ABSTRACT

The matrix representations of Sturm-Liouville problems with eigenparameter-dependent boundary conditions on time scales are investigated. By partitioning the time scales such that the coefficients of Sturm-Liouville equation satisfy some certain conditions on corresponding time scales, the equivalences between Sturm-Liouville problems and a certain kind of matrix eigenvalue problems are obtained.

Keywords:Sturm-Liouville Problems, Time Scales, Eigenparameter-Dependent Boundary Conditions, Matrix Representations

时标上带有谱参数边界条件的Sturm-Liouville问题的矩阵表示

刘娜娜，敖继军^*，王娟

内蒙古工业大学理学院，内蒙古 呼和浩特

收稿日期：2018年1月19日；录用日期：2018年2月4日；发布日期：2018年2月24日

摘 要

本文讨论了时标上带有谱参数边界条件的Sturm-Liouville问题的矩阵表示。通过分割时标T，使得在对应时标上Sturm-Liouville问题的系数满足特定的条件，得出了所研究的Sturm-Liouville问题与一类矩阵特征值问题之间的等价关系。

关键词 :Sturm-Liouville问题，时标，谱参数边界条件，矩阵表示

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1. 引言

近年来，边界条件中含有谱参数的Sturm-Liouville (S-L)问题一直是数学物理领域中研究的热点。一些物理问题例如热传导问题和边界在滑竿上的弦振动问题等，由于边界条件中含有谱参数，边界条件随着谱参数的变化而变化，其特征值也会随着谱参数的变化而变化。学者们从其自共轭性的刻画，特征值的分布，特征函数系的完备性以及反问题等诸多方面考虑，在该领域已经形成了比较系统的理论 [1] [2] [3] 。

目前，许多学者对二阶S-L问题以及高阶边值问题的有限谱与矩阵表示问题进行了讨论 [4] [5] [6] [7] [8] ，这些结论不仅证明了文献 [9] 中Atkinson的猜想，同时也说明了具有有限谱的S-L问题与矩阵特征值问题之间可以相互转化。

然而，1988年，德国数学家Stefan Hilger首次提出了时标的概念，得到了一种能够将离散和连续两者结合起来，将微分方程和差分方程结合起来的理论新框架。由于时标在数学，物理等领域中的广泛应用，随后又有一些学者对时标上的S-L问题从多方面进行了一系列研究 [10] [11] [12] ，而对于时标上边界条件含有谱参数的S-L问题的矩阵表示还没有相应的结论。因此，本文利用文献 [11] 的方法，讨论了时标上带有谱参数边界条件的S-L问题的矩阵表示，在特定条件下得出两类问题之间的等价关系。

本文结构如下：在引言之后，第二部分给出了时标 ${\rm T}=\left[a,b\right]\cup \left\{c\right\}\cup \left[d,e\right]$ 上带有耦合型谱参数边界条件的矩阵表示的结论并给与了证明，同时得出带有分离型谱参数边界条件下的相应结论，第三部分得出了时标上矩阵特征值问题的带有谱参数边界条件的S-L问题表示。

主要讨论时标上带有谱参数边界条件的Atkinson类型的S-L问题与矩阵特征值问题

$DX=\lambda WX$ (1)

之间的等价关系。

考虑如下S-L方程

$\begin{array}{l}-{\left(p{y}^{\Delta }\right)}^{\Delta }+qy{}^{\sigma }=\lambda w{y}^{\sigma },\\ {\rm T}=\left[a,b\right]\cup \left\{c\right\}\cup \left[d,e\right],-\infty <a<b<c<d<e<+\infty ,\end{array}$ (2)

$\lambda \in C,r=\frac{1}{p},q,w\in C_{prd}\left({\rm T}\right),$ (3)

带有一般耦合型谱参数的边界条件

$A_{\lambda }Y\left(a\right)+B_{\lambda }Y\left(e\right)=0,Y=\left(\begin{array}{c}y\\ p{y}^{\Delta }\end{array}\right),$ (4)

