ABSTRACT

This article deals with the Topological Structure for sets with n points and tests it with the example of n = 1,2,3,4, meanwhile showing the calculating way that whether testing a given set will form a tological space or not.

Keywords:Topology, Topological Space, Topological Structure

恰含n个点的集合的拓扑结构和算法

石孝安，傅丽^*

青海民族大学，数学与统计学院，青海 西宁

收稿日期：2019年6月27日；录用日期：2019年7月17日；发布日期：2019年7月24日

摘 要

本文讨论了恰含n个点的集合上可能的拓扑结构，并以n = 1,2,3,4为例加以说明，同时给出了验证一个给定的集族是否形成一个拓扑空间的算法。

关键词 :拓扑，拓扑空间，拓扑结构

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1. 引言

拓扑学是数学中一个重要的、基础性的分支，找出给定集合上的拓扑结构一直被认为是比较麻烦的，特别当一个集合包含的元素越多的时候，花费的时间较多，还容易出错。计算机程序设计越来越普遍，一个有效的验证程序在节省验收时间的同时也可以提高准确度。

本文讨论恰含n点的集合的拓扑结构和可能的拓扑的数量，同时给出了验证是否形成拓扑的算法。下文先给出了需要的基础知识。第二部分讨论恰含n个点的集合的拓扑结构，找出了形成的可能拓扑的规律，并通过实例加以说明。第三部分给出了验证X的任意子集族T是否为X的拓扑空间的程序。

2. 基础知识

1) 拓扑空间定义：

定义1.1 [1] ：设X是一个集合， $T\subseteq P\left(X\right)$ ( $P\left(X\right)$ 表示X的幂集)，即T是X的一个子集族，如果T满足如下条件：

1、 $\varphi ,X\in T$

2、如果 $A,B\in T$，则 $A\cap B\in T$

3、若 $T_1\subset T$，则 ${\displaystyle \underset{A\in T_1}{\cup }A}\in T$，$\varphi ,X\in T$ 。

则称T是X上的一个拓扑。

如果是集合X上的一个拓扑，则称对偶 $\left(X,T\right)$ 是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑Ｔ而言的拓扑空间；或者当拓扑Ｔ早已约定或在行文中已有说明而无需指出时，仅称集合X是一个拓扑空间，此外Ｔ的每一个元素叫做拓扑空间 $\left(X,T\right)$ 中的一个开集，集合X中的元素叫拓扑空间中的点。

设T是X的一个拓扑，由于T中的每一个元素是拓扑空间X中的开集，因此拓扑空间X的定义可以理解为：

一个集合X的拓扑是X的一个开集族满足条件：

1、 $\varphi ,X$ 是开集;

2、任意两个开集的交集是开集；

3、任何开集族的并是开集。

注1：

1、X的任意有限开集族的交是开集。

2、X的任意开集族的并是开集。

对偶的我们可以写出闭集的类似定义：

注2：

1、X的任意有限闭集族的并是闭集。

2、X的任意闭集族的交是闭集。

2) 拓扑空间上特殊的空间

1、平庸拓扑： $T=\left\{\varphi ,X\right\},\left|T\right|=2$，T是 X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑，这样的拓扑空间只有一个，在平庸空间中只有两个开集，即X自身和空集，称为最粗的拓扑。

2、离散拓扑： $T=P\left(x\right),\left|T\right|=2^n$，即T是由X的全体子集构成的，显然，T是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑，并且称拓扑空间 $\left(X,T\right)$ 为离散空间，这样的拓扑空间有一个，称为最细的拓扑。

3、除此之外，我们对 $2<\left|T\right|<2^n$ 一般的拓扑空间进行探究：

3. 恰含n个点的集合的拓扑结构

根据拓扑空间的定义，我们可以根据集合X中含有不同元素而构造不同的拓扑，在此之中寻找其规律，主要通过以下几个方面做探究：

1、分别设X是一个包含一、二、三、四个元素的集合。

2、当集合X中的元素不同时，可以构造几个不同的拓扑，随着元素的增加，有何规律。

3、当集合X含有的元素不同时，会包含几类不同的拓扑。

4、每一类拓扑之间有何规律。

5、不同的拓扑之间是否有关联。

6、当含有元素为奇数和偶数是是否呈现一致的规律。

1) 主要结论

$\left|X\right|=n$，X上的拓扑

$\left|T\right|=3$，T的元中， $\varphi ,X,A,\forall A\subset X$，(A是真子集)

