复杂三维流形两类穿孔环面和的亏格 Genus of Two Classes of Punctured Torus Sum of Complicated 3-Manifolds

doi:10.12677/AAM.2022.1112934

Advances in Applied Mathematics
Vol. 11 No. 12 ( 2022 ), Article ID: 59527 , 5 pages
10.12677/AAM.2022.1112934

复杂三维流形两类穿孔环面和的亏格

王树新，徐诚蕙，陶金

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辽宁师范大学，辽宁大连

收稿日期：2022年11月21日；录用日期：2022年12月15日；发布日期：2022年12月26日

摘要

本文从某些三维流形穿孔环面和是否具有亏格可加性出发，通过三维流形组合拓扑的研究方法和技巧，给出了某些可定向闭曲面加厚两类 $n (n \geq 3)$ 穿孔环面和的亏格，进一步得到某些复杂三维流形两类 $n (n \geq 3)$ 穿孔环面和的亏格。

关键词

复杂三维流形，亏格，穿孔环面，曲面和

Genus of Two Classes of Punctured Torus Sum of Complicated 3-Manifolds

Shuxin Wang, Chenghui Xu, Jin Tao

Liaoning Normal University, Dalian Liaoning

Received: Nov. 21^st, 2022; accepted: Dec. 15^th, 2022; published: Dec. 26^th, 2022

ABSTRACT

In this paper, starting from whether the punctured torus sum of some 3-manifolds is additive, through the methods and techniques of hybrid topology of 3-manifolds, it gives the genus of two classes of n-punctured $(n \geq 3)$ torus sum of some thickened orientable closed surfaces, and then it gets the genus of two classes of n-punctured $(n \geq 3)$ torus sum of some complicated 3-main- folds.

Keywords:Complicated 3-Manifolds, Genus, Punctured Torus, Surfaces Sum

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1. 引言

三维流形理论是低维拓扑学研究的核心内容之一，组合方法是研究三维流形分类和结构的一种重要方法。三维流形中不可压缩曲面的性质和分类、纽结和链环理论、三维流形沿曲面相粘后所得流形的亏格与因子三维流形亏格及相粘曲面亏格和边界分支数之间的关系都是近年来三维流形理论研究的热点问题。研究三维流形带边曲面和的亏格，可利用三维流形组合拓扑理论中的割补思想将三维流形带边曲面和转化为三个三维流形沿两个闭曲面相粘的形式，通过三个因子流形的亏格及三维流形沿闭曲面相粘的一些已知结果，进行进一步的分析和讨论。2008年，Tsuyoshi Kobayashi和邱瑞锋在文献 [1] 中证明了若 $M = M_{1} \cup_{F} M_{2}$ ，当因子流形 $M_{i} (i = 1, 2)$ 的Hausdorff分解距离足够大时，有 $g (M) = g (M_{1}) + g (M_{2}) - g (F)$ ；2014年，王树新和倪楠在文献 [2] 中证明了某些复杂三维流形三穿孔球面和具有亏格可加性；2016年，王霄在文献 [3] 中证明了某些复杂三维流形简单穿孔球面和具有亏格可加性；2017年，冷健在文献 [4] 中证明了某些复杂三维流形五、六穿孔球面和具有亏格可加性。

本文利用三维流形组合拓扑的研究技巧和方法，对某些可定向闭曲面加厚特定穿孔环面和、某些复杂三维流形特定穿孔环面和的亏格是否具有可加性进行分析，通过讨论相粘穿孔环面的可能分离情形，给出某些可定向闭曲面加厚特定穿孔环面和以及某些复杂三维流形特定穿孔环面和的亏格。

2. 预备知识

定义 2.1 设M是一个Hausdorff空间，如果空间M中任意一点p都有一个与 $R^{n}$ 同胚的开邻域 $U_{p}$ ，则称M是一个n维流形。如果空间M中任意一点p存在开邻域或者同胚于 $R^{n}$ ，或者同胚于 $R_{+}^{n}$ ，则称M是一个n维带边流形。将流形M中所有同胚于 $R_{+}^{n}$ 的点组成的集合称为流形M的边界，记为 $\partial M$ ，并称 $M \ \partial M$ 为流形M的内部。

