半群CI(n,r)的极大(完全)独立子半群 Maximal (Completely) Isolated Subsemigroups of Semigroup CI(n,r)

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Pure Mathematics
Vol. 13 No. 06 ( 2023 ), Article ID: 67157 , 7 pages
10.12677/PM.2023.136161

半群 $C I (n, r)$ 的极大(完全)独立子半群

龙如兰，罗永贵，余江慧

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贵州师范大学数学科学学院，贵州贵阳

收稿日期：2023年5月5日；录用日期：2023年6月5日；发布日期：2023年6月13日

摘要

设 $I_{n}$ 和 $S_{n}$ 分别是有限集 $X_{n} = {1, 2, \dots, n}$ 上的对称逆半群和对称群。对 $0 \leq r \leq n - 1$ ，令 $I (n, r) = {α \in I_{n} : | i m (α) | \leq r}$ ，则 $I (n, r)$ 是对称逆半群 $I_{n}$ 的双边理想。记 $C_{n} = 〈 g 〉$ ，其中 $g = (12 \dots n)$ ，称 $C_{n}$ 为 $X_{n}$ 上的循环群。通过分析半群 $C I (n, r) = I (n, r) \cup C_{n}$ 的格林关系及生成关系，获得了半群 $C I (n, r)$ 的(完全)独立子半群的完全分类。进一步，证明了半群 $C I (n, r)$ 的极大独立子半群与极大完全独立子半群是一致的。

关键词

对称逆半群，对称群，循环群，独立子半群

Maximal (Completely) Isolated Subsemigroups of Semigroup $C I (n, r)$

Rulan Long, Yonggui Luo, Jianghui Yu

School of Mathematical Sciences, Guizhou Normal University, Guizhou Guiyang

Received: May 5^th, 2023; accepted: Jun. 5^th, 2023; published: Jun. 13^th, 2023

ABSTRACT

Let $I_{n}$ and $S_{n}$ be symmetric inverse semigroup and symmetric group on the finite set $X_{n} = {1, 2, \dots, n}$ , respectively. For $0 \leq r \leq n - 1$ , put $I (n, r) = {α \in I_{n} : | i m (α) | \leq r}$ , then the $I (n, r)$ is a two-sided ideal of symmetric inverse semigroup $I_{n}$ . Denote $C_{n} = 〈 g 〉$ , where there is $g = (12 \dots n)$ , say that $C_{n}$ is a circle group on $X_{n}$ . By analyzing the Green’s relation and generative relation of the semigroup $C I (n, r) = I (n, r) \cup C_{n}$ , the complete classification of the (completely) isolated subsemigroups of $C I (n, r)$ is obtained. Further, the coincide of maximal isolated subsemigroups and maximal completely isolated subsemigroups of semigroups $C I (n, r)$ be proved.

Keywords:Symmetric Inverse Semigroup, Symmetric Group, Circle Group, Isolated Subsemigrou

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 预备知识

设自然数 $n \geq 3$ ， $X_{n} = {1, 2, \dots, n}$ 并赋予自然数的大小序。 $I_{n}$ ， $S_{n}$ 和 $P_{n}$ 分别表示 $X_{n}$ 上的对称逆半群，对称群和部分变换半群。对 $0 \leq r \leq n - 1$ ，令 $I (n, r) = {α \in I_{n} : | im (α) | \leq r}$ ，易见 $I (n, r)$ 是对称逆半群 $I_{n}$ 的逆子半群且对任意的 $α \in I (n, r), β, γ \in I_{n}$ 都有 $| im (β α γ) | \leq r$ ，即 $β α γ \in I (n, r)$ ，因而 $I (n, r)$ 是对称逆半群 $I_{n}$ 的双边理想。记 $S I_{n} = I_{n} \ S_{n}$ ，则称 $S I_{n}$ 是 $X_{n}$ 上的部分一一奇异变换半群。显然 $S I_{n} = I (n, n - 1)$ 。记 $C_{n} = 〈 g 〉$ ，其中 $g = (12 \dots n)$ ，称 $C_{n}$ 为 $X_{n}$ 上的循环群。令 $C I (n, r) = I (n, r) \cup C_{n}$ ，易证 $C I (n, r)$ 是对称逆半群 $I_{n}$ 的子半群。

