Pure Mathematics
Vol.
11
No.
06
(
2021
), Article ID:
43064
,
11
pages
10.12677/PM.2021.116116
一类Finsler子流形的研究
晏文
西南交通大学数学学院,四川 成都
收稿日期:2021年5月1日;录用日期:2021年6月2日;发布日期:2021年6月10日
摘要
本文主要利用一个自然恒等式并且考虑一类特殊 -流形 , 且 ,其中 是Riemann度量, 是一个1-形式。旨在利用自然恒等式研究一类特殊 -流形在一定条件下不存在闭的可定向的BH-极小子流形和闭的可定向的HT-极小曲面。
关键词
自然恒等式, -流形,极小子流形
The Study of a Class of Finsler Submanifolds
Wen Yan
School of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu Sichuan
Received: May 1st, 2021; accepted: Jun. 2nd, 2021; published: Jun. 10th, 2021
ABSTRACT
In this paper, we mainly use a natural identity and consider a class of special manifolds with an -metric and , in which is the Riemannian metric, and is a one-form. We aim to study a class of special manifolds by using the natural identity. Under certain conditions, there are no closed orientable BH-minimal submanifolds and closed orientable HT-minimal surfaces.
Keywords:A Natural Identity, -Manifold, Minimal Submanifold
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
1972年,M. Matsumoto [1] 推广了Randers度量的概念,得到了 -度量。 -度量
是由Riemann度量 和1-形式 构成的一类重要的Finsler度量,其中 是定义在开区间 上的光滑正函数,并满足 使得 为正定的Finsler度量。不难看出,这类 -度量包含了所有的Riemann度量( 或者 ),这是Finsler几何中一类重要的度量,它们已经被应用到物理、生物等学科 [2] [3]。因此,人们对这类特殊的度量进行了深入研究。当 时, -度量 称为Randers [4] 度量,它是最简单Finsler度量,著名的Funk度量就是射影平
坦且旗曲率为 的Randers度量;当 ,那么 称为Square度量,它是由L. Berwald [5] 构造的二次平方度量,其旗曲率为 。而当 ,那么 称为Matsumoto
度量。它是由日本数学家M.Matsumoto在研究山路的斜坡问题时抽象出来的度量,其中 是地球引力, 是高度。
近年来,受到Riemann子流形研究的影响,Finsler子流形的研究越来越受到人们的重视。1998年,在没有借助任何联络的情况下,文献 [6] 研究了在Busemann-Hausdorff-体积形式下Finsler子流形几何。之后,文献 [7] 考虑了Minkowski Randers空间的(超)曲面,得到了极小曲面的Bernstein型定理。2006年,文献 [8] 和文献 [9] 提出了另一种集中于Holmes-Thompson测度的方法,引入了法曲率以及Holmes- Thompson平均曲率的概念并给出了具体的表达式。而文献 [10] 首次引入了体积比函数
目的是为了简化平均曲率公式并使它们适用于Busemann-Hausdorff测度和Holmes-Thompson测度下 -空间中的浸入曲面。
本文考虑一般 -流形 ,其中 , 是一个Riemann度量, 是1-
阶微分形式, 是 在度量 的长度, 在条件 下是一个2-变量光滑正函数,且满足式(8)使得 是正定的Finsler度量。我们将引用文献 [11] 中一个涉及了 -平均曲率向量和一个向量场切分量相关的散度项的自然恒等式(定理1.3)。选择一类特殊的 -度量
其中 是定义在某区间 上的光滑正函数且 。本文旨在利用自然恒等式研究在Busemann-Hausdorff测度和Holmes-Thompson测度下一类特殊 -流形在一定条件下不存在闭的可定向的极小子流形和极小曲面。
2. 预备知识
