:模李超代数,单性,外代数,截头多项式代数

1. 引言

目前,有限维单模李超代数的分类问题还没有解决 [1] - [4] ,所以构造新的有限维单模李超代数具有重要的意义。

文献[5] 以外代数和截头多项式代数的张量积为底代数构造了有限维模李超代数,给出了的Q-型导子,决定了其导子超代数,进而得到了定义的整数是内蕴的结论。文献 [6] 以除幂代数、外代数和截头多项式代数的张量积为底代数构造了有限维模李超代数,确定了它们的导子代数,证明了是有限维单模李超代数,文献 [7] 证明了是有限维单模李超代数。本文参考文献 [5] 和文献 [6] 构造了有限维模李超代数,并证明了是单模李超代数。

2.的构造

本文采用文献 [1] 及 [5] 的符号,用表示正整数集,是特征数为的域,设为域上具有个未定元的外代数。

定义,令。对,令,且约定,则构成了的一组-基底。

为满足的截头多项式代数。令为模的剩余类环,,设,定义:,于是的一组-基底。

表示模2的剩余类环,令:,于是是由-阶化诱导的结合超代数。

是超代数,若,其中,则称是次数-齐次元素,并记。在本文中若出现在某个表达式中,则约定-齐次元素。用表示超代数的所有-齐次元素构成的集合,即

,将简记为,于是的一个-基底。令

,则-阶化超代数,且

,对,令的偏导子,则

扩充为的导子,使得对

,若,则令,使得;令,若,约定,那么对任意的,有,于是,当时,,而当时,

,定义,则对有:

,那么的导子超代数的子代数,的一组-基底。下面简记

,其中:,那么阶化李超代数。

3.的可迁性与不可约性

引理3.1是可迁的。

证明:任取,那么:

因此若设:

则:

如果,因,所以有:

即:

,则:

的一组-基底,所以有:

又因,所以,因此有

,矛盾,故对,有,所以

是可迁的。

引理3.2:设的非零子模,,若,则

证明:参见文献 [6] 引理2.4.2的证明。

引理3.3:是不可约的。

证明:设的非零子模,,则有,使得。因,因此有。由引理3.2知

任取,因,所以,而,所以,因此是不可约的。

4.的单性

定理4.1:是单李超代数。

证明:设的任一非零理想,由引理3.1、引理3.3及文献 [1] 的引理1.1知,于是,,特别地,

(1) 设,那么对任意,存在,使得。而对任意的,因为:

(或–1),而,为的理想,所以。

(2) 对任意的,则有某个 (其中),

因为,又由(1)知,而的理想,所以

(3)对任意的,设,因为 (或–1),又由(1)知,而的理想,所以

(4) 对任意的,取,设,其中其中

因为,由(1)知,而的理想,所以

由(1)~(4)知,因此,所以是单模李超代数。

5. 结论

本文以外代数与截头多项式代数的张量积为底代数构造了有限维模李超代数,并证明它是单模李超代数,进一步要确定的导子超代数,讨论它的限制性及表示。

文章引用

王 璐,张丽华, (2014) 有限维模李超代数的单性W(n,m)
The Simplicity of the Finite-dimensional Modular Lie Superalgebra W(n,m). 理论数学,06,247-250. doi: 10.12677/PM.2014.46036

参考文献 (References)

  1. 1. 张永正, 刘文德 (2004) 模李超代数. 科学出版社, 北京.

  2. 2. 徐晓宁 (2010) 有限维模李超代数 . 博士论文, 东北师范大学, 长春.

  3. 3. 远继霞 (2011) Cartan型李超代数. 博士论文, 哈尔滨工业大学, 哈尔滨.

  4. 4. 任丽 (2012) Cartan型李超代数. 博士论文, 东北师范大学, 长春.

  5. 5. 沙吾提阿吾提, 张永正 (2008) 模李超代数 . 东北师范大学学报(自然科学版), 4, 7-11.

  6. 6. 董艳琴 (2011) 广义Cartan型模李超代数. 博士论文, 东北师范大学, 长春.

  7. 7. 董艳琴, 苏耘, 孟凡洪 (2013) 模李超代数 的单性与限制性. 东北师范大学学报(自然科学版), 4, 31-35.

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