定义 2.2 如果M是一个n维流形，并且W是一个含于M内的流形，则称W是流形M的一个子流形。

定义 2.3 假设M是一个n维流形，W是一个m维流形，如果存在一个同胚映射 $f : W \to M^{*}$ ，其中 $M^{*}$ 是M的子流形，则称f是从W到M的一个嵌入映射， $f (W)$ 是W到M的嵌入。

定义 2.4 如果M是一个n维流形，同时W是一个m维流形，映射f是从流形W到流形M的一个嵌入，若满足 $f (\partial W) \subset \partial M$ ， $f (int W) \subset int M$ ，则称映射f是从流形W到流形M的一个真嵌入。

定义 2.5 设F是一个紧致且可定向曲面，C为曲面F上的一条简单闭曲线，如果曲线C不在曲面F上界定2-圆片，则称曲线C在曲面F上是本质的。

定义 2.6 设F是真嵌入到三维流形M中的曲面，若F在M中界定三维实心球体或者F上至少有一条本质闭曲线在M中界定2-圆片且与F不交，则称F是流形M中的一个可压缩曲面；否则称F是流形M中的不可压缩曲面。

定义 2.7 假设S是三维流形M中的一个二维球面，如果S不在流形M中界定三维实心球体，则称S在M中是本质的。如果任意球面在M中都不是本质的，则称M是不可约流形；否则称M是可约流形。

定义 2.8 设P为一个曲面，F是P的子曲面，若 $# (P \ int F) > 1$ ，则称F在P上是分离的；否则称F在P上是非分离的。

定义 2.9 若F在P上是分离的，且P沿F的任意边界分支切开都是非连通的，则称F在P上是完全分离的；否则称F在P上是非完全分离的。

定义 2.10 设 $M_{i} (i = 1, 2)$ 是紧致且可定向的三维流形， $P_{i}$ 是 $M_{i}$ 的边界分支， $F_{i}$ 是 $P_{i}$ 上的子曲面，其中 $i = 1, 2$ ，设f为 $F_{1}$ 到 $F_{2}$ 的同胚映射，称 $M = M_{1} \cup_{f} M_{2}$ 为流形 $M_{1}$ ， $M_{2}$ 沿f粘合的曲面和。

定义 2.11 设F是一个闭的可定向曲面，三维流形C可通过在 $F \times I$ 的边界分支 $F \times {1}$ 上添加若干个1-把柄得到，则称三维流形C是压缩体。令 $\partial_{-} C = F \times {0}$ ， $\partial_{+} C = \partial C - \partial_{-} C$ 。特别地，若 $C ≅ F \times I$ ，称C是一个平凡压缩体。

定义 2.12 设M为三维流形，若M紧致且 $\partial M \neq \emptyset$ ，并且 $\partial M$ 有一划分 $(\partial_{1} M, \partial_{2} M)$ ，如果压缩体V和W满足， $M = V \cup_{S} W$ ， $\partial_{+} V = \partial_{+} W = S$ ， $\partial_{-} V = \partial_{1} M$ ， $\partial_{-} W = \partial_{2} M$ ，则称 $V \cup_{S} W$ 为流形M的Heegaard分解，并将曲面S称为M的一个Heegaard分解曲面。Heegaard分解曲面S的亏格 $g (S)$ 称为对应Heegaard分解 $V \cup_{S} W$ 的亏格。令 $g (M) = \min {g (S) | M = V \cup_{S} W}$ ，称 $g (M)$ 是流形M的亏格。

定义 2.13 设三维流形M的一个Heegaard分解为 $V \cup_{S} W$ ，令 $d (S) = \min (d (α, β))$ ，其中 $α$ 是V中本质圆盘的边界， $β$ 是W中本质圆盘的边界，则称 $d (S)$ 是Heegaard分解 $V \cup_{S} W$ 的距离。

