Pure Mathematics
Vol.05 No.05(2015), Article ID:16060,5 pages
10.12677/PM.2015.55029

Convergence on Preconditioned Block AOR Iterative Method of H-Matrix

Chunyun Zhao

Zhangye Middle School, Zhangye Gansu

Email: zyzxzcy@126.com

Received: Aug. 30th, 2015; accepted: Sep. 18th, 2015; published: Sep. 21st, 2015

Copyright © 2015 by author and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

ABSTRACT

We consider block AOR preconditioned iterative method for solving the linear system, using the preconditioning technology. When the coefficient matrix A is an H-matrix, the convergence results of the presented method are given.

Keywords:H-Matrix, Block AOR Iterative Method, The Preconditioned Matrix, The Convergence

一种H-矩阵的块预条件AOR迭代法的收敛性

赵春云

张掖中学,甘肃 张掖

Email: zyzxzcy@126.com

收稿日期:2015年8月30日;录用日期:2015年9月18日;发布日期:2015年9月21日

摘 要

本文利用块预条件技术考虑了解线性方程组的块预条件AOR迭代法。当方程组的系数矩阵是H-矩阵时,得出了该方法的收敛性结果。

关键词 :H-矩阵,块AOR迭代法,预条件矩阵,收敛性

1. 引言

考虑线性方程组:

(1)

其中阶方阵,维向量。对(1)基本的迭代解法是:

(2)

其中是非奇异矩阵,这样(2)也可被写成:

其中

对矩阵做如下分块:

(3)

这儿,每个对角块,非奇,并且。如果是非奇的,我们称是非奇块矩阵。

通常,把矩阵分裂成:

其中分别是(3)中的块对角,严格块下三角和严格块上三角部分,这样,矩阵的块AOR迭代矩阵为:

其中是两个实参数,并且。特别地,当取一些特殊值时,我们得到块SOR,块Gauss-Seidel和块Jacobi迭代法。

为了更好的解(1),引入了非奇块预条件矩阵,即考虑:

(4)

那么(4)的块AOR迭代格式为:

(5)

其中是非奇异矩阵。这样(5)也可以表示为:

这儿,。相似地,我们有块预条件SOR迭代法,块预条件Gauss-Seidel迭代法和块预条件Jacobi迭代法。

如果是一个-矩阵,Alanelli等在[1] 中取,其中是由所构成的块对角矩阵(三角分解的下三角矩阵):

从文献[1] 可以看出若块预条件矩阵选择得合适,必将会提高迭代方法的收敛速度。本文在已经有的预条件矩阵的基础上引入参数,对(1)中系数矩阵-矩阵的情形进行了考虑,引入了新的块预条件矩阵,理论上分析了块预条件迭代法的收敛性。

2. 预条件迭代法

我们考虑预条件矩阵,其中

,则

其中是由所构成的块对角矩阵,

如果非奇,那么是存在的,这样,我们就可以定义的块预条件AOR迭代法。即:

表示矩阵的比较矩阵,这儿

在上面的定义下,的比较矩阵为,即:

3. 预备知识

定义1 [2] :非奇,被称为矩阵的一个分裂。如果,那么被称为正则分裂。如果是非奇-矩阵,,那么被称为-分裂。

引理1 [2] :-矩阵的充要条件是存在使,其中

引理2 [3] [4] :如果的一个-分裂,那么的充要条件是是一个非奇-矩阵。

引理3 [5] :设是两个阶方阵且,那么

引理4 [3] [6] :如果-矩阵,那么

引理5 [7] :如果是两个阶矩阵,那么

4. 主要结论及证明

定理1:让是一个非奇-矩阵,若有都大于0且:

那么也是一个非奇-矩阵。其中,且与矩阵有相同的分块形式。

证明:由于是一个非奇-矩阵,那么

那么:

因此,是一个非奇-矩阵,所以是一个非奇-矩阵。

定理2:如果是一个非奇-矩阵,,并且

那么

证明:由定理1知是一个非奇-矩阵,且

那么的AOR迭代矩阵为:

由引理2知。因为:

所以,由引理3,

文章引用

赵春云. 一种H-矩阵的块预条件AOR迭代法的收敛性
Convergence on Preconditioned Block AOR Iterative Method of H-Matrix[J]. 理论数学, 2015, 05(05): 207-211. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2015.55029

参考文献 (References)

  1. 1. Anelli, M. and Hadjidimos, A. (2004) Block Gauss elimination followed by a classical. Iterative method for the solution of linear systems. Computational and Applied Mathematics, 163, 381-400. http://dx.doi.org/10.1016/j.cam.2003.08.045

  2. 2. 王学忠, 李晓梅 (2012) H-矩阵的预条件对角占优性. 理论数学, 1, 39-44.

  3. 3. Li, W. and You, Z.Y. (1998) The multi-parameters overrelaxation method. Journal of Computational Mathematics, 16, 231-238.

  4. 4. Varga, R.S. (1981) Matrix iterative analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs.

  5. 5. Berman, A. and Plemmons, R.J. (1994) Nonnegative matrices in the mathematical sciences. SIAM, Philadelphia. http://dx.doi.org/10.1137/1.9781611971262

  6. 6. Kolotilina, L.Yu. (1995) Two-sided bounds for the inverse of an H-matrix. Linear Algebra and Its Applications, 225, 117-123. http://dx.doi.org/10.1016/0024-3795(93)00325-T

  7. 7. 黄延祝, 杨传胜 (2007) 特殊矩阵分析及应用. 科学出版社, 北京.

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