Pure Mathematics
Vol.06 No.05(2016), Article ID:18559,9
pages
10.12677/PM.2016.65057
Wronsky Determinant and Meromorphic Functions with Maximal Deficiency Sum
Jia Xie, Bingmao Deng, Jing Li
Institute of Applied Mathematics, South China Agricultural University, Guangzhou Guangdong
Received: Aug. 31st, 2016; accepted: Sep. 14th, 2016; published: Sep. 20th, 2016
Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
Let be a transcendental meromorphic function satisfying, and is a positive integer; let be linearly independent small functions of, and is a constant; let. Then
,
Keywords:Meromorphic Function, Maximal Deficiency Sum, Wronsky Determinant
Wronsky行列式与具有最大亏量和的亚纯函数
谢佳,邓炳茂,李菁
华南农业大学应用数学研究所,广东 广州
收稿日期:2016年8月31日;录用日期:2016年9月14日;发布日期:2016年9月20日
摘 要
设是复平面上满足的超级有穷的超越亚纯函数,为正整数,是的个线性独立的小函数,且满足为常数,,则有
,
关键词 :亚纯函数,最大亏量和,Wronsky行列式
1. 引言及主要结果
本文采用Nevanlinna理论中的记号 [1] [2] ,如,,,及等。
定义1 设是复平面上的一个非常数亚纯函数,为一个有穷复数(或),
若,则称是的一个Nevanlinna亏值,简称亏值,称为Nevanlinna亏量,简称亏量。若,则称是的一个Valiron亏值,称为Valiron亏量。在值分布论中,的所有亏值至多为一个可数集,且
定义2 设是复平面上的一个亚纯函数,如果,则称为的一个小函数。
定义3 设亚纯函数是的个线性独立的小函数,记所构成的Wronsky行列式表示为,即
1990年,杨乐 [3] 研究了的亏量和亏值与的亏量和亏值之间的关系,证明了下面的定理。
定理A [3] 设是复平面上的有穷级超越亚纯函数,是一个正整数,则有
杨乐提出了该上界是否精确的问题。2013年,仇惠玲等人 [4] 回答了这个问题,证明了如下定理。
定理B [4] 设是复平面上满足的超级有穷的超越亚纯函数,则对于任意正整数,有
本文将换成,推广了定理B,证明了如下结果。
定理1 设是复平面上满足的超级有穷的超越亚纯函数,是的个线性独立的小函数,,则有
(1.1)
(1.2)
若存在的一个小函数使得为非零常数,则有
(1.3)
例1 设是超越亚纯函数,,则
,
显然,是的小函数,且线性独立。通过行列式的计算可知,,其中为非零常数。令,则为的小函数,显然线性独立,且为非零常数。
由此可知,定理1推广了定理B。
注 显然,若是满足的超级有穷的超越亚纯函数,则有
因此有下面的结论。
推论1 设超级有穷的超越亚纯函数满足,是的个线性独立的小函数,,且满足为常数,则有
1973年,Singh-Kulkarni [5] 证明了下面的定理。
定理C [5] 设是复平面上满足的有穷级超越亚纯函数,则有
其中
2000年,Fang [6] 改进了定理C,证明了如下定理。
定理D [6] 设是复平面上满足的有穷级超越亚纯函数,则对于任意正整数,有
其中
2013年,仇惠玲等 [4] 将定理D中的“有穷级”改成“超级有穷”,结论仍成立。
定理E [4] 设是复平面上满足的超级有穷的超越亚纯函数,则对于任意正整数,有
其中
本文将定理E中的换成,推广了上述结果。由定理1即得下面的推论。
推论2 设是复平面上满足的超级有穷的超越亚纯函数,是的个线性独立的小函数,,则有
其中
由亏量关系和定理1即得如下结果。
定理2 设是复平面上的超级有穷的超越亚纯函数,为一个正整数,是的个线性独立的小函数,,且满足为常数,则
(1.4)
成立的充分必要条件是
, (1.5)
成立。
2. 一些引理
引理1 [4] 设是复平面上满足的超级有穷的超越亚纯函数,则有
引理2 [7] 设是一个超越亚纯函数,是的个线性独立的小函数,,则对任意的,有
