南昌航空大学，数学与信息科学学院，江西 南昌

收稿日期：2021年8月13日；录用日期：2021年9月15日；发布日期：2021年9月22日

摘要

本文研究二维Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov (Fisher-KPP)方程的显式差分格式，运用能量分析法证明了在满足 $r=\tau /h^2\le 1/4$ 时，差分格式的解是有界的，且在无穷范数意义下有 $O\left(\tau +h^2\right)$ 的收敛阶。然后，通过发展一类Richardson外推法，在无穷范数意义下得到了收敛阶为 $O\left({\tau }^2+h^4\right)$ 的外推解。最后，数值结果验证了格式的有效性和理论结果的正确性。

关键词

Fisher-KPP方程，显式差分格式，收敛性，Richardson外推法

The Explicit Richardson Extrapolation Method for Two-Dimensional Fisher-KPP Equation

Zhijun Li

College of Mathematics and Information Science, Nanchang Hangkong University, Nanchang Jiangxi

Received: Aug. 13^th, 2021; accepted: Sep. 15^th, 2021; published: Sep. 22^nd, 2021

ABSTRACT

In this paper, an explicit difference scheme is investigated for two-dimensional Fisher-KPP equation. Under the condition of $r=\tau /h^2\le 1/4$, the boundedness of the solution of the difference scheme is proven using the energy analysis method. It is proved that it has a convergence order of $O\left(\tau +h^2\right)$ in maximum norm. Then by developing a class of Richardson extrapolation method, the extrapolation solution with convergence order of $O\left({\tau }^2+h^4\right)$ in maximum norm is obtained. Finally, numerical results confirm the efficiency of the schemes and the correctness of theoretical results.

Keywords:Fisher-KPP Equation, Explicit Difference Scheme, Convergence, Richardson Extrapolation Method

Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

Fisher方程是一类非线性反应扩散方程。在1937年由R. A. Fisher [1] 和Kolmogorov等人 [2] 提出，用于描述雄性突变体在无限长的栖息地中的繁殖，因此也被称为Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov (Fisher-KPP)方程。本文研究如下二维Fisher-KPP方程的初边值问题

$u_t=a\left(u_{xx}+u_{yy}\right)+bu\left(1-u^p\right)$,$\left(x,y\right)\in \Omega$,$t\in \left(0,T\right]$, (1)

$u\left(x,y,0\right)=u_0\left(x,y\right)$,$\left(x,y\right)\in \bar{\Omega }$, (2)

$u\left(x,y,t\right)=\phi \left(x,y,t\right)$,$\left(x,y\right)\in \Gamma$,$t\in \left(0,T\right]$, (3)

其中 $a>0$，$b>0$，$p\in Z^{+}$，$\Omega =\left(0,1\right)\times \left(0,1\right)$，$\Gamma$ 为 $\Omega$ 的边界，且当 $\left(x,y\right)\in \Gamma$ 时有 $u_0\left(x,y\right)=\phi \left(x,y,0\right)$。

许多学者已经对Fisher型方程进行了理论研究(见文献 [3] [4] [5] [6] 及其参考文献)。方程的数值求解也引起了数学工作者的广泛关注。近年来，发展了许多数值方法用于求解Fisher型方程。例如，伪谱方法 [7]、Petrov-Galerkin有限元方法 [8]、指数B样条Galerkin方法 [9] 等等。有限差分法 [10] [11] [12] [13] 是偏微分方程常用的，最受欢迎的数值解法之一。文献 [14] [15] [16] [17] 已经建立了相关的显式或隐式差分格式，它们的精度为时间一阶或二阶，空间二阶。为提高计算效率，本文对二维Fisher-KPP方程建立显式差分法及其Richardson外推算法，得到了收敛阶为 $O\left({\tau }^2+h^4\right)$ 的数值解。