其中

$A_{\lambda }=\left(\begin{array}{cc}\lambda {{\alpha }^{\prime }}_1+{\alpha }_1& \lambda {{\alpha }^{\prime }}_2+{\alpha }_2\\ \lambda {{\beta }^{\prime }}_1+{\beta }_1& \lambda {{\beta }^{\prime }}_2+{\beta }_2\end{array}\right),B_{\lambda }=\left(\begin{array}{cc}\lambda {{\alpha }^{\prime }}_3+{\alpha }_3& \lambda {{\alpha }^{\prime }}_4+{\alpha }_4\\ \lambda {{\beta }^{\prime }}_3+{\beta }_3& \lambda {{\beta }^{\prime }}_4+{\beta }_4\end{array}\right),$

且 ${\alpha }_i,{{\alpha }^{\prime }}_i,{\beta }_i,{{\beta }^{\prime }}_i\in R,i=1,2,3,4$ ，满足条件

$\begin{array}{l}rank\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& {\alpha }_3& {\alpha }_4\\ {\beta }_1& {\beta }_2& {\beta }_3& {\beta }_4\end{array}\right)=2,rank\left(\begin{array}{cccc}{{\alpha }^{\prime }}_1& {{\alpha }^{\prime }}_2& {{\alpha }^{\prime }}_3& {{\alpha }^{\prime }}_4\\ {{\beta }^{\prime }}_1& {{\beta }^{\prime }}_2& {{\beta }^{\prime }}_3& {{\beta }^{\prime }}_4\end{array}\right)=2,\\ rank\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& {\alpha }_3& {\alpha }_4\\ {{\alpha }^{\prime }}_1& {{\alpha }^{\prime }}_2& {{\alpha }^{\prime }}_3& {{\alpha }^{\prime }}_4\end{array}\right)=2,rank\left(\begin{array}{cccc}{\beta }_1& {\beta }_2& {\beta }_3& {\beta }_4\\ {{\beta }^{\prime }}_1& {{\beta }^{\prime }}_2& {{\beta }^{\prime }}_3& {{\beta }^{\prime }}_4\end{array}\right)=2.\end{array}$

设 $u=y,v=p{y}^{\Delta }$ ，则方程(2)可以表示为

$u^{\Delta }=rv,v^{\Delta }=\left(q-\lambda w\right)u^{\sigma },t\in T.$ (5)

以下是本文用到的有关时标的基本概念：

定义1.1 [11] 时标 $T$ 为 $R$ 中的一个非空闭子集。 $\forall t\in T$ ，定义前跳算子 $\sigma$ 为 $\sigma :T\to T$ ， $\sigma \left(t\right)=\inf \left\{s\in T:s>t\right\}$ ；后跳算子 $\rho$ 为 $\rho :T\to T,\rho \left(t\right)=\sup \left\{s\in T,s<t\right\}$ 。其中， $\inf \varnothing =\sup T$ ， $\sup \varnothing =\inf T$ 。

定义1.2 [11] $\forall t\in T$ ，若 $t<\sup T$ ，且 $\sigma \left(t\right)=t$ ，则 $t\in T$ 称为右稠密(rd)的；若 $t>\inf T$ ，且 $\rho \left(t\right)=t$ ，则称 $t\in T$ 为左稠密(ld)的；若 $t<\sigma \left(t\right)$ ，则称 $t\in T$ 为右分散(rs)的；若 $t>\rho \left(t\right)$ ，则称 $t\in T$ 为左分散(ls)的。步长函数 $\mu :T\to \left[0,\infty \right),\mu \left(t\right):=\sigma \left(t\right)-t$ 。

定义1.3 [11] 记 $T^{\kappa }=T\backslash \left\{b\right\}$ ， $b$ 为 $T$ 的最大值且为左分散的，否则 $T^{\kappa }=T$ 。设函数 $f:T\to C,\forall t\in T^{\kappa }$ ，

$f^{\Delta }\left(t\right)=\{\begin{array}{l}\underset{s\to t}{\lim }\frac{f\left(s\right)-f\left(t\right)}{s-t},\mu \left(t\right)=0,\\ \frac{f^{\sigma }\left(t\right)-t}{\mu \left(t\right)},\mu \left(t\right)>0,\end{array}$

其中， $f^{\sigma }\left(t\right)=f\left(\sigma \left(t\right)\right)$ 。

定义1.4 [11] 函数 $f:T\to C$ 为rd连续的，是指它在左稠密的点处极限存在，右稠密的点处连续，rd连续的函数记为 $C_{rd}\left(T\right)$ ；函数 $f:T\to C$ 为prd连续的，是指它在左稠密的点处极限存在，在除有限个右稠密的点处均为连续的，prd连续的函数记为 $C_{prd}\left(T\right)$ 。