可能的个数 $C_n^1+\cdots +C_{n-i}^i+\cdots +C_{n-i}^{n-i+1}=2^{n-i}-2$ 种

$\left|T\right|=4$，T的元中， $\varphi ,X,A,B\subset X$

Case1： $A\subset B$ (即满足 $A\subseteq B\subset X$ )

$\left|A\right|=i$，则B的可能个数为 $C_{n-i}^1+C_{n-i}^2+\cdots +C_{n-i}^{n-i-1}=2^{n-i}-2$

设T的总个数为 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{C}_{n-i}^i\left(C_{n-i}^1+\cdots +C_{n-i}^{n-i+1}\right)}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-2}{\sum }}{C}_n^i\left(2^{n-i}-2\right)}$

Case2： $A\cap B=\varphi ,A\cup B=X$

$\left|T\right|=5$，T的元中， $\varphi ,X,A,A,B\subset X,\{\begin{array}{l}A\subseteq B\subset C\subset X\\ A\cap B=\varphi ,A\cup B=C\end{array}$

Case1： $A\subset B\subset C\subset X$，在这种情况下， $\max \left|A\right|=n-3,\max \left|B\right|=n-2,\max \left|C\right|=n-3$

假设： $\left|A\right|=i,i<\left|B\right|\le j,\lambda <\left|C\right|\le k\le n-1$

则A的取值法 $C_n^i$，B的取法 $C_{n-i}^1+C_{n-i}^2+\cdots +C_{n-i}^j$

Case2： $A\cap B=\varphi$，$A\cup B=C\subset X$，$\max \left|C\right|=n-1$，即 $\max \left(i+j\right)=n-1$，设， $\left|B\right|=j$，则A的取法 $C_n^i$ ；B的取法 $C_{n-i}^j$，总的拓扑的数： ${\displaystyle \underset{1+j\le n}{\sum }{C}_n^i\cdot C_{n-i}^j}$

C的取法： $C_{n-j}^1+C_{n-j}^2+\cdots +C_{n-j}^k$，

总的拓扑个数： ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-3}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=i+1}{\overset{n-2}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=j+1}{\overset{n-1}{\sum }}{C}_n^i}}}\left(C_{n-i}^1+\cdots +C_{n-i}^{j-i}\right)\left(C_{n-j}^1+\cdots +C_{n-j}^{ki}\right)$ ；

$\left|T\right|=6$，T的元中，

$\varphi ,X,A,A,B,C,D\subset X,\{\begin{array}{l}A\subset B\subset C\subset D\\ A\cap B=\varphi ,A\cup B=C\subset D\\ \max \left|A\right|=n-4,\max \left|B\right|=n-3,\max \left|C\right|=n-2,\max \left|D\right|=n-1\end{array}$

Case1： $\left|A\right|=i<\left|B\right|\le j<\left|C\right|\le k<\left|D\right|\le m\le n-1$ ,

总的拓扑个数 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-4}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=i+1}{\overset{n-3}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=j+1}{\overset{n-2}{\sum }}{\displaystyle \underset{m=k+1}{\overset{n-1}{\sum }}{C}_n^i}}}}\left(C_{n-j}^1+\cdots +C_{n-j}^{k-i}\right)\left(C_{n-k}^1+\cdots +C_{n-k}^{m-j}\right)$

Case2：，设 $\left|X\right|=k$ 设

总的拓扑个数为： ${\displaystyle \underset{i+j\le n-2}{\overset{}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=i+j+1}{\overset{n-1}{\sum }}{C}_n^i\cdot C_{n-i}^j}}\left(C_{n-j}^1+\cdots +C_{n-j}^{k-i}\right)$

2) 例题

例1：X是含有一个元素的集合 $X=\left\{a\right\}$，n = 1，则拓扑空间有1个为：

$T_1=P\left(x\right)=\left\{\varphi ,X\right\}$

例2：X是含有两个元素的集合 $X=\left\{a,b\right\}$，n = 2，则拓扑空间有3个为：

$T_1=P\left(x\right)=\left\{\varphi ,X\right\}$，$T_2=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\}\right\}$，$T_3=\left\{\varphi ,X,\left\{b\right\}\right\}$

例3：X是含有三个元素的集合 $X=\left\{a,b,c\right\}$，n = 3，则拓扑空间有32个为：

$T_1=\left\{\varphi ,X\right\}$

$\left|T\right|=3$，含有除 $\varphi ,X$ 外，单个元素的拓扑空间有6个为：

$T_1=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\}\right\}$，$T_2=\left\{\varphi ,X,\left\{b\right\}\right\}$，$T_3=\left\{\varphi ,X,\left\{c\right\}\right\}$，