引理 2.1 [5] 设 $M_{1}$ ， $M_{2}$ 是不可约且边界不可压缩的三维流形， $F \subset \partial M_{1}$ ， $F \subset \partial M_{2}$ ，且 $M = M_{1} \cup_{F} M_{2}$ ， $M_{i}$ 的Heegaard分解为 $M_{i} = V_{i} \cup_{S_{i}} W_{i}$ ，满足 $F \subset P_{i} \subset \partial_{-} W_{i}$ ，且 $P_{i} \times I$ 与 $S_{i}$ 不交 $(i = 1, 2)$ 。设 $γ_{i}$ 为 $W_{i}$ 中一段垂直的弧，使端点 $e_{1} (r_{i}) \subset \partial_{+} W_{i}$ ， $e_{2} (r_{1}) = e_{2} (r_{2}) \subset int F$ ，设 $N (γ_{1} \cup γ_{2})$ 是 $γ_{1} \cup γ_{2}$ 的正则邻域，令 $V = V_{1} \cup N (γ_{1} \cup γ_{2}) \cup V_{2}$ ， $W = \bar{(W_{1} \cup W_{2}) - N (γ_{1} \cup γ_{2})}$ ，则 $V \cup_{S} W$ 是M的一个Heegaard分解，且 $S = \partial_{+} V = \partial_{+} W$ 。

注2.1 由引理2.1可知 $g (M) \leq g (M_{1}) + g (M_{2})$ 。

引理 2.2 [5] 设M是由不可约且边界不可约的两个三维流形 $M_{i} (i = 1, 2)$ 沿带边曲面F相粘得到。设 $P_{i}$ 是 $\partial M_{i}$ 上包含F的分支，如果 $M_{i} (i = 1, 2)$ 有一个距离至少是 $2 (g (M_{1}) + g (M_{2})) + 1$ 的Heegaard分解，则M对应的极小亏格Heegaard分解可由 $M^{1}$ ， $M^{2}$ 和 $M^{*}$ 的Heegaard分解沿着 $P^{1}$ ， $P^{2}$ 进行相粘得到。

引理 2.3 [5] 设 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 是可定向闭曲面且亏格至少为1，将 $P_{1} \times I$ ， $P_{2} \times I$ 沿有界连通曲面F相粘的曲面和记为M。

1) 若 $P_{1} \times {0} - int F$ 和 $P_{2} \times {0} - int F$ 都是连通的，则 $g (M) = \min {g (P_{1}) + g (P_{2}), G}$ ，其中

$G = \frac{1}{2} (2 χ (F) + 2 - χ (P_{1}) - χ (P_{2})) + \min {g (P_{1}), g (P_{2})}$ 。

2) 若F是一个平环，则 $g (M) = g (M_{1}) + g (M_{2})$ 。

本文的定义和术语都是标准的，参见文献 [6] [7]。

3. 可定向闭曲面加厚两类 $n (n \geq 3)$ 穿孔环面和的亏格

定理 3.1 设 $M = (P_{1} \times I) \cup_{F} (P_{2} \times I)$ ，其中 $P_{i} (i = 1, 2)$ 是亏格至少为 $n + 1 (n \geq 3)$ 的连通可定向闭曲面，若F是 $P_{1} \times I$ 和 $P_{2} \times I$ 上的不可压缩 $n (n \geq 3)$ 穿孔环面，且F在 $P_{1} \times {0}$ 和 $P_{2} \times {0}$ 上都是完全分离的，则 $g (M) = g (P_{1}) + g (P_{2})$ 或 $g (M) = g (P_{1}) + g (P_{2}) - 1$ 。

证明：令 $P_{i} \times {0} = P_{i}$ ， $P_{i} \times {1} = P^{i}$ ，其中 $i = 1, 2$ ， $\partial M = P^{1} \cup P^{2} \cup P_{1}^{*} \cup P_{2}^{*} \cup \dots \cup P_{n}^{*}$ 。

设 $V \cup_{S} W$ 是M的一个极小亏格的Heegaard分解，由流形亏格定义知 $g (S) = g (M)$ 。由F是n穿孔

环面得， $χ (F) = - n$ 。由 $\sum_{i = 1}^{n} χ (P_{i}^{*}) = χ (P_{1}) + χ (P_{2}) - 2 χ (F)$ ，得 $\sum_{i = 1}^{n} g (P_{i}^{*}) = g (P_{1}) + g (P_{2}) - 2$ 。

由平凡压缩体性质，显然有 $g (P_{i} \times I) = g (P_{i})$ ，又显然有 $g (P_{i}) = g (P^{i})$ ， $i = 1, 2$ 。

