡
.
d
ä
ó
4.1
•
d
G
×
(
v
i
)
≥
5,
i
=1
,
2
,
3
,
4.
d
IC-
²
¡
ã
½
Â
•
,
v
i
3
G
×
¥
:
(
Ø
v
)
•
ý
:
,
i
= 1
,
2
,
3
,
4.
œ
¹
1
µ
v
†
n
‡
b
3-
¡
'
é
.
Ø
”
f
1
=[
vv
1
v
2
],
f
3
=[
vv
3
v
4
]
†
f
4
=[
vv
4
v
1
].
e
y
d
G
×
(
f
2
)
≥
5.
¯¢
þ
,
e
d
G
×
(
f
2
)=4,
=
f
4
= [
vv
2
xv
3
],
K
d
ä
ó
4.1
•
x/
∈{
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
}
.
G
¥
¹
ƒ
4-
v
1
v
2
xv
3
v
1
Ú
4-
v
1
v
2
v
4
v
3
v
1
,
g
ñ
.
¤
±
d
G
×
(
f
2
)
≥
5.
-
f
0
´
±
v
1
v
2
•
>
.
>
…
Ø
Ó
u
f
1
¡
.
e
d
G
×
(
f
0
)=3,
=
f
0
=
[
v
1
v
2
y
1
],
d
ä
ó
4.1
•
y
1
/
∈{
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
}
.
G
¥
¹
ƒ
4-
v
1
y
1
v
2
v
4
v
1
Ú
4-
v
1
v
2
v
4
v
3
v
1
,
g
ñ
.
e
d
G
×
(
f
0
)=4,
=
f
0
=[
v
1
v
2
y
1
y
2
],
d
ä
ó
4.1
•
y
1
,y
2
/
∈{
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
}
,
y
1
,y
2
´
ý
:
,
G
¥
¹
ƒ
4-
v
1
v
2
y
1
y
2
v
1
Ú
4-
v
1
v
2
v
4
v
3
v
1
,
g
ñ
.
d
G
×
(
f
0
)
≥
5,
l
d
ä
ó
4.5
•
,
β
(
v
2
)
≥
d
G
×
(
v
2
)
−
6+
4
5
×
2=
3
5
.
d
R2
•
,
v
2
–
=
3
5
‰
v
.
d
é
¡
5
,
v
3
–
=
3
5
‰
v
.
d
ä
ó
4.5
•
ch
0
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+
4
5
+2
×
3
5
= 0.
DOI:10.12677/aam.2021.10103563397
A^
ê
Æ
?
Ð
X
õ
h
œ
¹
2
µ
v
†
ü
‡
b
3-
¡
'
é
.
k
f
3
= [
vv
3
v
4
]
…
f
4
= [
vv
4
v
1
].
k
y
f
1
Ú
f
2
¥–
k
˜
‡
5
+
-
¡
.
¯¢
þ
,
e
f
1
= [
vv
1
xv
2
]
…
f
2
=
[
vv
2
yv
3
],
d
ä
ó
4.1
•
x
6
=
y
…
x,y/
∈{
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
}
,
d
ž
G
¥
¹
ƒ
4-
v
1
xv
4
v
2
v
1
Ú
4-
v
2
yv
3
v
4
v
2
,
g
ñ
.
f
1
Ú
f
2
¥–
k
˜
‡
´
5
+
-
¡
.
d
ä
ó
4.2
•
,
f
3
(
v
2
)
≤d
2(
d
G
×
(
v
2
)
−
2)
3
e
.
v
2
–
†
d
G
×
(
v
2
)
−
f
3
(
v
2
)
≥
d
G
×
(
v
2
)
−d
2(
d
G
×
(
v
2
)
−
2)
3
e≥
3
‡
4
+
-
¡
.
d
ä
ó
4.5
•
,
β
(
v
2
)
≥
d
G
×
(
v
2
)
−
6+
1
2
×
2+
4
5
=
4
5
.
d
R2
•
,
v
2
–
=
4
5
‰
v
.
d
ä
ó
4.5
•
ch
0
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+
1
2
+
4
5
+
4
5
=
1
10
.
