Pure Mathematics
Vol.05 No.03(2015), Article ID:15366,9
pages
10.12677/PM.2015.53018
The Extreme Points and Rotundity of Orlicz-Sobolev Spaces
Fayun Cao
College of Sciences, Shanghai University, Shanghai
Email: caofayun@126.com
Received: May 7th, 2015; accepted: May 22nd, 2015; published: May 29th, 2015
Copyright © 2015 by author and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
In this paper we give a modular norm for Orlicz-Sobolev spaces, and obtain a necessary and sufficient condition for the Orlicz-Sobolev spaces which is formed by strictly convex N function to be rotund.
Keywords:Orlicz-Sobolev Spaces, Extreme Points, Rotund, Modular Norm
Orlicz-Sobolev空间的端点与严格凸性
曹法赟
上海大学理学院,上海
Email: caofayun@126.com
收稿日期:2015年5月7日;录用日期:2015年5月22日;发布日期:2015年5月29日
摘 要
本文在Orlicz-Sobolev空间上给出了一种模范数,给出了由严格凸N函数生成Orlicz-Sobolev空间严格凸的充要条件。
关键词 :Olicz-Sobolev空间,端点,严格凸,模范数
1. 引言
Orlicz空间是泛函分析的一个重要分支,它深入地研究了比熟知的空间更加广泛的一类空间,Sobolev空间是20世纪初形成的有着重要价值的数学模型,在方程理论有着重要的应用价值,Orlicz-Sobolev空间则是Sobolev空间的重要推广,Orlicz-Sobolev空间的发展不仅完善了Banach空间理论,而且为解决实际问题提供了丰富的模型。空间的严格凸性在最佳逼近和最优化控制等领域有着直接的应用。所以研究Orlicz-Sobolev空间的严格凸性有着深远的意义。本文在Orlicz-Sobolev空间上给出了一种模范数,得到了摸与范数的关系式。给出了了由严格凸N函数生成的Orlicz-Sobolev空间严格凸的充要条件。2001年,陈述涛和胡长英[1] 给出了Orlicz-Sobolev空间关于Luxemburg范数的端点和严格凸的充要条件,但是文章中已经假定
满足
条件,同年二人 [2] 讨论Orlicz-Sobolev空间关于最大值范数的端点和严格凸的性质,但未对空间严格凸的充要条件进行深入讨论,本文给出了一种新的Luxemburg范数,在此范数形成的Orlicz-Sobolev空间与Orlicz有着很多平行的性质,可以用研究Orlicz空间的方法来研究Orlicz-Sobolev空间。
2. 预备知识
定义 1 [3] :函数为
函数是指
满足如下条件:
1)为偶的,连续的,凸函数且
;
2) 当时时,
;
3),
。
若还有:,有
则称
是严格凸的。
用表示
维Euclid空间
中的有界集,
是定义在
上Lebesgue可测函数,
,
是
的线性子空间,在
上定义如下实值函数:
则为Banach空间。
定义2 [4] :称在区间
仿射是指:
使得
,
。
定义3 [4] :是指:
,满足:
若则有
。
定义4 [4] :设为
函数,
,若
且
,则有
,就称
为
的严格凸点,其严格凸点全体记为
。
定义5 [5] :设是Banach空间,
是其单位闭球,
为单位球面,
,若
,且
,则有
就称
为
的端点,其端点的全体记为
,若有
,则称
是严格凸空间。
定义6 [6] :设为
函数,
是
中有界连通开集,定义如下集合:
其中为
的
阶弱导数,则
为
的线性子空间,在
上定义如下两实值函数:
则,
均是Banach空间。
3. 主要结果
定理1 设为
函数,
为
中有界连通开集,在
上定义如下实值函数:
则为Banach空间。
证明:容易证明是
上的范数,记
为满足
的
个数,
,下面证明
与
等价,因为
所以,另一方面
从而有,故两者等价,故
为Banach空间。
定理2 设为
函数,
为
中有界连通开集,设
则有:
1) 若,则
;
2),则
;
3) 若,则
;
4) 若,则
。
证明:1) 由的定义容易证明。
2) 由的定义知
,使得
,且有如下三条性质:
①非负可测,
②,
③
由Levy定理可知:,所以有:
即,所以
。
3),则
,则3)成立;
,由
的凸性可知:
从而。
4) 因为所以
,故
关于
在
上连续,于是
关于
在
上连续,对于
,有
,结合3)可得
定理3 设为
函数,
为
中有界连通开集,
若有:
1)
2)
则
证明:设由定理2知
,由
的凸性可知:
(1)
从而以上不等式中各项均相等,所以
(2)
结合(1) (2)得:
特别地当时
再由得
a.e on
,所以
。
定理4为
函数,
为
中有界连通开集,
。若存在
以及
的仿射区间
满足:
则
证明:记,由于
内部非空所以取
,使得
,
,并且
。
定义如下两个函数:
则,
令:
且
,
,取
。
定义如下函数:
则,
,
。
令在
上为:
则:
所以,同理可得
由定理2知
,再由
可知
。
定理5 设为严格凸
函数,
为
中有界连通开方体,则
严格凸的充要条件是
。
证明 充分性:结合定理3与定理2的4)可证得。
必要性:假设则存在
,使得
令不妨设
,取
:
和
满足:
,取
和
使得
,依次可取得
和
满足
,
,显然有
并且当
时
,令
则:
所以
,
使得
从而:
由的定义可知
,由
的任意性知
,所以
。
取,当
时,有
取,当
时,有
令
则
当时
而
从而有
从而。又因为:
所以,故
。
令,
当时
取,使得
,
,
,且
。
定义如下两个函数:
则令:
且
,
,取
,定义如下函数:
则,
,
。
所以:
即,同理得
,所以
,而
,所以
,这与
严格凸相矛盾所以假设不成立,故
。
推论1 设为严格凸
函数,
为
中有界连通开方体,则
当且仅当
。
文章引用
曹法赟, (2015) Orlicz-Sobolev空间的端点与严格凸性
The Extreme Points and Rotundity of Orlicz-Sobolev Spaces. 理论数学,03,111-120. doi: 10.12677/PM.2015.53018
参考文献 (References)
- 1. 陈述涛, 胡长英 (2001) Orlicz-sobolev空间关于Luxemburg范数的端点与严格凸性. 哈尔滨师范大学自然科学学报, 2, 1-6.
- 2. 胡长英, 陈述涛 (2001) Orlicz-sobolev空间关于最大值范数的端点. 黑龙江大学自然科学学报, 4, 14-16.
- 3. 吴从忻 (1983) 奥尔里奇空间. 黑龙江科学技术出版社, 哈尔滨.
- 4. Chen, S.T. (1996) Geometry of Orlicz spaces. Polish Scientific Publisher, Warszawa, 356: 1-204.
- 5. 定光桂 (1984) 巴拿赫空间引论. 科学出版社, 北京.
- 6. Adams, R.A. (1983) Sobolev. 人民教育出版社, 北京.