浙江理工大学理学院，浙江 杭州

收稿日期：2023年11月24日；录用日期：2023年12月10日；发布日期：2024年2月22日

摘要

本文主要研究收缩时空Friedmann-Lemaître-Robertson-Walk (FLRW)中半线性波动方程解的爆破分析，通过构造相应的积分不等式，得到了三类半线性波方程FLRW时空中解的爆破情况，并得到了解生命跨度的上限估计。

关键词

爆破，生命跨度，半线性波动方程

Blow-Up of Solutions of Semilinear Wave Equations in Shrinking Friedmann-Lemaître-Robertson-Walk Spacetime

Zikai Yong, Xiaoyue Li

School of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou Zhejiang

Received: Nov. 24^th, 2023; accepted: Dec. 10^th, 2023; published: Feb. 22^nd, 2024

ABSTRACT

This paper mainly studies the blow up phenomenon of the solutions of the semilinear wave equations in Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) spacetime. By constructing the suitable integral inequality, we can show that the solutions of the seminlienar wave equations considered in this paper will blow up in finite time, and the upper bound of the life span is also obtained.

Keywords:Blow-Up, Lifespan , Semilinear Wave Equation

Copyright © 2024 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

对于非线性波动方程解的存在性以及解的爆破性质的研究一直是学者们重视的课题。如果把非线性波动方程的问题引申到宇宙空间，按照宇宙学原理，在宇宙学尺度上天体系统最重要的特征是其具有均匀性和各向异性。弗里德曼–勒梅特–罗伯逊–沃尔克度规(Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metric)是爱因斯坦场方程(Einstein field equations)的一个精确解，简称FLRW度规，描述的是一个满足宇宙学原理(cosmological principle)的宇宙，它有均匀性和各向同性的特性。现代宇宙学在过去的近100年间，科学家对FLRW度规的各种复杂情况都进行了研究，在这个数学框架内，宇宙的每一次观测结果几乎都是可以解释的，它主要描述了宇宙时空的两个属性，其属性之一是空间的几何结构。

刘安国文献 [1] 中可知爱因斯坦场方程解的一般式是利用对称性求得的，在默认了宇宙均匀性及各向同性以后，还需要考虑宇宙随时间膨胀或收缩的情况。为了方便我们可以将度规中的空间部分对时间的依赖性放在一个因子a中，于是利用其均匀性和各向同性可以将度规在笛卡尔坐标系写成如下的形式：

$d{s}^2=-d{t}^2+a^2\left(t\right){\displaystyle \sum d{x}_i^2}$ ，

其中 ${\displaystyle \sum d{x}_i}$ 代表了度规中的空间部分。如果我们用状态方程下的能量动量求解爱因斯坦方程可以得到：

$a\left(t\right)=c{t}^{\frac{2}{n\left(1+\omega \right)}}$ (1)

其中c是一个常数， $\omega$ 是一个比例常数，详见文献 [2] 。

近些年来关于Friedmann-Lemaître-Robertson-Walk时空的半线性波动方程及其解的爆破问题学者们进行了广泛的研究，其中对于加速膨胀的Friedmann-Lemaître-Robertson-Walk时空，有如下柯西问题：

$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}-\frac{1}{t^{2\alpha }}\Delta u+\frac{\mu }{t}{u}_t={\left|u\right|}^p,t>1,x\in R^n\\ u\left(1,x\right)=\epsilon f\left(x\right),u_t\left(1,x\right)=\epsilon g\left(x\right),x\in R^n\end{array}$ (2)

这里 $\alpha$ 和 $\mu$ 为非负实数， $\epsilon$ 为小的参数， $T_{\epsilon }$ 为(2)经典解的生命跨度，也是T的最大值，假设 $P_F\left(n\right)$ 表示Fujita指数，可写为 $P_F\left(n\right)=1+\frac{2}{n}$ ， $P_S\left(n\right)$ 表示施特劳斯指数，它是如下方程的正根：

${\gamma }_S\left(n,p\right)=-\left(n-1\right)p^2+\left(n+1\right)p+2=0$ ，

Takamura K等证明了在有限时间内的爆炸和 $0\le \alpha <1$ 情况下的跨度上限估计，令

$\gamma \left(n,p,\alpha ,\mu \right)=-\left(n-1+\frac{\mu -\alpha }{1-\alpha }\right)p^2+\left(n+1+\frac{\mu +3\alpha }{1-\alpha }\right)p+2$ ，

其中 $p_c\left(n,\alpha ,\mu \right)$ 是 $\gamma \left(n,p,\alpha ,\mu \right)=0$ 的正根。在文献 [3] 中作者得到如下生命跨度：

$\{\begin{array}{l}{T}_{\epsilon }\le C{\epsilon }^{\frac{-2p\left(p-1\right)}{\left(1-\alpha \right)\gamma \left(n,p,\alpha ,\mu \right)}}1<p<p_c\left(n,\alpha ,\mu \right)\\ T_{\epsilon }\le \exp \left(C{\epsilon }^{-p\left(p-1\right)}\right)p=p_c\left(n,\alpha ,\mu \right)>P_F\left(n\left(1-\alpha \right)\right)=1+\frac{2}{n\left(1-\alpha \right)}\end{array}$ (3)