2. 差分格式

2.1. 预备知识

首先对求解区域 $\bar{\Omega }\times \left[0,T\right]$ 进行网格剖分，取正整数M和N，使得 $h=1/M$，$\tau =T/N$。这里h， $\tau$ 分别是空间网格步长和时间网格步长。令 $x_i=ih$，$y_j=jh$ $\left(0\le i,j\le M\right)$，$t_k=k\tau$ $\left(0\le k\le N\right)$，${\Omega }_h=\left\{\left(x_i,y_j\right)|0\le i,j\le M\right\}$，${\Omega }_{\tau }=\left\{t_k|0\le k\le N\right\}$，$\gamma =\left\{\left(0,j\right),\left(M,j\right)|0\le j\le M\right\}\cup \left\{\left(i,0\right),\left(i,M\right)|0\le i\le M\right\}$，记 ${\Omega }_{h\tau }={\Omega }_h\times {\Omega }_{\tau }$。

设 $\left\{v_{ij}^k|0\le i,j\le M,0\le k\le N\right\}$ 为 ${\Omega }_{h\tau }$ 上的网格函数，定义差分算子如下：

${\delta }_t{v}_{ij}^k=\frac{1}{\tau }\left(v_{ij}^{k\text{+}1}-v_{ij}^k\right)$,${\delta }_t^2{v}_{ij}^k=\frac{1}{{\tau }^2}\left(v_{ij}^{k-1}-2v_{ij}^k+v_{ij}^{k\text{+}1}\right)$,

${\delta }_x^2{v}_{ij}^k=\frac{1}{h^2}\left(v_{i-1,j}^k-2v_{ij}^k+v_{i+1,j}^k\right)$,${\delta }_y^2{v}_{ij}^k=\frac{1}{h^2}\left(v_{i,j-1}^k-2v_{ij}^k+v_{i,j+1}^k\right).$

设 $w=\left\{w_{ij}|0\le i,j\le M\right\}$ 为 ${\Omega }_h$ 上的网格函数，引进如下范数： ${\Vert w\Vert }_{\infty }=\underset{0\le i,j\le M}{\max }\left|w_{ij}\right|$。

引理1 [18] 设 $\left\{F^k|k\ge 0\right\}$ 为非负序列，且满足 $F^{k+1}\le \left(1+c\tau \right)F^k+\tau g$，$k=0,1,2,\cdots$，其中c和g为非负常数，则有 $F^k\le {\mathrm{e}}^{ck\tau }\left(F^0+\frac{g}{c}\right)$，$k=0,1,2,\cdots$。

2.2. 差分格式解的收敛性及有界性

定义 ${\Omega }_{h\tau }$ 上的网格函数 $U_{ij}^k=u\left(x_i,y_j,t_k\right)$，$0\le i,j\le M$，$0\le k\le N$。设 $u\left(x,y,t\right)\in C^{\left(4,4,2\right)}\left(\bar{\Omega }\times \left[0,T\right]\right)$。

在结点 $\left(x_i,y_j,t_k\right)$ 处考虑微分方程(1)，有

$\frac{\partial u}{\partial t}\left(x_i,y_j,t_k\right)=a\left[\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\left(x_i,y_j,t_k\right)+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\left(x_i,y_j,t_k\right)\right]+bu\left(x_i,y_j,t_k\right)-b{\left[u\left(x_i,y_j,t_k\right)\right]}^{p+1},1\le i\le M-1,0\le k\le N-1.$ (4)

分别用向前差商和二阶中心差商离散时间和空间导数，得到

${\delta }_t{U}_{ij}^k=a\left({\delta }_x^2{U}_{ij}^k+{\delta }_y^2{U}_{ij}^k\right)+b{U}_{ij}^k-b{\left(U_{ij}^k\right)}^{p+1}+R_{ij}^k$,$1\le i,j\le M-1$,$0\le k\le N-1.$ (5)

其中

$R_{ij}^k=\frac{\tau }{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}\left(x_i,y_j,{\xi }_{ij}^k\right)-\frac{a{h}^2}{12}\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}\left({\eta }_{ij}^k,y_j,t_k\right)-\frac{a{h}^2}{12}\frac{{\partial }^{4}u}{\partial y^4}\left(x_i,{\zeta }_{ij}^k,t_k\right)$,$t_k<{\xi }_{ij}^k<t_{k+1}$,$x_{i-1}<{\eta }_{ij}^k<x_{i+1}$,$y_{j-1}<{\zeta }_{ij}^k<y_{j+1}$.