由引理2.1可知 $g (S) \leq g (P_{1}) + g (P_{2})$ ，若 $P^{1}$ 和 $P^{2}$ 在S的同侧，则M的其他边界分支均不与 $P^{1}$ 在同侧，对于M的极小亏格的Heegaard分解 $M = V \cup_{S} W$ ，M的边界分支 $P^{1}, P^{2}, P_{1}^{*}, P_{2}^{*}, \dots, P_{n}^{*}$ 在S的两侧仅有如下两种情况：

1) $P^{1}$ ， $P^{2}$ 在S的同侧。

由压缩体的性质得 $g (S) \geq g (P^{1}) + g (P^{2})$ ， $g (S) \geq \sum_{i = 1}^{n} g (P_{i}^{*})$ ，从而 $g (S) \geq g (P_{1}) + g (P_{2}) - 2$ 。故此边

界分配情形存在，并且 $g (S) \geq g (P_{1}) + g (P_{2})$ 。由引理2.1可知 $g (S) \leq g (P_{1}) + g (P_{2})$ ，故 $g (S) = g (P_{1}) + g (P_{2})$ 。

2) $P^{1}$ ， $P^{2}$ 在S的异侧。

a) 与 $P^{1}$ 在Heegaard分解曲面S同侧流形M的其他边界分支亏格之和等于 $g (P_{2})$ ，或与 $P^{2}$ 在Heegaard分解曲面S同侧流形M的其他边界分支亏格之和等于 $g (P_{1})$ 。

此时，由压缩体的性质得 $2 g (S) \geq g (P^{1}) + g (P^{2}) + \sum_{i = 1}^{n} g (P_{i}^{*})$ ，从而 $g (S) \geq g (P_{1}) + g (P_{2})$ ，又由引理

2.1可知 $g (S) \leq g (P_{1}) + g (P_{2})$ ，故 $g (S) = g (P_{1}) + g (P_{2})$ 。

b) 其他情况。

将 $\sum_{i = 1}^{n} g (P_{i}^{*}) = g (P_{1}) + g (P_{2}) - 2$ 代入 $2 g (S) \geq g (P^{1}) + g (P^{2}) + \sum_{i = 1}^{n} g (P_{i}^{*})$ 得 $g (S) \geq g (P_{1}) + g (P_{2}) - 1$ 。由

引理2.1可知 $g (S) \leq g (P_{1}) + g (P_{2})$ ，所以 $g (P_{1}) + g (P_{2}) - 1 \leq g (S) \leq g (P_{1}) + g (P_{2})$ ，又由于与 $P^{1} (P^{2})$ 在Heegaard分解曲面S同侧流形M的其他边界分支亏格不为 $g (P_{2}) (g (P_{1}))$ ，故 $g (S) = g (P_{1}) + g (P_{2}) - 1$ 。

综上， $g (M) = g (P_{1}) + g (P_{2})$ 或 $g (M) = g (P_{1}) + g (P_{2}) - 1$ 。

定理 3.2 设 $M = (P_{1} \times I) \cup_{F} (P_{2} \times I)$ ，其中 $P_{i} (i = 1, 2)$ 是亏格至少为 $n + 1 (n \geq 3)$ 的连通可定向闭曲面，若F是 $P_{1} \times I$ 和 $P_{2} \times I$ 上的不可压缩 $n (n \geq 3)$ 穿孔环面，且F在 $P_{1} \times {0}$ 和 $P_{2} \times {0}$ 上都是非分离的，或者F在 $P_{1} \times {0}$ 和 $P_{2} \times {0}$ 上一个是非分离的，另一个是完全分离的，则 $g (M) = g (P_{1}) + g (P_{2})$ 。

证明：令 $P_{i} \times {0} = P_{i}$ ， $P_{i} \times {1} = P^{i}$ ，其中 $i = 1, 2$ ， $\partial M = P_{1} \cup P_{2} \cup P^{*}$ 。