若 $F^{\Delta }\left(t\right)=f\left(t\right)$ ， $t\in T^{\kappa }$ ，则在时标 ${\rm T}$ 上定义 $f$ 的积分

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(\tau \right)\Delta \tau }=F\left(b\right)-F\left(a\right),a,b\in T.$

2. 时标上带有谱参数边界条件的Sturm-Liouville问题的矩阵表示

定义2.1 时标上的S-L方程称为是Atkinson类型的，如果对于任意的正整数 $m\ge 1,n\ge 1$ 存在对时标 $T$ 的分割：

$\begin{array}{l}a=a_0<a_1<a_2<\cdots <a_{2m}<a_{2m+1}=b,\\ d=b_0<b_1<b_2<\cdots <b_{2n}<b_{2n+1}=e,\end{array}$ (6)

使得

$\begin{array}{l}r=\frac{1}{p}=0,t\in \left(a_{2k},a_{2k+1}\right),{\displaystyle {\int }_{a_{2k}}^{a_{2k+1}}w}\ne 0,k=0,1,\cdots ,m,\\ r=\frac{1}{p}=0,t\in \left(b_{2i},b_{2i+1}\right),{\displaystyle {\int }_{b_{2i}}^{b_{2i+1}}w}\ne 0,i=0,1,\cdots ,n,\end{array}$ (7)

以及

$\begin{array}{l}q=0=w,t\in \left(a_{2k+1},a_{2k+2}\right),{\displaystyle {\int }_{a_{2k+1}}^{a_{2k+2}}r}\ne 0,k=0,1,\cdots ,m-1,\\ q=0=w,t\in \left(b_{2i+1},b_{2i+2}\right),{\displaystyle {\int }_{b_{2i+1}}^{b_{2\text{i}+\text{2}}}r}\ne 0,i=0,1,\cdots ,n-1.\end{array}$ (8)

定义2.2 时标上带有谱参数边界条件的S-L问题(2)，(3)为Atkinson类型的，如果方程(2)是Atkinson类型的。一个Atkinson类型的含有谱参数边界条件的S-L问题称为与矩阵特征值问题是等价的，如果它们有相同的特征值。不妨设

$\begin{array}{l}{p}_k={\left({\displaystyle {\int }_{a_{2k-1}}^{a_{2k}}r}\right)}^{-1},k=1,2,\cdots ,m;q_k={\displaystyle {\int }_{a_{2k}}^{a_{2k+1}}q},w_k={\displaystyle {\int }_{a_{2k}}^{a_{2k+1}}w},k=0,1,\cdots ,m;\\ {\tilde{p}}_i={\left({\displaystyle {\int }_{b_{2i-1}}^{b_{2i}}r}\right)}^{-1},i=1,2,\cdots ,n;{\tilde{q}}_i={\displaystyle {\int }_{b_{2i}}^{b_{2i+1}}q},{\tilde{w}}_i={\displaystyle {\int }_{b_{2i}}^{b_{2i+1}}w},i=0,1,\cdots ,n.\\ p_{m+1}=p\left(b\right),{\tilde{p}}_{n+1}=p\left(e\right),q_{m+1}=q\left(b\right),{\tilde{q}}_{n+1}=q\left(e\right),w_{m+1}=w\left(b\right),\\ {\tilde{w}}_{n+1}=w\left(e\right),\widehat{p}=p\left(c\right),\widehat{q}=q\left(c\right),\widehat{w}=w\left(c\right).\end{array}$ (9)

由(7)，(8)可知对于(5)的任何解 $u$ 和 $v$ ， $u$ 在 $r$ 恒等于零的子区间上为常数，而 $v$ 在 $q$ 和 $w$ 恒等于零的子区间上为常数。由此可令：

$u_k=u\left(t\right),t\in \left[a_{2k},a_{2k+1}\right],k=0,1,\cdots ,m-1,u_m=u\left(t\right),t\in \left[a_{2m},a_{2m+1}\right),$

$\widehat{u}=u\left(c\right),{\tilde{u}}_0=u\left(t\right),t\in \left(b_0,b_1\right],{\tilde{u}}_i=u\left(t\right),t\in \left[b_{2i},b_{2i+1}\right],i=1,2,\cdots ,n.$ (10)