本节主要介绍后面所用到的一些概念和记号。在整个文章中,也使用Einstein求和约定。简称Busemann-Hausdorff体积形式为BH-体积形式,Holmes-Thompson体积形式为HT-体积形式。
定义1 用 表示 上的一个Lie导数算子。因为 是一个对称协变(0,2)-张量,所以可以定义一个(1,1)-张量(仍然用 表示)。对任意 上的向量场 和 ,我们有
(1)
定义2 如果对 上的一个光滑函数 ,使得 ,即
(2)
其中 和 是 上的任意两个向量场,那么向量场 称为 的共形向量场。特别地,如果 ,则 称为Killing向量场。
3. 一个自然恒等式
在文献 [11] 中,通过运用子流形的理论知识进行大量计算,自然引入了体积比函数
(3)
这样的一个函数是在计算过程中自然出现的,目的是为了简化 -平均曲率向量和自然恒等式。其中 是一个任意3-变量光滑正函数,在没有特别提醒的情况下,我们用 表示 关于 的偏导数,那么 和 等也是表示关于 求偏导数。对于任意的向量场 ,用 表示其法向分支。
引理1 [11] 设 是一个 维的Riemann流形且具有向量场 , 是 的一个子流形,用 表示度量 的一个Levi-Civita联络,取 一个局部正交标架 ,使得 与 相切。则对 上的切向量 ,总有
(4)
其中 和 是由式(3)给出, 是一个任意的光滑函数, 是关于流形 在诱导度量 下的散度算子, 称为流形 的 -平均曲率向量,即
(5)
其中 称为流形 的第二基本形式, 表示 在流形 的Riemann平均曲率向量, 由式(1)给出。 , 是梯度向量场 , 的法向分支。
注记1 假设引理1中同样的条件。特别地,如果 ,那么 ,则式(4)可以简化为
进一步来说,若 且 是共形向量场(2),则 ,,。在这里令 ,我们有
(6)
因此就得到了一个自然恒等式(6),它是涉及了一个 -平均曲率向量和一个向量场切分量相关的散度项,我们将在第5节给出其具体的应用。
4. 一般 -度量体积元
一般 -度量中的Finsler度量是近十年来重要的研究内容。我们知道,赋予Finsler度量 的 维微分流形 称为Finsler流形 。其中光滑流形 上的一个Finsler度量 是定义在切从 上的连续函数 ,它满足以下条件:i) 在 上是光滑的;ii) 对于任意的实数 和
, ;iii) 定义在 的基本张量 是正定的,其中在
上的一个局部坐标系下 ,。而在Finsler度量中,那里有一系列更广泛的度
量称为一般 -度量,它是由文献 [12] 提出的。
设 是一般 -流形且具有一般 -度量,若对任意 ,,则有
(7)
其中 是一个Riemann度量, 是一个1-次微分形式且 。 是一个2-变量光滑正函数(参看文献 [12] 命题3.3)满足:
(8)
或者
当 ,其中 和 是任意实数且满足 。
在文献 [13] 中,一般 -流形 的Busemann-Hausdorff测度和Holmes-Thompson测度已经被计算出来,它的证明方法类似于文献 [14] 和文献 [15]。对任意 和一个实数 ,我们定义
(9)
其中
。
是一个Euler函数且满足递推公式 ,,。
引理2 [13] 对于具有度量(7)的一般 -流形 ,关于在度量 下的BH-体积形式和HT-体积形式为 ,其中 , 是由式(9)给出。
在本节中,我们考虑一个一般 -流形中定向等距浸入的子流形 ,其中
。那么在流形 上的诱导度量 是一个一般 -度量 ,其中 是诱导的Riemann度量, 是诱导的1-形式。 可以看作
是限制在 上的函数,而流形 上 一般是不等同于 且具有如下关系:
,
其中 是关于法从在度量 下的单位正交标架。通过引理2可以知道, 的BH-体积形式和HT-体积形式具有形式
那么根据式(9),函数 可以为
(10)
其中
(11)
且 ,。因为 ,所以 是一个关于变量 函数。
5. Busemann-Hausdorff和Holmes-Thompson测度下的子流形
在Finsler几何中,BH-体积形式和HT-体积形式是两个重要的体积形式。根据式(10),对任意维度的一般 -流形,函数 均不能表示为初等函数,但我们仍然可以对它进行研究。因此在本小节,我们将深入研究一类特殊 -流形在BH-测度和HT-测度下的极小子流形和极小曲面的不存在性。
在文献 [11] 中,通过观察式(6)的最后一项,作者计算了式(10)中HT-情况下的 ,即
(12)
其中
(13)
且 ,。因为 ,所以式(11)中函数 可以看作是关于 的函数。当给定函数 且 满足式(8)后,那么通过一个技术上的计算就可以判断出 值的正负(在这里利用了 关系),因此作者证明了投影平坦Finsler流形 中不存在HT-极小子流形(参看定理5.6)。下面我们首先对在BH-情况下的 进行一个技术上的计算。
引理3 对任意两变量的函数 且满足式(8),其中 ,我们有
(14)
证明:根据式(10)中BH-情况我们计算:
从而有
(15)
同理
(16)
注意
,
即
(17)
依据式(15),(16)和(17),我们有
