Pure Mathematics
Vol.4 No.04(2014), Article ID:13794,7 pages
DOI:10.12677/PM.2014.44019

Alternating Group Iterative Methods for Burgers Equations

Ning Chen, Haiming Gu*

College of Mathematics and Physics, Qingdao University of Science and Technology, Qingdao

Email: *guhm@ns.qd.sd.cn

Copyright © 2014 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

Received: May 13th, 2014; revised: Jun. 16th, 2014; accepted: Jun. 25th, 2014

ABSTRACT

Alternating group explicit iterative methods for Burgers problems are given. The stability and convergence are analyzed by the linear method. Numerical results of the model problem are given. And the comparison of exact and numerical solutions is made to verify the stability and the convergence of the method.

Keywords:Burgers Equations, Group Explicit Iterative Methods, Stability, Convergence

Burgers方程的交替分组迭代法

陈  宁,顾海明*

青岛科技大学数理学院,青岛

Email: *guhm@ns.qd.sd.cn

收稿日期:2014年5月13日;修回日期:2014年6月16日;录用日期:2014年6月25日

摘  要

给出了Burgers方程的一种新的交替分组显式迭代方法,并用线性化方法分析了其稳定性和收敛性,给出了模型问题的数值结果,并在数值例子中对于精确解和数值解做出了比较,验证了该方法的稳定性和收敛性。

关键词

Burgers方程;交替分组迭代法;稳定性;收敛性

1. 引言

在差分格式的构造以及差分格式的稳定性与收敛性的分析研究过程中,随着空间变量个数的增加,针对差分格式的数值求解也增加了新的困难。然而,差分格式的各种求解方法差别很大。例如我们在数值计算中经常碰到的,多个空间变量形式的隐格式的计算量明显大于显格式,这是由于我们在求解隐格式的过程中,每个时间层会多一个多维差分方程组需要给出确切的解。正是基于这个原因,我们可以巧妙地利用中间步将多维问题转化为若干个一维格式,进行分步求解,然后在每一步使用一个空间方向上的隐格式来计算,由此所设计的交替方向法不仅是无条件稳定的,而且可以用追赶法求解,基于以上优点交替分组方法是多变量问题求解的重要方法。这种方法的基础是Peaceman, Richford和Douglas所做的工作。例如1955年,Peaceman, Richford和Douglas同时提出求解二维抛物型方程的PR交替方向法,1962年Douglas和Richford将此格式上推广至三维,提出了稳定化校正格式等(见[1] )。这些格式的精度都是,本文主要构造了一种高精度交替方向格式,其截断误差达到

本文主要研究了一种交替分组显式方法(AGE)来求解Burgers方程。这一方法是由Evans和Abdullah(见[2] [3] )利用Saul’yev非对称格式构造而来,张宝琳等(见[4] [5] )推广到了对流扩散方程,并且进一步提出了交替分组显隐式方法,计算上更为精确,一定意义上扩大了原方法的应用范围。本文利用数值微分提出了一种新的交替分组显式格式,进一步推广了原方法,而且将其应用到Burgers方程,从结果看是可行的,精度也有了很大的提高。

2. Burgers方程高精度差分格式的构造

考虑Burgers方程:

(1)

在区域上,初边值条件为:

(2)

(3)

(4)

方程中为已知常数,为已知函数。

取时间步长为,空间步长为 (为偶数),网格结点为

方程(1)在处满足下列关系式:

(5)

利用数值微分公式,有

(6)

(7)

(8)

其中分别表示关于变量的一阶和二阶中心差分,代入式(5),舍去误差项得到差分方程

(9)

其中的某种近似。

进一步可以得到(见[2] )的近似值

(10)

将式(10)代入式(9),经整理得到如下高精度隐格式(见[6] ):

(11)

其中,

(12)

3. Burgers方程的交替分组差分法

为了得到Burgers方程的新的交替分组显式格式,在式(11)中令下标,得到差分方程组

(13)

其中

若令

其中

则系数矩阵A可分解为

(14)

将式(14)代入式(13)得

(15)

由此设计出交替分组显式迭代公式

(16)

其中是使得都存在的正数,在实际计算中可任意选取。且

其中,

显然迭代公式(16)是完全显式的,并且非常适用于并行计算。

4. 稳定性与收敛性的线性化分析

首先利用线性化方法讨论差分格式(11)的稳定性。将式(1)中的对流速度取为常数,则格式(11)中的

也是常数。根据Fourier分析方法,令代入格式(11),经整理得到传播

因子(见[7] )

(17)

很明显,对于任意的均成立,故格式(11)无条件稳定。

定理:当迭代矩阵的谱半径时,Burgers方程的交替分组差分格式(11)是收敛的。

证明:从式(16)中消去得:

(18)

其中

定义矩阵

(19)

有如下估计式

(20)

其中分别为的特征值。当对流速度取常数时,容易得到(见[8] )

(21)

(22)

其中

时,有,知

时,有

(23)

由此可见,无论取何值,由式(20)知成立。

故迭代公式(11)是收敛的。

5. Burgers方程的交替分组差分法的数值算例

例1. 对于初边值问题:

在区域上的初边值条件为:

该问题有解析解(见[9] )

(24)

利用本研究提供的方法进行数值求解,取表1给出了精确解与数值解的比较。

例2. 给定一Burgers方程:

Table 1. The comparison of exact and numerical solutions by two methods

表1. 精确解和数值解的比较

Table 2. The comparison of exact and numerical solutions by two methods

表2. 精确解和数值解的比较

方程有如下的精确解:

其中

在此方程中取

计算结果见表2

表1我们不难从数学直观上看出交替分组方法适用于Burgers方程,并且根据前文的讨论得知该方法是稳定的,绝对误差也是较小的。在例2中,我们研究了交替分组差分方法中关于的数值选取对于计算结果的影响,从表2我们可以看到与0的关系直接影响了数值解与精确解之间的绝对误差。但是对于这种方法的最佳数值的选取,有待从理论上做进一步的讨论。

基金项目

青岛市科技计划基础研究项目(12-1-4-3-(2)-JCH)。

参考文献 (References)

  1. Douglas, Jr., J. and Richford, Jr., H.H. (1956) On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables. Transactions of the AMS—American Mathematical Society, 82, 421-439.

  2. Evans, D.J. and Abdullah, A.R. (1983) Group explicit methods for parabolic equations. International Journal of Computer Mathematics, 14, 73-105.

  3. Evans, D.J. and Abdullah, A.R. (1985) A new explicit method for the diffusion-convection equation. Computers Mathematics with Applications, 11, 145-154.

  4. 张宝琳 (1991) 求解扩散方程的交替分段显–隐式方法. 数值计算与计算机应用, 4, 245-253.

  5. 蒋锦良 (1992) 求解对流占优Burgers方程的随流格式. 计算物理, 2, 127-132.

  6. 金承日, 刘家琦 (1998) Burgers 方程的交替分组显式迭代方法. 计算物理, 5, 607-613.

  7. 王同科 (2002) 二维对流扩散方程的基于Bool和逼近的交替方向特征差分格式. 数值计算与计算机应用, 2, 154-160.

  8. Dag, I., Irk, D. and Saka, B. (2005) A numerical solution of the Burgers equation using cubic B-spline. Applied Mathematics and Computation, 163, 199-211.

NOTES

*通讯作者。

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