Pure Mathematics
Vol.
11
No.
10
(
2021
), Article ID:
45758
,
8
pages
10.12677/PM.2021.1110192
函数域上双重酉除数函数的均值
马顺琪
青岛大学数学与统计学院,山东 青岛
收稿日期:2021年9月7日;录用日期:2021年10月7日;发布日期:2021年10月14日
![](http://html.hanspub.org/file/5-1251410x1_hanspub.png?20211015093155232)
摘要
设 为q元有限域,在函数域 中,我们称首一多项式d为多项式f的酉因式,如果 且 。若d同时为多项式f与g的酉因式,则称d是f与g的酉公因式。记 为f与g的次数最大的首一酉公因式。我们称g是f的双重酉因式,如果 且 。令 为f的双重酉因式的个数,本文研究了 的均值,并给出了相应的渐近公式。
关键词
双重酉除数函数,函数域,均值
![](http://html.hanspub.org/file/5-1251410x11_hanspub.png?20211015093155232)
The Average Value of Bi-Unitary Divisor Function in Function Fields
Shunqi Ma
School of Mathematics and Statistics, Qingdao University, Qingdao Shandong
Received: Sep. 7th, 2021; accepted: Oct. 7th, 2021; published: Oct. 14th, 2021
ABSTRACT
Let be the finite field with q elements. In the function field , a monic divisor d of a polynomial f is called unitary, if and . For polynomials , if d is an unitary divisor of both f and g, it is called the common unitary divisor of them. Let be the common unitary monic divisor of f and g, whose degree is the largest. We say a divisor g of f is bi-unitary, if and . Let denote the number of bi-unitary divisor of f. We consider the average value of and give a corresponding asymptotic formula.
Keywords:Bi-Unitary Divisor Function, Function Fields, Average Value
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
对于正整数n,除数函数 表示n的正除数的个数。1849年,Dirichlet (见文献 [1] )考虑了 的均值并给出了以下渐近公式:
,
其中 , 是欧拉常数。1874年,Mertens (见文献 [2] )考虑了酉除数函数的均值。如果正整数 且 ,则称d是n的一个酉除数。记 为n的全部酉除数的个数,Mertens证明了
,
其中 , 分别表示Riemann-zeta函数及其导函数。1972年,Suryanarayana [3] 进一步考虑了双重酉除数函数的均值。若d是最大的a与b的公共酉除数,则称d为a与b的最大酉公因子,记作 。如果d满足 且 ,则称d为n的双重酉除数。令 为n的全部双重酉除数的个数,Suryanarayana得到
,
其中A与B是常数, 表示对所有素数求和。其他相关研究还可参见文献 [4] 与 [5]。
设 为q元有限域,在函数域 中,类似的我们也可以考虑各类除数函数的均值。对于 ,令 表示f的全部首一因式的个数,我们有(见文献 [6] )
,
其中 表示对所有 次首一多项式求和。最近,牛威 [7] 考虑了函数域上酉除数函数的均值。令 表示f的全部首一酉因式的个数,他证明了对于任意 ,有
,
其中 表示对所有 次首一多项式求和。
本文将讨论函数域上双重酉除数函数的均值,并给出相应的渐近公式。为简单起见,令 表示有限域 上的一元多项式环,令M表示A中所有首一多项式构成的集合, 表示A中所有n次首一多项式构成的集合。
对于任意 ,若 且 ,则称d是f的酉因式,记作 。设 且不全为0,如果多项式 满足:
1) ,
2) 若有任意的多项式h满足 ,则一定有 。
那么称d是 的最大酉公因式,记作 。容易证明,任意 的最大酉公因式存在且唯一。若 且 ,则称g是f的双重酉因式。令 表示多项式f的所有双重酉因式的个数,我们有以下结果。
定理1.1 对于任意整数 以及 ,我们有
.
符号说明:
2. 预备知识与引理
2.1. 函数域上的Zeta函数
为证明定理1.1,我们首先介绍函数域上zeta函数的定义与性质。函数域 中多项式f的范数定义为 ,其中 表示f的次数。函数域 上的zeta函数为(见文献 [6] )
,, (2.1)
其欧拉乘积为
,, (2.2)
其中无穷乘积历遍所有首一的不可约多项式。根据(2.1)式,我们可以得到
,. (2.3)
根据(2.3)式可知,函数 可以解析延拓到整个复平面并且在 处为简单极点。为简单起见,令 ,则(2.3)式可写为
,. (2.4)
2.2. 双重酉除数函数的性质
我们首先证明双重酉除数函数 是可乘的。
引理2.2.1. 对任意 且 ,有
.
