Pure Mathematics
Vol. 09  No. 06 ( 2019 ), Article ID: 31610 , 3 pages
10.12677/PM.2019.96093

A Judgment of Integer Coefficient Polynomials without Integer Root

Mianmian Zhang

The Mathematics of Hangzhou Normal University, Hangzhou Zhejiang

Received: Jul. 11th, 2019; accepted: Jul. 21st, 2019; published: Aug. 7th, 2019

ABSTRACT

The article starts from an exercise in Higher Algebra Learning Guidelines (2nd Edition, Volume II) complied by Qiu Weisheng. This paper gives a judgment of integer coefficient polynomials without integer roots, and applies it to relevant examples and exercises.

Keywords:Integral Coefficient Polynomial, Integral Root

整系数多项式无整数根的一个判定

张棉棉

杭州师范大学数学系,浙江 杭州

收稿日期:2019年7月11日;录用日期:2019年7月21日;发布日期:2019年8月7日

摘 要

本文从丘维声编著的《高等代数学习指导书(第二版,下册)》的一道习题出发,给出整系数多项式无整数根的一个判定,并把它应用到相关例题及习题中。

关键词 :整系数多项式,整数根

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1. 引言

具体整系数多项式整数根的有无可以通过有理根进行判定。抽象整系数多项式整数根的有无没有特别适用的方法。我们从文献 [1] 的一道习题出发,给出整系数多项式证明无整数根的新方法,将此方法一般化,并把它应用到文献 [1] 的其他例题及习题中。由此,我们发现这个判定法是很有效的,且适用面是比较广的。更重要的是,此判定法既直接又简洁。它不同于反证法,反证法很多时候是需要技巧的,而技巧对学生,特别是刚从高中毕业的大一新生而言,是非常困难的。它又不同于直接证明的方法,需要用到很多新的知识,它最终只需要简单的计算几个函数值,再进行简单的判断即可。这样简单有效的方法,一方面在多项式各种证明中备受困扰的学生里无疑是受欢迎的,另一个方面也是对学生一种知识探索的示范。

2. 主要结果及应用

例1. 设次数为n的整系数多项式 f ( x ) = a n x n + + a 1 x + a 0 ,满足3不整除 f ( 0 ) = a 0 f ( 1 ) = a n + + a 1 + a 0 f ( 1 ) = ( 1 ) n a n + a 1 + a 0 。证明: f ( x ) 没有整数根。

证明:反证法:假设 f ( x ) 有整数根c,即 f ( c ) = 0 。另一方面,由带余除法得 c = 3 k + d d = 0 , 1 , 2 f ( c ) = f ( 3 k + d ) = a n ( 3 k + d ) n + + a 1 ( 3 k + d ) + a 0 = 3 m + f ( d ) f ( d ) = f ( c ) 3 m 能被3整除。但事实上,由已知知,3不整除 f ( 0 ) = a 0 ,3不整除 f ( 1 ) = a n + + a 1 + a 0 ,3不整除 f ( 1 ) = ( 1 ) n a n + a 1 + a 0 ,又由于 f ( 2 ) = f ( 3 + ( 1 ) ) = 3 l + f ( 1 ) 知3不整除 f ( 2 ) ,与前面3整除 f ( d ) , d = 0 , 1 , 2 矛盾。故 f ( x ) 没有整数根。

定理1 设 f ( x ) = a n x n + + a 1 x + a 0 是一个次数为n的整系数多项式。证明:如果存在正整除m,使得 f ( 0 ) , f ( 1 ) , f ( m 1 ) 都不能被m整除,那么 f ( x ) 没有整数根。

证明:反证法:假设 f ( x ) 有整数根c,即 f ( c ) = 0 。另一方面,由带余除法得 c = m k + l l = 0 , 1 , , m 1 f ( c ) = f ( m k + l ) = a n ( m k + l ) n + + a 1 ( m k + l ) + a 0 = h m + f ( l ) f ( l ) = f ( c ) h m 能被m整除,与已知矛盾。故 f ( x ) 没有整数根。

例2. 设 f ( x ) 是一个首一整系数多项式,证明:如果 f ( 0 ) f ( 1 ) 都是奇数,那么 f ( x ) 没有有理根。

备注1:首一整系数多项式的有理根就是整数根。

证明:因为 f ( 0 ) f ( 1 ) 都是奇数,取 m = 2 ,由定理1知, f ( x ) 没有整数根,即没有有理根。

现在把例2进行推广,得到如下例3。

例3. 设 f ( x ) 是一个整系数多项式,证明:如果存在一个偶数a及一个奇数b,使得 f ( a ) f ( b ) 都是奇数,则 f ( x ) 不能有整数根。

