ABSTRACT

This paper mainly studies the extinction and persistence of a stochastic hepatitis C virus infection model (HCV model) with mixed switching. First, we prove the existence and uniqueness of the solution of the stochastic HCV model. Secondly, we prove the existence and uniqueness of the invariant probability measure of the stochastic HCV model by using the theory of Feller property, invariant control set and Krylov Bogoliubov theorem. Finally, by using the strong ergodicity theorem, Borel-Cantelli lemma and iterated logarithm law, the conditions of extinction and persistence of the stochastic HCV model are obtained.

Keywords:Stochastic HCV Model, Extinction, Permanence, Invariant Probability Measure, Markov Chain

具有混合切换的随机丙型肝炎病毒感染模型的长期性行为

黄露秋，吕超，潘玉婷，黄在堂

南宁师范大学数学与统计学院，广西 南宁

收稿日期：2020年4月17日；录用日期：2020年5月7日；发布日期：2020年5月14日

摘 要

本文主要研究具有混合切换的随机丙型肝炎病毒感染模型(HCV模型)的灭绝性和持久性。首先，证明了随机HCV模型解的存在性唯一性。其次，利用费勒性质、不变控制集和Krylov-Bogoliubov定理等理论，证明了随机HCV模型的不变概率测度的存在唯一性。最后，运用强遍历性定理、波莱尔康特立引理和迭代对数定律等理论，获得了随机HCV模型的灭绝性和持久性的条件。

关键词 :随机HCV模型，灭绝性，持久性，不变概率测度，马尔科夫链

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1. 引言

近年来，全世界持续感染丙型肝炎病毒(HCV)，并有罹患慢性肝病，肝硬化和肝细胞癌风险的人口数量逐步增加。由此，丙型肝炎病毒感染已成为一个严重的全球公共卫生问题，备受关注 [1] - [8]。

最早的丙型肝炎病毒感染模型(HCV模型)是由诺伊曼等人提出 [1]，具体模型如下

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}{W}_t}{\text{d}t}=S+a{W}_t\left(1-\frac{W_t+I_t}{W_{\max }}\right)-b{W}_t-\left(1-\eta \right)\beta V_t{W}_t+q{I}_t\\ \frac{\text{d}{I}_t}{\text{d}t}=\nu I_t\left(1-\frac{W_t+I_t}{W_{\max }}\right)+\left(1-\eta \right)\beta V_t{W}_t-\omega I_t-q{I}_t\\ \frac{\text{d}{V}_t}{\text{d}t}=\left(1-ϵ\right)p{I}_t-c{V}_t,\end{array}$ (1.1)

其中 $W_t\mathrm{,}{I}_t\mathrm{,}{V}_t$ 分别为t时刻的未感染肝细胞数量，感染肝细胞量和病毒载量，且 $N_t=W_t+I_t+V_t$ 表示细胞总数。S表示未感染的肝细胞可能通过移行或分化成肝细胞前体细胞，以S的构成率增加数量；a表示感染细胞的最大增值速率；b表示未感染细胞的死亡率； $\eta$ 表示使用抗病毒药物治疗所降低的感染率；q表示通过非细胞溶解过程自发治愈感染的肝细胞的治愈率； $\nu$ 表示未感染细胞的最大增值速率； $\beta$ 表示肝细胞游离病毒感染率； $\omega$ 表示感染病毒细胞死亡率； $ϵ$ 表示病毒生产率；p表示细胞产生游离病毒的速率；c表示清除游离病毒的速率。

本文考虑以下三个具有混合切换的随机丙型肝炎病毒感染模型的动力学性质。

模型一：与状态无关的马尔科夫状态切换HCV模型

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}{W}_t}{\text{d}t}=S_{{\alpha }_t}+a_{{\alpha }_t}{W}_t\left(1-\frac{W_t+I_t}{W_{\max }}\right)-b_{{\alpha }_t}{W}_t-\left(1-{\eta }_{{\alpha }_t}\right){\beta }_{{\alpha }_t}{V}_t{W}_t+q_{{\alpha }_t}{I}_t,\\ \frac{\text{d}{I}_t}{\text{d}t}={\nu }_{{\alpha }_t}{I}_t\left(1-\frac{W_t+I_t}{W_{\max }}\right)+\left(1-{\eta }_{{\alpha }_t}\right){\beta }_{{\alpha }_t}{V}_t{W}_t-{\omega }_{{\alpha }_t}{I}_t-q_{{\alpha }_t}{I}_t,\\ \frac{\text{d}{V}_t}{\text{d}t}=\left(1-{ϵ}_{{\alpha }_t}\right)p_{{\alpha }_t}{I}_t-c_{{\alpha }_t}{V}_t,\end{array}$ (1.2)

其初始值 $\left(W_t,I_t,V_t\right)=\left(w_0,i_0,v_0\right)\in {ℝ}_{+}^3:=\left(x,y,z\right)\in {ℝ}^3:x>0,y>0,z>0$，对于实数 $M<\infty$，有 ${\alpha }_0=a_0\in \mathcal{M}=\left\{\mathrm{1,2,}\cdots \mathrm{,}M\right\}$。因此， ${\left({\alpha }_t\right)}_{t\ge 0}$ 是一个具有状态空间 $\mathcal{M}$ 的连续时间马尔科夫链，且其具有如下转移概率

$\mathbb{P}\left({\alpha }_{t+\Delta }=j|{\alpha }_t=i\right)=\{\begin{array}{ll}{q}_{ij}\Delta +o\left(\Delta \right),\hfill & i\ne j,\hfill \\ 1+q_{ii}\Delta +o\left(\Delta \right),\hfill & i=j,\hfill \end{array}$ (1.3)

其中 $\Delta \downarrow 0$，且Q-矩阵 $Q={\left(q_{ij}\right)}_{i\mathrm{,}j\in \mathcal{M}}$ ； $a_i\mathrm{,}{b}_i\mathrm{,}{\eta }_i\mathrm{,}{\beta }_i\mathrm{,}{q}_i\mathrm{,}{\nu }_i\mathrm{,}{\epsilon }_i\mathrm{,}{p}_i\mathrm{,}{c}_i>\mathrm{0,}i\in \mathcal{M}$。