最近Palmier在文献 [4] 中用不同的方法得到了如上结果。

然而如果Fujita指数大于Strauss指数，那么生命的上限估计会比(3)更尖锐，其结果证明可以参考文献 [5] 和 [6] ，实际上已经在文献 [7] 中证明 $0\le \alpha <1$ 的跨度上界：

$\{\begin{array}{l}{T}_{\epsilon }\le C{\epsilon }^{-\frac{p-1}{2-n\left(1-\alpha \right)\left(p-1\right)}}1<p<P_F\left(n\left(1-\alpha \right)\right),\\ T_{\epsilon }\le \exp \left(C{\epsilon }^{-\left(p-1\right)}\right)p=P_F\left(n\left(1-\alpha \right)\right),\end{array}$

从文献 [4] 中我们可以得到相同的结果，而且上述结果也对应于 [8] 的结果，如果幂p是由Strauss指数所主导，那么到目前为止所述的这些都是尖锐的，在这种情况下我们可以说生命跨度是波动的，如文献 [9] 中提到的。

以上的结果都是基于加速膨胀的Friedmann-Lemaître-Robertson-Walk时空，考虑的问题为这三种方程的特殊情况，即方程

$\{\begin{array}{l}{\square }_{g}u=-{\left|u\right|}^p,-{\left|u_t\right|}^p,-{\left|{\nabla }_{x}u\right|}^p,t\ge 0,x\in R^n\\ u\left(1,x\right)=\epsilon f\left(x\right),u_t\left(1,x\right)=\epsilon g\left(x\right),x\in R^n\end{array}$

的特殊情形。这里

${\square }_g=\frac{1}{\sqrt{\left|\det g\right|}}{\partial }_{\mu }\left(\sqrt{\left|\det g\right|}{g}^{\mu \nu }{\partial }_{\nu }\right)=-n\frac{\stackrel{\dot{}}{a}\left(t\right)}{a\left(t\right)}{\partial }_t-{\partial }_t^2+\frac{1}{a^2\left(t\right)}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\partial }_i^2}$

为波动算子。

本文主要考虑以下柯西问题在该收缩时空解的爆破，即为上述三种方程在 $a\left(t\right)>0$ ， $a^{\prime }\left(t\right)<0$ 以及 $a\left(t\right)\le t^{-\alpha }$ ， $\alpha$ 为使该不等式成立的最大正数时的情形：

$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}+n\frac{a^{\prime }\left(t\right)}{a\left(t\right)}{u}_t-\frac{1}{a^2\left(t\right)}\Delta u={\left|u_t\right|}^p,t\ge 0,x\in R^n\\ u\left(1,x\right)=\epsilon f\left(x\right),u_t\left(1,x\right)=\epsilon g\left(x\right),x\in R^n\end{array}$ (4)

$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}+n\frac{a^{\prime }\left(t\right)}{a\left(t\right)}{u}_t-\frac{1}{a^2\left(t\right)}\Delta u={\left|u\right|}^p,t\ge 0,x\in R^n\\ u\left(1,x\right)=\epsilon f\left(x\right),u_t\left(1,x\right)=\epsilon g\left(x\right),x\in R^n\end{array}$ (5)

$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}+n\frac{a^{\prime }\left(t\right)}{a\left(t\right)}{u}_t-\frac{1}{a^2\left(t\right)}\Delta u={\left|{\nabla }_{x}u\right|}^p,t\ge 0,x\in R^n\\ u\left(1,x\right)=\epsilon f\left(x\right),u_t\left(1,x\right)=\epsilon g\left(x\right),x\in R^n\end{array}$ (6)

其中 $\epsilon$ 是一个小的参数， $p>1$ ， $t\ge 1$ 。

2. 主要定理

在本文中的所有C可能为不同的非负常数，对于以上柯西问题解的爆破问题我们只需证明下列定理：

定理1.1 假设 $n\ge 2$ ， $p>1$ ， $u\in C^2\left(\left[1,T\right)\times R^n\right)$ 是柯西问题(4)的经典解，对于 $T<\infty$ ，存在一个正数且独立于A₁，p， $\alpha$ 和C的常数 $\epsilon$ ，使得T满足：

$T_{\epsilon }^{1+\left(1+\alpha \right)n-np}\le C{\epsilon }^{-\left(p-1\right)}$ ，

这里C是独立于A₁，p， $\alpha$ 和C的常数。

定理1.2 假设 $n\ge 2$ ， $p>1$ ， $u\in C^2\left(\left[1,T\right)\times R^n\right)$ 是柯西问题(5)的经典解，其中 ${\displaystyle \int f\left(x\right)\text{d}x>0}$ ， ${\displaystyle \int g\left(x\right)\text{d}x>0}$ ，对于 $T<\infty$ ，存在一个正数且独立于A₁，p， $\alpha$ 和C的常数 $\epsilon$ ，使得T满足：