对于有限半群的独立子半群的研究一直以来都是半群代数理论的研究热点之一 [1] [2] [3] [4] [5] 。文 [1] 研究了半群 $F P (S_{n})$ 的独立子半群与其它子半群的结构。文 [2] 分析了半群 $I S_{n}$ 在夹心运算下独立子半群的完全分类。文 [3] 探索了半群 $T_{n}$ 在夹心运算下独立子半群的完全分类。文 [4] 描述了保序和降序变换半群的独立子半群的完全分类。文 [5] 确定了半群 $H_{(n, m)}$ 的独立子半群的完全分类。

设A是 $X_{n}$ 的子集， $ε_{A}$ 表示集合A上的恒等变换，易见恒等变换是幂等元。对任意的 $α \in C I (n, r)$ ，令 $ker (α) = {(x, y) \in dom (α) \times dom (α) : x α = y α}$ ，则 $ker (α)$ 是 $dom (α)$ 上的等价关系，称 $ker (α)$ 为 $α$ 的核。用 $im (α)$ 表示集合 ${x α : x \in dom (α)}$ ，称 $im (α)$ 为 $α$ 的像。

设S是半群，对任意的 $a \in S$ 分别用 $L_{a}$ ， $R_{a}$ ， $H_{a} = L_{a} \cap R_{a}$ ， $D_{a}$ ， $J_{a}$ 表示a所在的L-类，R-类，H-类，D-类，J-类。为叙述方便，引用Green-等价关系 [6] [7] 。在半群 $C I (n, r)$ 中L，R，J有如下刻划：对任意的 $α, β \in C I (n, r)$ 有

$α L β \Leftrightarrow im (α) = im (β)$ ， $α R β \Leftrightarrow ker (α) = ker (β)$ ， $α J β \Leftrightarrow | im (α) | = | im (β) |$ 。

易见， $L \subseteq J$ ， $R \subseteq J$ 。对 $0 \leq r \leq n - 1$ ，令 $J_{r} = {α \in I_{n} : | im (α) | = r}$ ，则 $I (n, r) = {α \in I_{n} : | im (α) | \leq r}$ ，从而 $C I (n, r) = I (n, r) \cup C_{n} = (\cup_{s = 0}^{r} J_{s}) \cup C_{n}$ 。对任意的 $α \in J_{r}$ 有 $J_{α} = J_{r}$ 。不难验证，在半群 $C I (n, r)$ 中有如下包含关系的双边理想链 $I (n, 0) \subset I (n, 1) \subset I (n, 2) \subset \dots \subset I (n, r - 1) \subset I (n, r) \subset I (n, r) \cup C_{n} = C I (n, r)$ 。

任意取 $ε_{A} \in E (J_{r})$ ，令

$\sqrt{ε_{A}} = {α \in C I (n, r) : 存在 t \in N_{+} 使得 α^{t} = ε_{A}}$ 。

对任意 $A, B \subseteq X_{n}$ ，做如下定义：

$R_{B} = {α \in J_{r} : dom (α) = B}$ ； $L_{A} = {α \in J_{r} : im (α) = A}$ ； $H_{B}^{A} = R_{B} \cap L_{A}$ 。

当 $B = A$ 时， $H_{A}^{A} = H_{ε_{A}}$ ，即 $H_{ε_{A}} = {α \in J_{r} : ker (α) = ker (ε_{A}) = A 且 im (α) = im (ε_{A}) = A}$ 。

定义1：设半群S是半群T的子半群，若对任意的 $α \in T$ ，存在 $m \in N_{+}$ ，使得 $α^{m} \in S$ 可推出 $α \in S$ ，则称S是T的独立子半群。

定义2：设半群S是半群T的子半群，若对任意的 $α, β \in T$ 使得 $α β \in S$ 可推出 $α \in S$ 或 $β \in S$ ，则称S是T的完全独立子半群。

定义3：设半群S是半群T的真子半群，则S是T的完全独立子半群当且仅当 $\bar{S} = T \ S$ 是T的子半群。

定义4：设半群S是半群T的子半群，若S是T的真(完全)独立子半群，对T的任意(完全)独立子半群M有 $S \subseteq M \subseteq T$ 可推出 $M = S$ 或 $M = T$ ，则称S是T的极大(完全)独立子半群。