模型二：仍然是模型(1.2)，但此时 ${\left({\alpha }_t\right)}_{t\ge 0}$ 是一个具有状态空间 $\mathcal{M}$ 的跳跃过程，对任意 $i\mathrm{,}j\in \mathcal{M}$ 和 $x\in {ℝ}_{+}^3$，其过渡内核如下所示

$\mathbb{P}\left({\alpha }_{t+\Delta }=j\mathrm{<mo>\; |\; </mo>}{\alpha }_t=i\mathrm{,}{X}_t=x\right)=\{\begin{array}{ll}{q}_{ij}\left(x\right)\Delta +o\left(\Delta \right)\mathrm{,}\hfill & i\ne j\mathrm{,}\hfill \\ 1+q_{ii}\left(x\right)\Delta +o\left(\Delta \right)\mathrm{,}\hfill & i=j\mathrm{,}\hfill \end{array}$ (1.4)

无论何时，都有 $\Delta \downarrow 0$，其中 $X_t=\left(W_t\mathrm{,}{I}_t\mathrm{,}{V}_t\right)\in {ℝ}_{+}^3$。

模型三：考虑到依赖于状态的随机环境和随机扰动的影响，随机HCV模型如下

$\{\begin{array}{l}\text{d}{W}_t=\left\{S_{{\alpha }_t}+a_{{\alpha }_t}{W}_t\left(1-\frac{W_t+I_t}{W_{\max }}\right)-b_{{\alpha }_t}{W}_t-\left(1-{\eta }_{{\alpha }_t}\right){\beta }_{{\alpha }_t}{V}_t{W}_t+q_{{\alpha }_t}{I}_t\right\}\text{d}t,\\ -\left(b_{{\alpha }_t}^e-a_{{\alpha }_t}^e\right)W_t\text{d}{B}_t^{\left(1\right)}-\frac{a_{{\alpha }_t}^e{I}_t}{W_{\max }}{W}_t\text{d}{B}_t^{\left(2\right)}-\left(1-{\eta }_{{\alpha }_t}^e\right){\beta }_{{\alpha }_t}^e{V}_t{W}_t\text{d}{B}_t^{\left(3\right)},\\ \text{d}{I}_t=\left\{{\nu }_{{\alpha }_t}{I}_t\left(1-\frac{W_t+I_t}{W_{\max }}\right)+\left(1-{\eta }_{{\alpha }_t}\right){\beta }_{{\alpha }_t}{V}_t{W}_t-{\omega }_{{\alpha }_t}{I}_t-q_{{\alpha }_t}{I}_t\right\}\text{d}t,\\ -\left({\omega }_{{\alpha }_t}^e+q_{{\alpha }_t}^e-{\nu }_{{\alpha }_t}^e\right)I_t\text{d}{B}_t^{\left(1\right)}-\frac{{\nu }_{{\alpha }_t}^e{W}_t}{W_{\max }}{I}_t\text{d}{B}_t^{\left(2\right)},\\ \text{d}{V}_t=\left\{\left(1-{ϵ}_{{\alpha }_t}\right)p_{{\alpha }_t}{I}_t-c_{{\alpha }_t}{V}_t\right\}\text{d}t-c_{{\alpha }_t}^e{V}_t\text{d}{B}_t^{\left(1\right)}\end{array}$ (1.5)

2. 具有独立于状态的随机HCV模型的灭绝性与持久性

在随机HCV模型(1.2)和(1.3)中，连续时间马尔科夫链 ${\left({\alpha }_t\right)}_{t\ge 0}$ 的转移概率与状态无关。令 $\stackrel{⌣}{S}=ma{x}_{i\in \mathcal{M}}{S}_i$，$\hat{S}=mi{n}_{i\in \mathcal{M}}{S}_i$，其他变量 $\stackrel{⌣}{a}\mathrm{,}\hat{a}\mathrm{,}\stackrel{⌣}{b}\mathrm{,}\hat{b}\mathrm{,}\cdots$ 的定义与它类似。假设

· ${\mathcal{H}}_1$ 对所有的 $i\in \mathcal{M}$，$F\left(\cdot \mathrm{,}i\right)\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}ℝ\to {ℝ}_{+}$ 是局部利普希茨连续的，且存在常数 $c>0$，使得 $F\left(x\mathrm{,}i\right)\le c\left(1+\left|x\right|\right)\mathrm{,}x\in ℝ$ ；

· ${\mathcal{H}}_2$ 连续时间马尔科夫链 ${\left({\alpha }_t\right)}_{t\ge 0}$ 是不可约和正递归的，且其具有不变概率测度 $\pi =\left({\pi }_1\mathrm{,}{\pi }_2\mathrm{,}\cdots \mathrm{,}{\pi }_M\right)$。

下面的引理表明，随机HCV模型(1.2)和(1.3)的唯一解在正象限中，并揭示了肝细胞的总数量有一个上界。

引理2.1 假设 ${\mathcal{H}}_1$ 成立，令 $F\left(x\mathrm{,}i\right)=\left(1-{\eta }_{{\alpha }_t}\right){\beta }_{{\alpha }_t}{V}_t$。则随机丙型肝炎病毒感染模型(1.2)和(1.3) 有唯一强解 $\left(W_t\mathrm{,}{I}_t\mathrm{,}{V}_t\right)\in {ℝ}_{+}^3$，其解的初始值 $\left(w_0\mathrm{,}{i}_0\mathrm{,}{v}_0\right)\in {ℝ}_{+}^3$。此外，仍有

$N_t\le N_0{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_0^t}{\Upsilon }_{{\alpha }_s}\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^t}{S}_{{\alpha }_s}{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_s^t}{\Upsilon }_{{\alpha }_u}\text{d}u}\text{d}s\mathrm{,}\text{a}\text{.s}\mathrm{.}$ (2.1)