由初边值条件(2)和(3)，有

$U_{ij}^0=u_0\left(x_i,y_j\right)$,$0\le i,j\le M$, (6)

$U_{ij}^k=\phi \left(x_i,y_j,t_k\right)$,$\left(i,j\right)\in \gamma$,$1\le k\le N$. (7)

此外，存在常数 $c_1$，使得

$\left|R_{ij}^k\right|\le c_1\left(\tau +h^2\right)$,$1\le i,j\le M-1$,$0\le k\le N-1$. (8)

在(5)式中略去小量项 $R_{ij}^k$，并用数值解 $u_{ij}^k$ 代替解析解 $U_{ij}^k$，得到如下显式差分格式：

${\delta }_t{u}_{ij}^k=a\left({\delta }_x^2{u}_{ij}^k+{\delta }_y^2{u}_{ij}^k\right)+b{u}_{ij}^k-b{\left(u_{ij}^k\right)}^{p+1}$,$1\le i,j\le M-1$,$0\le k\le N-1$, (9)

$u_{ij}^0=u_0\left(x_i,y_j\right)$,$0\le i,j\le M$, (10)

$u_{ij}^k=\phi \left(x_i,y_j,t_k\right)$,$\left(i,j\right)\in \gamma$,$1\le k\le N.$ (11)

2.3. 差分格式的收敛性分析

定理1 设 $\left\{U_{ij}^k|0\le i,j\le M,0\le k\le N\right\}$ 是方程(5)~(7)的解， $\left\{u_{ij}^k|0\le i,j\le M,0\le k\le N\right\}$ 是差分格式(9)~(11)的解。令 $e_{ij}^k=U_{ij}^k-u_{ij}^k$，$0\le i,j\le M$，$0\le k\le N$。记 $L=\underset{\begin{array}{l}0\le x,y\le 1\\ 0\le t\le T\end{array}}{\max }\left|u\left(x,y,t\right)\right|$。则当网格比 $r=\frac{a\tau }{h^2}\le \frac{1}{4}$ 且满足

$\tau \le \frac{L}{2c_2}$,$h\le \sqrt{\frac{L}{2c_2}}$ (12)

时，有如下误差估计

${\Vert e^k\Vert }_{\infty }\le c_2\left(\tau +h^2\right)$,$0\le k\le N$, (13)

${\Vert u^k\Vert }_{\infty }\le c_3$ (14)

成立。这里 $c_2=\exp \{\left[1+\left(2^{p+1}-1\right)L^p\right]bT\}\frac{c_1}{\left[1+\left(2^{p+1}-1\right)L^p\right]b}$，$c_3=2L$。

证明 将(5)式~(7)式分别和(9)式~(11)式相减，得到误差方程

${\delta }_t{e}_{ij}^k=a\left({\delta }_x^2{e}_{ij}^k+{\delta }_y^2{e}_{ij}^k\right)+b{U}_{ij}^k-b{\left(U_{ij}^k\right)}^{p+1}-b{u}_{ij}^k+b{\left(u_{ij}^k\right)}^{p+1}+R_{ij}^k$,$1\le i,j\le M-1$,$0\le k\le N-1$, (15)

$e_{ij}^0=0$,$0\le i,j\le M$, (16)

$e_{ij}^k=0$,$\left(i,j\right)\in \gamma$,$0\le k\le N$. (17)

由(16)式可知，当 $k=0$ 时， ${\Vert e^0\Vert }_{\infty }=0$ 显然成立。

由三角不等式可得

${\Vert u^0\Vert }_{\infty }\le {\Vert U^0\Vert }_{\infty }+{\Vert e^0\Vert }_{\infty }\le L\le 2L=c_3$. (18)