${\left(a\left(T_{\epsilon }\right)\right)}^{np+n}{T}_{\epsilon }^{2+p+\alpha n-n\left(p-1\right)+\frac{2-n\left(p-1\right)}{p-1}}\le {\epsilon }^{-p}$ ，

这里C是独立于A₁，p， $\alpha$ 和C的常数。

推论1.1：如果 $a\left(t\right)=t^{-\alpha }$ ，T满足 $T_{\epsilon }\le {\epsilon }^{2p-p^2+\alpha n{p}^2+np\left(p-1\right)-\frac{2p-np\left(p-1\right)}{p-1}}$ 。

定理1.3 假设 $n\ge 2$ ， $p>1$ ， $u\in C^2\left(\left[1,T\right)\times R^n\right)$ 是柯西问题(6)的经典解，其中 ${\displaystyle \int f\left(x\right)\text{d}x>0}$ ， ${\displaystyle \int g\left(x\right)\text{d}x>0}$ ，对于 $T<\infty$ ，存在一个正数且独立于 $A_1$ ，p， $\alpha$ 和C的常数 $\epsilon$ ，使得T满足：

${\left(a\left(T_{\epsilon }\right)\right)}_{}^{np+n+\frac{p+n\left(p-1\right)}{p-1}}{T}_{\epsilon }^{2+\alpha n-n\left(p-1\right)+\frac{2-p-n\left(p-1\right)}{p-1}}\le {\epsilon }^{-p}$ ，

这里C是独立于A₁，p， $\alpha$ 和C的常数。

推论1.2：如果 $a\left(t\right)=t^{-\alpha }$ ，T满足 $T_{\epsilon }^{-\alpha np+2-n\left(p-1\right)+\frac{2-p-n\left(p-1\right)-\alpha p-\alpha n\left(p-1\right)}{p-1}}\le {\epsilon }^{-p}$ 。

3. 必要的引理

对于以上的定理的证明，需要引入如下引理及其证明。

引理2.1 假设 $p>1$ ， $a\ge 0$ ， $b\ge 0$ ， $c\ge 0$ ， $d\ge 0$ ， $k\ge 0$ 以及

$M=\left(p-1\right)\left(b-a\right)+\alpha c+1-d>0$ ，

这里 $T\ge T_1>T_0\ge 1$ ，如果 $F\in C^2\left(\left[T_0,T\right)\right)$ 满足下面三个条件：

i) $F\left(t\right)\ge A_0{t}^{-a}{\left(t-T_1\right)}^b$ ， $t\ge T_1$ ，

ii) $F^{\prime }\left(t\right)+n\frac{a^{\prime }\left(t\right)}{a\left(t\right)}F\left(t\right)\ge A_1{a}^{-c}\left(t\right){\left(t+R\right)}^{-d}{\left|F\left(t\right)\right|}^p$ ， $t\ge T_0$ ，

iii) $F\left(T_0\right)>0$ 。

其中A₀，A₁是正常数，使得T满足：

$T^{{}^{\frac{M}{p-1}}}\le C{A}_0^{-1}$ ，

这里C是独立A₁， $\alpha$ ，p以及c的常数。

证明 我们主要通过引用文献 [2] 、 [10] 以及 [11] 的方法证明该引理。

在假设(ii)的两边同时乘以 $a^n\left(t\right)$ 得：

$F^{\prime }\left(t\right)a^n\left(t\right)+n\frac{a^{\prime }\left(t\right)}{a\left(t\right)}F\left(t\right)a^n\left(t\right)\ge A_1{a}^{n-c}\left(t\right){\left(t+R\right)}^{-d}{\left|F\left(t\right)\right|}^p$ ，

对于上述不等式在 $\left[T_0,t\right]$ 上积分得：

$F\left(t\right)a^n\left(t\right)-F\left(T_0\right)a^n\left(T_0\right)\ge A_1{\displaystyle {\int }_{T_0}^t{a}^{n-c}\left(s\right){\left(s+R\right)}^{-d}{\left|F\left(s\right)\right|}^p\text{d}s}\ge 0$ ，

由假设可知 $F\left(T_0\right)>0$ ， $a\left(t\right)>0$ ，可得 $F\left(t\right)>0$ 。

将i)代入ii)得：

$F^{\prime }\left(t\right)+n\frac{a^{\prime }\left(t\right)}{a\left(t\right)}F\left(t\right)\ge A_1{A}_0^p{a}^{-c}\left(t\right){\left(t+R\right)}^{-d}{t}^{-ap}{\left(t-T_1\right)}^{bp}$ (7)

将不等式(7)两边同时乘以 $a^n\left(t\right)$ 得：

${\left\{a^n\left(t\right)F\left(t\right)\right\}}^{\prime }\ge A_1{A}_0^p{\left(a\left(t\right)\right)}^{n-c}{\left(t+R\right)}^{-ap-d}{\left(t-T_1\right)}^{bp}$ (8)