$v_k=v\left(t\right),t\in \left[a_{2k-1},a_{2k}\right],k=1,\cdots ,m,{\tilde{v}}_i=v\left(t\right),t\in \left[b_{2i-1},b_{2i}\right],i=1,\cdots ,n.$

并设

$\begin{array}{l}{v}_0=v\left(a_0\right)=v\left(a\right),v_{m+1}=v\left(a_{2m+1}\right)=v\left(b\right),\\ \widehat{v}=v\left(c\right),{\tilde{v}}_0=v\left(b_0\right)=v\left(d\right),{\tilde{v}}_{n+1}=v\left(b_{2n+1}\right)=v\left(e\right).\end{array}$ (11)

引理2.3 对方程(5)的任何一组解 $u,v$ 有

$p_k\left(u_k-u_{k-1}\right)=v_k,k=1,2,\cdots ,m,$ (12)

$v_{k+1}-v_k=u_k\left(q_k-\lambda w_k\right),k=0,1,\cdots ,m,$ (13)

${\tilde{v}}_0-\widehat{v}={\tilde{u}}_0\left(\widehat{q}-\lambda \widehat{w}\right)\left(d-c\right),$ (14)

${\tilde{p}}_i\left({\tilde{u}}_i-{\tilde{u}}_{i-1}\right)={\tilde{v}}_i,i=1,2,\cdots ,n,$ (15)

${\tilde{v}}_{i+1}-{\tilde{v}}_i={\tilde{u}}_i\left({\tilde{q}}_i-\lambda {\tilde{w}}_i\right),i=0,1,\cdots ,n.$ (16)

反之，对于系统(12)~(16)的任一组解 $u_k,k=0,1,\cdots ,m$ ， $v_k,k=0,1,\cdots ,m+1$ 和 ${\tilde{u}}_i,i=0,1,\cdots ,n$ ， ${\tilde{v}}_i,i=0,1,\cdots ,n+1$ ， $\widehat{u},\widehat{v}$ ，存在方程组(5)的唯一解 $u\left(t\right)$ 和 $v\left(t\right)$ 满足(10)和(11)。

证明 证明可参考 [5] 。■

下面讨论时标上带有耦合型谱参数边界条件(4)的S-L方程的矩阵表示。

定理2.4 设S-L方程(2)满足带有耦合型谱参数的边界条件(4)，定义 $\left(m+n+5\right)\times \left(m+n+5\right)$ 矩阵

(17)

和对角矩阵

$Q=diag\left(0,q_0,q_1,\cdots ,q_m,\left(c-b\right)q_{m+1},\left(d-c\right)\widehat{q}+{\tilde{q}}_0,{\tilde{q}}_1,\cdots ,{\tilde{q}}_n,0\right)$ (18)

以及矩阵

$W=\left(\begin{array}{cccccccccc}{{\alpha }^{\prime }}_2& {{\alpha }^{\prime }}_1& & & & & & & {{\alpha }^{\prime }}_3& {{\alpha }^{\prime }}_4\\ & w_0& & & & & & & & \\ & & \ddots & & & & & & & \\ & & & w_m& & & & & & \\ & & & & \left(c-b\right)w_{m+1}& & & & & \\ & & & & & \left(d-c\right)\widehat{w}+{\tilde{w}}_0& & & & \\ & & & & & & {\tilde{w}}_1& & & \\ & & & & & & & \ddots & & \\ & & & & & & & & {\tilde{w}}_n& \\ {{\beta }^{\prime }}_2& {{\beta }^{\prime }}_1& & & & & & & {{\beta }^{\prime }}_3& {{\beta }^{\prime }}_4\end{array}\right).$ (19)

则带有谱参数边界条件的S-L问题(2)~(4)与矩阵特征值问题

$\left(P+Q\right)U=\lambda WU$ (20)

等价，其中 $U={\left[v_0,u_0,u_1,\cdots ,u_m,\widehat{u},{\tilde{u}}_0,\cdots ,{\tilde{u}}_n,{\tilde{v}}_{n+1}\right]}^{\text{T}}$ 。此外，同一特征值的带有谱参数边界条件的S-L问题的特征函数 $u\left(t\right)$ 与矩阵特征值问题(20)的特征向量 $U$ 之间存在关系式：