因而(13)式和(14)式对 $k=0$ 都成立。

假设(13)式对 $0\le k\le l$ ( $0\le l\le n-1$ )成立，即

${\Vert e^k\Vert }_{\infty }\le c_2\left(\tau +h^2\right)$,$0\le k\le l.$

由(12)式，有 ${\Vert u^k\Vert }_{\infty }\le {\Vert U^k\Vert }_{\infty }+{\Vert e^k\Vert }_{\infty }\le L+c_2\left(\tau +h^2\right)\le 2L=c_3$。

下面证明当 $k=l+1$ 时，(13)式和(14)式仍然是成立的。

整理(15)式可得

$\begin{array}{c}{e}_{ij}^{k+1}=r\left(e_{i-1,j}^k+e_{i+1,j}^k+e_{i,j-1}^k+e_{i,j+1}^k\right)+\left(1-4r\right)e_{ij}^k+b\tau e_{ij}^k\\ -b\tau e_{ij}^k\left[{\left(U_{ij}^k\right)}^p+{\left(U_{ij}^k\right)}^{p-1}\left(u_{ij}^k\right)+\cdots +\left(U_{ij}^k\right){\left(u_{ij}^k\right)}^{p-1}+{\left(u_{ij}^k\right)}^p\right]+\tau R_{ij}^k.\end{array}$ (19)

由此可得

$\begin{array}{c}{\Vert e^{k+1}\Vert }_{\infty }\le {\Vert e^k\Vert }_{\infty }+b\tau {\Vert e^k\Vert }_{\infty }+b\tau {\Vert e^k\Vert }_{\infty }\left[L^p+L^{p-1}\left(2L\right)+\cdots +L{\left(2L\right)}^{p-1}+{\left(2L\right)}^p\right]+\tau c_1\left(\tau +h^2\right)\\ \le {\Vert e^k\Vert }_{\infty }+b\tau {\Vert e^k\Vert }_{\infty }+b\tau {\Vert e^k\Vert }_{\infty }\left[\left(2^{p+1}-1\right)L^p\right]+\tau c_1\left(\tau +h^2\right)\\ \le \{1+\left[1+\left(2^{p+1}-1\right)L^p\right]b\tau \}{\Vert e^k\Vert }_{\infty }+\tau c_1\left(\tau +h^2\right).\end{array}$ (20)

运用引理1可得

$\begin{array}{c}{\Vert e^{k+1}\Vert }_{\infty }\le \exp \{\left[1+\left(2^{p+1}-1\right)L^p\right]bk\tau \}\left\{{\Vert e^0\Vert }_{\infty }+\frac{c_1\left(\tau +h^2\right)}{\left[1+\left(2^{p+1}-1\right)L^p\right]b}\right\}\\ \le \exp \{\left[1+\left(2^{p+1}-1\right)L^p\right]bT\}\frac{c_1}{\left[1+\left(2^{p+1}-1\right)L^p\right]b}\left(\tau +h^2\right)\\ =c_2\left(\tau +h^2\right).\end{array}$ (21)

此外，由三角不等式可知

${\Vert u^{k+1}\Vert }_{\infty }\le {\Vert U^{k+1}\Vert }_{\infty }+{\Vert e^{k+1}\Vert }_{\infty }\le L+c_2\left(\tau +h^2\right)\le 2L=c_3$. (22)

故(13)式和(14)式对 $k=l+1$ 时也成立。定理证毕。

3. Richardson外推算法

记差分格式(9)~(11)的解为 $u_{ij}^k\left(h,h,\tau \right)$，令 $f\left(u\right)=bu\left(1-u^p\right)$。

定理2 设定解问题

$v_t=a\left(v_{xx}+v_{yy}\right)-p\left(x,y,t\right)+f^{\prime }\left(u\right)v$,$\left(x,y\right)\in \Omega$,$t\in \left(0,T\right]$, (23)