证明:设 f ( x ) = a n x n + + a 1 x + a 0 [ x ] , n > 0 ,则奇数 = f ( a ) = a n a n + + a 1 a + a 0 = ( a n a n + + a 1 a ) + a 0 = 偶数 + f ( 0 ) ,得 f ( 0 ) 为奇数。又奇数 = f ( b ) = f ( ( b 1 ) + 1 ) = ( b 1 ) k + f ( 1 ) = 偶数 + f ( 1 ) ,得 f ( 1 ) 为奇数。取 m = 2 ,由定理1知, f ( x ) 没有整数根。

例4. 设 f ( x ) = x 3 + a x 2 + b x + c 是整系数多项式,证明:如果 ( a + b ) c 是奇数,那么 f ( x ) 在有理数域上不可约。

证明:由 ( a + b ) c 是奇数,知 a + b , c 均是奇数,即 f ( 0 ) = c , f ( 1 ) = 1 + a + b + c 均是奇数。则直接由例2,或取 m = 2 ,由定理1知 f ( x ) 在有理数域上不可约。

例5. 判断下列整系数多项式在有理数域上是否不可约:

( 1 ) f ( x ) = x 3 + x + 1 ( 2 ) g ( x ) = x 3 + x 2 3 x + 2 ( 3 ) h ( x ) = x 2 + x + 2

备注1:3次整系数多项式在有理数域是否可约等同于是否有有理根,当多项式是首一时,等同于是否有整数根。

备注2:对具体整系数多项式 f ( x ) ,我们通常直接采用爱森斯坦判别法,或间接采用它的变型 g ( y ) = f ( x + a ) , a Q 来进行判定。虽然爱森斯坦判别法本身已经足够简单,但是艾森斯坦判别法的变形并不是那么容易,很多时候a的取值并非像我们上课时候碰到的一些例子直接在 ± 1 中去寻找那么简单,例如(3),对 h ( x ) = x 2 + x + 2 ,如果我们采用爱森斯坦判别法的变形, l ( y ) = h ( y + 3 ) = y 2 + 7 y + 14 ,这里a取成了3。

解:1) f ( 0 ) = 1 , f ( 1 ) = 3 ,有例2结论,或取 m = 2 ,由定理1知, f ( x ) 没有整数根,即 f ( x ) 在有理数域上不可约。

2) g ( 0 ) = 2 , g ( 1 ) = 1 , g ( 2 ) = 8 ,取 m = 3 ,由定理1知, g ( x ) 没有整数根,即 g ( x ) 在有理数域上不可约。

3) h ( 0 ) = 2 , h ( 1 ) = 4 , h ( 2 ) = 8 ,取 m = 3 ,由定理1知, h ( x ) 没有整数根,即 h ( x ) 在有理数域上不可约。

例6 求 f ( x ) = 3 x 5 + 4 x 4 6 x 2 5 x 3 的有理根

解:已知 f ( 0 ) = 3 , f ( 1 ) = 7 均为奇数,故 f ( x ) 无整数根。因此在 f ( x ) 所有可能的有理根 ± 1 , ± 3 , ± 1 3 中,我们只需要对 ± 1 3 进行综合除法得 f ( 1 3 ) 0 , f ( 1 3 ) 0 ,故 f ( x ) 无有理根。

最后,我们通过上面的例题可以明显看出,解决同样的问题,定理1要优于其他例如反证法、爱森斯坦判别法及其变形等方法。定理1的引入又是非常自然的,因为,例2是我们必须掌握的内容,它总是以习题等形式存在于各课本之中。我们在讲解时候,适当进行引导,就可以得出定理1的判定。多一种方法,多一种选择。

文章引用

张棉棉. 整系数多项式无整数根的一个判定
A Judgment of Integer Coefficient Polynomials without Integer Root[J]. 理论数学, 2019, 09(06): 699-701. https://doi.org/10.12677/PM.2019.96093

参考文献

  1. 1. 丘维声. 高等代数学习指导书(第二版, 下册) [M]. 北京: 清华大学出版社, 2016.

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