Pure Mathematics
Vol.
12
No.
10
(
2022
), Article ID:
56665
,
8
pages
10.12677/PM.2022.1210171
6A型顶点算子代数中的Ising向量
武文斌
青岛大学,山东 青岛
收稿日期:2022年9月6日;录用日期:2022年10月5日;发布日期:2022年10月12日
摘要
本文主要研究了6A型顶点算子代数中的Ising向量。C. H. Lam,H. Yamada和H. Yamauchi构造了具体的6A型顶点算子代数的例子,计算出了6A型顶点算子代数中有7个Ising向量,并给出了它们之间的关系;S. Sakuma证明了6A型顶点算子代数由两个Ising向量e和f生成的顶点算子代数,并且e和f的内积 。但是在后者中只给出了6个Ising向量,第7个Ising向量的具体形式未知。前者构造的具体实例可以看成是后者的一种实现。本文通过两者的Ising向量的对应关系以及6A型顶点算子代数的唯一性,我们求出了第7个Ising向量在一组基下的表达式。
关键词
顶点算子代数,对合自同构,Ising向量
The Ising Vectors in 6A-Vertex Operator Algebra
Wenbin Wu
Qingdao University, Qingdao Shandong
Received: Sep. 6th, 2022; accepted: Oct. 5th, 2022; published: Oct. 12th, 2022
ABSTRACT
In this paper, we mainly study the Ising vectors in the 6A-algebra. C. H. Lam, H. Yamada and H. Yamauchi constructed an example for the 6A-vertex operator algebra, and they proved that there are seven Ising vectors in the 6A-vertex operator algebra, and they also showed the relations between the Ising vectors. S. Sakuma proved 6A-vertex operator algebra is generated by two Ising vectors e and f, and the inner product of e and f is . But the author only listed six Ising vectors, so we didn’t know the concrete form for the seventh Ising vector. The former can be regarded as a realization of the latter. In this paper, we calculate the seventh Ising vector under a set of bases by the correspondence between them.
Keywords:Vertex Operator Algebras, Involutive Automorphism, Ising Vectors
Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
顶点代数是过去几十年新发展的一个代数学分支。数学家们受到仿射Kac-Moody代数表示理论、月光模及其物理上的2维共形场论的启发,定义了顶点代数的概念。
从群论的角度来看,魔高斯代数是一种196884维的交换非结合代数,并且在上面有正定不变的双线性型。而魔单群M是由高斯在 [1] 中构造出的作为魔高斯代数的自同构群。魔单群M是由一些2A型对合自同构生成的,并且对于任意两个2A型对合自同构 和 ,有 。在 [2] 中知 的共轭类是1A,2A,3A,4A,5A,6A,4B,2B和3C这九种之一。
从顶点算子代数的角度来看,魔单群可以看成是月光顶点算子代数的 的自同构群。在月光顶点算子代数的构造 [3] 中,我们可知魔高斯代数正是 的权为2的子空间,也就是 就是一个魔高斯代数。在 [4] 中我们知道月光顶点算子代数 中有48个相互正交的共形向量,并且在 中每一个共形向量生成一个同构于Virasoro顶点算子代数 ,且 是 是的一个子代数。我们称这样的中心载荷为 的共形向量为Ising向量。Miyamoto在 [5] 中对每一个Ising向量e构造了关于e的 -对合自同构记作 。由 [6] 知每一个 都是一个2A型对合自同构,关于Ising向量的两个2A型对合自同构的乘积 正是上面九种之一。对于任意两个Ising向量e和f,它们的内积 与它们对应2A型对合自同构乘积所在的共轭类 的关系如下:
不仅仅是在魔单群中在顶点算子代数中,Sakuma在 [7] 中证明了由两个Ising向量生成的月光型的顶点算子代数正是以上这九种之一,它们对应的内积关系也如上。
C. H. Lam,H. Yamada和H. Yamauchi在文章 [8] 中从延伸的E8 Dynkin图出发,构造出6A型的余集子代数U6A,证明了U6A是由它的权为2的空间U2生成,又证明了U2是由两个Ising向量 和 生成的。因此U6A是由两个Ising生成的6A型的顶点算子代数。他们用软件Risa/Asir算出在U6A中有7个Ising向量。S. Sakuma在 [7] 中证明了由两个Iisng向量e和f所确定的2A型对合自同构的乘积的阶数小于等于6,即 。特别的,对于U6A型, , 且 。这时e和f所生成的子代数是8维的,且带有一组基: 。此时 [7] 中只给出6个Ising向量: 。
为了研究U6A的自同构群与对合自同构的关系以及其固定点子代数的结构和性质,我们需要求出第七个Ising向量的具体形式,由此确定它所对应的对合自同构与U6A的自同构群的关系。在本文中我们设出第7个Ising向量在组基下的线性表达式,通过子代数中定义的内积、Ising向量的性质、U6A的自同构群以及7个Ising向量之间的关系求出第7个Ising向量的具体形式。
在本篇文章第二部分,我们回顾了我们要用到的一些概念和结果;在第三部分,我们建立起两种Ising向量之间的对应关系,并且求出了选定基的乘积表达式;第四部分我们利用Ising向量之间的内积关系、基之间的乘积关系和第7个Ising向量的特点,列出相应的方程组,最后求解出第7个Ising向量为:
.