定义5：每个完全独立子半群都是独立子半群。每个半群都是自身的完全独立子半群。

本文未定义的术语及符号见文献 [6] [7] 。

2. 主要结果及证明

引理1 [6] 对任意的 $0 \leq r \leq n - 2$ ，有 $J_{r} \subseteq J_{r + 1} \cdot J_{r + 1}$ 。

由引理1可得推论：

推论1 对任意的 $0 \leq r \leq n - 1$ ，有 $I (n, r) = \cup_{s = 0}^{r} J_{s} = 〈 J_{r} 〉$ 。

引理2 [6] 设S是一个周期半群，任意的 $a \in S$ ，存在 $m \in N_{+}$ 使得 $a^{m}$ 是一个幂等元。因此每个周期半群至少有一个幂等元。特别地，有限半群为周期半群。

引理3 对任意 $0 \leq r \leq n - 1$ ，设S是半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群且 $E (S) \cap I (n, r - 1) \neq \emptyset$ ，则 $J_{0} \subseteq E (S)$ 。

证明由 $C I (n, r)$ 是有限半群且S是半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群可知S是有限半群，再由引理2可知 $E (S) \neq \emptyset$ 。若 $E (S) \cap I (n, r - 1) \neq \emptyset$ ，令 $k = min {| im (ε) | : ε \in E (S) \cap I (n, r - 1)}$ ，则 $0 \leq k \leq r - 1$ 。假设 $1 \leq k \leq r - 1$ ，任取

$ε = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k} \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k} \end{matrix}) \in E (S) \cap I (n, r - 1)$ ，

令

$α = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k - 1} & a_{k} & a_{k + 1} \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k - 1} & a_{k} & a_{k + 2} \end{matrix})$ ，

$β = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k - 1} & a_{k} & a_{k + 2} \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k - 1} & a_{k} & a_{k + 1} \end{matrix})$ ，

$ξ = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k - 1} & a_{k} & a_{k + 2} \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k - 1} & a_{k + 2} & a_{k} \end{matrix})$ ，

则 $α^{2} = β^{2} = ε \in S$ 且 $ξ^{2} = β α \in S$ ，从而 $α, β, ξ \in S$ 。易见

$ξ β^{2} = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k - 1} & a_{k + 2} \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k - 1} & a_{k} \end{matrix}) \in S$ ，

${(ε β^{2})}^{2} = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k - 1} \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k - 1} \end{matrix}) \in S$ ，

显然 ${(ε β^{2})}^{2} \in E (S) \cap I (n, r - 1)$ 且 $| im ({(ξ β^{2})}^{2}) | = k - 1$ 与k的极小性矛盾。故 $k = 0$ ，因此， $J_{0} \subseteq E (S)$ 。

引理4 对任意 $0 \leq r \leq n - 1$ ，设S是半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群且 $J_{0} \subseteq E (S)$ ，则 $I (n, r) \subseteq S$ 。

证明第一步：证明 $E (I (n, r)) \subseteq S$ 。

对 $0 \leq k \leq r$ ，任取 $ε \in E (I (n, r))$ ，不妨设

$ε = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k - 1} & a_{k} \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k - 1} & a_{k} \end{matrix}) \in E (J_{k})$ ，

当 $k = 0$ 时，则 $ε = \emptyset$ 且 $\emptyset \in E (S)$ 。

当 $1 \leq k \leq r$ 时，任取 $a_{k + 1} \in X_{n} \ dom (ε)$ ，令

$α = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k - 2} & a_{k - 1} & a_{k} \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k - 1} & a_{k} & a_{k + 1} \end{matrix})$ ，

$β = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k - 1} & a_{k} & a_{k + 1} \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k - 2} & a_{k - 1} & a_{k} \end{matrix})$ ，

则 $α^{k + 1} = β^{k + 1} = \emptyset$ 且 $α β = ε$ 。由S是半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群可知 $α, β, ε \in S$ 。由 $ε$ 的任意性可知 $E (I (n, r)) \subseteq S$ 。