$v\left(x,y,0\right)=0$,$\left(x,y\right)\in \bar{\Omega }$, (24)

$v\left(x,y,t\right)=0$,$\left(x,y\right)\in \Gamma$,$t\in \left[0,T\right]$ (25)

和

$w_t=a\left(w_{xx}+w_{yy}\right)-q\left(x,y,t\right)+f^{\prime }\left(u\right)w$,$\left(x,y\right)\in \Omega$,$t\in \left(0,T\right]$, (26)

$w\left(x,y,0\right)=0$,$\left(x,y\right)\in \bar{\Omega }$, (27)

$w\left(x,y,t\right)=0$,$\left(x,y\right)\in \Gamma$,$t\in \left[0,T\right]$ (28)

存在光滑解，其中

$p\left(x,y,t\right)=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}v}{\partial t^2}\left(x,y,t\right)$,$q\left(x,y,t\right)=-\frac{a}{12}\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}\left(x,y,t\right)-\frac{a}{12}\frac{{\partial }^{4}w}{\partial y^4}\left(x,y,t\right)$,

则有

$u_{ij}^k=u\left(x_i,y_j,t_k\right)+\tau v\left(x_i,y_j,t_k\right)+h^{2}w\left(x_i,y_j,t_k\right)+O\left({\tau }^2+h^4\right)$,$1\le i,j\le M-1$,$1\le k\le N.$

定义Richardson外推法的数值解为

${\left(u_e\right)}_{ij}^k=\{\begin{array}{l}\frac{m^2}{m^2-1}{u}_{mi,mj}^{m^{2}k}\left(\frac{h}{m},\frac{h}{m},\frac{\tau }{m^2}\right)-\frac{\text{1}}{m^2-1}{u}_{ij}^k\left(h,h,\tau \right),1\le i,j\le M-1,1\le k\le N,\\ \phi \left(x_i,y_j,t_k\right),\left(i,j\right)\in \gamma ,1\le k\le N,\end{array}$

其中 $m\ge 2$ 且 $m\in N^{\text{+}}$，则当 $r=\tau /h^2\le 1/4$ 时，有

$\underset{\begin{array}{l}0\le i,j\le M\\ 1\le k\le N\end{array}}{\max }\left|u\left(x_i,y_j,t_k\right)-{\left(u_e\right)}_{ij}^k\right|=O\left({\tau }^2+h^4\right)$

证明 由(5)式可知

$R_{ij}^k=p\left(x_i,y_j,t_k\right)\tau +q\left(x_i,y_j,t_k\right)h^2+O\left({\tau }^2+h^4\right)$,$1\le i,j\le M-1$,$1\le k\le N-1$.

于是误差方程(15)~(17)可写为

${\delta }_t{e}_{ij}^k=a\left({\delta }_x^2{e}_{ij}^k+{\delta }_x^2{e}_{ij}^k\right)+f\left(U_{ij}^k\right)-f\left(u_{ij}^k\right)+p\left(x_i,y_j,t_k\right)\tau +q\left(x_i,y_j,t_k\right)h^2+O\left({\tau }^2+h^4\right),1\le i,j\le M-1,0\le k\le N-1,$ (29)

$e_{ij}^0=0$,$0\le i,j\le M$, (30)

$e_{ij}^k=0$,$\left(i,j\right)\in \gamma$,$0\le k\le N$ (31)

记 $V_{ij}^k=v\left(x_i,y_j,t_k\right)$，$W_{ij}^k=w\left(x_i,y_j,t_k\right)$，$0\le i,j\le M$，$0\le k\le N$。

应用与(5)式同样的方法离散(23)~(25)，可得

${\delta }_t{V}_{ij}^k=a\left({\delta }_x^2{V}_{ij}^k+{\delta }_y^2{V}_{ij}^k\right)-p\left(x_i,y_j,t_k\right)+f^{\prime }\left(u_{ij}^k\right)V_{ij}^k+O\left(\tau +h^2\right)$,$1\le i,j\le M-1$,$0\le k\le N-1$, (32)