2. 相关定义及结论
2.1. 相关定义
定义2.1.1. 顶点算子代数是一个四元组 ,这里 是域F上的顶点代数,且 是到它的子空间的直和分解,使得 。元素 是一个特定的向量,称为V的Virasoro向量或共形向量,它对应的顶点算子通常表示为两种不同的形式:
并且它的系数满足下列三个条件:
1) ;
2) ;
3) 。
上述等式中的 是常量,称为顶点算子代数V的中心载荷,且算子 是可对角化的(注: )。
定义2.1.2. 我们称顶点算子代数 是数域 上OZ-型的顶点算子代数,如果它满足下面的条件:
定义2.1.3. 我们称向量 是中心载荷为 的共形向量,如果它满足 。此时算子 ,并满足Virasoro换位关系式: ,其中m和n是整数。如果共形向量e的中心载荷为 ,并且它生成Virasoro型顶点算子代数 ,那么我们就称e是Ising向量。
定义2.1.4. 我们称顶点代数V的子空间I是顶点代数的理想,如果它满足封闭条件: 。
定义2.1.5. 我们称顶点代数 是单的,如果它没有非平凡的理想。
2.2. 高斯代数
对 ,我们定义V2中的元素乘积: 。利用顶点算子代数中的n运算,容易看出定义的乘法满足交换律,不满足结合律(顶点算子代数中的n运算不满足结合律)。此时 [6] V2成为一个交换非结合高斯代数。由 [7] 可知,6A型顶点算子代数是由两个Ising向量生成的,而其中的高斯代数V2是由 张成的。
2.3. 不变双线性型
定义2.3.1. 我们称顶点算子代数V的模M上的双线性型 是不变的,如果它满足下列条件:
其中 。
顶点算子代数V也可以看成它本身的模。在顶点算子代数V上的不变双线性型由文献 [9] 知有下列定理。
定理2.3.2. [9] 顶点算子代数V上的所有不变双线性型所构成的空间同构于下列空间:
特别的,如果顶点算子代数V是一个 上OZ-型的单顶点算子代数,根据上述定理,显然在V上有唯一的正定对称不变双线性型,且满足 。
把上述对称不变双线性型限制在V2上,在 [5] 的第六部分可知对 ,有 并且 。
2.4. 关于Ising向量的对合自同构
设 是一个Ising向量,通过定义,e生成Virasoro顶点算子代数 ,由 [4] 和 [10] 知Virasoro顶点算子代数 是有理的并且有三个不可约模,分别是 ,,。因此V作为 的模,有下列分解:
其中的每一部分都是分别同构于 这些模的和。在 [5] 中定义了关于Iisng向量e的 对合自同构,定义方式如下: 当 ; 当 。根据 的融合律, 是V的2阶自同构。
引理2.4.1. [5] 对于V中的Ising向量e,V2文有如下分解:
这里的 是 的关于特征值为h的特征子空间。
3. 两种6A型顶点算子代数的构造
3.1. 6A型顶点算子代数的实现
在文章 [8] 中,C. H. Lam,H. Yamada和H. Yamauchi从下列延伸的E8 Dynkin图构造了一些格顶点算子代数 的余集顶点算子代数。其中 是E8型李代数的单根, 是根系的最高根。它们之间有关系: ;若 且 和 是相连接的,有 ;其他情况下 。
它们之间还有如下关系:
令 是由上述 生成的秩为8的E8的子格,从上面Dynkin图来看, 就是在延伸的E8 Dynkin图中去掉 这个点后生成的,而 正是上述等式中 的系数6。从图中可以看出: 。为简便,我们把 记作L。 是商群 的生成元。因此E8有分解: 。
令 ,则 ,我们乘以系数 是为了使其称为一个正定偶格。
此时由文章 [11] 可知格顶点算子代数有分解: ,其中等式后面的每一项都是 的不可约模。
由文章 [8] 的引理2.2可知,可换群 可诱导 上的自同构 ,,对 ,,其中 。而自同构 可通过 来实现, 。此时 ,对 ,有 。另外,通过正定偶格 上的自然同构 ,,诱导 上的自然的对合自同构 ,对 的, 。上述的 的相当于旋转变换, 相当于反射变换,因此由 和 生成 的自同构子群是阶为12的二面体群。
