Dirichlet空间上H-Toeplitz算子的交换性 Commutants of H-Toeplitz Operators on Dirichlet Space

doi:10.12677/AAM.2021.1011393

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AdvancesinAppliedMathematicsA^êÆ?Ð,2021,10(11),3699-3711

PublishedOnlineNovemb er2021inHans.http://www.hanspub.org/journal/aam

https://doi.org/10.12677/aam.2021.1011393

Dirichlet˜mþH-ToeplitzŽf

†5

oooŠŠŠYYY

úô“‰ŒÆêÆ†OŽÅ‰ÆÆ§úô7u

ÂvFÏµ2021c108F¶¹^FÏµ2021c1029F¶uÙFÏµ2021c119F

Á‡

©ÄuBergman˜mþH-ToeplitzŽfïÄ§3ùŸ©Ù¥Ì‡ïÄDirichlet˜mþH-

ToeplitzŽf†5"

'…c

H-ToeplitzŽf§Dirichlet˜m§†5

CommutantsofH-ToeplitzOperators

onDirichletSpace

MengkeLi

InstituteofMathematicsandComputerScience,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang

Received:Oct.8

,2021;accepted:Oct.29

,2021;published:Nov.9

,2021

Abstract

BasedontheresearchofH-ToeplitzoperatorsonBergmanspace,thisarticlemainly

studiesthecommutantsofH-ToeplitzoperatorsonDirichletspace.

©ÙÚ^:oŠY.Dirichlet˜mþH-ToeplitzŽf†5[J].A^êÆ?Ð,2021,10(11):3699-3711.

DOI:10.12677/aam.2021.1011393

oŠY

Keywords

H-ToeplitzOperators,DirichletSpace,Commutant

2021byauthor(s)andHansPublishersInc.

This work is licensed undertheCreative Commons Attribution InternationalLicense(CCBY4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1.0

-DL«E²¡Cþü ,=D={z∈C||z|<1},Dirichlet˜mD´d¤k3ü

þ)Û¼êf|¤,Ù¥f‡÷vD(f)<∞,D(f)=:

(w)|

dA(w)´DirichletÈ©,Ù

¥dA(w)LKzV‚¡ÈÿÝ.

éu?¿f(z) =

∞

k=1

= a

,g(z) =

∞

j=1

∈D,˜m¥SÈ÷v:

hf,gi=

(w)g

(w)dA(w),

…Dirichlet˜mD´÷v±e‰ê

kfk

= D(f) =

∞

k=1

k|a

)Û¼êHilbert˜m.d,D•´˜‡2)ØHilbert˜m,ÙØ•

(w) = log

1−zw

,w,z∈D,

f(z) = hf,K

i,f∈D.

Dirichlet˜mD´Sobolev˜mL

2,1

(D)4f˜m,é∀f∈L

2,1

(D),

kfk

= |

fdA|

∂f

∂w

dA+

∂f

∂w

dA<∞,

DOI:10.12677/aam.2021.10113933700A^êÆ?Ð

oŠY

Ù¥¦´3©Ù¿Âe.…,L

2,1

(D)÷vSÈ

hf,gi=

fdA+

gdA+



∂f

∂w

∂g

∂w





∂f

∂w

∂g

∂w



Ù¥hf,gi=

fgdA.

3ŽfnØïÄ¥,êÆ[‚ïÄõ«Žf,XToeplitzŽf!HankelŽf,,Žf

3ØÓ˜m¥•kˆ«ˆØÓ5Ÿ,ïÄ•õ•´••2•=Hardy˜mþŽf

Ä5Ÿ,ù•´êÆ[‚•m©¤ïÄ¯K.X´3dÄ:þ?1ò,'XBergman˜

m,Dirichlet˜m,ù•´ïÄ•õ˜m.,Žf5Ÿ•kéõ,'XToeplitzŽ

fÚHankelŽf3Bergman˜m¥;5([1][2]),d\Dirichlet˜m¥ToeplitzŽf;5

•kïÄ([3]),„kk.5,ùü«5Ÿ´ïÄ•2•,‘,•kêÆ[ïÄŽf

†5,S.Axler<,ZhaoLiankuo©O32000c[4],2008c[5]ïÄBergman˜m¥)Û

ToeplitzŽf†5±9NÚDirichlet˜m¥ToeplitzŽf†5,•õïÄ(J•Œë

©z[6][7][8].dToeplitzŽfÚHankelŽf5ŸŒ±ïÄH-ToeplitzŽf˜ƒq5Ÿ,

S.C.Arora<3[9]¥•ïÄH-ToeplitzŽf˜Ü©SN.