第二步：证明 $I (n, r) \subseteq S$ 。

任取 $α \in I (n, r)$ ，若 $α \in E (I (n, r))$ ，由第一步可知 $α \in S$ 。若 $α \in I (n, r) \ E (I (n, r))$ ，由引理2可知存在 $t \in N_{+}$ 使得 $α^{t} \in E (I (n, r))$ ，再由第一步可知 $α^{t} \in S$ 。注意到S是半群 $D I (n, r)$ 的独立子半群，从而 $α \in S$ 。由 $α$ 的任意性可知 $I (n, r) \subseteq S$ 。

由引理3和引理4可得以下推论：

推论2 对任意的 $0 \leq r \leq n - 1$ ，设S是半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群且 $S \cap I (n, r - 1) \neq \emptyset$ ，则 $I (n, r) \subseteq S$ 。

引理5 对任意的 $0 \leq r \leq n - 1$ ，设S是半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群且 $| E (J_{r}) \cap S | \geq 2$ ，则 $I (n, r) \subseteq S$ 。

证明由 $| E (J_{r}) \cap S | \geq 2$ 可知存在 $A, B \in X_{n}$ ， $A \neq B$ 且 $| A | = | B | = r$ 使得 $ε_{A}, ε_{B} \in E (J_{r}) \cap S$ 。易见 $ε_{A} ε_{B} = \emptyset \in I (n, r - 1)$ 或 $ε_{A} ε_{B} = ε_{A \cap B} \in I (n, r - 1)$ ，由推论2可知 $I (n, r) \subseteq S$ 。

引理6 对任意的 $0 \leq r \leq n - 1$ ，设S是半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群且 $C_{n} \cap S \neq \emptyset$ ，则 $C_{n} \subseteq S$ 。

证明由 $C_{n} \cap S \neq \emptyset$ 可知存在 $α \in C_{n} \cap S$ ，易证 $ε_{X_{n}} = α^{n!} \in S$ 。任取 $β \in C_{n}$ ，易知 $β^{n!} = ε_{X_{n}} \in S$ ，由S的独立性可知 $β \in S$ 。再由 $β$ 的任意性可知 $C_{n} \subseteq S$ 。

引理7 [7] 对任意的 $0 \leq r \leq n - 1$ ，设 $α, β \in C I (n, r) \subset P_{n}$ ，则

1) $| im (α β) | \leq {| im (α) |, | im (β) |}$ ；

2) $im (α β) \subseteq im (β)$ 。

引理8 对任意的 $0 \leq r \leq n - 1$ ，若 $α, α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s} \in J_{r}$ 使得 $α = α_{1} α_{2} \dots α_{s}$ ，则 $(α, α_{1}) \in R$ ， $(α, α_{s}) \in L$ 。

证明第一步：证明 $(α, α_{1}) \in R$ 。

对任意的 $(x, y) \in ker (α_{1})$ 有 $x α = y α$ ，从而 $x α = x α_{1} α_{2} \dots α_{s} = y α_{1} α_{2} \dots α_{s} = y α$ ， $(x, y) \in ker (α)$ ，易见 $ker (α_{1}) \subseteq ker (α)$ 。不妨设 $a_{1} \ker (α_{1}), a_{2} \ker (α_{1}), \dots, a_{r} \ker (α_{1})$ 是 $ker (α_{1})$ 的r个不同的同余类。对任意的 $x \in a_{i} \ker (α_{1}) (1 \leq i \leq r)$ 有 $(x, a_{i}) \in ker (α_{1}) \subseteq ker (α)$ ，故 $(x, a_{i}) \in ker (α)$ ，即 $x \in a_{i} \ker (α)$ 。因此，对于任意的 $1 \leq i \leq r$ 有 $a_{i} \ker (α_{1}) \subseteq a_{i} \ker (α)$ 。由 $X_{n}$ 的有限性可知 $| a_{i} \ker (α_{1}) | \leq | a_{i} \ker (α) |$ 。若存在 $i \in {1, 2, \dots, r}$

使得 $| a_{i} \ker (α_{1}) | < | a_{i} \ker (α) |$ ，则 $| X_{n} / \ker (α_{1}) | = \sum_{i = 1}^{r} | a_{i} \ker (α_{1}) | < \sum_{i = 1}^{r} | a_{i} \ker (α) | = | X_{n} / \ker (α) |$ ，