$u\left(t\right)=u_k,t\in \left[a_{2k},a_{2k+1}\right],k=0,\cdots ,m-1,$

$u\left(t\right)=u_m,t\in \left[a_{2m},a_{2m+1}\right),u\left(t\right)={\tilde{u}}_0,t\in \left(b_0,b_1\right],$

$u\left(t\right)={\tilde{u}}_i,t\in \left[b_{2i},b_{2i+1}\right],i=1,2,\cdots ,n,u\left(c\right)=\widehat{u}.$

证明 首先，系统(12)~(16)与以下系统等价：

$p_1\left(u_1-u_0\right)-v_0=u_0\left(q_0-\lambda w_0\right),$ (21)

$p_{k+1}\left(u_{k+1}-u_k\right)-p_k\left(u_k-u_{k-1}\right)=u_k\left(q_k-\lambda w_k\right),k=1,2,\cdots ,m-1,$ (22)

$v_{m+1}-p_m\left(u_m-u_{m-1}\right)=u_m\left(q_m-\lambda w_m\right),$ (23)

$\widehat{p}\left({\tilde{u}}_0-\widehat{u}\right)-p_{m+1}\left(\widehat{u}-u_m\right)={\left(c-b\right)}^2\left(d-c\right)\widehat{u}\left(q_{m+1}-\lambda w_{m+1}\right),$ (24)

${\tilde{p}}_1\left({\tilde{u}}_1-{\tilde{u}}_0\right)-{\tilde{v}}_0={\tilde{u}}_0\left({\tilde{q}}_0-\lambda {\tilde{w}}_0\right),$ (25)

${\tilde{p}}_{i+1}\left({\tilde{u}}_{i+1}+{\tilde{u}}_i\right)-{\tilde{p}}_i\left({\tilde{u}}_i-{\tilde{u}}_{i-1}\right)={\tilde{u}}_i\left({\tilde{q}}_i-\lambda {\tilde{w}}_i\right),i=1,2,\cdots ,n-1,$ (26)

${\tilde{v}}_{n+1}-{\tilde{p}}_n\left({\tilde{u}}_n-{\tilde{u}}_{n-1}\right)={\tilde{u}}_n\left({\tilde{q}}_n-\lambda {\tilde{w}}_n\right).$ (27)

事实上，若假设 $u_k,k=0,1,2,\cdots ,m$ 和 $v_k,k=0,1,2,\cdots ,m+1$ 是系统(12)，(13)的解。则(21)~(23)可由(12)，(13)得到。同理，(25)~(27)可由(15)，(16)通过假设 ${\tilde{u}}_i,i=0,1,\cdots ,n$ 和 ${\tilde{v}}_i,i=0,1,2,\cdots ,n+1$ 为系统(15)，(16)的一组解而得到。(24)可由(14)通过假设 $\widehat{u},\widehat{v}$ 为系统(14)的解以及文献 [11] 而得到。另一方面，若设 $u_k,k=0,1,\cdots ,m$ 是系统(21)~(23)的一组解。则 $v_0$ 和 $v_{m+1}$ 可分别由(21)和(23)得出。再令 $v_k,k=1,2,\cdots ,m$ 是由(12)所定义。则利用(21)并反复利用(22)进行逐步推导可得到(13)，同理可得(15)，(16)。因此由引理2.3，方程(5)的任何解，从而也是方程(2)的解，被系统(21)~(27)的解唯一决定。由边界条件(4)，有

$\begin{array}{l}\left(\lambda {{\alpha }^{\prime }}_1+{\alpha }_1\right)u_0+\left(\lambda {{\alpha }^{\prime }}_2+{\alpha }_2\right)v_0+\left(\lambda {{\alpha }^{\prime }}_3+{\alpha }_3\right){\tilde{u}}_n+\left(\lambda {{\alpha }^{\prime }}_4+{\alpha }_4\right){\tilde{v}}_{n+1}=0,\\ \left(\lambda {{\beta }^{\prime }}_1+{\beta }_1\right)u_0+\left(\lambda {{\beta }^{\prime }}_2+{\beta }_2\right)v_0+\left(\lambda {{\beta }^{\prime }}_3+{\beta }_3\right){\tilde{u}}_n+\left(\lambda {{\beta }^{\prime }}_4+{\beta }_4\right){\tilde{v}}_{n+1}=0.\end{array}$ (28)