é?¿ên,-e

(z)=

√

,z∈D,K{e

(z)}

n>0

´Dirichlet˜m¥IOÄ.

-P:L

2,1

(D)→DL«L

2,1

(D)DþÝK.˜mL

∞

(D)L«ü þ¤kŸk.V

‚Œÿ¼êfBanach˜m,…‰ê÷v

kfk

∞

= esssup{|f(z)|: z∈D}.

∞,1

(D)L«{f∈L

∞,1

(D)|f,

∂f

∂z

∂f

∂z

∈L

∞

(D)}.-D

harm

L«NÚDirichlet˜m,KP

harm

2,1

(D) →D

harm

L«L

2,1

(D)D

harm

þÝK.-C(D)L«Dþ¤këY¼ê,

(D) = {f: f,

∂f

∂w

∂f

∂w

∈C(D)}

é?¿φ∈C

(D),½ÂDirichlet˜mDþToeplitzŽfT

•

(f) = P(φf)(z) =

∂(φf)

∂w

∂K

∂w

dA(w),f∈D,

w,T

´k..éuφ∈C

(D),HankelŽfH

½Â•

(f) = PM

J(f),f∈D,

Ù¥ŽfJ: D→D½Â•J(e

(z)) = e

n+1

(z),n•?¿ê.

HankelŽfh

(f) = P(φJf),f∈D.

DOI:10.12677/aam.2021.10113933701A^êÆ?Ð

oŠY

3ùŸ©Ù¥,·‚Ì‡ïÄDirichlet˜mDþH-ToeplitzŽf,3©Ùm©·‚•éH-

ToeplitzŽf'uD¥IOÄÝ,ù•†ToeplitzŽfÚHankelŽfÝkX—ƒ'é.

32019c,A.Gupta<3[10]¥0SlantH-ToeplitzŽfÎÒ,¿…ïÄH-ToeplitzŽf

3Hardy˜m¥˜5Ÿ,•)•2•;5Ú†5.ÄuùïÄ,·‚3ùŸ©Ù¥B5ï

ÄDirichlet˜m¥H-ToeplitzŽf†5,ÙÎÒ´L

∞,1

(D)¥NÚ¼ê.

2.Dirichlet˜m¥H-ToeplitzŽf

3m©ƒc§·‚I‡‰Ñ˜Ún•¡(J‰O.

Ún2.13NÚDirichlet˜m¥,éu?¿šKêmÚn,eªf¤á:

harm

) =











n−m

n>m

m−n

n<m

n+1

m= n

y²én>m,k



harm

),z





),z



dA(z)

dA(z)+

nkz

n−1

k−1

dA(z)

= hz

+nk

n−1

m+k−1

dA(z)

= nk

n−1

m+k−1

dA(z)

= nk

2π

m+k+n−1

i(n−m−k)θ

drdθ











n−mk= n−m

0Ù§







n−m

>k= n−m

0Ù§



n−m



DOI:10.12677/aam.2021.10113933702A^êÆ?Ð

oŠY

,˜•¡,én<m,k



harm

),z





),z



dA(z)

dA(z)+

mkz

m−1

k−1

dA(z)

= hz

+mk

n+k−1

m−1

dA(z)

= mk

2π

m+k+n−1

i(n+k−m)θ

drdθ











m−nk= m−n

0Ù§











m−n





k= m−n

0Ù§



m−n



Ødƒ,m= nž,



harm

),z



n+1

nþ,Œ±

harm

) =











n−m

n>m

m−n

n<m

n+1

m= n

@oéuDirichlet˜m,dÚn2.1Œ±†.

Ún2.23Dirichlet˜m¥,éu?¿êmÚn,eªf¤á

(a)hz











mm= n

0Ù§

(b)P(z

) =











m−n

m>n

0m<n

m+1

m= n

e¡·‚éDirichlet˜m¥ToeplitzŽfT

ÚHankelŽfH

Ý,Ù¥φ´NÚ¼ê.3

ùp·‚•ÄNÚÎÒφ(z)=

∞

i=1

∞

j=1

∈L

∞,1

(D),KT

'uÄ{e

}

n>0

Ý

DOI:10.12677/aam.2021.10113933703A^êÆ?Ð

oŠY

(m,n)g‘•

i= hP(φe

),e

i= hφe

√

hφz

√

(

∞

i=1

∞

j=1

(1)m≥nž,

√

∞

i=1



i+n



m−n

(2)m<nž,

√

∞

j=1

∞

j=1



n−1

m−1



n−m

Ïd,







m−n

m≥n

n−m

m<n

Ù¥mÚnÑ´ê.