$| X_{n} / \ker (α_{1}) | = | X_{n} / \ker (α) | = r$ 矛盾。易见，对任意的 $i \in {1, 2, \dots, r}$ 可知 $a_{i} \ker (α_{1}) \subseteq a_{i} \ker (α)$ 且 $| a_{i} \ker (α_{1}) | = | a_{i} \ker (α) |$ 必有 $a_{i} \ker (α_{1}) = a_{i} \ker (α)$ ，即 $ker (α_{1}) = ker (α)$ 。再由格林R关系可知 $(α, α_{1}) \in R$ 。

第二步：证明 $(α, α_{s}) \in L$ 。

由 $α = α_{1} α_{2} \dots α_{s}$ 及引理7可知 $im (α) = im (α_{1} α_{2} \dots α_{s}) \subseteq im (α_{s})$ 。再由 $α, α_{s} \in J_{r}$ ，可知 $| im (α) | = | im (α_{s}) | = r$ ，从而 $im (α) = im (α_{s})$ 。由格林L关系可知 $(α, α_{s}) \in L$ 。

引理9 对任意的 $0 \leq r \leq n - 1$ ， $A \subset X_{n}$ ，且 $| A | = r$ ，在半群 $C I (n, r)$ 中有 $\sqrt{ε_{A}} = H_{ε_{A}}$ 。

证明任取 $α \in H_{ε_{A}} \subseteq J_{r}$ ，由 $H_{ε_{A}}$ 是半群 $C I (n, r)$ 的有限子群可知 $α^{r!} = ε_{A}$ ，从而 $α \in \sqrt{ε_{A}}$ ，即 $H_{ε_{A}} \subseteq \sqrt{ε_{A}}$ 。任取 $α \in \sqrt{ε_{A}}$ ，则存在 $t \in N_{+}$ ，使得 $α^{t} = ε_{A}$ 。由引理7可知 $r = | im (ε_{A}) | = | im (α^{t}) | \leq | im (α) |$ 。若 $| im (α) | = n$ ，则 $α \in C_{n}$ ，由 $C_{n}$ 是 $C I (n, r)$ 的子群可知 $α^{t} \in C_{n}$ 与 $α^{t} \in ε_{A} \subseteq J_{r}$ 矛盾。易见 $r = | im (ε_{A}) | = | im (α) |$ ，即 $α \in J_{r}$ 。由引理8可知 $(α, ε_{A}) \in R$ 且 $(α, ε_{A}) \in L$ 。因此， $(α, ε_{A}) \in H$ ，即 $α \in H_{ε_{A}}$ 。由 $α$ 的任意性可知 $\sqrt{ε_{A}} \subseteq H_{ε_{A}}$ 。因此， $\sqrt{ε_{A}} = H_{ε_{A}}$ 。

引理10 对任意的 $0 \leq r \leq n - 1$ ， $A \subset X_{n}$ 且 $| A | = r$ ，则 $S = H_{ε_{A}}$ 半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群。

证明显然 $S = H_{ε_{A}}$ 半群 $C I (n, r)$ 的子半群。对任意的 $α \in C I (n, r)$ ，若 $α^{t} \in S = H_{ε_{A}}$ ，则 ${(α^{t})}^{r!} = ε_{A}$ ，从而 $α \in \sqrt{ε_{A}}$ 。再由引理9可知 $α \in \sqrt{ε_{A}} = H_{ε_{A}} = S$ ，即 $α \in S = H_{ε_{A}}$ 。因此， $S = H_{ε_{A}}$ 是半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群。

引理11 [7] 设S是半群T的真子半群，则S是半群T的独立子半群当且仅当 $\bar{S} = T \ S$ 是半群T的某些子半群的并。

定理1 对任意的 $0 \leq r \leq n - 1$ ， $A \subset X_{n}$ 且 $| A | = r$ ，设S是半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群，则S有且仅有以下4类：

1) $C I (n, r)$ ；

2) $C_{n}$ ；

3) $I (n, r)$ ；

4) $H_{ε_{A}}$ 。

证明注意到 $C_{n}$ ， $I (n, r)$ 都是半群 $C I (n, r)$ 的子半群， $C_{n} \cap I (n, r) = \emptyset$ 且 $C_{n} \cup I (n, r) = C I (n, r)$ 。由引理11可知 $C_{n}$ ， $I (n, r)$ 和 $C I (n, r)$ 都是半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群。再由引理10可知 $H_{ε_{A}}$ 是半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群。