由 $F\left(t\right)>0$ ，上述不等式(8)两端分别在 $\left[T_1,t\right]$ 积分得：

$\begin{array}{c}{a}^n\left(t\right)F\left(t\right)\ge C{A}_0^p{A}_1{\displaystyle {\int }_{T_1}^t{a}^{n-c}\left(\tau \right){\tau }^{-ap-d}{\left(\tau -T_1\right)}^{bp}\text{d}\tau }\\ \ge C{A}_0^p{A}_1{a}^n\left(t\right){\displaystyle {\int }_{T_1}^t{\tau }^{\alpha c-ap-d}{\left(\tau -T_1\right)}^{bp}\text{d}\tau },\end{array}$

即

$F\left(t\right)\ge C{A}_0^p{A}_1{\displaystyle {\int }_{T_1}^t{\tau }^{\alpha c-ap-d}{\left(\tau -T_1\right)}^{bp}\text{d}\tau }\ge C\frac{A_0^p{A}_1}{bp+\alpha c+1}{t}^{-ap-d}{\left(t-T_1\right)}^{bp+\alpha c+1},$

基于以上的事实，我们定义序列 $a_j$ ， $b_j$ ， $D_j$ ，其中 $j=0,1,2,3,\cdots$ 。

由 $a_{j+1}=a_{j}p+d$ ， $b_{j+1}=b_{j}p+\alpha c+1$ ， $D_{j+1}=\frac{A_1{D}_j^p}{b_j+\alpha c+1}$ ，

其中 $a_0=a$ ； $b_0=b$ ； $D_0=A_0$ 。

解得

$a_j=p^j\left(a+\frac{d}{p-1}\right)-\frac{d}{p-1}$ ， $b_j=p^j\left(b+\frac{1+\alpha c}{p-1}\right)-\frac{1+\alpha c}{p-1}$ ， $D_{j+1}=\frac{A_1{D}_j^p}{b_{j+1}}\ge \frac{A_1{D}_j^p}{p^{j+1}\left(b+\frac{1+\alpha c}{p-1}\right)}=\frac{B{D}_j^p}{p^{j+1}}$ ，

所以

$\begin{array}{c}{D}_j\ge \frac{B{D}_{j-1}^p}{p^j}\ge \frac{B}{p^j}{\left(\frac{B{D}_{j-2}^p}{p^{j-1}}\right)}^p=\frac{B^{1+p}}{p^{j+p\left(j-1\right)}}{D}_{j-2}^{p^2}\\ \ge \frac{B^{p+1}}{p^{j+p\left(j-1\right)}}{\left(\frac{B{D}_{j-3}^p}{p^{j-2}}\right)}^{p^2}=\frac{B^{1+p+p^2}}{p^{j+p\left(j-1\right)+p^2\left(j-2\right)}}{D}_{j-3}^{p^3}\\ \ge \cdots \ge \frac{B^{1+p+p^2+\cdots +p^{j-1}}}{p^{j+p\left(j-1\right)+p^2\left(j-1\right)+\cdots +p^{j-1}}}{D}_0^{p^j}，\end{array}$

以及

$\begin{array}{c}\ln D_j\ge \ln B{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{j}{\sum }}{p}^k}-\ln p{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{j}{\sum }}k{p}^{j-k}}+p^j\ln D_0\\ =\frac{\ln B}{p-1}\left(p^j-1\right)-p^j{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{j}{\sum }}\frac{k}{p^k}\ln p+p^j\ln D_0},\end{array}$

这里 $B={\left(b+\frac{1+\alpha c}{p-1}\right)}^{-1}{A}_1$ 。

对上式取对数，我们可以得到：

$D_j\ge \exp \left(E{p}^j\right)$ ，

这里 $E=\frac{1}{p-1}\min \left(0,\ln B\right)-{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{k}{p^k}\ln p+\ln A_0}$ 。

所以

$F\left(t\right)\ge D_j{t}^{-a_j}{\left(t-T_1\right)}^{b_j}\ge t^{\frac{d}{p-1}}{\left(t-T_1\right)}_{}^{\frac{1+\alpha c}{p-1}}\exp \left[\left(E+\left(b+\frac{1+\alpha c}{p-1}\right)\ln \left(t-T_1\right)-\left(a+\frac{d}{p-1}\right)\ln t\right)p^j\right],$

其中 $t>T$ 。

又由于 $\left(b+\frac{1+\alpha c}{p-1}\right)-\left(a+\frac{d}{p-1}\right)=b-a+\frac{1+\alpha c-d}{p-1}>0$ ，通过假设的条件，选取足够大的t，可以找到一个正的 $\delta$ 满足如下：

$E-\left(a+\frac{d}{p-1}\right)\ln t+\left(b+\frac{1+\alpha c}{p-1}\right)\ln \left(t-T_1\right)\ge \delta >0$ ，