由文献 [11] 又有

$v_{m+1}=-\frac{p_{m+1}}{c-b}{u}_m+\frac{p_{m+1}}{c-b}\widehat{u},$

${\tilde{v}}_0=-\frac{\widehat{p}}{d-c}\widehat{u}+\left[\frac{\widehat{p}}{d-c}+\left(d-c\right)\left(\widehat{q}-\lambda \widehat{w}\right)\right]{\tilde{u}}_0,$

通过选取向量 $U={\left[v_0,u_0,u_1,\cdots ,u_m,\widehat{u},{\tilde{u}}_0,\cdots ,{\tilde{u}}_n,{\tilde{v}}_{n+1}\right]}^{\text{T}}$ ，并由(21)~(28)即可得到两类问题之间的等价性。■

将带有谱参数的耦合型边界条件(4)变形即可得到带有分离型谱参数的边界条件

$A_{\lambda }Y\left(a\right)+B_{\lambda }Y\left(b\right)=0,Y=\left(\begin{array}{c}y\\ p{y}^{\Delta }\end{array}\right),$ (29)

其中

$A_{\lambda }=\left(\begin{array}{cc}\lambda {{\alpha }^{\prime }}_1+{\alpha }_1& \lambda {{\alpha }^{\prime }}_2+{\alpha }_2\\ 0& 0\end{array}\right),B_{\lambda }=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ \lambda {{\beta }^{\prime }}_1+{\beta }_1& \lambda {{\beta }^{\prime }}_2+{\beta }_2\end{array}\right),$

${\alpha }_i,{{\alpha }^{\prime }}_i,{\beta }_i,{{\beta }^{\prime }}_i\in R,i=1,2$ ，满足 ${\theta }_1=\left|\begin{array}{cc}{\alpha }_1& {\alpha }_2\\ {{\alpha }^{\prime }}_1& {{\alpha }^{\prime }}_2\end{array}\right|\ne 0$ ， ${\theta }_2=\left|\begin{array}{cc}{\beta }_1& {\beta }_2\\ {{\beta }^{\prime }}_1& {{\beta }^{\prime }}_2\end{array}\right|\ne 0$ ， $\lambda$ 为谱参数，则可得到以下推论。

推论2.5 设S-L方程(2)满足带有分离型谱参数边界条件(29)，定义 $\left(m+n+5\right)\times \left(m+n+5\right)$ 三对角矩阵

(30)

和对角矩阵

$Q_1=diag\left(0,q_0,q_1,\cdots ,q_m,\left(c-b\right)q_{m+1},\left(d-c\right)\widehat{q}+{\tilde{q}}_0,{\tilde{q}}_1,\cdots ,{\tilde{q}}_n,0\right)$ (31)

以及“几乎对角”(除了(1,2)和(m+n+5,m+n+4)位置上有非零元素外为对角矩阵)矩阵

$W_1=\left(\begin{array}{cccccccccc}-{{\alpha }^{\prime }}_2& -{{\alpha }^{\prime }}_1& & & & & & & & \\ & w_0& & & & & & & & \\ & & \ddots & & & & & & & \\ & & & w_m& & & & & & \\ & & & & \left(c-b\right)w_{m+1}& & & & & \\ & & & & & \left(d-c\right)\widehat{w}+{\tilde{w}}_0& & & & \\ & & & & & & {\tilde{w}}_1& & & \\ & & & & & & & \ddots & & \\ & & & & & & & & {\tilde{w}}_n& \\ & & & & & & & & -{{\beta }^{\prime }}_1& -{{\beta }^{\prime }}_2\end{array}\right).$ (32)

则带有分离型谱参数边界条件(29)的S-L问题(2)，(3)与矩阵特征值问题

$\left(P_1+Q_1\right)U_1=\lambda W_1{U}_1$ (33)

等价，其中 $U_1={\left[v_0,u_0,u_1,\cdots ,u_m,\widehat{u},{\tilde{u}}_0,\cdots ,{\tilde{u}}_n,{\tilde{v}}_{n+1}\right]}^{\text{T}}$ 。此外，所有特征值为几何单重的，同一特征值的含有谱参数边界条件的S-L问题的特征函数 $u\left(t\right)$ 与矩阵特征值问题(33)的特征向量 $U$ 之间存在关系式：