反之，设S半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群，分以下三种情形讨论：

情形1 若 $S \cap C_{n} \neq \emptyset$ 且 $S \cap I (n, r) = \emptyset$ ，则 $S \subseteq C_{n}$ ，再由引理6可知 $C_{n} \subseteq S$ ，即 $S = C_{n}$ 。

情形2 若 $S \cap C_{n} \neq \emptyset$ 且 $S \cap I (n, r) \neq \emptyset$ ，则由引理6可知 $C_{n} \subseteq S$ ，分子情形讨论：

情形2.1 若 $S \cap J_{r} = \emptyset$ ，则 $S \cap I (n, r - 1) \neq \emptyset$ ，由推论2可知 $I (n, r) \subseteq S$ 与 $S \cap J_{r} = \emptyset$ 矛盾。

情形2.2 若 $S \cap J_{r} \neq \emptyset$ ，对任意的 $α \in S \cap J_{r}$ 。若 $α \notin H_{ε_{A}}$ ，则存在 $m \in N_{+}$ 使得 $α^{m} \in I (n, r - 1)$ 。由 $α^{m} \in S$ 可知 $S \cap I (n, r - 1) \neq \emptyset$ ，由推论2可知 $I (n, r) \subseteq S$ ，从 $C I (n, r) = C_{n} \cup I (n, r) \subseteq S$ ，故 $S = C I (n, r)$ 。若 $α \in H_{ε_{A}}$ ，则存在 $t \in N_{+}$ 使得 $α^{t} = ε_{A}$ ，不妨设

$α^{t} = ε_{A} = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{r - 1} & a_{r} \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{r - 1} & a_{r} \end{matrix})$ ，

则存在 $g \in C_{n}$ 使得

$g α^{t} = (\begin{matrix} a_{1} - 1 & a_{2} - 1 & \dots & a_{r - 1} - 1 & a_{r} - 1 \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{r - 1} & a_{r} \end{matrix})$ ，

由于 $dom (g α^{t}) \neq im (g α^{t})$ ，从而 $g α^{t} \notin H_{ε_{A}}$ 。易见 $g α^{t} \in S \cap J_{r}$ ，从而 $S = C I (n, r)$ 。

情形3 若 $S \cap C_{n} = \emptyset$ ，则 $S \subseteq I (n, r)$ ，分子情形讨论：

情形3.1 若 $S \cap I (n, r - 1) \neq \emptyset$ ，则由推论2可知 $I (n, r) \subseteq S$ ，即 $S = I (n, r)$ 。

情形3.2 若 $S \cap I (n, r - 1) = \emptyset$ ，则 $S \subseteq J_{r}$ 。

如果 $S \cap (J_{r} \ \underset{ε_{A} \in E (J_{r})}{\cup} H_{ε_{A}}) \neq \emptyset$ ，对任意的 $α \in S \cap (J_{r} \ \underset{ε_{A} \in E (J_{r})}{\cup} H_{ε_{A}})$ ，存在 $t \in N_{+}$ 使得 $α^{t} \in I (n, r - 1)$ 与 $S \subseteq J_{r}$ 矛盾。

如果 $S \subseteq \underset{ε_{A} \in E (J_{r})}{\cup} H_{ε_{A}}$ ，假设存在 $A \neq B$ 使得 $S \cap H_{ε_{A}} \neq \emptyset$ 且 $S \cap H_{ε_{B}} \neq \emptyset$ 。若 $α \in H_{ε_{A}}$ ，则存在 $t \in N_{+}$ 使

得 $α^{t} = ε_{A}$ ，从而 $ε_{A} = α^{t} \in S$ 。同理可证 $ε_{B} \in S$ 。故有 $| E (J_{r}) \cap S | \geq 2$ ，由引理5可知 $I (n, r) \subseteq S$ 与 $S \subseteq J_{r}$ 矛盾。因此， $S \subseteq H_{ε_{A}}$ 。此时 $S \cap H_{ε_{A}} \neq \emptyset$ ，即有 $ε_{A} \in S$ 。对任意的 $α \in H_{ε_{A}}$ ，存在 $t \in N_{+}$ 使得 $α^{t} = ε_{A} \in S$ ，由S的独立性可知 $α \in S$ ，即 $H_{ε_{A}} \subseteq S$ 。因此 $S = H_{ε_{A}}$ 。