$T_4=\left\{\varphi ,X,\left\{a,b\right\}\right\}$，$T_5=\left\{\varphi ,X,\left\{a,c\right\}\right\}$，$T_6=\left\{\varphi ,X,\left\{b,c\right\}\right\}$

$\left|T\right|=4$，含有除 $\varphi ,X$ 外，两个元素的拓扑空间有9个为：

① $A\subseteq B$ ：

$T_1=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{a,b\right\}\right\}$，$T_2=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{a,c\right\}\right\}$，$T_3=\left\{\varphi ,X,\left\{b\right\},\left\{a,b\right\}\right\}$

$T_4=\left\{\varphi ,X,\left\{b\right\},\left\{c,b\right\}\right\}$，$T_5=\left\{\varphi ,X,\left\{c\right\},\left\{a,c\right\}\right\}$，$T_6=\left\{\varphi ,X,\left\{c\right\},\left\{b,c\right\}\right\}$

② $A\cap B=\varphi ,A\cup B=X$ ：

$T_7=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{c,b\right\}\right\}$，$T_8=\left\{\varphi ,X,\left\{b\right\},\left\{a,c\right\}\right\}$，$T_9=\left\{\varphi ,X,\left\{c\right\},\left\{a,b\right\}\right\}$

$\left|T\right|=5$，除 $\varphi ,X$ 外，含有三个元素的拓扑空间有6个为：

① $A\subset B$ or $A\subset C$，$A\cap B=A$，$A\cap C=C$，$A\cap C=C$ ：

$T_1=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\}\right\}$，$T_2=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{a,b\right\},\left\{b,c\right\}\right\}$，$T_3=\left\{\varphi ,X,\left\{c\right\},\left\{a,c\right\},\left\{b,c\right\}\right\}$

② $A\subset C$，$B\subset C$，$B\subset C$ ：

$T_4=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{a,b\right\}\right\}$，$T_5=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{c\right\},\left\{a,c\right\}\right\}$，$T_6=\left\{\varphi ,X,\left\{b\right\},\left\{c\right\},\left\{b,c\right\}\right\}$

$\left|T\right|=6$，除 $\varphi ,X$ 外，含有四个元素的拓扑空间有6个为：

$T_1=\left\{\varphi ,X,\left\{b\right\},\left\{c\right\}\left\{a,b\right\},\left\{b,c\right\}\right\}$，$T_2=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b\right\}\left\{a,b\right\},\left\{b,c\right\}\right\}$

$T_3=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{c\right\}\left\{a,c\right\},\left\{b,c\right\}\right\}$，$T_4=\left\{\varphi ,X,\left\{b\right\},\left\{c\right\}\left\{a,c\right\},\left\{b,c\right\}\right\}$

$T_5=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\}\right\}$，$T_6=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{c\right\},\left\{a,c\right\},\left\{a,b\right\}\right\}$

$\left|T\right|=7$，除 $\varphi ,X$ 外，含有五个元素的拓扑空间有3个为：

$T_1=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{b,c\right\}\right\}$，$T_2=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{c\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{b,c\right\}\right\}$

$T_3=\left\{\varphi ,X,\left\{b\right\},\left\{c\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{b,c\right\}\right\}$

$\left|T\right|=8$，除 $\varphi ,X$ 外，含有六个元素的拓扑空间有1个为：

$T_1=P\left(X\right)=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{c\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{b,c\right\}\right\}$

例4：X是含有四个元素的集合 $X=\left\{a,b,c,d\right\}$，n = 4，则拓扑空间有：466个

(因为拓扑空间个数较多，我们只写出每一类的代表元)

$T_1=\left\{\varphi ,X\right\}$

$\left|T\right|=3$，含有除 $\varphi ,X$ 外，单个元素的拓扑空间：14个

$T_1=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\}\right\}$ (4个) $T_5=\left\{\varphi ,X,\left\{a,b\right\}\right\}$ (6个) $T_{11}=\left\{\varphi ,X,\left\{a,b,c\right\}\right\}$ (4个)

$\left|T\right|=4$，含有除 $\varphi ,X$ 外，两个元素的拓扑空间：36 + 7 = 43

$A\subseteq B$ (36个)