设 $M = V \cup_{S} W$ 是M的一个极小亏格的Heegaard分解，由流形亏格定义知 $g (S) = g (M)$ 。由F是n穿孔环面得 $χ (F) = - n$ 。由 $χ (P^{*}) = χ (P_{1}) + χ (P_{2}) - 2 χ (F)$ 得 $g (P^{*}) = g (P_{1}) + g (P_{2}) - (n + 1)$ 。显然有 $g (P_{i} \times I) = g (P_{i})$ ， $g (P_{i}) = g (P^{i})$ ， $i = 1, 2$ 。

由引理2.1知 $g (S) \leq g (P_{1}) + g (P_{2})$ 。因此，若 $P^{1}$ 和 $P^{2}$ 在S的同侧，则M没有其他边界分支在S的这一侧，对于M的极小亏格的Heegaard分解 $M = V \cup_{S} W$ ，M的边界分支 $P^{1}$ ， $P^{2}$ ， $P^{*}$ 在S的两侧有如下两种情况：

1) $P^{1}$ ， $P^{2}$ 在S的同侧。

由压缩体的性质得 $g (S) \geq g (P^{*})$ ， $g (S) \geq g (P_{1}) + g (P_{2})$ 。

将 $g (P^{*}) = g (P_{1}) + g (P_{2}) - (n + 1)$ 代入 $g (S) \geq g (P^{*})$ ，可得 $g (S) \geq g (P_{1}) + g (P_{2}) - (n + 1)$ ，故此边界分配情形存在，并且 $g (S) \geq g (P_{1}) + g (P_{2})$ ，由引理2.1可知 $g (S) \leq g (P_{1}) + g (P_{2})$ ，故 $g (S) = g (P_{1}) + g (P_{2})$ 。

2) $P^{1}$ ， $P^{2}$ 在S的异侧。

由压缩体的性质得 $g (S) \geq g (P^{1})$ ， $g (S) \geq g (P^{2}) + g (P^{*})$ 。

将 $g (P^{*}) = g (P_{1}) + g (P_{2}) - (n + 1)$ 代入得 $g (S) \geq g (P^{2}) + g (P_{1}) + g (P_{2}) - (n + 1)$ ，因为 $g (P^{2}) = g (P_{2}) \geq n + 1$ ，当 $g (P_{2}) > n + 1$ 时， $g (S) > g (P_{1}) + g (P_{2})$ ，这与引理2.1中 $g (S) \leq g (P_{1}) + g (P_{2})$ 矛盾。当 $g (P_{2}) = n + 1$ 时， $g (S) \geq g (P_{1}) + g (P_{2})$ ，由引理2.1可知 $g (S) \leq g (P_{1}) + g (P_{2})$ ，故 $g (P_{2}) = n + 1$ 时， $g (S) = g (P_{1}) + g (P_{2})$ 。

综上， $g (M) = g (P_{1}) + g (P_{2})$ 。

4. 复杂三维流形两类 $n (n \geq 3)$ 穿孔环面和的亏格

定理 4.1 设 $M = M_{1} \cup_{F} M_{2}$ ，其中 $M_{i} (i = 1, 2)$ 是不可约且边界不可约的三维流形，F是 $\partial M_{i}$ 分支 $P_{i} (i = 1, 2)$ 上的不可压缩 $n (n \geq 3)$ 穿孔环面。 $P_{i} (i = 1, 2)$ 是亏格至少为 $n + 1 (n \geq 3)$ 的连通可定向闭曲面，若 $M_{i} (i = 1, 2)$ 都有距离至少为 $2 (g (M_{1}) + g (M_{2})) + 1$ 的Heegaard分解，且F在 $P_{1} \times {0}$ 和 $P_{2} \times {0}$ 上都是完全分离的，则有 $g (M) = g (M_{1}) + g (M_{2})$ 或 $g (M) = g (M_{1}) + g (M_{2}) - 1$ 。

证明：令 $P_{i} \times {0} = P_{i}$ ， $P_{i} \times {1} = P^{i}$ ，其中 $i = 1, 2$ ，则M可表示为 $M^{1} \cup_{P^{1}} M^{*} \cup_{P^{2}} M^{2}$ ，其中 $M^{*} = \bar{(P_{1} \times I) \cup_{F} (P_{2} \times I)}$ ， $M^{1} = \bar{M_{1} \ (P_{1} \times I)}$ ， $M^{2} = \bar{M_{2} \ (P_{2} \times I)}$ 。