故得到了式(14)。下面将引理1应用于一般 -流形中的子流形,得到以下命题。
命题1 设 是一个等距浸入到一般 -流形 的子流形,其中 。如果 是共形向量场(2), 是关于 的共形1-形式且共形因子 ,那么在BH-测度和HT-测度下我们有
(18)
其中 ,, 由式(10)给出, 由式(3)定义, 称为流形 的 -平均曲率向量(5),最后一项由式(12),(13)和(14)给出。
现在考虑一类特殊的 -度量(Randers度量,Square度量和Matsumoto度量),其中度量 , 且 。文献 [16] 已经详细计算了这类度量在满足式(8)的条件下是Finsler度量。下面依据式(18)研究这类特殊 -流形 在一定条件下不存在闭的可定向的BH-极小子流形和闭的可定向的HT-极小曲面(这里 与 无关,故 )。
定理1 设 是一个Finsler流形,其中 , 是关于 的共形1-形式且共形因
子 。则在 的条件下,Finsler流形 中不存在闭的可定向的BH-极小子流形,其中 表
示 在Riemann度量 下的长度。
证明:对任意的 ,给定 在Riemann度量 下的长度 ,依据式(8)我们有
所以 在条件 下是正定的Finsler度量。由式(14)可以有(这里 ):
当给定条件 , 时,则有
那么根据命题1,若存在一个闭的可定向的子流形 ,则当 且 时,流形 上的积分(18)
会出现一个矛盾,所以Finsler流形 在条件 下不存在闭的可定向的BH-极小子流形。
注记2 依据定理1的证明过程。设 是一个Finsler流形,其中 , 是关于 的
共形1-形式且共形因子 。则对任意的 , 在Riemann度量 下的长度 ,对所有 ,我们有
所以 在条件 下是正定的Finsler度量。当给定条件 , 时,由式(14)可以有
那么由命题1,当 且 时,对式(18)进行积分会出现一个矛盾,所以Finsler流形 在
条件 下不存在闭的可定向的BH-极小子流形。
注记3 同注记2的讨论方法一样。给定 ,则 ,其中 是关于 的共形1-形式且共形因子 。对任意的 , 在Riemann度量 下的长度 ,依据式(8)易证明度量 在条件 下是正定的Finsler度量。当给定条件 , 时,根据式(14)我们有
从而根据命题1,当 且 时,对式(18)进行积分会出现一个矛盾,所以在条件 下,
Finsler流形 不存在闭的可定向的BH-极小子流形。
现在来观察等式(13),因为 与 无关且 ,所以式(13)右边的第二项是一个负值。在这种情况下给定函数 ,则 的计算将会变得复杂。因此为了简便计算,我们将这类特殊 -流形限制在 (曲面情况)进行讨论,那么式(13)可以简化为
(19)
接下来根据式(19),我们继续探讨这类特殊 -流形在Holmes-Thompson测度下极小曲面的不存在性。
定理2 设 是一个Finsler流形,其中 , 是关于 的共形1-形式且共形因子 。则在 的条件下,Finsler流形 不存在闭的可定向的HT-极小曲面,其中 表
示 在Riemann度量 下的长度。
证明:对任意的 , 在Riemann度量 下的长度 ,易得到 在条件 下是正定的Finsler度量。由式(19)我们有
从而有
在这里 的关系是 。当给定条件 时,我们有
那么依据命题1,当 且 时,若存在一个闭的可定向的极小曲面,则对式(18)进行积分会
出现一个矛盾,所以Finsler流形 在条件 下不存在闭的可定向的HT-极小曲面。
注记4 给定 ,则 ,其中 是关于 的共形1-形式且共形因子 。对任意的 , 在Riemann度量 下的长度 ,那么度量 在条件 下是正定的Finsler度量。因为 ,所以式(13)可以化简为式(19)的一般情况。因此我们讨论 是一种特殊的
情况,当限制 ,根据式(13)计算可得
那么依据命题1,当 且 时,对式(18)进行积分会出现一个矛盾,所以Finsler流形
在条件 下不存在闭的可定向的HT-极小子流形。
注记5 依据定理2的证明过程。设 是一个Finsler流形,其中 , 是关于 的共形1-形式且共形因子 。则依据式(8)易证明度量 在条件 下是正定的Finsler度量,那么根据式(19)可得
,
.
当给定条件 , 且 时,我们有
那么依据命题1,当 且 时,对式(18)进行积分会出现一个矛盾,所以在条件 下,
Finsler流形 中不存在闭的可定向的HT-极小曲面。
基金项目
论文由西南交通大学基础培育项目《黎曼–芬斯勒几何若干问题研究》资助(No. 2682021ZTPY042)。
文章引用
晏 文. 一类Finsler子流形的研究
The Study of a Class of Finsler Submanifolds[J]. 理论数学, 2021, 11(06): 1020-1030. https://doi.org/10.12677/PM.2021.116116
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