Proof. 首先由随机模型(1.2)可以得到

$\begin{array}{l}\text{d}{N}_t=\{S_{{\alpha }_t}-\left(b_{{\alpha }_t}-a_{{\alpha }_t}\right)W_t-\left({\omega }_{{\alpha }_t}-{\nu }_{{\alpha }_t}\right)I_t-\left(W_t+I_t\right)\frac{b_{{\alpha }_t}{W}_t+a_{{\alpha }_t}{I}_t}{W_{\max }}\\ \begin{array}{c}\\ \end{array}+\left(1-{ϵ}_{{\alpha }_t}\right)p_{{\alpha }_t}{I}_t-c_{{\alpha }_t}{V}_t\}\text{d}t,t>0.\end{array}$ (2.2)

又因为 $W_t\mathrm{,}{I}_t\ge 0$，故有

$\text{d}{N}_t\le \left\{S_{{\alpha }_t}-\left(b_{{\alpha }_t}-a_{{\alpha }_t}\right)W_t-\left({\omega }_{{\alpha }_t}-{\nu }_{{\alpha }_t}\right)I_t+\left(1-{ϵ}_{{\alpha }_t}\right)p_{{\alpha }_t}{I}_t-c_{{\alpha }_t}{V}_t\right\}\text{d}t\mathrm{.}$ (2.3)

令 ${\Upsilon }_{{\alpha }_t}\mathrm{<mo>\; =\; </mo>}min\left\{b_{{\alpha }_t}-a_{{\alpha }_t}\mathrm{,}{\omega }_{{\alpha }_t}-{\nu }_{{\alpha }_t}-p_{{\alpha }_t}+{ϵ}_{{\alpha }_t}{p}_{{\alpha }_t}\mathrm{,}{c}_{{\alpha }_t}\right\}$，则有

$\text{d}{N}_t\le \left\{S_{{\alpha }_t}-{\Upsilon }_{{\alpha }_t}{N}_t\right\}\text{d}t\mathrm{.}$

特别地

$\text{d}{N}_t\le \left\{S_{{\alpha }_{{\tau }_k}}-{\Upsilon }_{{\alpha }_{{\tau }_k}}{N}_t\right\}\text{d}t\mathrm{,}t\in \left[{\tau }_k\mathrm{,}{\tau }_{k+1}\right)\mathrm{,}k\in \mathbb{N}\mathrm{.}$

对 $\text{d}\left({\text{e}}^{{\Upsilon }_{{\alpha }_{{\tau }_k}}t}{N}_t\right)$ 应用伊藤链式法，有

$\text{d}\left({\text{e}}^{{\Upsilon }_{{\alpha }_{{\tau }_k}}t}{N}_t\right)={\Upsilon }_{{\alpha }_{{\tau }_k}}{\text{e}}^{{\Upsilon }_{{\alpha }_{{\tau }_k}}t}{N}_t\text{d}t+{\text{e}}^{{\Upsilon }_{{\alpha }_{{\tau }_k}}t}\text{d}{N}_t\le {\text{e}}^{{\Upsilon }_{{\alpha }_{{\tau }_k}}t}{S}_{{\alpha }_{{\tau }_k}}\text{d}t\mathrm{,}$

从而，获得

$\begin{array}{c}{N}_t\le {\text{e}}^{-{\Upsilon }_{{\alpha }_{{\tau }_k}}\left(t-{\tau }_k\right)}{N}_{{\tau }_k}+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_k}^t}{S}_{{\alpha }_s}{\text{e}}^{-{\Upsilon }_{{\alpha }_{{\tau }_k}}\left(t-s\right)}\text{d}s={\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_{{\tau }_k}^t}{\Upsilon }_{{\alpha }_s}\text{d}s}{N}_{{\tau }_k}+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_k}^t}{S}_{{\alpha }_s}{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_s^t}{\Upsilon }_{{\alpha }_u}\text{d}u}\text{d}s\\ \le {\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_{{\tau }_k}^t}{\Upsilon }_{{\alpha }_s}\text{d}s}\left({\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_{{\tau }_{k-1}}^t}{\Upsilon }_{{\alpha }_s}\text{d}s}{N}_{{\tau }_{k-1}}+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_{k-1}}^t}{S}_{{\alpha }_s}{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_s^t}{\Upsilon }_{{\alpha }_u}\text{d}u}\text{d}s\right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_k}^t}{S}_{{\alpha }_s}{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_s^t}{\Upsilon }_{{\alpha }_u}\text{d}u}\text{d}s\\ ={\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_{{\tau }_{k-1}}^t}{\Upsilon }_{{\alpha }_s}\text{d}s}{N}_{{\tau }_{k-1}}+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_{k-1}}^t}{S}_{{\alpha }_s}{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_s^t}{\Upsilon }_{{\alpha }_u}\text{d}u}\text{d}s\le \cdots \le {\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_0^t}{\Upsilon }_{{\alpha }_s}\text{d}s}{N}_0+{\displaystyle {\int }_0^t}{S}_{{\alpha }_s}{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_s^t}{\Upsilon }_{{\alpha }_u}\text{d}u}\text{d}s.\end{array}$ (2.4)

引理证明完毕。

推论2.2 假设 ${\mathcal{H}}_1$ 成立，则随机丙型肝炎病毒感染系统(1.2)的解 ${\left(W_t\mathrm{,}{I}_t\mathrm{,}{V}_t\mathrm{,}{\alpha }_t\right)}_{t\ge 0}$ 具有不变概率测度。

证明：首先注意到 ${\left(W_t\mathrm{,}{I}_t\mathrm{,}{V}_t\mathrm{,}{\alpha }_t\right)}_{t\ge 0}$ 是一个费勒过程。由(2.1)式，可得

$W_t\le N_t\le N_0{\text{e}}^{-\hat{\Upsilon }t}+\stackrel{⌣}{S}/\hat{\Upsilon }\mathrm{.}$ (2.5)