①， $T_4=\left\{\varphi ,X,\left\{b\right\},\left\{a,b\right\}\right\}$，$T_7=\left\{\varphi ,X,\left\{c\right\},\left\{a,c\right\}\right\}$，$T_{10}=\left\{\varphi ,X,\left\{d\right\},\left\{a,d\right\}\right\}$ (各有3个)

② $T_{13}=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{a,b,c\right\}\right\}$，$T_{16}=\left\{\varphi ,X,\left\{b\right\},\left\{a,b,c\right\}\right\}$，$T_{19}=\left\{\varphi ,X,\left\{c\right\},\left\{a,b,c\right\}\right\}$，$T_{22}=\left\{\varphi ,X,\left\{d\right\},\left\{a,b,d\right\}\right\}$ (各有3个)

③ $T_{25}=\left\{\varphi ,X,\left\{a,b\right\},\left\{a,b,c\right\}\right\}$，$T_{27}=\left\{\varphi ,X,\left\{a,c\right\},\left\{a,b,c\right\}\right\}$，$T_{29}=\left\{\varphi ,X,\left\{a,d\right\},\left\{a,b,d\right\}\right\}$，$T_{31}=\left\{\varphi ,X,\left\{b,c\right\},\left\{a,b,c\right\}\right\}$，$T_{33}=\left\{\varphi ,X,\left\{b,d\right\},\left\{a,b,d\right\}\right\}$，$T_{35}=\left\{\varphi ,X,\left\{c,d\right\},\left\{a,c,d\right\}\right\}$ (各有2个)

$A\cap B=\varphi ,A\cup B=X$ ：

① $T_{37}=\left\{\varphi ,X,\left\{a,b\right\},\left\{c,d\right\}\right\}$

② $T_{40}=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b,c,d\right\}\right\}$ (各有3个)

$\left|T\right|=5$，除 $\varphi ,X$ 外，含有三个元素的拓扑空间有36个为：

$A_1,A_2\subset A_3$ (6个)： $T_1=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{a,b\right\}\right\}$

$A_1\subset A_2\subset A_3$ (24个)： $T_7=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,b,c\right\}\right\}$

$A_1\cup A_2\cup A_3=X,A_2\cap A_3=A_1$ (6个)： $T_{31}=\left\{\varphi ,X,\left\{a,b\right\},\left\{a,b,c\right\},\left\{a,b,d\right\}\right\}$

$\left|T\right|=6$，除 $\varphi ,X$ 外，含有四个元素的拓扑空间有36个为：

$A_1\subset A_2,A_3,A_4,A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4=A_1$ (12个)： $T_1=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\}\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{a,b,c\right\}\right\}$

$A_1/A_2/A_3\subset A_4,A_1/A_2\subset A_3,A_1\cup A_2=A_3$ (12个)： $T_{13}=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,b,c\right\}\right\}$

$A_1/A_2\subset A_3/A_4,A_3\cap A_4=A_2,A_3\cup A_4=X$ (12)#Math_165#

$\left|T\right|=7$，除 $\varphi ,X$ 外，含有五个元素的拓扑空间有22个为： $A_1\subset A_2,A_3,A_4,A_5,A_2\cup A_3=A_4,A_4\cup A_5=X$ (16个)：

$T_1=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{a,b,c\right\},\left\{a,b,d\right\}\right\}$

$A_1,A_2,A_3\subset A_4,A_5,A_1\cup A_2=A_3,A_4\cup A_5=X$ (6个)：

$T_{17}=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,b,c\right\},\left\{a,b,d\right\}\right\}$

$\left|T\right|=8$，除 $\varphi ,X$ 外，含有六个元素的拓扑空间有180个为：；

① $T_1=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{a,b,c\right\},\left\{a,b,d\right\}\right\}$

$\left|T\right|=9$，除 $\varphi ,X$ 外，含有七个元素的拓扑空间有28个为：

$A_1\cup A_2=A_4,A_2\cup A_3=A_5,A_4\cup A_5\cup A_6=A_7$ (4个)：

$T_1=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{c\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{b,c\right\},\left\{a,b,c\right\}\right\}$

$A_1\cup A_2=A_3,A_3\cup A_4=A_6,A_4\cup A_5=A_7$ (24个)：

① $T_5=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,d\right\},\left\{c,d\right\},\left\{a,b,d\right\},\left\{a,c,d\right\}\right\}$(4个)

② $T_9=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{c\right\},\left\{a,c\right\},\left\{a,b\right\},\left\{b,d\right\},\left\{a,b,c\right\},\left\{a,b,d\right\}\right\}$(4个)