易知对于足够大的t，当 $j\to \infty$ 时 $F\left(t\right)\to \infty$ ，所以

$\begin{array}{l}\frac{1}{p-1}\min \left(0,\ln B\right)-{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{k}{p^k}\ln p+\ln A_0}-\left(a+\frac{d}{p-1}\right)\ln t+\left(b+\frac{1+\alpha c}{p-1}\right)\ln \left(t-T_1\right)\le 0\\ \frac{1}{p-1}\min \left(0,\ln B\right)-{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{k}{p^k}\ln p+\ln A_0}+C\ln t^{\frac{M}{p-1}}\le 0\\ \ln A_0+C\ln t^{\frac{M}{p-1}}\le C,\end{array}$

因此的到生命跨度T满足：

$T^{{}^{\frac{M}{p-1}}}\le C{A}_0^{-1}$ ，

其中 $M=\left(p-1\right)\left(b-a\right)+\alpha c+1-d>0$ ，C是独立A₁， $\alpha$ ，p以及c的常数。

即完成引理2.1的证明。

引理2.2 假设 $p>1$ ， $k\ge 0$ ， $b\ge 0$ ， $c\ge 0$ ， $d\ge 0$ ， $m\ge 0$ 以及

$M=\left(p-1\right)\left(-b+c\right)-m+2>0$ ，

其中 $T\ge T_1>T_0\ge 1$ ，如果 $F\in C^2\left(\left[T_0,T\right)\right)$ 满足下面三个条件：

i) $F\left(t\right)\ge A_0{a}^k\left(t\right)t^{-b}{\left(t-T_1\right)}^c$ ， $t\ge T_1$ ，

ii) $F^{″}\left(t\right)+n\frac{a^{\prime }\left(t\right)}{a(t)}{F}^{\prime }\left(t\right)\ge A_1{a}^d\left(t\right){\left(t+R\right)}^{-m}{\left|F\left(t\right)\right|}^p$ ， $t\ge T_0$ ，

iii) $F^{\prime }\left(T_0\right)>0$ ， $F\left(T_0\right)>0$ 。

其中A₀，A₁是正常数，使得T满足：

${\left(a\left(t\right)\right)}_{}^{k+\frac{d}{p-1}}{T}^{c-b+\frac{2-m}{p-1}}\le C{A}_0^{-1}$ ，

其中这里 $a\left(t\right)\le t^{-\alpha }$ ， $\alpha$ 为使该不等式成立的最大正数。

证明与引理2.1的证明相似，在假设(ii)的两端同乘以 $a^n\left(t\right)$ 得：

$F^{″}\left(t\right)a^n\left(t\right)+n\frac{a^{\prime }\left(t\right)}{a\left(t\right)}{F}^{\prime }\left(t\right)a^n\left(t\right)\ge A_1{a}^{n+d}\left(t\right){\left(t+R\right)}^{-m}{\left|F\left(t\right)\right|}^p$ ，

再对上述不等式在 $\left[T_0,t\right]$ 积分：

$F^{\prime }\left(t\right)a^n\left(t\right)-F^{\prime }\left(T_0\right)a^n\left(T_0\right)\ge A_1{\displaystyle {\int }_{T_0}^t{a}^{n+d}\left(s\right){\left(s+R\right)}^{-m}{\left|F\left(s\right)\right|}^p\text{d}s}\ge 0$

通过假设(iii)可知 $F^{\prime }\left(t\right)\ge 0$ 。即 $F\left(t\right)>F\left(T_1\right)$ 。

将(i)代入(ii)后，再在不等式两边同乘以 $a^n\left(t\right)$ 得：

$F^{″}\left(t\right)a^n\left(t\right)+n\frac{a^{\prime }\left(t\right)}{a\left(t\right)}{F}^{\prime }\left(t\right)a^n\left(t\right)\ge A_0^p{A}_1{a}^{n+d+kp}\left(t\right){\left(t+R\right)}^{-m}{t}^{-bp}{\left(t-T_1\right)}^{cp}$ ，

${\left\{F^{\prime }\left(t\right)a^n\left(t\right)\right\}}^{\prime }\ge A_0^p{A}_1{a}^{n+d+kp}\left(t\right){\left(t+R\right)}^{-m}{t}^{-bp}{\left(t-T_1\right)}^{cp}$ ，

同样对上述不等式在 $\left[T_1,t\right]$ 上积分：

$F^{\prime }\left(t\right)a^n\left(t\right)-F^{\prime }\left(T_1\right)a^n\left(T_1\right)\ge A_0^p{A}_1{\displaystyle {\int }_{T_1}^t{a}^{n+d+kp}\left(s\right){\left(s+R\right)}^{-m}{s}^{-bp}{\left(s-T_1\right)}^{cp}\text{d}s}$ ，

