Pure Mathematics
Vol.05 No.05(2015), Article ID:16060,5
pages
10.12677/PM.2015.55029
Convergence on Preconditioned Block AOR Iterative Method of H-Matrix
Chunyun Zhao
Zhangye Middle School, Zhangye Gansu
Email: zyzxzcy@126.com
Received: Aug. 30th, 2015; accepted: Sep. 18th, 2015; published: Sep. 21st, 2015
Copyright © 2015 by author and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
We consider block AOR preconditioned iterative method for solving the linear system, using the preconditioning technology. When the coefficient matrix A is an H-matrix, the convergence results of the presented method are given.
Keywords:H-Matrix, Block AOR Iterative Method, The Preconditioned Matrix, The Convergence
一种H-矩阵的块预条件AOR迭代法的收敛性
赵春云
张掖中学,甘肃 张掖
Email: zyzxzcy@126.com
收稿日期:2015年8月30日;录用日期:2015年9月18日;发布日期:2015年9月21日
摘 要
本文利用块预条件技术考虑了解线性方程组的块预条件AOR迭代法。当方程组的系数矩阵是H-矩阵时,得出了该方法的收敛性结果。
关键词 :H-矩阵,块AOR迭代法,预条件矩阵,收敛性
1. 引言
考虑线性方程组:
(1)
其中是阶方阵,与是维向量。对(1)基本的迭代解法是:
(2)
其中且是非奇异矩阵,这样(2)也可被写成:
其中,。
对矩阵做如下分块:
(3)
这儿,每个对角块,,非奇,并且。如果是非奇的,我们称是非奇块矩阵。
通常,把矩阵分裂成:
其中,和分别是(3)中的块对角,严格块下三角和严格块上三角部分,这样,矩阵的块AOR迭代矩阵为:
其中和是两个实参数,并且。特别地,当和取一些特殊值时,我们得到块SOR,块Gauss-Seidel和块Jacobi迭代法。
为了更好的解(1),引入了非奇块预条件矩阵,即考虑:
(4)
那么(4)的块AOR迭代格式为:
(5)
其中,是非奇异矩阵。这样(5)也可以表示为:
这儿,,。相似地,我们有块预条件SOR迭代法,块预条件Gauss-Seidel迭代法和块预条件Jacobi迭代法。
如果是一个-矩阵,Alanelli等在[1] 中取,其中是由所构成的块对角矩阵(是做三角分解的下三角矩阵):
从文献[1] 可以看出若块预条件矩阵选择得合适,必将会提高迭代方法的收敛速度。本文在已经有的预条件矩阵的基础上引入参数,对(1)中系数矩阵是-矩阵的情形进行了考虑,引入了新的块预条件矩阵,理论上分析了块预条件迭代法的收敛性。
2. 预条件迭代法
我们考虑预条件矩阵,其中
,
令,则
其中是由所构成的块对角矩阵,
如果非奇,那么是存在的,这样,我们就可以定义的块预条件AOR迭代法。即:
让表示矩阵的比较矩阵,这儿,。
在上面的定义下,的比较矩阵为,即:
3. 预备知识
定义1 [2] :,非奇,被称为矩阵的一个分裂。如果,,那么被称为正则分裂。如果是非奇-矩阵,,那么被称为-分裂。
引理1 [2] :是-矩阵的充要条件是存在使,其中。
引理2 [3] [4] :如果是的一个-分裂,那么的充要条件是是一个非奇-矩阵。
引理3 [5] :设和是两个阶方阵且,那么。
引理4 [3] [6] :如果是-矩阵,那么。
引理5 [7] :如果和是两个阶矩阵,那么。
4. 主要结论及证明
定理1:让是一个非奇-矩阵,若有,都大于0且:
那么也是一个非奇-矩阵。其中且和,,且与矩阵有相同的分块形式。
证明:由于是一个非奇-矩阵,那么。
令,那么:
因此,是一个非奇-矩阵,所以是一个非奇-矩阵。
定理2:如果是一个非奇-矩阵,,,并且。
那么。
证明:由定理1知是一个非奇-矩阵,且。
那么的AOR迭代矩阵为:
由引理2知。因为:
所以,由引理3,。
文章引用
赵春云. 一种H-矩阵的块预条件AOR迭代法的收敛性
Convergence on Preconditioned Block AOR Iterative Method of H-Matrix[J]. 理论数学, 2015, 05(05): 207-211. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2015.55029
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