引理12 [7] 设S是半群T的真子半群，则S是半群T的完全独立子半群当且仅当 $\bar{S} = T \ S$ 是半群T的子半群。特别地，若S是半群T的完全独立子半群，则 $\bar{S}$ 也是半群T的完全独立子半群。

引理13 [7] 若S是半群T的完全独立子半群，则S一定是半群T的独立子半群；若S是半群T的独立子半群，则S不一定是T的完全独立子半群。

定理2对任意的 $0 \leq r \leq n - 1$ ，设S是半群 $C I (n, r)$ 的完全独立子半群，则S有且仅有以下3类：

1) $C I (n, r)$ ；

2) $C_{n}$ ；

3) $I (n, r)$ 。

证明由引理12可知 $C I (n, r)$ ， $C_{n}$ ， $I (n, r)$ 都是半群 $C I (n, r)$ 的完全独立子半群。对于 $H_{ε_{A}}$ ，令

$α = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{i - 1} & a_{i} & a_{i + 1} & \dots & a_{r} \\ b_{1} & b_{2} & \dots & b_{i - 1} & b_{i} & b_{i + 1} & \dots & b_{r} \end{matrix})$ ，

$β = (\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & \dots & b_{i - 1} & b_{i} & b_{i + 1} & \dots & b_{r} \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{i - 1} & a_{i} & a_{i + 1} & \dots & a_{r} \end{matrix})$ ，

其中 $\cup_{i = 1}^{r} {a_{i}} = A$ ， $\cup_{i = 1}^{r} {b_{i}} = B$ 且 $A \neq B$ 。易见 $α β \in H_{ε_{A}}$ ，但 $α, β \notin H_{ε_{A}}$ ，故 $H_{ε_{A}}$ 不是半群 $C I (n, r)$ 的完全独立子半群。

反之，设S是半群 $C I (n, r)$ 的完全独立子半群。由引理13和定理1可知 $S = C I (n, r)$ 或 $S = C_{n}$ 或 $S = I (n, r)$ 或 $S = H_{ε_{A}}$ 。已证 $H_{ε_{A}}$ 不是半群 $C I (n, r)$ 的完全独立子半群且 $C I (n, r)$ ， $C_{n}$ ， $I (n, r)$ 都是半群 $C I (n, r)$ 的完全独立子半群。因此，半群 $C I (n, r)$ 的完全独立子半群有且仅有 $C I (n, r)$ ， $C_{n}$ ， $I (n, r)$ 三类。

引理14 对任意的 $0 \leq r \leq n - 1$ ， $C_{n}$ 是半群 $C I (n, r)$ 的极大独立子半群。

证明由定理1可知 $C_{n}$ 是半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群。对半群 $C I (n, r)$ 的任意独立子半群S有 $C_{n} \subseteq S \subseteq C I (n, r)$ ，若 $S \cap I (n, r) = \emptyset$ ，则 $S \subseteq C_{n}$ ，故 $S = C_{n}$ ；若 $S \cap I (n, r) \neq \emptyset$ ，则由定理1的证明中的情形2可知 $S = C I (n, r)$ 。从而 $C_{n}$ 是半群 $C I (n, r)$ 的极大独立子半群。

引理15 对任意的 $0 \leq r \leq n - 1$ ， $I (n, r)$ 是半群 $C I (n, r)$ 的极大独立子半群。

证明由定理1可知 $I (n, r)$ 是半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群。对半群 $C I (n, r)$ 的任意独立子半群S有 $I (n, r) \subseteq S \subseteq C I (n, r)$ ，若 $S \cap C_{n} = \emptyset$ ，则 $S \subseteq I (n, r)$ ，即 $S = I (n, r)$ ；若 $S \cap C_{n} \neq \emptyset$ ，则由引理6可知 $S = C I (n, r)$ ，即 $I (n, r)$ 是半群 $D I (n, r)$ 的极大独立子半群。