$F^{\prime }\left(t\right)a^n\left(t\right)-F^{\prime }\left(T_1\right)a^n\left(T_1\right)\ge A_0^p{A}_1{a}^{n+d+kp}\left(t\right){\displaystyle {\int }_{T_1}^t{\left(s+R\right)}^{-m}{s}^{-bp}{\left(s-T_1\right)}^{cp}\text{d}s}$ ，

又因为 $F^{\prime }\left(t\right)\ge 0$ ，所以

$\begin{array}{c}{F}^{\prime }\left(t\right)\ge A_0^p{A}_1{a}^{d+kp}\left(t\right){\displaystyle {\int }_{T_1}^t{\left(s+R\right)}^{-m}{s}^{-bp}{\left(s-T_1\right)}^{cp}\text{d}s}\\ \ge A_0^p{A}_1{a}^{d+kp}\left(t\right){\left(t+R\right)}^{-bp-m}{\displaystyle {\int }_{T_1}^t{\left(s-T_1\right)}^{cp}\text{d}s,}\end{array}$

对上述不等式再次在 $\left[T_1,t\right]$ 积分得：

$F\left(t\right)-F\left(T_1\right)\ge A_1{A}_0^p{a}^{d+kp}\left(t\right){\left(t+R\right)}^{-bp-m}{\displaystyle {\int }_{T_0}^t{\displaystyle {\int }_{T_1}^t{\left(s-T_1\right)}^{cp}\text{d}s\text{d}\tau }}$ ，

由假设iii) $F\left(T_0\right)>0$ ，即

$F\left(t\right)\ge C\frac{A_1{A}_0^p}{\left(cp+1\right)\left(cp+2\right)}{a}^{d+kp}\left(t\right){\left(t+R\right)}^{-m-bp}{\left(t-T_1\right)}^{cp+2}$ ，

基于以上的事实，我们定义序列 $k_j,b_j,c_j,D_j$ ， $j=0,1,2,3,\cdots$ ，

由 $k_{j+1}=k_{j}p+d,b_{j+1}=b_{j}p+m,c_{j+1}=c_{j}p+2$ 以及 $D_{j+1}=\frac{A_1{D}_j^p}{\left(cp+1\right)\left(cp+2\right)}$ ，

其中 $k_0=k$ ； $b_0=b$ ； $c_0=c$ ； $D_0=A_0$

可得：

$k_j=p^j\left(k+\frac{d}{p-1}\right)-\frac{d}{p-1}$ ， $b_j=p^j\left(b+\frac{m}{p-1}\right)-\frac{m}{p-1}$ ， $c_j=p^j\left(c+\frac{2}{p-1}\right)-\frac{2}{p-1}$ ，

$D_{j+1}=\frac{A_1{D}_j^p}{\left(c_{j}p+1\right)\left(c_{j}p+2\right)}\ge \frac{B{D}_j^p}{p^{2j}}$ ，

易得

$D_j\ge \frac{B{D}_{j-1}^p}{p^{2\left(j-1\right)}}\ge \cdots \ge \frac{B^{1+p+\cdots +p^{j-1}}}{p^{2\left(j-1+p\left(j-2\right)+\cdots +p^{j-1}\right)}}{D}_0^{p^j}$ ，

$\ln D_j\ge \frac{\ln B}{p-1}\left(p^j-1\right)-2p^j{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{j}{\sum }}\frac{k}{p^k}\ln p+p^j\ln D}$ ，

这里 $B={\left(cp+\frac{2p}{p-1}\right)}^{-2}{A}_1$ 。

当j足够大时，以及 $E=\frac{1}{p-1}\min \left(0,\ln B\right)-{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{k}{p^k}\ln p+\ln A_0}$ 。

所以

$\begin{array}{c}F\left(t\right)\ge {\left(a\left(t\right)\right)}_{}^{-\frac{d}{p-1}}{\left(t+R\right)}_{}^{\frac{m}{p-1}}{\left(t-T_1\right)}_{}^{-\frac{2}{p-1}}\\ \times \exp \left[\left\{E+\left(k+\frac{d}{p-1}\right)\ln a\left(t\right)-\left(b+\frac{m}{p-1}\right)\ln \left(t+R\right)+\left(c+\frac{2}{p-1}\right)\ln \left(t-T_1\right)\right\}{p}^j\right],\end{array}$

其中 $t>T$ 。

又由于

$M=\left(p-1\right)\left(-\alpha k-b+c\right)-\alpha d>0$ ，

通过假设的条件，选取足够大的t，可以找到一个正的 $\delta$ 满足如下：

$E+\left(k+\frac{d}{p-1}\right)\ln a\left(t\right)-\left(b+\frac{m}{p-1}\right)\ln \left(t-R\right)+\left(c+\frac{2}{p-1}\right)\ln \left(t-T_1\right)\ge \delta >0$ ，

易知所以对于足够大的t，当 $j\to \infty$ 时 $F\left(t\right)\to \infty$ ，所以

$E+\left(k+\frac{d}{p-1}\right)\ln a\left(t\right)-\left(b+\frac{m}{p-1}\right)\ln \left(t+R\right)+\left(c+\frac{2}{p-1}\right)\ln \left(t-T_1\right)\le 0$ ，

