Pure Mathematics
Vol.
10
No.
08
(
2020
), Article ID:
37199
,
15
pages
10.12677/PM.2020.108086
Hausdorff Dimensions of Conformal Iterated Function Systems of Generalized Complex Continued Fractions
Shuxian Wan, Jinghua Yang, Jie Lin
College of Science, Shanghai University, Shanghai
Received: Jul. 30th, 2020; accepted: Aug. 17th, 2020; published: Aug. 24th, 2020
ABSTRACT
In this article, we consider a family of conformal iterated function systems (CIFSs) of generalized complex continued fractions with a complex parameter in a domain. Sumi et al. studied the general complex continued fractions by applying the theory of CIFSs generated by infinite many conformal maps, and got a series of interesting results. We further generalize the CIFS studied by Sumi et al. to a larger parameter domain. We prove that the Hausdorff dimension function of the limit sets of CIFSs of generalized complex continued fraction is continuous in the parameter domain and is real-analytic and subharmonic in the interior of the parameter domain. As a consequence, the Hausdorff dimension function assumes maximum value on the boundary of the parameter domain.
Keywords:Complex Continued Fractions, Conformal Iterated Function Systems, Limit Set, Hausdorff Dimension
广义复连分数共形迭代系统的Hausdorff 维数
万姝娴,杨静桦,林洁
上海大学理学院,上海
收稿日期:2020年7月30日;录用日期:2020年8月17日;发布日期:2020年8月24日
摘 要
本文研究了含有复参数的一族广义复连分数共形迭代系统。Sumi等利用无限生成共形迭代系统理论研究了广义复连分数,得到了关于广义复连分数共形迭代系统极限集的Hausdorff维数的一系列结果。本文进一步将Sumi等研究的共形迭代系统的参数推广到更大的区域,对于这个具有更大参数空间的广义连分数共形迭代系统,证明了其极限集的Hausdorff维数在参数空间上是连续的,在参数空间内部是连续的且实解析和次调和的。并由此得到Hausdorff维数在参数空间的边界点上取到最大值。
关键词 :复连分数,共形迭代函数系统,极限集,Hausdorff维数
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
迭代函数系统是一个重要的研究对象并得到了广泛的研究。很多数学家对迭代函数系统进行了研究,如Mauldin [1] [2],Urbanski [1] [2],Inui [3] [4],Sumi [3] [4],Roy [5],Qiu [6] [7],Bandt [8],Hutchinson [9],Falconer [10],Moran [11],Fan [12] 和Schief [13] 等都研究了迭代函数系统极限集的维数和测度等性质。
在文献 [1] 中为了说明广义连分数的共形迭代系统极限集的Hausdorff 测度等于零,填充测度大于零,Maulain 和Urbanski构造了一个与连分数有关的共形迭代函数系统。记 为复数集, 表示整数集, 表示正整数集。他们所构造的方法是设 ,则称 为连分数共形迭代系统。其中
在文献 [3] [4] 中Inui,Okada和Sumi研究了更一般的情况,他们的构造如下。设
,.