根据文献 [8] 和 [12] 来构造6A型余集子代数:已知 ,记 分别为单李代数 的不可约根系,此时有6个相互正交的共形向量: ,,其中 ,。这里的 是对应于根系 的Coxeter数。 中的共形向量 也是 中的共形向量。 [8] 中定义的6A型余集子代数 。这是一个6A型顶点算子代数,其共形向量为 。在 [8] 中可知在u中有中心载荷为 的两个Ising向量,分别为 和 ,其中 ,。由 [8] 中的定理3.21和定理3.22可知余集子代数可知u是由它的权为2的子空间u2生成的,而u2是由 和 生成的维数为8的高斯代数,因此u是由 和 生成的余集子代数。由 [8] 中的引理A.9知u也就是6A型顶点算子代数。
由 [8] 中引理A.9可知u2中的7个Ising向量分别是: 。并且它们之间的内积关系如下: 。还有
3.2. 6A型顶点算子代数的抽象描述
在 [7] 中,Sakuma证明了对于两个Iisng向量e和f的 对合自同构乘积的阶数小于等于6,也就是 。而当 时, ,由 [7] 中的定理4.4.可知 ,。此时e和f生成的顶点算子代数就是6A型顶点算子代数,记作V。它的权为2的子空间V2是一个8维的向量空间,且V2是由 生成的。其中的由 [7] 中的命题3.3.可知, 是线性相关的,且有如下具体关系:
.
因此我们可以选取V2的一组基: 。其中的 是V2中的Ising向量,由上述的内积关系以及不变双线性型的保持对合自同构的性质,我们计算出这些Ising向量之间的内积关系如下:
3.3. 两种Ising向量形式的对应
在这一部分,我们确定了3.2.中的6个Ising向量分别对应3.1.中的哪6个Ising向量,并给出它们之间的具体对应关系。通过3.1.中和3.2.中的Ising向量的内积关系式不难看出它们之间只能有如下的对应关系: 。因此对于最后的第7个Ising向量 在3.2.中没有找到具体的对应。在第四部分我们通过内积关系 ,,还有共形向量的性质 ,借助V2的基之间的乘积关系来求 对应的那个Ising向量在V2的基下的具体表达式。
4. 求解第七个Ising向量的具体形式
4.1. 基之间内积关系式
由上面3.2.部分可知,V2是一个8维的向量空间,并且V2是由下面这8个向量
生成的。其中前6个是Ising向量,它们之间的内积关系式在上面3.2.中已经给出,我们通过内积的性质以及保对合自同构的特点,由 [13] 计算出基之间的内积关系和相应的内积结果:
4.2. 基向量之间的乘积关系式
我们利用文献 [7] [13] 中的一些结果,利用e和f的地位的对等性,来计算V2中的8个基向量之间的乘积在这组基下的具体表达式:
因为V2中的e和f的地位是相同的,因此V2中的其他的基向量之间的乘积都可以由上述它们的乘积推导出来(交换e和f或者在等式两边同时作用对合自同构)。
4.3. 求解Ising向量的具体表达式
对于 对应的那个第7个Ising向量不妨记作 ,首先它在V2中,假设它在V2中我们选定基下的表达式为 。根据3.3.中两种Ising向量之间的对应及其内积关系有: ,,还有下面关系式
.
在 的表达式中有8个未知量,上述正好有8个方程,将 的表达式带入到上述8个等式中,再利用4.1.中内积关系式和4.2.中乘积关系式,利用Matlab可以求解出方程组。最后我们求出最后结果为: 。因此我们得到了第7个Ising向量在我们选定的基下的表达式: 。
文章引用
武文斌. 6A型顶点算子代数中的Ising向量
The Ising Vectors in 6A-Vertex Operator Algebra[J]. 理论数学, 2022, 12(10): 1577-1584. https://doi.org/10.12677/PM.2022.1210171
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