对任意 $K>0$，令 $B_K\left(0\right)=\left\{\left(w_0\mathrm{,}{i}_0\mathrm{,}{v}_0\right)\in {ℝ}_{+}^3\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}{w}_0+i_0+v_0\le K\right\}$，$M_t\left(w_0\mathrm{,}{i}_0\mathrm{,}{v}_0\mathrm{,}i\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}\cdot \right)$ 是起始点为 $\left(w_0\mathrm{,}{i}_0\mathrm{,}{v}_0\mathrm{,}i\right)\in {ℝ}_{+}^3\times \mathcal{M}$ 的 $\left(W_t\mathrm{,}{I}_t\mathrm{,}{V}_t\mathrm{,}{\alpha }_t\right)$ 的过渡内核。对任意 $t>0$ 和 $\xi \in \mathcal{B}\left({ℝ}_{+}^3\times \mathcal{M}\right)$，定义概率测度

${\chi }_t\left(\xi \right)=\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t}{M}_s\left(w_0\mathrm{,}{i}_0\mathrm{,}{v}_0\mathrm{,}i\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}\xi \right)\text{d}s\mathrm{.}$

则对任意的 $\epsilon >0$，由切比雪夫不等式和(2.5)可知，存在充分大的 $K>0$，使得

${\chi }_t\left(B_K\left(0\right)\times \mathcal{M}\right)=\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t}{M}_s\left(w_0\mathrm{,}{i}_0\mathrm{,}{v}_0\mathrm{,}i\mathrm{<mo>\; ;\; </mo>}{B}_K\left(0\right)\text{d}s\times \mathcal{M}\right)\ge 1-\frac{1}{K}\underset{t\ge 0}{sup}E{N}_t\ge 1-\epsilon \mathrm{.}$

因为 $B_K\left(0\right)$ 是 ${ℝ}_{+}^3$ 的紧子集，所以， ${\left({\chi }_t\right)}_{t\ge 0}$ 是紧的。由Krylov-Bogoliubov’s定理 [9] [10] 可知， ${\left(W_t\mathrm{,}{I}_t\mathrm{,}{V}_t\mathrm{,}{\alpha }_t\right)}_{t\ge 0}$ 具有不变概率测度。推论证明完毕。

定理2.3 假设 ${\mathcal{H}}_1$ 和 ${\mathcal{H}}_2$ 成立，并进一步假设存在具有 $li{m}_{t\to \infty }{\Psi }_t=0$ 的 $\Psi$ ： $\left[\mathrm{0,}\infty \right)\to \left[\mathrm{0,}\infty \right)$ 和 $\Phi \mathrm{<mo>\; :\; </mo>}\mathcal{M}\to \left[\mathrm{0,}\infty \right)$ 使得

$\frac{\left(1-{\eta }_{{\alpha }_t}\right){\beta }_{{\alpha }_t}{V}_t{W}_t}{I_t}\le {\Psi }_t+{\Phi }_{{\alpha }_t}$ (2.6)

和

${\Delta }_1:=\frac{{\displaystyle {\sum }_{i\in \mathcal{M}}{\pi }_i{\Phi }_i}}{{\displaystyle {\sum }_{i\in \mathcal{M}}{\pi }_i\left({\omega }_i+q_i-{\nu }_i\right)}}<1.$ (2.7)

则有

$\underset{t\to \infty }{lim}{I}_t=\mathrm{0,}\text{a}\text{.s}\mathrm{.,}\underset{t\to \infty }{lim}{V}_t=\mathrm{0,}\text{a}\text{.s}\mathrm{.}$ (2.8)

和

$\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t}\left\{\left(b_{{\alpha }_s}-a_{{\alpha }_s}\right)W_s+\frac{b_{{\alpha }_s}{W}_s^2}{W_{\max }}\right\}\text{d}s={\displaystyle \underset{i\in \mathcal{M}}{\sum }}{\pi }_i{S}_i\mathrm{.}$ (2.9)

证明：设 $\left(W_t\mathrm{,}{I}_t\mathrm{,}{V}_t\right)\in {\left({ℝ}_{+}\right)}^3$，由(1.2)和(2.6)，可得

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\ln I_t={\nu }_{{\alpha }_t}\left(1-\frac{W+I}{W_m}\right)+\frac{\left(1-{\eta }_{{\alpha }_t}\right){\beta }_{{\alpha }_t}{V}_t{W}_t}{I_t}-{\omega }_{{\alpha }_t}-q_{{\alpha }_t}\\ =-\frac{{\nu }_{{\alpha }_t}\left(W_t+I_t\right)}{W_m}+\frac{\left(1-\eta \right){\beta }_{{\alpha }_t}{V}_t{W}_t}{I_t}+{\nu }_{{\alpha }_t}-{\omega }_{{\alpha }_t}-q_{{\alpha }_t}\\ \le \frac{\left(1-{\eta }_{{\alpha }_t}\right){\beta }_{{\alpha }_t}{V}_t{W}_t}{I_t}-\left({\omega }_{{\alpha }_t}+q_{{\alpha }_t}-{\nu }_{{\alpha }_t}\right)\\ \le {\Psi }_t+{\Phi }_t-\left({\omega }_{{\alpha }_t}+q_{{\alpha }_t}-{\nu }_{{\alpha }_t}\right).\end{array}$ (2.10)

从而，获得

$ln\left(\frac{I_t}{I_0}\right)\le {\displaystyle {\int }_0^t}{\Psi }_s\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^t}\left({\Phi }_s-\left({\omega }_{{\alpha }_s}+q_{{\alpha }_s}-{\nu }_{{\alpha }_s}\right)\right)\text{d}s\mathrm{.}$ (2.11)

因此，利用马氏链的强遍历性定理，除了有 $li{m}_{t\to \infty }{\Psi }_t=0$ 之外，还获得

$\underset{t\to \infty }{\lim }\sup \frac{\ln I_t}{t}\le {\displaystyle \underset{i\in \mathcal{M}}{\sum }}\left\{{\Phi }_i-\left({\omega }_i+q_i-{\nu }_i\right)\right\}{\pi }_i,\text{a}\text{.s}.$

因此，有 $li{m}_{t\to \infty }{I}_t=0$，a.s.