证明:由 定义,有
.
因为 且 ,所以存在 ,使 ,,。从而有
.
由此可见,若能证明当 且 时,
(2.5)
成立,则有
,
即引理结论成立。
下证当 且 时,公式(2.5)成立。记
,,.
由最大酉公因式定义可知 且 。因为 ,所以 。同理,由 可得 ,因此 。由此可得 是 和 的酉公因式。由最大酉公因式定义可得 。
下证 。由t的定义可得 。因为 ,所以存在 满足 ,并且 ,。由 , 并根据函数域上的算术基本定理和最大酉公因式定义可得,对上述 ,仍有 ,。从而 ,。由此可得 ,即 。
综上所述,我们有 ,因此引理得证。¨
接下来我们计算 在不可约多项式幂次处的值。
引理2.2.2. 设 为正整数,P为A中首一的不可约多项式,则有
证明:对于正整数 ,易知 共有 个因式,其中 且不可约。当 是奇数时,因为对于所有 ,,都有 ,所以 。当 是偶数时,因为有 ,所以 。引理得证。¨
2.3. 其他所需引理
设 ,我们定义
,(2.6)
其中无穷乘积历遍所有首一的不可约多项式。下面我们将考虑 的有界性。
引理2.3.1. 对于任意 ,当 时,我们有 。
证明:由 的定义,我们有
.
由范数定义可得
,
其中 表示 中首一的不可约多项式的个数。又因为
,
且存在常数 ,使得 (见文献 [6] ),所以
.(2.7)
利用换底公式及 的泰勒展开式可得
.
因为当 时,级数 收敛,所以存在 ,使得
, (2.8)
从而引理得证。¨
下面我们将用 与 表示 的Dirichlet级数。
引理2.3.2. 对于 ,我们有
,(2.9)
其中 是函数域上的zeta函数, 由(2.6)式给出。
证明:记
,(2.10)
由引理2.2.1 是可乘函数可得 的欧拉乘积为
,
其中无穷乘积历遍所有首一不可约多项式。由引理2.2.2可得
.
根据上式并利用 的欧拉乘积(2.2)式以及 的定义(2.6)式,可以得到
.
引理得证。¨
当 时,我们可以将 写成如下Dirichlet级数的形式
, (2.11)
其中 是 的欧拉乘积(2.6)式确定的可乘函数。更进一步,我们有
.
令 ,上式可以写成
,,(2.12)
其中
.(2.13)
为证明定理1.1,我们还需要 的上界。
引理2.3.3. 对于任意 ,存在常数 使得
.
证明:由 的定义(2.13)式, 的定义(2.12)式并且利用洛朗定理(见文献 [8] )可得
,(2.14)
其中围道 由 给出。对(2.14)式两边取模,由引理2.3.1以及围道 取法可得
.
从而有
.
引理得证。¨
3. 定理1.1的证明
由 定义(2.10)式可得
.
令 ,上式可写为
,(3.1)
同时(2.9)式可写为
.
根据(2.4)式 的泰勒展开式以及(2.12)式可得
.(3.2)
由比较(3.1)式和(3.2)式右边幂级数的系数可得
.
从而有
.
由此可得
.(3.3)
由 我们有
.(3.4)
下面估计(3.4)式最右边的O项。由 的定义(2.13)式以及引理2.3.3可得
. (3.5)
对于(3.5)式中 ,当 时,我们有
,
从而
. (3.6)
将(3.6)式代入(3.5)式我们有
. (3.7)
将(3.7)式代入(3.4)式右边的O项我们有
. (3.8)
将(3.8)式代入(3.3)式,可得当 时,
.
定理得证。
文章引用
马顺琪. 函数域上双重酉除数函数的均值
The Average Value of Bi-Unitary Divisor Function in Function Fields[J]. 理论数学, 2021, 11(10): 1712-1719. https://doi.org/10.12677/PM.2021.1110192
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