定理3 对任意的 $0 \leq r \leq n - 1$ ，设S是半群 $C I (n, r)$ 的极大独立子半群，则S有且仅有以下2类：

1) $C_{n}$ ；

2) $I (n, r)$ 。

证明由引理14和引理15可知 $C_{n}$ 和 $I (n, r)$ 为半群 $C I (n, r)$ 的极大独立子半群。反之，设S是半群 $C I (n, r)$ 的极大独立子半群。若 $S \cap C_{n} \neq \emptyset$ 且 $S \cap I (n, r) = \emptyset$ ，则 $S = C_{n}$ ；若 $S \cap C_{n} \neq \emptyset$ 且 $S \cap I (n, r) \neq \emptyset$ ，由定理1的证明中的情形2可知 $S = C I (n, r)$ 与S极大性矛盾。若 $S \cap C_{n} = \emptyset$ ，则 $S \subseteq I (n, r)$ ，由S的独立性及定理1的证明中的情形3可知 $S = I (n, r)$ 或 $S = H_{ε_{A}}$ 。再由S的极大性可知 $S = I (n, r)$ 。因此，半群 $C I (n, r)$ 的极大独立子半群有且仅有 $C_{n}$ 和 $I (n, r)$ 。

类似定理3的证明可得如下定理：

定理4 对任意的 $0 \leq r \leq n - 1$ ，设S是半群 $C I (n, r)$ 的极大完全独立子半群，则S有且仅有以下2类：

1) $C_{n}$ ；

2) $I (n, r)$ 。

由定理3和定理4可得如下推论：

推论3 对任意的 $0 \leq r \leq n - 1$ ，半群 $C I (n, r)$ 的极大独立子半群与极大完全独立子半群完全一致。

3. 总结及展望

从理想和独立子半群的性质出发研究了半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群及其相关子半群，得出半群的独立子半群、完全独立子半群、极大独立子半群、极大完全独立子半群的分类，并总结出对任意的 $0 \leq r \leq n - 1$ ，半群 $C I (n, r)$ 的极大独立子半群与极大完全独立子半群是完全一致的。

在对半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群的研究方面已经相对全面，也做到了理想，但对于 $C I (n, r) \ C_{n}$ 的情况的研究没有完善，对 $C_{k} I (n, r) = C_{k} \cup I (n, r) (0 \leq k \leq n - 1)$ 的特殊情况也没有涉及，其中 $C_{k} = 〈 (12 \dots k) 〉$ ，这是文章存在的不足之处。因此，之后的研究将补足以上不足之处，把半群 $C I (n, r)$ 的独立子半群的研究推广到更一般的情况。

基金项目

贵州师范大学学术新苗基金项目(黔师新苗[2021] B08号)；国家自然科学基金(11861022)。

文章引用

龙如兰,罗永贵,余江慧. 半群CI(n,r)的极大(完全)独立子半群
Maximal (Completely) Isolated Subsemigroups of Semigroup CI(n,r)[J]. 理论数学, 2023, 13(06): 1589-1595. https://doi.org/10.12677/PM.2023.136161

参考文献

1. Ganyushkin, A.G. and Mazorchuk, V.S. (1995) Structure of Subsemigroups of Factor-Powers of Finite Symmetric Groups. Mathematical Notes, 58, 910-920. https://doi.org/10.1007/BF02304767

2. Tsyaputa, G. (2006) Isolated and Nilpotent Subsemigroups in the Variants of . Algebra and Discrete Mathematics, 5, 89-79.

3. Mazorchuk, V. and Tsyaputa, G. (2008) Isolated Subsemigroups in the Variants of . Acta Mathematica Universitatis Comenianae, 77, 63-84.

4. Korkmaz, E. and Ayik, H. (2022) Isolated Subsemigroups of Order-Preserving and Decreasing Transformation Semigroups. Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 45, 663-675. https://doi.org/10.1007/s40840-021-01215-7

5. 袁月, 赵平. 半群的独立子半群[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2021, 43(6): 74-81.

6. Howiejm. Fundamentals of Semigroup Theory. Oxford University Press, Ox-ford, 1995.

7. Ganyushkin, O. and Mazorchuk, V. (2009) Classical Finite Transformation Semigroups. Spring-er-Verlag, London. https://doi.org/10.1007/978-1-84800-281-4

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