引理3 [8] 设是超越亚纯函数,是的个线性独立的小函数,,是判别的有穷复数,则
引理4 设是超越亚纯函数,是的个线性独立的小函数,,则有
证明 由Nevanlinna基本理论得
引理5 设是复平面上满足的超级有穷的超越亚纯函数,是的个线性独立的小函数,,则
证明 不妨设有无穷多个有穷亏值,则由引理3,
由引理1,
令,及,得
(2.1)
由引理3,可得
再由引理2,得
应用引理1及(2.1)得
令,得
(2.2)
另一方面,由引理4
再应用引理1及(2.1)得
(2.3)
于是,由(2.2)和(2.3)得
证毕。
引理6 [7] 设为线性独立的函数,则有
3. 定理的证明
定理1的证明不妨设有无穷多个有穷亏值,则由引理3,
应用引理1得
令得
(3.1)
另一方面,由引理2和引理4得
令,并应用引理1及(2.1)得
(3.2)
因此,由(3.1)和(3.2),我们有
(3.3)
由引理5和(3.3)得
(3.4)
于是(1.1)得证。下面证明(1.2)。
由引理1,引理5及(2.1)得
(3.5)
于是(1.2)得证。下面证明(1.3)。
记,且存在的一个小函数使得为非零常数,记。则由引理6可知,
,
其中,。
因为,则
。(3.6)
任取有穷复数,由条件可知,存在使得为非零常数,即,则
(3.7)
因此,由(3.6),(3.7)和引理3得
则由引理1,引理5和(3.3),(3.4)得
即定理1证毕。
定理2的证明若(1.4)成立,则有
,。
于是,由及定理1得
即得,。
反过来,若(1.5)成立,则由定理1即得
于是(1.4)成立。定理2证毕。
致谢
作者衷心感谢方明亮教授的指导和帮助!
基金项目
本文由国家自然科学基金资助(基金号:11371149)。
文章引用
谢 佳,邓炳茂,李 菁. Wronsky行列式与具有最大亏量和的亚纯函数
Wronsky Determinant and Meromorphic Functions with Maximal Deficiency Sum[J]. 理论数学, 2016, 06(05): 418-426. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.65057
参考文献 (References)
- 1. Yang, L. (1993) Value Distribution Theory. Springer-Verlag, Berlin.
- 2. Hayman, W.K. (1964) Meromorphic Functions. Clarendon Press, Oxford.
- 3. Yang, L. (1990) Precise Estimate of Total Deficiency of Meromorphic Derivatives. Journal d’Analyse Mathematique, 55, 287-296. http://dx.doi.org/10.1007/BF02789206
- 4. 仇惠玲, 曾翠萍, 方明亮. 导函数具有最大亏量和的杨乐问题[J]. 中国科学: 数学, 2013, 43(12): 1177-1184.
- 5. Singh, S.K. and Kulkarni, V.N. (1973) Characteristic Function of a Meromorphic Function and Its Derivatives. Annales Polonici Mathematici, 28, 123-133.
- 6. Fang, M.L. (2000) A Note on a Result of Singh and Kulkarni. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 23, 285-288. http://dx.doi.org/10.1155/S016117120000082X
- 7. Frank, G. and Weissenborn, G. (1989) On the Zeros of Linear Differential Polynomials of Meromorphic Functions. Complex Variables, Theory and Application, 12, 77-81. http://dx.doi.org/10.1080/17476938908814355
- 8. Lahiri, I. and Banerjee, A. (2004) Value Distribution of a Wronskian. Portugaliae Mathematica (Nova Série), 61, 161- 175.