下证 $li{m}_{t\to \infty }{V}_t=0$，a.s.，注意到

$\text{d}{V}_t\le \left\{\left(1-\widehat{ϵ}\right)\stackrel{⌣}{p}{I}_t-\hat{v}{V}_t\right\}\text{d}t\mathrm{,}$

对 $\text{d}\left({\text{e}}^{ct}{V}_t\right)$ 应用伊藤链式法，有

$V_t\le V_0{\text{e}}^{-\hat{c}t}+\left(1-\widehat{ϵ}\right)\stackrel{⌣}{p}{\displaystyle {\int }_0^t}{\text{e}}^{-\hat{c}\left(t-s\right)}{I}_s\text{d}s$ (2.12)

又因为 $li{m}_{t\to \infty }{I}_t=0$，a.s.，所以对任意 $\epsilon >0$，存在具有 $\mathbb{P}\left({\Omega }_0\right)=1$ 的 ${\Omega }_0\subseteq \Omega$ 和 $T=T\left(\omega \right)>0$，使得

$I_t\left(\omega \right)\le \frac{\hat{c}\epsilon }{3\left(1-\widehat{ϵ}\right)\stackrel{⌣}{p}}\mathrm{,}t\ge T\mathrm{,}\omega \in {\Omega }_0\mathrm{.}$

这就意味着

$\left(1-\widehat{ϵ}\right)\stackrel{⌣}{p}{\displaystyle {\int }_T^t}{\text{e}}^{-\hat{c}\left(t-s\right)}{I}_s\left(\omega \right)\text{d}s\le \frac{\epsilon }{3}\mathrm{,}\omega \in {\Omega }_0\mathrm{,}t\ge T\mathrm{.}$

结合(2.12)式可得：只要

$t\ge T\vee \left(\frac{1}{\hat{c}}ln\frac{3V_0}{\epsilon }\right)\vee \left(T+\frac{1}{\hat{c}}ln\frac{3\left(1-\widehat{ϵ}\right)\left(N_0+\frac{\stackrel{⌣}{S}}{\hat{\gamma }}\right)}{\hat{c}\epsilon }\right)\mathrm{,}$

就有

$\begin{array}{c}{V}_t\left(\omega \right)\le V_0{\text{e}}^{-\hat{c}t}+\left(1-\widehat{ϵ}\right)\stackrel{⌣}{p}{\displaystyle {\int }_0^T}{\text{e}}^{-\hat{c}\left(t-s\right)}{I}_s\left(\omega \right)\text{d}s+\left(1-\widehat{ϵ}\right)\stackrel{⌣}{p}{\displaystyle {\int }_T^t}{\text{e}}^{-\hat{c}\left(t-s\right)}{I}_s\left(\omega \right)\text{d}s\\ \le \frac{\epsilon }{3}+V_0{\text{e}}^{-\hat{c}t}+\left(1-\widehat{ϵ}\right)\stackrel{⌣}{p}{\displaystyle {\int }_0^T}{\text{e}}^{-\hat{c}\left(t-s\right)}{I}_s\left(\omega \right)\text{d}s\\ \le \frac{\epsilon }{3}+V_0{\text{e}}^{-\hat{c}t}+\left(1-\widehat{ϵ}\right)\stackrel{⌣}{p}\left(N_0+\frac{\stackrel{⌣}{S}}{\hat{\gamma }}\right){\displaystyle {\int }_0^T}{\text{e}}^{-\hat{c}\left(t-s\right)}\text{d}s\\ \le \epsilon \mathrm{,}\omega \in {\Omega }_0\mathrm{.}\end{array}$ (2.13)

由此证得 $li{m}_{t\to \infty }{V}_t=0$，a.s.

根据(2.8)有

$\underset{t\to \infty }{lim}\left(\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t}{I}_s\text{d}s\right)=\mathrm{0,}\text{a}\text{.s}\text{.}\underset{t\to \infty }{lim}\left(\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t}{V}_s\text{d}s\right)=\mathrm{0,}\text{a}\text{.s}\mathrm{.}$ (2.14)

由(2.2)可以得到下式

$\begin{array}{l}\frac{1}{t}\left\{{\displaystyle {\int }_0^t}\left(b_{{\alpha }_s}-a_{{\alpha }_s}\right)W_s+\frac{b_{{\alpha }_s}{W}_s^2}{W_{\max }}\right\}\text{d}s\\ =\frac{N_0-N_t}{t}+\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t}\left\{S_{{\alpha }_s}-\left({\omega }_{{\alpha }_s}-{\nu }_{{\alpha }_s}\right)I_s-\frac{\left(a_{{\alpha }_s}+b_{{\alpha }_s}\right)W_s{I}_s}{W_{\max }}-\frac{a_{{\alpha }_s}{I}_s^2}{W_{\max }}+\left(1-{ϵ}_{{\alpha }_s}\right)p_{{\alpha }_s}{I}_s-c_{{\alpha }_s}{V}_s\right\}\text{d}s\end{array}$

结合(2.5)和(2.14)及连续时间马尔科夫链的强遍历性定理，可得(2.7)，即

$\frac{1}{t}\left\{{\displaystyle {\int }_0^t}\left(b_{{\alpha }_s}-a_{{\alpha }_s}\right)W_s+\frac{b_{{\alpha }_s}{W}_s^2}{W_{\max }}\right\}\text{d}s={\displaystyle \underset{i\in \mathcal{M}}{\sum }}{\pi }_i{S}_i\mathrm{.}$

定理2.4令 ${\mathcal{H}}_1$ 和 ${\mathcal{H}}_2$ 成立，并进一步假设：对任意 $j\in \mathcal{M}$，$\underset{I_t\to 0}{\lim }\frac{\left(1-{\eta }_j\right){\beta }_j{V}_t}{I_t}>0$ 且有

${\Delta }_2\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}=\frac{{\displaystyle {\sum }_{i\in \mathcal{M}}{\pi }_i{S}_i}}{\tau \left(\stackrel{⌣}{\nu }+{\displaystyle {\sum }_{i\in \mathcal{M}}{\pi }_i\left({\omega }_i+q_i-{\upsilon }_i\right)}\right)}>\mathrm{1,}$ (2.15)

