Pure Mathematics
Vol.
11
No.
01
(
2021
), Article ID:
39788
,
5
pages
10.12677/PM.2021.111005
一个涉及Beta函数积分不等式的 多种推广
吴春阳,洪勇
广东白云学院数学教研室,广东 广州
收稿日期:2020年12月11日;录用日期:2021年1月8日;发布日期:2021年1月15日
摘要
本文对南开大学的一个考研积分不等式进行分析,给出了一种解答,并在此基础上对其进行了多种形式的推广,有助于在教学中引导学生进行数学探讨。
关键词
积分不等式,Hölder不等式,Beta函数,Gamma函数,推广
Some Extensions of an Integral Inequality with Beta Function
Chunyang Wu, Yong Hong
Department of Mathematics, Guangdong Baiyun College, Guangzhou Guangdong
Received: Dec. 11th, 2020; accepted: Jan. 8th, 2021; published: Jan. 15th, 2021
ABSTRACT
We analyse the integral inequality of a postgraduate examination at Nankai University, a method of proof is given, and on the basis several extensions have been made to it, it is helpful to guiding students to carry out mathematics research.
Keywords:Integral Inequality, Hölder’s Inequality, Beta Function, Gamma Function, Extension
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
南开大学近年的数学考研题中有这样一个积分不等式证明题:设
在
上连续可微,且
,试证:
. (1)
这个数学证明题有一定困难,一是不等式的右边是一个具体的数字,而不是一个数学式子,提供的解题思路很少。二是条件与结论中涉及的三个被积函数
, 及
之间有什么关系需要弄清楚。因此其证明有较大难度。下面给出一种利用重积分的证明方法,并在此基础给出多种形式的推广。
式(1)的证明:设
,利用分部积分法,有
,
两边同时积分,得
,
交换积分次序,并根据已知条件,有
,
又因为由已知条件,有
,
据此并利用Hölder不等式(见 [1] ),有
,
利用Beta函数与Gamma函数(见 [2] )的定义与性质,有
,
所以
,
从而(1)式成立。
下面我们利用此证明方法,给出几种推广。
命题1 设
在
上连续可微,
,且
,则有
.
证明:由前述证明,可得
,
利用Hölder不等式,有
,
所以
,
又因为
于是
.
注:当
时,便得到式(1)。
命题2 设
在
上有
阶连续导数,
,,,且
,.
则有
.
证明:利用分部积分法,有
两边同时积分并利用已知条件,得到
又因为
,
所以有
于是
.
注:当
, 时,则可得到式(1)。
命题3 设
在
上有
阶连续导数,
,且
,,
则有
.
证明:仿命题2的证明,可得
,
利用涉及多个函数的Hölder不等式(见 [1] ),有
于是得到
.
文章引用
吴春阳,洪 勇. 一个涉及Beta函数积分不等式的多种推广
Some Extensions of an Integral Inequality with Beta Function[J]. 理论数学, 2021, 11(01): 32-36. https://doi.org/10.12677/PM.2021.111005
参考文献
- 1. 数学手册编写组. 数学手册[M]. 北京: 人民教育出版社, 1997: 20-22.
- 2. 陈纪修, 於崇华, 金路. 数学分析(下册) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2000: 372-382.