¤±T

ÝŒ±d±e‰Ñ







···

√

···

√

···







e5·‚‡ékNÚÎÒHankelŽfÝ,-φ(z) =

∞

i=1

∞

j=1

∈L

∞,1

(D),KH

uD¥IOÄ{e

}

n>0

Ý(m,n)g‘•

i= hPM

n+1

i= hM

n+1

m(n+1)

(

∞

i=1

∞

j=1

n+1

m(n+1)

(

∞

i=1



n+1



∞

j=1



n+j+1



)

m(n+1)

∞

i=1



i−1

m+n



m(n+1)

m+n+1

Ù¥mÚnÑ•ê.

DOI:10.12677/aam.2021.10113933704A^êÆ?Ð

oŠY

'uD¥IOÄ{e

}

n>0

Ý•







√

···

√

···

√

···

√

···







•éH-ToeplitzŽfB

½Â,·‚Äk•ÄŽfK: D→D

,½ÂXe:

K(e

(z)) = e

(z) =

√

,K(e

2n+1

(z)) = e

n+1

(z) =

√

n+1

,n>0,z∈D.

ŽfK3D¥´k.‚5,…kKk= 1,Ó,ŽfK

∗

½Â•

∗

(z)) = e

(z),K

∗

n+1

(z)) = e

2n+1

(z),n>0.

e¡·‚ò|^ŽfK½Â5½ÂDirichlet˜mD¥H-ToeplitzŽf.

½Âéφ∈C

(D),H-ToeplitzŽf½ÂXe:B

: D→D,…kB

(f) = PM

K(f),∀f∈D.

X·‚éH-ToeplitzŽfB

3Dirichlet˜mD¥3IOÄeÝ,Ù¥φ•NÚ¼ê.

·‚φ∈L

∞,1

(D),|^Ún2.2,éz‡ên,k

) = PM

K(e

) = PM

= T

)

2n+1

) = PM

K(e

2n+1

) = PM

n+1

= PM

= h

Ïd,

i= hT







m−n

,m≥n

n−m

,m<n

Ù¥m,nÑ´ê.

2n+1

i= hH

m(n+1)

m+n+1

,m>0,n>0,

'uD¥IOÄ{e

}

n>0

Ý•







√

···

√

···

√

···

√

···







DOI:10.12677/aam.2021.10113933705A^êÆ?Ð

oŠY

Š‘Ý•

∗







√

···

√

···

√

···

√

···

√

···

√

···







ÝŒB

ÝLˆª¥2n+1(n=1,2,...)TT•HankelŽfÝLˆª,ó

ê•ToeplitzŽfÝLˆª.

e5·‚ò‰ÑäNDirichletH-ToeplitzÝ:

½Âéuφ(z) =

∞

i=1

∞

j=1

∈L

∞

(D),e˜‡Ý(C

m,n

)(m,n)g‘÷ve'X:

m,n











m−j

n= 2jm≥j

j−m

n= 2j,m<j

m+j+1

√

m(j+1)

m+j+1

n+2j+1

Ù¥m,n,jÑ´ê,KŒòÃ•Ý(C

m,n

)½Â•˜‡DirichletH-ToeplitzÝ.qd(C

m,n

)

ÝŒ(C

m,n

)÷vC

1,2

= C

j,2j

,j≥1.

^B(D)L«D¥k.‚5Žf8Ü,e¡·‚y²éuNγ:G→B(D),e½Â•‡o

´{φ∈L

∞

(D) : φ´NÚ}‡o´{φ∈C

(D) : φ´NÚ},Kγ´˜˜.