$V_{ij}^0=0$,$0\le i,j\le M$, (33)

$V_{ij}^k=0$,$\left(i,j\right)\in \gamma$,$1\le k\le N-1$. (34)

类似地，对(26)~(28)离散，可得

${\delta }_t{W}_{ij}^k=a\left({\delta }_x^2{W}_{ij}^k+{\delta }_y^2{W}_{ij}^k\right)-q\left(x_i,y_j,t_k\right)+f^{\prime }\left(u_{ij}^k\right)W_{ij}^k+O\left(\tau +h^2\right)$,$1\le i,j\le M-1$,$0\le k\le N-1$, (35)

$W_{ij}^0=0$,$0\le i,j\le M$, (36)

$W_{ij}^k=0$,$\left(i,j\right)\in \gamma$,$1\le k\le N-1$. (37)

记 $s_{ij}^k=e_{ij}^k+\tau V_{ij}^k+h^2{W}_{ij}^k$，$0\le i,j\le M$，$0\le k\le N$。

由Taylor展开式有

$f\left(u_{ij}^k-\tau V_{ij}^k-h^2{W}_{ij}^k\right)=f\left(u_{ij}^k\right)-f^{\prime }\left(u_{ij}^k\right)\left(\tau V_{ij}^k+h^2{W}_{ij}^k\right)+O\left({\tau }^2+h^4\right)$. (38)

将(32)式~(34)式和(35)式~(37)式分别同乘 $\tau$ 和 $h^2$，并将所得结果和(29)式~(31)式相加，再运用(38)式得到

${\delta }_t{s}_{ij}^k=a\left({\delta }_x^2{s}_{ij}^k+{\delta }_y^2{s}_{ij}^k\right)+f\left(U_{ij}^k\right)-f\left(u_{ij}^k-\tau V_{ij}^k-h^2{W}_{ij}^k\right)+O\left({\tau }^2+h^4\right)$,$1\le i,j\le M-1$,$0\le k\le N-1$,

$s_{ij}^0=0$,$0\le i,j\le M$,

$s_{ij}^k=0$,$\left(i,j\right)\in \gamma$,$1\le k\le N.$

当 $r\le 1/4$ 且 $\tau$ 和h充分小时，运用与定理1相同的证明方法，可得 ${\Vert s^k\Vert }_{\infty }=O\left({\tau }^2+h^4\right)$，$1\le k\le N$，即

$u\left(x_i,y_j,t_k\right)-u_{ij}^k\left(h,h,\tau \right)+\tau V_{ij}^k+h^2{W}_{ij}^k=O\left({\tau }^2+h^4\right)$,$1\le i,j\le M-1$,$1\le k\le N.$

移项得

$u_{ij}^k\left(h,h,\tau \right)=u\left(x_i,y_j,t_k\right)+\tau v\left(x_i,y_j,t_k\right)+h^{2}w\left(x_i,y_j,t_k\right)+O\left({\tau }^2+h^4\right)$,$1\le i,j\le M-1$,$1\le k\le N.$ (39)

同理有

$u_{mi,mj}^{m^{2}k}\left(\frac{h}{m},\frac{h}{m},\frac{\tau }{m^2}\right)=u\left(x_i,y_j,t_k\right)+\frac{\tau }{m^2}v\left(x_i,y_j,t_k\right)+{\left(\frac{h}{m}\right)}^{2}w\left(x_i,y_j,t_k\right)+O\left({\left(\frac{\tau }{m^2}\right)}^2+{\left(\frac{h}{m}\right)}^4\right),1\le i,j\le M-1,1\le k\le N.$ (40)