其中

$\tau =\underset{j\in \mathcal{M}}{max}\left(\frac{\left(1-{\eta }_j\right){\beta }_j{V}_t+b_j}{\underset{I_t\to 0}{\lim }\left(1-{\eta }_j\right){\beta }_j{V}_t/I_t}\right)\mathrm{.}$ (2.16)

则

$\underset{t\to \infty }{\lim \inf }\left(\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t}{I}_s\text{d}s\right)>0,\text{a}\text{.s}\text{.}$ (2.17)

即感染肝细胞具有持久性。

证明：首先声明存在常数 $K>0$，使得对任意 $0\le x\mathrm{,}y\le N_0+\frac{\stackrel{⌣}{S}}{\hat{\Upsilon }}\mathrm{,}j\in \mathcal{M}$ 有

$F_{j\mathrm{,}y}\left(x\right)=Kx+\left(\left(\tau /x-1\right)\left(1-{\eta }_j\right){\beta }_j{V}_t-b_j\right)y\ge \mathrm{0,}{V}_t\ge 0$ (2.18)

显然，当 $y=0$ 时上式成立。所以下面只要证明 $0\le x\mathrm{,}y\le N_0+\frac{\stackrel{⌣}{S}}{\hat{\Upsilon }}$ 时上式也成立就足够了。由 $\tau$ 的定义可知

$F_{j\mathrm{,}y}\left(0\right)=\left(\tau \underset{x\to 0}{\lim }\left(1-{\eta }_j\right){\beta }_j{V}_t/x-\left(1-{\eta }_j\right){\beta }_j{V}_t-b_j\right)y>\mathrm{0,}$ (2.19)

由 $x\mapsto F_{j\mathrm{,}y}\left(x\right)$ 的连续性和由(2.19)可知，存在 $0\le x_0\le N_0+\frac{\stackrel{⌣}{S}}{\hat{\Upsilon }}$，使得对任意的 $x\in \left[\mathrm{0,}{x}_0\right]$ 和 $K=K_0>0$ 有式子(2.18)成立。而对于任意的 $x\in \left[x_0,N_0+\frac{\stackrel{⌣}{S}}{\hat{\Upsilon }}\right]$，有

$F_{j\mathrm{,}y}\left(x\right)\ge K{x}_0-\underset{x\in \left[x_0\mathrm{,}{N}_0+\frac{\stackrel{⌣}{S}}{\hat{\Upsilon }}\right]\mathrm{,}j\in \mathcal{M}}{max}\left|\left(\tau /x-1\right)\left(1-{\eta }_j\right){\beta }_j{V}_t-b_j\right|\left(N_0+\frac{\stackrel{⌣}{S}}{\hat{\Upsilon }}\right)\mathrm{.}$ (2.20)

因此，当 $K>0$ 充分大时，即得(2.18)。

根据(1.2)，可得到

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}{W}_t}{\text{d}t}=S_{{\alpha }_t}+a_{{\alpha }_t}{W}_t\left(1-\frac{W_t+I_t}{W_{\max }}\right)-b_{{\alpha }_t}{W}_t-\left(1-{\eta }_{{\alpha }_t}\right){\beta }_{{\alpha }_t}{V}_t{W}_t+q_{{\alpha }_t}{I}_t\\ \ge S_{{\alpha }_t}-b_{{\alpha }_t}{W}_t-\left(1-{\eta }_{{\alpha }_t}\right){\beta }_{{\alpha }_t}{V}_t{W}_t+\left(\hat{q}-\stackrel{⌣}{a}\right)I_t\\ =S_{{\alpha }_t}-\left(K+\stackrel{⌣}{a}-\hat{q}\right)I_t-\tau \frac{\left(1-{\eta }_{{\alpha }_t}\right){\beta }_{{\alpha }_t}{V}_t{W}_t}{I_t}+F_{{\alpha }_t,W_t}{I}_t\\ \ge S_{{\alpha }_t}-\left(K+\stackrel{⌣}{a}-\hat{q}\right)I_t-\tau \frac{\left(1-{\eta }_{{\alpha }_t}\right){\beta }_{{\alpha }_t}{V}_t{W}_t}{I_t},\end{array}$ (2.21)

从而，得到

$\tau {\displaystyle {\int }_0^t}\frac{\left(1-{\eta }_{{\alpha }_t}\right){\beta }_{{\alpha }_t}{V}_t{W}_t}{I_t}\text{d}s\ge W_0-W_t+{\displaystyle {\int }_0^t}\left\{S_{{\alpha }_s}-\left(K+\stackrel{⌣}{a}-\hat{q}\right)I_s\right\}\text{d}s\mathrm{.}$ (2.22)

然后将(2.10)第一个式子变换后代入上式，并结合(2.5)，可获得

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^t}\left(K+\stackrel{⌣}{a}-\hat{q}\right)I_s\text{d}s\\ \ge W_0-W_t-\tau lnc+{\displaystyle {\int }_0^t}{S}_{{\alpha }_s}\text{d}s-\tau {\displaystyle {\int }_0^t}\frac{{\nu }_{{\alpha }_s}\left(W_s+I_s\right)}{W_{\max }}\text{d}s\\ -\tau {\displaystyle {\int }_0^t}\left({\omega }_{{\alpha }_s}+q_{{\alpha }_s}-{\nu }_{{\alpha }_s}\right)\text{d}s\\ \ge W_0-N_0-\frac{\stackrel{⌣}{S}}{\hat{\Upsilon }}-\tau lnc+{\displaystyle {\int }_0^t}{S}_{{\alpha }_s}\text{d}s-\tau \stackrel{⌣}{\nu }t-\tau {\displaystyle {\int }_0^t}\frac{\stackrel{⌣}{\nu }}{W_{\max }}{I}_s\text{d}s\\ -\tau {\displaystyle {\int }_0^t}\left({\omega }_{{\alpha }_s}+q_{{\alpha }_s}-{\nu }_{{\alpha }_s}\right)\text{d}s\mathrm{,}c>0.\end{array}$ (2.23)