$\ln A_0+\left(k+\frac{d}{p-1}\right)\ln a\left(t\right)-\left(b+\frac{m}{p-1}\right)\ln \left(t+R\right)+\left(c+\frac{2}{p-1}\right)\ln \left(t-T_1\right)\le C$ ，

对上述不等式两端取指数得：

$\begin{array}{l}{A}_{0}a{\left(t\right)}_{}^{k+\frac{d}{p-1}}{\left(t+R\right)}_{}^{-b-\frac{m}{p-1}}{\left(t-T_1\right)}_{}^{c+\frac{2}{p-1}}\le C\\ a{\left(t\right)}_{}^{k+\frac{d}{p-1}}{\left(t+R\right)}_{}^{-b-\frac{m}{p-1}}{\left(t-T_1\right)}_{}^{c+\frac{2}{p-1}}\le C{A}_0^{-1}\\ a{\left(t\right)}_{}^{k+\frac{d}{p-1}}{t}^{-b+c+\frac{m+2}{p-1}}\le C{A}_0^{-1},\end{array}$

因此得到T满足

$a{\left(T\right)}_{}^{k+\frac{d}{p-1}}{T}^{-b+c+\frac{m+2}{p-1}}\le C{A}_0^{-1}$ ，

其中 $a\left(t\right)\le t^{-\alpha }$ ，即证。

引理2.3 Poincaré不等式：对于任意的 $f\in C_0^1\left(\Omega \right)$ ，存在常数 $C=C\left(\Omega \right)$ ，使得

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|f\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}\le C{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla f\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}$ 。

4. 定理的证明

通过应用上述引理，下面求三类半线性波方程FLRW时空中解的爆破情况。

4.1. 定理1.1的证明

首先令 $F\left(t\right)={\displaystyle \int u_t\left(t,x\right)\text{d}x}$ ，通过 [12] 可知该柯西问题：

$\Omega :\mathrm{supp}u\left(t,\cdot \right)\subset \left\{\left|x\right|\le A\left(t\right)+R\right\}$ ，

又由于

$A\left(t\right)={\displaystyle {\int }_1^t\frac{1}{a\left(s\right)}\text{d}s}\le \frac{t}{a\left(t\right)}$ (9)

对于(4)的柯西问题，同时对式子两边在 $R^n$ 上积分以及通过Hölder不等式得：

$F^{\prime }\left(t\right)+n\frac{a^{\prime }\left(t\right)}{a\left(t\right)}F\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_t\right|}^p\text{d}x}\ge \frac{{\left|F\left(t\right)\right|}^p}{{\left(A\left(t\right)+R\right)}^{n\left(p-1\right)}}$ (10)

对不等式(10)左边乘以 $a^n\left(t\right)$ 得：

$\left(F^{\prime }\left(t\right)+n\frac{a^{\prime }\left(t\right)}{a\left(t\right)}\right)a^n\left(t\right)={\left\{a^n\left(t\right)F\left(t\right)\right\}}^{\prime }\ge 0$ ，

即

$a^n\left(t\right)F\left(t\right)-a^n\left(1\right)F\left(1\right)\ge 0$ ，

我们得到

$F\left(t\right)\ge \frac{a^n\left(1\right)F\left(1\right)}{a^n\left(t\right)}=\frac{C\epsilon }{a^n\left(t\right)}$ ，

其中 $\epsilon >0$ 。

对于(10)中

$\begin{array}{c}{\left(A\left(t\right)+R\right)}^{-n\left(p-1\right)}\ge {\left(\frac{t}{a\left(t\right)}+R\right)}^{-n\left(p-1\right)}=\frac{{\left(a\left(t\right)\right)}^{n\left(p-1\right)}}{{\left(t+Ra\left(t\right)\right)}^{n\left(p-1\right)}}\\ \ge C\frac{{\left(a\left(t\right)\right)}^{n\left(p-1\right)}}{{\left(t+R\right)}^{n\left(p-1\right)}},\end{array}$

因此

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_t\right|}^p\text{d}x}\ge C{\epsilon }^p\frac{{\left(a\left(t\right)\right)}^{-n}}{{\left(t+R\right)}^{n\left(p-1\right)}}=C{\epsilon }^p{\left(a\left(t\right)\right)}^{-n}{\left(t+R\right)}^{-n\left(p-1\right)}$ (11)

$F^{\prime }\left(t\right)+n\frac{a^{\prime }\left(t\right)}{a\left(t\right)}F\left(t\right)\ge \frac{a^{n\left(p-1\right)}\left(t\right)}{{\left(t+R\right)}^{n\left(p-1\right)}}{\left|F\left(t\right)\right|}^p$ ，