由定理3.1知， $g (M^{*}) = g (P_{1}) + g (P_{2})$ 或 $g (M^{*}) = g (P_{1}) + g (P_{2}) - 1$ 。

又由引理2.3知， $g (M) = g (M_{1}) + g (M_{2}) + g (M^{*}) - g (P_{1}) - g (P_{2})$ 。

故 $g (M) = g (M_{1}) + g (M_{2})$ 或 $g (M) = g (M_{1}) + g (M_{2}) - 1$ 。

定理 4.2 设 $M = M_{1} \cup_{F} M_{2}$ ，其中 $M_{i} (i = 1, 2)$ 是不可约且边界不可约的三维流形，F是 $\partial M_{i}$ 分支 $P_{i} (i = 1, 2)$ 上的不可压缩 $n (n \geq 3)$ 穿孔环面。 $P_{i} (i = 1, 2)$ 是亏格至少为 $n + 1 (n \geq 3)$ 的连通可定向闭曲面，若 $M_{i} (i = 1, 2)$ 都有距离至少为 $2 (g (M_{1}) + g (M_{2})) + 1$ 的Heegaard分解，且F在 $P_{1} \times {0}$ 和 $P_{2} \times {0}$ 上都是非分离的，或者F在 $P_{1} \times {0}$ 和 $P_{2} \times {0}$ 上一个是非分离的，另一个是完全分离的，则有 $g (M) = g (M_{1}) + g (M_{2})$ 。

由定理3.2知， $g (M^{*}) = g (P_{1}) + g (P_{2})$ 。

又由引理2.3知， $g (M) = g (M_{1}) + g (M_{2}) + g (M^{*}) - g (P_{1}) - g (P_{2})$ 。

故 $g (M) = g (M_{1}) + g (M_{2})$ 。

5. 结论

本文通过三维流形组合拓扑的研究方法和技巧，给出了某些可定向闭曲面加厚两类 $n (n \geq 3)$ 穿孔环面和的亏格为 $g (M) = g (P_{1}) + g (P_{2})$ 或 $g (M) = g (P_{1}) + g (P_{2}) - 1$ ，进而得出某些复杂三维流形两类 $n (n \geq 3)$ 穿孔环面和的亏格为 $g (M) = g (M_{1}) + g (M_{2})$ 或 $g (M) = g (M_{1}) + g (M_{2}) - 1$ 。本文的主要结果在某些可定向闭曲面加厚穿孔球面和结论的基础上，将某些复杂三维流形的穿孔球面和推广到了 $n (n \geq 3)$ 穿孔环面和。

文章引用

王树新,徐诚蕙,陶金. 复杂三维流形两类穿孔环面和的亏格
Genus of Two Classes of Punctured Torus Sum of Complicated 3-Manifolds[J]. 应用数学进展, 2022, 11(12): 8869-8873. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.1112934

参考文献

1. Kobayashi, T. and Qiu, R.F. (2008) The Amalgamation of High Distance Heegaard Splittings Is Always Efficient. Mathematische Annalen, 341, 707-715. https://doi.org/10.1007/s00208-008-0214-7

2. Wang, S.X. and Ni, N. (2014) The Pants Sum of High Distance Heegaard Splittings. Journal of Mathematical Research with Applications, 34, 216-222.

3. 王霄. 可定向闭曲面加厚的四、五穿孔球面和的亏格可加性[D]: [硕士学位论文]. 大连: 辽宁师范大学, 2016.

4. 冷健. 复杂三维流形两类穿孔球面和的亏格可加性[D]: [硕士学位论文]. 大连: 辽宁师范大学, 2017.

5. Qiu, R.F., Wang, S.C. and Zhang, M.X. (2010) The Heegaard Genera of Surface Sums. Topology and Its Applications, 157, 1593-1601. https://doi.org/10.1016/j.topol.2010.02.015

6. Hempel, J. (1976) 3-Manifolds. Princeton University Press, Princeton.

7. Jaco, W. (1980) Lectures on Three-Manifold Topology. Regional Confer-ence Series in Mathematics 43, Amer Math Soc., Providence.

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