于是，有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^t}\left(K+\stackrel{⌣}{a}+\tau \frac{\stackrel{⌣}{\nu }}{W_{\max }}-\hat{q}\right)I_s\text{d}s\\ \ge W_0-N_0-\frac{\stackrel{⌣}{S}}{\hat{\Upsilon }}-\tau lnc-\tau \stackrel{⌣}{\nu }t+{\displaystyle {\int }_0^t}\left\{S_{{\alpha }_s}-\tau \left({\omega }_{{\alpha }_s}+q_{{\alpha }_s}-{\nu }_{{\alpha }_s}\right)\right\}\text{d}s\mathrm{.}\end{array}$ (2.24)

根据，马尔科夫链 ${\left({\alpha }_t\right)}_{t\ge 0}$ 的强遍历性定理，有

$\left(K+\stackrel{⌣}{a}+\tau \frac{\stackrel{⌣}{\nu }}{W_{\max }}-\hat{q}\right)\underset{t\to \infty }{\lim \inf }\left(\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t}{I}_s\text{d}s\right)\ge {\displaystyle \underset{j\in \mathcal{M}}{\sum }}\left\{S_j-\tau \left({\omega }_{{\alpha }_s}+q_{{\alpha }_s}-{\nu }_{{\alpha }_s}\right)\right\}{\pi }_j-\tau \stackrel{⌣}{\nu }\mathrm{.}$

由此，可由(2.15)直接推断出(2.17)。

3. 具有依赖于状态的随机HCV模型的灭绝性与持久性

在本节，主要研究在状态相关随机环境的影响下，感染肝细胞的灭绝性与持久性，此处主要研究HCV模型(1.3)和(1.5)。正如我们所知的，(1.3)和(1.5)是一种依赖于状态的机制切换扩散。在过去，有学者对其稳定性，遍历性进行研究 [11] [12] [13] [14]，此处不再进行详述。需要注意到，尽管 ${\left(W_t\mathrm{,}{I}_t\mathrm{,}{V}_t\right)}_{t\ge 0}$ 与 ${\left({\alpha }_t\right)}_{t\ge 0}$ 都不是马尔科夫过程，但 ${\left(W_t\mathrm{,}{I}_t\mathrm{,}{V}_t\mathrm{,}{\alpha }_t\right)}_{t\ge 0}$ 确是马尔科夫过程。

假设

(M1) 对于所有的 $x\in {ℝ}_{+}^3$，矩阵 $Q\left(x\right)={\left(q_{ij}\left(x\right)\right)}_{i\mathrm{,}j\in \mathcal{M}}$ 是不可约和保守的。

(M2) $H\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}=\underset{x\in {ℝ}_{+}^3}{sup}\underset{i\in \mathcal{M}}{max}{q}_i\left(x\right)<\infty$，其中 $q_i\left(x\right)\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}={\displaystyle {\sum }_{j\ne i}}{q}_{ij}\left(x\right)$。

与HCV模型(eq1.3)和(1.4)相比较，研究模型(1.3)和(1.5)存在更大的挑战，由于此模型下的 ${\left({\alpha }_t\right)}_{t\ge 0}$ 不再是一个马尔科夫过程，而是一个跳跃过程，此时经典的连续时间马尔科夫链的遍历定理将不再适用，为了克服这个困难，我们将对 ${\left({\alpha }_t\right)}_{t\ge 0}$ 进行随机比较。

根据文献 [12] [13] [14] 可以得到引理如下

引理3.1 假设(M1)和(M2)成立，对每个满足 $\left|i-j\right|\ge 2$ 的 $i\mathrm{,}j\in \mathcal{M}$，有 $q_{i\mathrm{,}j}\left(x\right)=\mathrm{0,}x\in {ℝ}^3$。对每个 $i\mathrm{,}j\in \mathcal{M}$，令

${\tilde{q}}_{ij}=\{\begin{array}{l}\underset{x\in {ℝ}^3}{\inf }{q}_{ij}\left(x\right),j<i,\\ \underset{x\in {ℝ}^3}{\sup }{q}_{ij}\left(x\right),j>i,\\ -{\displaystyle \underset{j\ne i}{\sum }}{\tilde{q}}_{ij},j=i,\end{array}{q}_{ij}^{*}=\{\begin{array}{l}\underset{x\in {ℝ}^3}{\inf }{q}_{ij}\left(x\right),j<i,\\ \underset{x\in {ℝ}^3}{\sup }{q}_{ij}\left(x\right),j>i,\\ -{\displaystyle \underset{j\ne i}{\sum }}{q}_{ij}^{*},j=i.\end{array}$

假设 $\left({\tilde{q}}_{ij}\right)$ 和 $\left(q_{ij}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\right)$ 是不可约的并且满足

$q_{i\mathrm{,}i+1}\left(x\right)+q_{i+\mathrm{1,}i}\left(x\right)独立于x\mathrm{,}1\le i\le N-\mathrm{2,}$

${\tilde{q}}_{N-\mathrm{1,}N}+{\tilde{q}}_{N\mathrm{,}N-1}\le q_{N-\mathrm{1,}N}\left(x\right)+q_{N\mathrm{,}N-1}\left(x\right)\mathrm{,}\forall x\in {ℝ}^3\mathrm{,}$

$q_{N-\mathrm{1,}N}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}+q_{N\mathrm{,}N-1}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\ge q_{N-\mathrm{1,}N}\left(x\right)+q_{N\mathrm{,}N-1}\left(x\right)\mathrm{,}\forall x\in {ℝ}^3\mathrm{.}$ (3.1)

则在 $\mathcal{M}$ 中存在两个分别具有转移概率矩阵 $\left({\tilde{q}}_{ij}\right)$ 和 $\left(q_{ij}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\right)$ 的连续时间马尔科夫链 $\left({\tilde{\alpha }}_t\right)$，$\left({\alpha }_t^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\right)$，使得对所有的非减函数 $\phi \mathrm{<mo>\; :\; </mo>}\mathcal{M}\to {ℝ}_{+}$，有

${\displaystyle {\int }_0^t}\phi \left({\alpha }_s^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\right)\text{d}s\le {\displaystyle {\int }_0^t}\phi \left({\alpha }_s\right)\text{d}s\le {\displaystyle {\int }_0^t}\phi \left({\tilde{\alpha }}_s\right)\text{d}s\mathrm{.}$