将(40)式和(39)式两边分别同乘 $\frac{m^2}{m^2-1}$ 和 $\frac{\text{1}}{m^2-1}$，并将所得结果相减可得

$\frac{m^2}{m^2-1}{u}_{mi,mj}^{m^{2}k}\left(\frac{h}{m},\frac{h}{m},\frac{\tau }{m^2}\right)-\frac{\text{1}}{m^2-1}{u}_{ij}^k\left(h,h,\tau \right)=u\left(x_i,y_j,t_k\right)+O\left({\tau }^2+h^4\right)$，$1\le i,j\le M-1$，$1\le k\le N$。定理证毕。

注 外推解收敛所需的网格比仍是 $r=\frac{\tau /m^2}{{\left(h/m\right)}^2}=\tau /h^2\le 1/4$，即外推法无需对网格比增加更严格的条件。

4. 数值实验

算例 考虑如下经典二维Fisher-KPP方程的初边值问题

$u_t=u_{xx}+u_{yy}+u\left(1-u\right)$,$\left(x,y\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$,$t\in \left(0,1\right].$

初边值条件由其如下精确解确定：

$u\left(x,y,t\right)={\left[1+\exp \left(-\frac{5}{6}t+\frac{\sqrt{3}}{6}x+\frac{\sqrt{3}}{6}y\right)\right]}^{-2}.$

记

$E_{\infty }\left(h,\tau \right)=\underset{\begin{array}{l}0\le i,j\le M\\ 1\le k\le N\end{array}}{\max }\left|u\left(x_i,y_j,t_k\right)-u_{ij}^k\left(h,h,\tau \right)\right|$,${\left(RE\right)}_{\infty }\left(h,\tau \right)=\underset{\begin{array}{l}0\le i,j\le M\\ 1\le k\le N\end{array}}{\max }\left|u\left(x_i,y_j,t_k\right)-{\left(u_e\right)}_{ij}^k\right|.$

此时显式差分格式的数值解及Richardson外推解在无穷范数意义下的收敛阶分别定义为：

$\text{order}1={\log }_2\left(E_{\infty }\left(2h,4\tau \right)/E_{\infty }\left(h,\tau \right)\right)$,$\text{order}2={\log }_2\left({\left(RE\right)}_{\infty }\left(2h,4\tau \right)/{\left(RE\right)}_{\infty }\left(h,\tau \right)\right).$

表1的数值结果表明，当 $\tau =h^2/4$ 时，显式差分格式(9)~(11)的解在无穷范数意义下具有 $O\left(h^{\text{2}}\right)$ 的收敛阶，这说明该格式在时间方向上是一阶收敛、空间方向上是二阶收敛，从而验证了定理1的正确性。

表2的数值结果表明，当 $\tau =h^2/4$ 时，Richardson外推解在无穷范数意义下具有 $O\left(h^{\text{4}}\right)$ 的收敛阶，这也说明Richardson外推法在时间方向上是二阶收敛、空间方向上是四阶收敛。

表1. 数值解 $u^k$ 的最大误差及收敛阶( $\tau =h^2/4$ )

表2. 数值解 ${\left(u_e\right)}^k$ 的最大误差及收敛阶( $\tau =h^2/4$,$m=2$ )

由此可见，Richardson外推法提高了原显式差分格式的收敛精度。最后对比两种求解方法可以看出，Richardson外推法不仅收敛精度更好，而且在达到相同误差时所用CPU更短。

5. 结论

本文对二维Fisher-KPP方程的初边值问题建立了一类显式差分格式。运用能量分析法证明了显式差分格式解的收敛性和有界性。为提高计算效率，本文设计了一类Richardson外推方法，获得了收敛阶为 $O\left({\tau }^2+h^4\right)$ 的外推解。数值结果表明，Richardson外推法的计算效率更好。

基金项目

国家自然科学基金项目(No. 11861047)；江西省自然科学基金面上项目(No. 20202BABL201005)。

文章引用

李志君. 二维Fisher-KPP方程的显式Richardson外推法
The Explicit Richardson Extrapolation Method for Two-Dimensional Fisher-KPP Equation[J]. 理论数学, 2021, 11(09): 1649-1656. https://doi.org/10.12677/PM.2021.119183

参考文献