对于(10)式两边同时乘以 $a^n\left(t\right)$ ，并在 $\left[T_1,t\right]$ 上积分得：

$a^n\left(t\right)F\left(t\right)-a^n\left(T_1\right)F\left(T_1\right)={\displaystyle {\int }_{T_1}^t{\displaystyle {\int }_{\Omega }{a}^n\left(s\right)}{\left|u_s\right|}^p\text{d}x\text{d}s}$ ，

将(10)式代入(11)得

$\begin{array}{c}F\left(t\right)\ge C{\epsilon }^p{a}^{-n}\left(t\right){\displaystyle {\int }_{T_1}^t{\left(s+R\right)}^{-n\left(p-1\right)}\text{d}s}\\ \ge C{\epsilon }^p{t}^{-n\left(p-1\right)}{\left(t-T_1\right)}^{1+\alpha n},\end{array}$

我们最后得

$F\left(t\right)\ge C{\epsilon }^p{t}^{-n\left(p-1\right)}{\left(t-T_1\right)}^{1+\alpha n}$ ，

这里 $A_0=\epsilon$ ； $a=n\left(p-1\right)$ ； $b=1+\alpha n$ ； $c=n$ 以及 $d=n\left(p-1\right)$ 。

又由于 $M=\left(1+\alpha n-np+n\right)p>0$ ，我们得到柯西问题的生命跨度满足：

$T_{\epsilon }^{\left(1+\alpha n-np+n\right)p}\le C{\epsilon }^{-\left(p-1\right)}$ ，

定理得证。

对于定理1.2及定理1.3的情况我们利用相同的方法进行证明。

4.2. 定理1.2的证明

对于柯西问题(5)的生命跨度，首先引入

$F\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }u\left(t,x\right)\text{d}x}$ ，

易得

$F^{″}\left(t\right)+n\frac{a^{\prime }\left(t\right)}{a\left(t\right)}{F}^{\prime }\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^p\text{d}x}$ (12)

上式利用Hölder不等式得：

$F^{″}\left(t\right)+n\frac{a^{\prime }\left(t\right)}{a\left(t\right)}{F}^{\prime }\left(t\right)\ge C{\left(a\left(t\right)\right)}^{n\left(p-1\right)}{\left(t+R\right)}^{-n\left(p-1\right)}{\left|F\left(t\right)\right|}^p$ (13)

由于 ${\left(a^n\left(t\right)F^{\prime }\left(t\right)\right)}^{\prime }=a^n\left(t\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^p\text{d}x}\ge 0$ ，对不等式(13)左边积分可得：

$a^n\left(t\right)F^{\prime }\left(t\right)-a^n\left(1\right)F^{\prime }\left(1\right)\ge 0$ ，

所以 $F^{\prime }\left(t\right)>0$ ，再对上述不等式在 $\left[1,t\right]$ 积分得：

$F\left(t\right)\ge {\displaystyle {\int }_1^t\frac{a^n\left(1\right)F^{\prime }\left(1\right)}{a^n\left(s\right)}\text{d}s}+F\left(1\right)\ge F^{\prime }\left(1\right)t=C\epsilon t$ (14)

这里 $\epsilon >0$ 是独立于C和t的常数，在不等式(13)两边同乘以 $a{\left(t\right)}^n$ 再在 $\left[T_1,t\right]$ 积分得：

$a^n\left(t\right)F^{\prime }\left(t\right)\ge C{\displaystyle {\int }_{T_1}^t{a}^{np}\left(s\right){\left(s+R\right)}^{-n\left(p-1\right)}{\left|F\left(s\right)\right|}^p\text{d}s}$ ，

$F^{\prime }\left(t\right)\ge C{a}^{-n}\left(t\right){\displaystyle {\int }_{T_1}^t{a}^{np}\left(s\right){\left(s+R\right)}^{-n\left(p-1\right)}{\left|F\left(s\right)\right|}^p\text{d}s}$ ，

结合(9)，(14)再次在 $\left[T_1,t\right]$ 积分得：

$a^n\left(t\right)F^{\prime }\left(t\right)\ge C{\displaystyle {\int }_{T_1}^t{a}^{np}\left(s\right){\left(s+R\right)}^{-n\left(p-1\right)}{\left|F\left(s\right)\right|}^p\text{d}s}$ ，

$\begin{array}{c}F\left(t\right)\ge C{\displaystyle {\int }_{T_1}^t{a}^{-n}\left(\tau \right)}{\displaystyle {\int }_{T_1}^{\tau }{a}^{np}\left(s\right){\left(s+R\right)}^{-n\left(p-1\right)}{\left|F\left(s\right)\right|}^p\text{d}s\text{d}\tau }\\ \ge C{\epsilon }^p{a}^{np}\left(t\right)t^{-n\left(p-1\right)}{\displaystyle {\int }_{T_1}^t{\displaystyle {\int }_{T_1}^{\tau }{\tau }^{\alpha n+p}}}\text{d}s\text{d}\tau \\ \ge C{\epsilon }^p{a}^{np}\left(t\right)t^{-n\left(p-1\right)}{\left(t-T_1\right)}^{2+p+\alpha n},\end{array}$