·K2.5½Â•γ(φ) =B

¼êγ: G→B(D)o´˜˜,Ù¥G‡o´˜m{φ∈L

∞

(D) :

φ´NÚ}‡o´˜m{φ∈C

(D) : φ´NÚ}

y²œ¹1-G={φ∈L

∞

(D):φ´NÚ},…φ,ψ∈L

∞

(D)´DþNÚ¼ê§½Â

•φ(z)=

∞

i=1

∞

j=1

,ψ(z) =

∞

j=1

∞

j=1

,eB

= B

,Kk(B

−B

)(e

) =

0,n>0,AO/,(B

−B

)(1) = B

φ−ψ

(1) = 0,|^½Â,

φ−ψ

(1) = PM

φ−ψ

K(1) = p(

∞

i=1

−a

∞

j=1

−b

) =

∞

i=1

−a

= 0

ÏdŒa

−a

= 0,i≥1,=a

= a

,i≥1

DOI:10.12677/aam.2021.10113933706A^êÆ?Ð

oŠY

…B

φ−ψ

) = 0.K

φ−ψ

) = PM

φ−ψ

K(e

) = PM

φ−ψ

= PM

φ−ψ

= P(

∞

i=1

−a

∞

j=1

−b

= P

∞

i=1

−a

i+1

∞

j=1

−b

) = 0

Kkb

−b

= 0,b

= b

X,B

φ−ψ

) = 0,K

φ−ψ

) = PM

φ−ψ

K(e

) = PM

φ−ψ

= PM

φ−ψ

√

= P

√

(

∞

i=1

−a

i+2

∞

j=1

−b

= P

√

∞

j=1

−b

) =

√

−b

)P(z

)

= 0

¤±7kb

−b

= 0,=b

= b

•g^aq•{òB

Š^e

,···þ,Œb

= b

,j≥1.Ïdφ= ψ,¤±γ´˜˜.

œ¹2-G={φ∈C

(

D):φ´NÚ},b½γ(φ)=0,=B

=0,φ∈C

(D),Ké?¿

êm,n,k

0 =





√

2mnhPM

√

2hT

√

2nhφz

Ïdhφz

=0,¤±φ3>.þ•0,=φ|

∂D

=0.∵φ´NÚ,∴ŒdÑtÈ©úªφ(z)=

2π

−r

)φ(Re

iθ

)

−2Rrcos(θ−ϕ)+r

dθ,z∈D.φ(Re

iθ

)=0ž,Kφ(z)=0,z∈D,=φ3DSð•0.γ´˜

˜.

3.H-To eplitzŽf†5

3ù˜Ü©·‚ïÄH-ToeplitzŽf†5,Ù¥H-ToeplitzŽfÎÒ•)ÛÚÝ)Û

,˜„/,ü‡ÎÒÑ•)Û…ÎÒgêØÓH-ToeplitzŽf´ØŒ±†,e¡~fŒ±

ƒ±y².

~f3.1-φ(z)=z,ψ(z)=z

,KB

(z))=PM

K(e

(z))=PM

(z)=PM

√

DOI:10.12677/aam.2021.10113933707A^êÆ?Ð

oŠY

√

(z)) = PM

K(e

(z)) = PM

(z) = PM

√

,Ïd,

(z)) = B

(

√

) =

√

K(z

) =

√

= 0,

(z)) = B

(

√

) =

√

K(z

) =

√

P(z

) =

√

¤±B

6= B

ü‡H-ToeplitzŽfÎÒ©O•)ÛÚÝ)Ûž,~X-φ(z)=z,ψ(z)=z,

6= B

,Ï•

) = B

√

2z=

√

) = B

√

2z= PM

√

) = 1.

ÏLþ¡~f,·‚uyéuü‡Ñ´)ÛÎÒ…ÎÒgêØÓH-ToeplitzŽf±9ü‡

©O´)ÛÚÝ)ÛH-ToeplitzŽf˜„´ØU†,¤±e¡·‚^˜‡½n5•xü

‡H-ToeplitzŽf3Dirichlet˜m¥Œ±†^‡.

½n3.2-φ(z)=

∞

n=1

Úψ(z)=

∞

m=1

,Ù¥a

,n,m≥1Ñ´šK~ê,

…φ(0) = 0,ψ(0) = 0,eB

†B

Œ†…=φ= 0½ψ= 0.

yÄk¿©5´w,,eφ=0½ψ=0,KB

.Ùg´7‡5,eB

,K˜½kB

(1) = B

(1),|^½Â,

(1) = PM

KPM

K(1) = PM

KPM

(1) = 0,

(1) = PM

KPM

K(1) = PM

KPM

(1)

= PM

KP(

∞

n=1

) = PM

(

∞

n=1

√

nK(e

))

n= 2k+1ž

(1) = PM

(

∞

k=1

2k+1

√

2k+1K(e

2k+1

)) = 0

n= 2kž

(1) = PM

KPM

K(1) = PM

KPM

(1)

= PM

(

∞

k=1

√

2kK(e

)) = P(

∞

m=1

)(

√

∞

k=1

)

∞

t=1

√

∞

j=1

j+t

Ïd,

∞

t=1

√

∞

j=1

j+t

=0,dua

,n,m≥1Ñ´šK,Ka

0,a

j+t

= 0,j≥1,t≥1.Ïdb

= 0,j≥1,½a

i+t

= 0,i,t≥1,=b

= 0,j≥1,½a

= 0,i≥1,ù

DOI:10.12677/aam.2021.10113933708A^êÆ?Ð

oŠY

L²φ= 0½ψ= 0.

|^T½n·‚•Œ±ïÄü‡H-ToeplitzŽfÎÒÑ´NÚžÿ†5.

