Advances in Applied Mathematics
Vol.06 No.05(2017), Article ID:21686,7
pages
10.12677/AAM.2017.65081
Existence of Local Solutions to Perturbed Einstein-Yang/Mills Equations
Xu Wang
Department of Mathematics, Yunnan Minzu University, Kunming Yunnan
Received: Jul. 24th, 2017; accepted: Aug. 9th, 2017; published: Aug. 14th, 2017
ABSTRACT
In this paper, we will give a rigorous proof of existence of local solutions to perturbed Einstein- Yang/Mills equations with gauge group SU(2), here we require the existence of zero point for A, and we consider the area in Holder spaces.
Keywords:Einstein-Yang/Mills Equations, Perturbed Term, Holder Spaces, Existence of Solutions
带扰动的Einstein-Yang/Mills方程局部解的存在性
王旭
云南民族大学,数学与计算机科学学院,云南 昆明
收稿日期:2017年7月24日;录用日期:2017年8月9日;发布日期:2017年8月14日
摘 要
本文严格地证明了带扰动的Einstein-Yang/Mills方程在Holder空间中局部解的存在性,这里要求A具有零点。
关键词 :Einstein-Yang/Mills方程,扰动项,Holder空间,解的存在性
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
Yang/Mills理论,是现代规范场理论的基础。由杨振宁和米尔斯在1954年首先提出来,通过后来许多学者于1960年到1970年代引入对称性自发破缺与渐进自由的观念,发展成今天的标准模型。杨–米尔斯理论作为克雷数学研究所提出的新前年七大问题之一,在当今物理界和数学界都是热门的问题,本文讨论静态球对称Einstein-Yang/Mills方程在Holder空间中局部解的存在性,这里Einstein度量 [1] :
(1.1)
SU(2)Yang/Mills曲率-2形式 [2] :
(1.2)
这里A,C和w都是关于r的函数,由(1.1)和(1.2),得静态球对称SU(2)EYM方程为 [3] [4] :
(1.3)
(1.4)
和
(1.5)
由于(1.3)和(1.4)与C无关,所以本文我们主要的工作是耦合方程(1.3),(1.4)进行分析。
为了使讨论更具有一般性,对原方程加入扰动项,使得(1.4)变为:
(1.6)
这里的在1附近扰动。
2. 准备知识
为了使我们讨论方便,定义函数:
(2.1)
这里。
设。则由(1.3),(1.6)得
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
设,由泰勒展开并引入算子B有,解得,得
(2.6)
3. 局部解的存在唯一性
定理:若,则对于带扰动的静态球对称EYM方程(1.3)和(1.6),在区域上,方程解具有存在唯一性。
证明:取,我们考虑在Holder空间下的范数 [5] :
并定义集合:
因为集合是上的闭集,易得是完备的度量空间 [5] ,同理,和也是完备的度量空间。定义X为
这里,定义度量 [5] :
若,由于,则:
同理得
再定义映射为:,这里
下面我们证明:对于,,s.t,且T是压缩映射 [5] 。这里表示半径为的球。用泰勒展开可得:
易得球上的点可表示为:
由于,显然当充分小时,,即T为自映射得证。
接下来我们证明T是压缩映射:
先考虑,令;则
则为压缩映射得证。接下来证明也是压缩映射:
其中,对上式用推广的Holder不等式 [6] 可得
又因为当充分小时,且,易得,即有
,于是为压缩映射得证 [5] 。
下面证明也是压缩映射。实际上
再由(2.2)可得:
为了计算方便,我们引入算子,并定义,则上式化简为:
则
(3.1)
由(2.6)有
则当时,有。对于(3.1)最右边部分,令
(3.2)
其中
则当时,有。由于均与无关,故,则对于(3.2)式最后一项,我们有
(3.3)
为了表示方便,令
则
(3.4)
其中,则由推广的Holder不等式有 [6] :
则当时,有。再考虑(3.4)最右式,为表示方便令,则
再由推广的Holder不等式 [6] 得
这里,有界,当时,有。又因为,故,,故, (当时) [6] 。于是我们可取,s.t。则
这里,故可得(3.3)左式为:
故有,于是为压缩映射得证。
于是,在区域上,由Banach不动点定理,可得T存在唯一不动点 [5] 。
文章引用
王旭. 带扰动的Einstein-Yang/Mills方程局部解的存在性
Existence of Local Solutions to Perturbed Einstein-Yang/Mills Equations[J]. 应用数学进展, 2017, 06(05): 685-691. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.65081
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