给定任意 ,设 , 被称为广义复连分数共形迭代函数系统(如图1所示),其中
在 [4] 中,作者证明了对上述广义复连分数共形迭代系统 [1] 中的结论依然成立,在 [3] 中,作者讨论了一个新的问题,Hausdorff维数关于参数 的连续依赖性,他们的主要结果是:
设 为 的极限集, 为极限集 的Hausdorff维数。
定理1.1 设 为广义复连分数共形迭代函数系统族,则
(1) 在 上是连续的。
Figure 1. The parameter space of A0
图1. A0参数空间
(2) 对任意 , 是 压力函数的唯一零点。
(3) ,。
特别地, 在 上不是常值映射。
定理1.2设 为广义复连分数共形迭代函数系统族,则 在 是实解析和次调和的。
推论1.3设 为广义复连分数共形迭代函数系统族,则函数 存在最大值,并且在 的边界取得 最大值的点。特别地, 。
在本文中我们进一步推广了 [3] 中结果, [4] 中结论是否成立我们将在下一篇文章中讨论。
设 ; ;
,其中 ,,
令 ,,,这里 。
定义1.4 (广义复连分数的共形迭代函数系统)对任意 , 被称为广义复连分数共形迭代函数系统。其中
称 为广义复连分数共形迭代函数系统族(如图2所示)。对每个 ,设 为 的极限集,设 为极限集 的Hausdorff维数。用 表示在复平面 上的拓扑意义下H的内点。
Figure 2. The parameter space of H
图2. H参数空间
本文将文献 [3] 中的结论推广到更一般的情形,即更大广义复连分数共形迭代系统 ,我们的主要定理为:
定理1.5设 为广义复连分数共形迭代函数系统族,则
(1) 在H上是连续的。
(2) 对任意的 , 是 压力函数的唯一零点。
(3) ,。
特别地, 在H上不是常值映射。
定理1.6设 为广义复连分数共形迭代函数系统族,则 在 是实解析和次调和的。
推论1.7设 为广义复连分数共形迭代函数系统族,则函数 存在最大值,并且在H的边界取得 最大值的点。特别地, 。
2. 共形迭代函数系统
此章节主要是介绍共形迭代函数系统的构造以及一些相关概念 [1] [2] [5]。
定义2.1 (共形迭代函数系统)设 是非空紧致连通集,I是有限集或者对等于 。假设I至少含有两个元素,当S满足以下几个条件时,我们称 是共形迭代函数系统。
1. 单射:对所有的 , 是单射。
2. 一致压缩性: ,使得对 , 下面不等式成立。
3. 共形性:存在一个正数 和开连通子集 并且 ,使得对 , 可延拓为V上的 微分同胚,且 在V上是共形的。
4. 开集条件:对 ,,并且 。这里 表示在 拓扑空间下X的内点。
5. 有界偏差性: 使得对所有的 ,对所有的 ,下面不等式成立
6. 锥条件:对所有的 ,存在一个开锥 ,其中x为顶点,u为方向, 为高度, 为角度,使得 是 的子集。
设S是一个共形迭代函数系统。对任意的 ,设 且 ,则有 是一个单点,用 来表示该单点。定义S中的编码映射 为 ,注意到 是连续的,进而S中的极限集可定义为
对每个迭代函数系统S,设 , 表示Hausdorff维数。对任意的S,定义S的压力函数如下。
定义2.2 (压力函数) ,值域在 上的函数
设
则称函数 为S的压力函数。
性质2.3对任意的 ,且 有 。特别地,当 时,对于任意的 , 是次可加的。
根据性质2.3可得对任意的 , 都存在。设 。运用压力函数可以得到共形迭代函数系统的一些性质。
定义2.4 (正则,强正则,继承正则) 设S是一个共形迭代函数系统,
(1) 若存在 使得 ,称S是正则的。
(2) 若存在 使得 ,称S是强正则。
(3) 若对所有的 且有 时, 是正则的,则称S是继承正则。这里,对任意集合A,用 来表示A的基数。如果一个共形迭代函数系统S是继承正则的,则S也是强正则;如果S是强正则,则S也是正则的。设 ,对每个 ,设 。