定理3.2 若定理2的假设保持不变且引理3.1成立。并进一步假设

(a) 若 $i\mapsto {\Phi }_i^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}={\Phi }_i-\left({\omega }_i+q_i-{\nu }_i\right)$ 为非减的，且有

${\Delta }_3\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}=\frac{{\displaystyle {\sum }_{i\in \mathcal{M}}{\tilde{\pi }}_i{\Phi }_i}}{{\displaystyle {\sum }_{i\in \mathcal{M}}{\tilde{\pi }}_i\left({\omega }_i+q_i-{\nu }_i\right)}}<1.$ (3.2)

则有

$\underset{t\to \infty }{\lim }{I}_t=\mathrm{0,}\text{a}\text{.s}\mathrm{.\; <mo>\; ;\; </mo>}\underset{t\to \infty }{\lim }{V}_t=\mathrm{0,}\text{a}\text{.s}\mathrm{.}$ (3.3)

和

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{i\in \mathcal{M}}{\sum }}{\pi }_i^{*}{S}_i\le \underset{t\to \infty }{\lim \inf }\left(\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t}\left\{\left(b_{{\alpha }_s}-a_{{\alpha }_s}\right)W_s+\frac{b_{{\alpha }_s}{W}_s^2}{W_{\max }}\right\}\text{d}s\right)\\ \le \underset{t\to \infty }{\lim \sup }\left(\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t}\left\{\left(b_{{\alpha }_s}-a_{{\alpha }_s}\right)W_s+\frac{b_{{\alpha }_s}{W}_s^2}{W_{\max }}\right\}\text{d}s\right)\le {\displaystyle \underset{i\in \mathcal{M}}{\sum }}{\tilde{\pi }}_i{S}_i.\end{array}$ (3.4)

(b) 若 $i\mapsto {\Phi }_i^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}={\Phi }_i-\left({\omega }_i+q_i-{\nu }_i\right)$ 为非增的，且有

${\Delta }_4\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}=\frac{{\displaystyle {\sum }_{i\in \mathcal{M}}{\pi }_i^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}{\Phi }_i}}{{\displaystyle {\sum }_{i\in \mathcal{M}}{\pi }_i^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\left({\omega }_i+q_i-{\nu }_i\right)}}<\mathrm{1,}$ (3.5)

则有

$\underset{t\to \infty }{\lim }{I}_t=\mathrm{0,}\text{a}\text{.s}\mathrm{.\; <mo>\; ;\; </mo>}\underset{t\to \infty }{\lim }{V}_t=\mathrm{0,}\text{a}\text{.s}\text{.}$

和

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{i\in \mathcal{M}}{\sum }}{\tilde{\pi }}_i{S}_i\le \underset{t\to \infty }{\lim \inf }\left(\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t}\left\{\left(b_{{\alpha }_s}-a_{{\alpha }_s}\right)W_s+\frac{b_{{\alpha }_s}{W}_s^2}{W_{\max }}\right\}\text{d}s\right)\\ \le \underset{t\to \infty }{\lim \sup }\left(\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t}\left\{\left(b_{{\alpha }_s}-a_{{\alpha }_s}\right)W_s+\frac{b_{{\alpha }_s}{W}_s^2}{W_{\max }}\right\}\text{d}s\right)\le {\displaystyle \underset{i\in \mathcal{M}}{\sum }}{\pi }_i^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}{S}_i\mathrm{.}\end{array}$ (3.6)

证明：一旦得到 $\underset{t\to \infty }{\lim }{I}_t=0,\text{a}\text{.s}\text{.}$，就可以类似地采用定理2.3中的技巧来证明 $\underset{t\to \infty }{\lim }{V}_t=\mathrm{0,}\text{a}\text{.s}\text{.}$ 所以，我们首先要证明 $\underset{t\to \infty }{\lim }{I}_t=0,\text{a}\text{.s}.$。注意到(2.11)式在这里仍然适用。于是利用 $i\mapsto {\Phi }_i^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}$ 的非减性质和(3.2)，并使用

引理3.1及连续时间马尔科夫链的遍历定理即得(3.3)。

若 $i\mapsto {\Phi }_i^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}$ 是非增的，则对应的 $i\mapsto -{\Phi }_i^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}$ 是非减的，根据引理3.1得到

$-{\displaystyle {\int }_0^t}{\Phi }_{{\alpha }_s^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\text{d}s\le -{\displaystyle {\int }_0^t}{\Phi }_{{\alpha }_s}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\text{d}s\le -{\displaystyle {\int }_0^t}{\Phi }_{{\tilde{\alpha }}_s}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\text{d}s$

于是得到

${\displaystyle {\int }_0^t}{\Phi }_{{\tilde{\alpha }}_s}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\text{d}s\le {\displaystyle {\int }_0^t}{\Phi }_{{\alpha }_s}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\text{d}s\le {\displaystyle {\int }_0^t}{\Phi }_{{\alpha }_s^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\text{d}s$

因此，由(3.5)和连续时间马尔科夫链的遍历定理即得(3.3)。

根据(2.2)式，获得

$\begin{array}{l}\frac{1}{t}\left\{{\displaystyle {\int }_0^t}\left(b_{{\alpha }_s}-a_{{\alpha }_s}\right)W_s+\frac{b_{{\alpha }_s}{W}_s^2}{W_{\max }}\right\}\text{d}s\\ =\frac{N_0-N_t}{t}+\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t}\left\{S_{{\alpha }_s}-\left({\omega }_{{\alpha }_s}-{\nu }_{{\alpha }_s}\right)I_s-\frac{\left(a_{{\alpha }_s}+b_{{\alpha }_s}\right)W_s{I}_s}{W_{\max }}-\frac{a_{{\alpha }_s}{I}_s^2}{W_{\max }}+\left(1-{ϵ}_{{\alpha }_s}\right)p_{{\alpha }_s}{I}_s-c_{{\alpha }_s}{V}_s\right\}\text{d}s.\end{array}$