½n3.3-φ(z)=

∞

i=1

∞

j=1

,…ψ(z)=

∞

m=1

∞

n=1

´L

∞,1

(D)¥

ü‡NÚ¼ê,…kφ(0)=0=ψ(0),Ù¥a

,i,j,m,n≥1Ñ´š"Iþ,…b

½a

k−2i

≥c

k−2i

2i−j

≥c

2i−j

±9a

≥c

2j+h

≥d

2j+h

,Ù¥k,j,hþ•óê,l≥1.

Ke^‡d:

(1)B

= B

(2)φ†ψ´‚5ƒ'.

yeφ†ψ‚5ƒ',w,B

†B

Œ†.eB

†B

Œ†,K˜½kB

) = B

) = PM

KPM

K(z

) = PM

KPM

(2e

)

= PM

KPM

√

2PM

KP[(

∞

m=1

∞

n=1

]

√

2PM

KP(

∞

m=1

m+2

∞

n=1

)

√

2PM

∞

m=1

m+2

)

√

2PM

(

∞

m=1

√

m+2

∞

m=1

2(m+2)

m+3

)

√

2P(

∞

i=1

∞

j=1

)(

∞

m=1

√

m+2

∞

m=1

2(m+2)

m+3

)

√

∞

i=1

∞

m=1

√

m+2i+2

∞

i=1

∞

m=1

2(m+2)

m+3

2i−m−3

∞

i=2

i−1

∞

i=1

∞

j=1

∞

m=1

√

m−2j+2

)

) = PM

KPM

K(z

) = PM

KPM

(2e

)

= PM

KPM

√

2PM

KP[(

∞

i=1

∞

j=1

]

√

2PM

KP(

∞

i=1

i+2

∞

j=1

)

√

2PM

∞

i=1

i+2

)

√

2PM

(

∞

i=1

√

i+2K(e

i+2

)+b

)

√

2PM

(

∞

i=1

√

i+2e

i+2

∞

i=1

√

i+2e

i+3

)

DOI:10.12677/aam.2021.10113933709A^êÆ?Ð

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√

2P(

∞

m=1

∞

n=1

)(

∞

i=1

√

i+2

∞

i=1

2(i+2)

i+3

)

√

∞

m=1

∞

i=1

√

2m+i+2

∞

m=1

∞

i=1

2(i+2)

i+3

2m−i−3

∞

m=2

m−1

∞

m=1

∞

n=1

∞

i=1

√

i−2n+2

)

'ªü>z‘Xê,Œ

√

∞

i=1

2i−5

2i−3

i−1

√

∞

j=1

)

√

∞

i=1

2m−5

2m−3

m−1

√

∞

n=1

½ödu

2m−5

,m≥1,

…

,n≥1,?

i+1

,i=

1,2,3,

'ªü>z

‘Xê,Œ

√

∞

i=1

2i−7

2i−5

i−1

√

∞

j=1

2j+2

)

√

∞

m=1

2m−7

2m−5

m−2

√

∞

n=1

2n+2

)

½ödu

2m−7

,m≥1,

…

2n+2

,n≥1,?

i+1

,i=

1,2,3,4,5,

j+1

,j= 1,2.

'ªü>z

‘Xê,Œ

√

∞

i=1

4−2i

∞

i=1

2i−9

2i−7

i−3

√

∞

j=1

2j+4

)

√

∞

m=1

4−2m

√

∞

m=1

2m−9

2m−7

m−3

√

∞

n=1

2n+4

)

½ödu

2m−9

4−2m

,m≥1,

…

2n+4

,n≥1,?

i+1

,i=

1,2,3,4,5,6,

j+1

,j= 1,2,3.

X•g'e,·‚Œ±

k+1

,k≥1,

j+1

,j≥1,du

¤±Œ

= λ,Ù¥λ=

,•L²φ= λψ.

DOI:10.12677/aam.2021.10113933710A^êÆ?Ð

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