定理2.5 ( [1] Theorem 3.15) 设S是一个共形迭代函数系统,则
另外,如果存在 使得 。则t为压力函数 的唯一零点,有 。
定理2.6 ( [1] Theorem 3.20) 设I是无限的,S是一个共形迭代函数系统,则下面两个条件等价:
1. S是继承正则的。
2. 。特别地,如果S是继承正则,有 。
定理2.7 ( [1] Proposition 4.4) 设S为正则共形迭代函数系统。若 ,则 。这
里的 表示d维勒贝格测度且 。
接下来考虑共形迭代函数系统族。设 为所有共形迭代函数系统族,其中 ,I为无限序列集。现要在 上赋予一种 -拓扑 [4]。对 ,记 为 ,S为 。设 为S的编码映射。在本文中, 中任意序列若满足下面条件,则称序列 依
照记 -拓扑收敛到S,记为 。
(D1) ,。
(D2) 若存在 , 和一有限集 使得 和 ,有
。
若 中的序列 不收敛于任何 ,即当上面的条件不满足时称
。若 时,称序列 为 收敛。
定义2.8设 是 中的开连通子集。 是 中的一族,其中 为 。若 ,, 在 上全纯,则 称是平面解析的。若存在 使得下面的条件成立,则称平面解析的 为正则平面解析。
(1) 是强正则。
(2) 使得对所有的 ,,。
其中,对每个 和 ,
,
定理2.9 ( [5] Theorem 5.10) 当 被赋予了 上的拓扑时,Hausdorff维数函数 , 是连续的。
定理2.10 ( [5] Theorem 6.1) 设 是 中的开连通子集, 是 中的一族。若 是正则平面解析的,则 在 上是实解析的。
定理2.11 ( [5] Theorem 6.3) 设 是 中的开连通子集, 是 中的一族。若 是
平面解析的,则 在 上是上调和映射。
3. 广义复连分数的共形迭代函数系统
这个部分主要是证明广义复连分数的共形迭代函数系统的一些性质 [3] [4]。在不致混淆的情况下可简记下面的记号。设 ,, 和 , 表示复数的实部, 表示复数的虚部。
性质3.1 , 是一个共形迭代函数系统。
证明:设 ,首先证明 ,。设 ,并且设 为莫比
乌斯变换,定义为 。因为 ,,,可知 ,又因为 ,所以 。因此 是同胚的。设 ,。
可推得 ,并且 ,因此证明了 。
接下来要证对每个 , 满足定义2.1中的条件。
1. 单射
因为每个 都是莫比乌斯变换,所以每个 是单射。
2. 一致压缩性
设 ,,则 。
(i) 设 是 中的元素,设 、 ,有
可得 。同理可得 ,则
因此 在X上一致压缩。由对称性可知 在X上一致压缩。
(ii) 设 是 中的元素,设 ,,有
可得 ,同理可得 ,则
因此 在X上一致压缩。综上, 在X上一致压缩。
3. 共形性
设 ,。因为 在 上是全纯的, 是 的并且在V上共形。
4. 开集条件
记 。设 ,,因为 ,可以推得 ,
设 , 为两个不同的元素时,
当 时,
当 时,因为 ,,
(1)
若 ,因为 故(1)式大于1;当 ,此时
由条件知 ,,, 使得 ,又
,知 ,故当 为两个不同的
元素时, 和 不相交。则对所有的 ,
故 满足开集条件。
5. 有界偏差性
取足够小的 ,且 。设 是以 为中心, 为半径的开球,记 ,
并设 ,, 有
(i) 当 时
(ii) 由对称性知当 时,同样有 。
(iii) 当 时
故 ,有 。
对每个 ,设
则有 , 可以推出 。因此 ,并且
说明对所有的 ,。因为 是 上的单射, 在 上是全纯的,所以 在
上是全纯的。
设b是 中的一个元素, ,设 为
因为 在D上是全纯的,且 ,。用克贝偏差定理,可推知对所有的 ,
设 ,可推知存在 和 使得对任意的 ,
设 ,
即证对任意的 ,。
最后设 为 为中心, 为半径的开球,则V是 的开连通子集,且有 ,,
因此 满足有界偏差条件。
6. 锥条件
因为X是闭圆盘,所以满足锥条件。
引理3.2设 ,则存在 使得对所有的 ,,有
.