③ $T_{13}=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{d\right\},\left\{a,d\right\},\left\{a,b\right\},\left\{b,c\right\},\left\{a,b,d\right\},\left\{a,b,c\right\}\right\}$(4个)

④ $T_{17}=\left\{\varphi ,X,\left\{b\right\},\left\{d\right\},\left\{b,d\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{a,b,d\right\},\left\{a,b,c\right\}\right\}$(4个)

⑤ $T_{21}=\left\{\varphi ,X,\left\{c\right\},\left\{d\right\},\left\{c,d\right\},\left\{d,b\right\},\left\{a,b\right\},\left\{b,c,d\right\},\left\{a,b,d\right\}\right\}$ (4个)

⑥ $T_{25}=\left\{\varphi ,X,\left\{b\right\},\left\{c\right\},\left\{b,c\right\},\left\{c,d\right\},\left\{a,d\right\},\left\{b,c,d\right\},\left\{a,c,d\right\}\right\}$(4个)

$\left|T\right|=10$，除 $\varphi ,X$ 外，含有八个元素的拓扑空间有84个为：

$T_1=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{a,d\right\},\left\{a,b,c\right\},\left\{a,b,d\right\},\left\{a,c,d\right\}\right\}$

$\left|T\right|=11$，除 $\varphi ,X$ 外，含有九个元素的拓扑空间有12个为：

$T_1=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{c\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{b,c\right\},\left\{a,b,c\right\},\left\{a,d\right\},\left\{a,b,d\right\}\right\}$

$\left|T\right|=12$，除 $\varphi ,X$ 外，含有十个元素的拓扑空间有4个为：

$T_1=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{c\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{a,d\right\},\left\{a,b,c\right\},\left\{a,b,d\right\},\left\{a,c,d\right\},\left\{b,c\right\}\right\}$

$\left|T\right|=13$，除 $\varphi ,X$ 外，含有十一个元素的拓扑空间有12个

$T_1=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{c\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{b,c\right\},\left\{a,d\right\},\left\{a,b,c\right\},\left\{a,b,d\right\},\left\{a,c,d\right\},\left\{b,c,d\right\}\right\}$

$\left|T\right|=14$，除 $\varphi ,X$ 外，含有十二个元素的拓扑空间有0个

$\left|T\right|=15$，除 $\varphi ,X$ 外，含有十三个元素的拓扑空间有0个

$\left|T\right|=16$，除 $\varphi ,X$ 外，含有十四个元素的拓扑空间有1个为：

$\begin{array}{c}{T}_1=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{c\right\},\left\{d\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{b,c\right\},\left\{a,d\right\},\left\{c,d\right\},\left\{b,c\right\},\left\{a,b,c\right\},\left\{a,b,d\right\},\left\{a,c,d\right\},\left\{b,c,d\right\}\right\}\\ =P(X)\end{array}$

根据上面实例我们得到下表数据：

4. 验证是否为拓扑空间的算法

从以上的不同集合上构造不同拓扑可以看出，验证方法特别繁琐，而且当一个集合包含的元素越多的时候，花费的时间较多，还容易出错。计算机程序设计越来越普遍，计算机计算节省了很多时间。下面给出X的任意子集族T是否为X的拓扑空间的程序：

return 0;

}

附程序：

注：此程序是以数值进行输入，所以验证的拓扑空间是自然数的子集族。下面我们以例题的方式验证程序的可行性。

例5：设X是一个三元素集合， $$，我们验证X的子集族 $T_1=\left\{\varphi ,X,\left\{b\right\},\left\{a,b\right\},\left\{b,c\right\}\right\}$ 和 $T_2=\left\{\varphi ,X,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{b,c\right\}\right\}$ 是否为拓扑空间。

注：

1、依次可验证任意集合上的任意子集族是否为拓扑空间，由于验证界面较长，不在此展示，读者可自行验证。

2、我们给出了定义1.1的验证程序，有兴趣的读者可根据基础知识中的注1和注2写出相应的验证程序。

基金项目

本课题由青海省自然科学基金(批准号：2018-z-911)、国家自然科学基金(批准号:61773019)资助。

文章引用

石孝安,傅 丽. 恰含n个点的集合的拓扑结构和算法
The Topological Structure for Sets with n Points and Algorithm[J]. 理论数学, 2019, 09(05): 585-595. https://doi.org/10.12677/PM.2019.95078

参考文献