2
f
1
=[
vv
1
v
2
]
Ú
f
3
=[
vv
3
v
4
].
e
y
d
G
×
(
f
2
)
≥
5
…
d
G
×
(
f
4
)
≥
5.
¯¢
þ
,
d
é
¡
5
Ø
”
f
2
=[
vv
2
xv
3
].
d
ä
ó
4.1
•
x
6
=
y
…
x,y/
∈{
v
1
,v
2
,v
3
,v
4
}
,
G
¥
¹
ƒ
4-
v
2
xv
3
v
4
v
2
Ú
4-
v
1
v
2
v
4
v
3
v
1
,
g
ñ
.
d
G
×
(
f
2
)
≥
5
…
d
G
×
(
f
4
)
≥
5.
d
ä
ó
4.5
•
,
β
(
v
i
)
≥
d
G
×
(
v
i
)
−
6+
1
2
+
4
5
=
3
10
,
i
=
1
,
2
,
3
,
4.
d
R2
•
,
v
i
–
=
3
10
‰
v
,
i
= 1
,
2
,
3
,
4.
d
ä
ó
4.5
•
ch
0
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+4
×
3
10
+2
×
4
5
=
4
5
.
œ
¹
3
µ
v
†
˜
‡
b
3-
¡
'
é
.
Ø
”
d
G
×
(
f
1
) = 3,
=
f
1
= [
vv
1
v
2
].
d
ä
ó
4.2
•
,
f
3
(
v
3
)
≤d
2(
d
G
×
(
v
3
)
−
2)
3
e
.
v
3
–
†
d
G
×
(
v
3
)
−
f
3
(
v
3
)
≥
d
G
×
(
v
3
)
−d
2(
d
G
×
(
v
3
)
−
2)
3
e≥
3
‡
4
+
-
¡
'
é
.
d
ä
ó
4.5
•
,
β
(
v
3
)
≥
d
G
×
(
v
3
)
−
6+
1
2
×
3 =
1
2
.
d
R2
•
,
v
3
–
=
1
2
‰
v
.
Ï
d
,
d
ä
ó
4.5
•
ch
0
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+3
×
1
2
+
1
2
= 0.
œ
¹
4
µ
v
Ø
†
b
3-
¡
'
é
d
ä
ó
4.5
•
,
ch
0
(
v
)
≥
d
G
×
(
v
)
−
6+
1
2
×
4 = 0.
ë
•
©
z
[1]Bondy,J.A.andMurty,U.S.R.(1976)GraphTheorywithApplications.North-Holland,New
York.
[2]Ringel,G.(1965)EinSechsfarbenproblemaufderKugel.
AbhandlungenausdemMathema-
tischenSeminarderUniversit¨atHamburg
,
29
,107-117.(InGerman)
https://doi.org/10.1007/BF02996313
[3]Alberson, M. (2008)Chromatic Number, IndependentRatio, and CrossingNumber.
ArsMath-
ematicaContemporanea
,
1
,1-6.https://doi.org/10.26493/1855-3974.10.2d0
[4]Kral,D.andStacho,L.(2010)ColoringPlaneGraphswithIndependentCrossings.
Journal
ofGraphTheory
,
64
,184-205.https://doi.org/10.1002/jgt.20448
[5]Wang,W.andLih,K.W.(2002)ChoosabilityandEdgeChoosabilityPlanarGraphswithout
FiveCycles.
AppliedMathematicsLetters
,
15
,561-565.
https://doi.org/10.1016/S0893-9659(02)80007-6
[6]Fijavz,G.,Juvan,M.,Mohar,B.andSkrekovski,R.(2002)PlanarGraphswithoutCyclesof
SpecificLengths.
EuropeanJournalofCombinatorics
,
23
,377-388.
https://doi.org/10.1006/eujc.2002.0570
DOI:10.12677/aam.2021.10103563398
A^
ê
Æ
?
Ð