证明:因为 ,由有界偏差条件知存在使得对任意的,,有
。因此有。
引理3.3对任意的,是继承正则的共形迭代函数系统,且有。
证明:设,对任意的正整数,定义
,
及。
由几何性质知,可以推出,且有。
设,考虑下面两种情况
(i) 若
(ii) 若
对任意的,
因此推出
(2)
另外,由不等式及不等式,知对任意的,
(3)
又由不等式,有
因此可以推知
(4)
结合引理3.2及不等式 (2),(4)可知,若,则,因此可知。并且由定理2.6可得对所有的,是继承正则的。
引理3.4。即对,,使得对所有的且时,成立。
证明:设,,设H中的序列使得时,。注意到对任意的,
时,有。通过不等式(2)和不等式(3)可推出
主要是由整函数控制的,即,由勒贝格控制收敛定理可知。
由引理3.2得,即使得对任意的,有。
再由性质2.3知。根据定义可知,故对任意的,存在使得对所有的,,。由定理2.6,对任意的,有,证毕。
定理3.5设,有。
证明:由定理2.6知,接下来只需证。
(i)时
设为一开球,且,因为,可以推得。
设,因为,所以,即有。
(ii)时,由对称性可知存在使得。
(iii)时
设为一开球,且,因为,可以推得。设,因为,所以
,即有。
综上,,设,都能找到使得。因此
,这里表示2维勒贝克测度。由定理2.7得。
4. 主要结论的证明
4.1. 定理1.5的证明
为了证明定理1.5,要用到下面的引理,并在此给出证明。
引理4.1设,序列满足,则存在,,使得对所有的
,,,有
证明:设,对每个有,因为,则,,当时,,。对任意的,,一方面,
另一方面,
即存在,使得。
现在证明定理1.5。
证明:通过引理3.3知对H中的每个,的值为的压力函数的零点。由引理3.4,3.5知对任意
,有并且当时,。接下来证若H中的序列满足时,有。
对任意的,,,满足条件(D1)。因为X是完
备的,因此存在使得
由引理4.1知存在,使得对每个,,
故证明了H中的序列满足,有。
最后证明在H上是连续的。根据定理2.9,在拓扑下是连续的。由 [8] 中引理3.3,
若,则。因此若,则,故证明了在H上是连续的。
4.2. 定理1.6的证明
为证明定理1.6要用到下面两个定理。
引理4.2,,以及,当时有并且收敛唯一。
证明:设,,则有
故引理得证。
引理4.3对任意的,,下式成立。
证明:设,及则
当时
最后一个不等式是因为当设时,,取,求导后知在时取得最大值。当时,由对称性有。故引理得证。
现在证明定理1.6.
证明:首先说明在上是次调和的。
设,,可以推知是全纯函数。因为的实部是负的,即不是中的元素,因此在H上是全纯的。故是平面解析的。再由定理2.11,可得在上是次调和的。
接下来说明上是平面解析的。对任意的,是继承正则共形迭代函数系统,故对任意的,是强正则共形迭代函数系统。因此,存在一个中心为的开球,以及使得所有的,,,其中表示,有
由引理4.2知当趋向时,上式右边第一部分趋向1;由引理4.3知,条件下,上式右边第二部分是有界的。因此存在中心为的开球使得在中有界。运用Cauchy公式
可推出存在一个使得对任意的,有。这里是中心在且,则
说明存在一个中心在的开球使得对任意的,,。因此对
任意的,存在一个中心在的开球使得是正则平面解析的。由定理2.10知对任意的存在一个中心在的开球使得是实解析的。由的任意性可知映射在上是实解析且次调和的。
4.3. 推论1.7的证明
证明:,设。由定理1.6,对任意的,映射在上是次调和的。设,这里。由引理3.4知存在使得对所有的,有,即。故对任意的,
因为在上是连续的,则在其上存在一个最大值
由在上次调和,故在其中没有最大值,取得最大值的点只能在边界上。综上推论1.7证毕。
文章引用
万姝娴,杨静桦,林 洁. 广义复连分数共形迭代系统的Hausdorff维数
Hausdorff Dimensions of Conformal Iterated Function Systems of Generalized Complex Continued Fractions[J]. 理论数学, 2020, 10(08): 726-740. https://doi.org/10.12677/PM.2020.108086
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