$u\left(t\right)=u_k,t\in \left[a_{2k},a_{2k+1}\right],k=0,\cdots ,m-1,u\left(t\right)=u_m,t\in \left[a_{2m},a_{2m+1}\right),$

$u\left(t\right)={\tilde{u}}_0,t\in (b_0,b_1],u\left(t\right)={\tilde{u}}_i,t\in \left[b_{2i},b_{2i+1}\right],i=1,2,\cdots ,n,u\left(c\right)=\widehat{u}.$

证明 同定理2.4。■

以下定理说明每一个Atkinson类型的方程与一个以分段常值函数为系数的方程是等价的。

定理2.6 设方程(2)，(3)是Atkinson类型的，并设 $p_k,k=1,2,\cdots ,m$ ， ${\tilde{p}}_i,i=1,2,\cdots ,n$ ,以及 $q_k,w_k,k=0,1,\cdots ,m$ ， ${\tilde{q}}_i,{\tilde{w}}_i,i=0,1,\cdots ,n$ 由(9)给出，定义时标 $T$ 上的分段函数 $\overline{p},\overline{q},\overline{w}$ 如下：

$\begin{array}{l}\overline{p}\left(t\right)=\{\begin{array}{l}{p}_k\left(a_{2k}-a_{2k-1}\right),t\in \left[a_{2k-1},a_{2k}\right],k=1,2,\cdots ,m,\\ \infty ,t\in \left[a_{2k},a_{2k+1}\right),k=0,1,\cdots ,m,\\ p\left(b\right)\ne \infty ,t=a_{2m+1},\\ \widehat{p},t=c,\\ {\tilde{p}}_i\left(b_{2i}-b_{2i-1}\right),t\in \left[b_{2i-1},b_{2i}\right],i=1,2,\cdots ,n,\\ \infty ,t\in \left[b_{2i},b_{2i+1}\right),i=0,1,2,\cdots ,n,\\ p\left(e\right)\ne \infty ,t=b_{2n+1},\end{array}\\ \overline{q}\left(t\right)=\{\begin{array}{l}\frac{q_k}{a_{2k+1}-a_{2k}},t\in \left[a_{2k},a_{2k+1}\right),k=0,1,\cdots ,m,\\ 0,t\in \left[a_{2k-1},a_{2k}\right],k=1,2,\cdots ,m,\\ \widehat{q},t=c,\\ \frac{{\tilde{q}}_i}{b_{2i+1}-b_{2i}},t\in \left(b_{2i},b_{2i+1}\right],i=0,1,\cdots ,n,\\ 0,t\in \left[b_{2i-1},b_{2i}\right],i=1,2,\cdots ,n,\end{array}\\ \overline{w}\left(t\right)=\{\begin{array}{l}\frac{w_k}{a_{2k+1}-a_{2k}},t\in \left[a_{2k},a_{2k+1}\right),k=0,1,\cdots ,m,\\ 0,t\in \left[a_{2k-1},a_{2k}\right],k=1,2,\cdots ,m,\\ \widehat{w},t=c,\\ \frac{{\tilde{w}}_i}{b_{2i+1}-b_{2i}},t\in \left(b_{2i},b_{2i+1}\right],i=0,1,\cdots ,n,\\ 0,t\in \left[b_{2i-1},b_{2i}\right],i=1,2,\cdots ,n.\end{array}\end{array}$ (34)

设谱参数边界条件(4)满足。则时标上边界条件含有谱参数的S-L问题(2)，(3)与分段常值函数为系数的方程

$-{\left(\overline{p}{y}^{\Delta }\right)}^{\Delta }+\overline{q}{y}^{\sigma }=\lambda \overline{w}{y}^{\sigma },t\in T=\left[a,b\right]\cup \left\{c\right\}\cup \left[d,e\right],$ (35)

以及同样的谱参数边界条件(4)所构成的S-L问题有相同的特征值。

证明 显然，两个不同的S-L问题(2)~(4)和(35)，(3)，(4)，决定相同的 $p_k,k=1,2,\cdots ,m,\widehat{p},{\tilde{p}}_i,i=1,2,\cdots ,n$ ，以及 $q_k,w_k,k=0,1,\cdots ,m,\widehat{q},\widehat{w},{\tilde{q}}_i,{\tilde{w}}_i,i=0,1,\cdots ,n$ 。因此由定理2.4及推论2.5可知，在包含谱参数边界条件(4)的情况下，两个不同的S-L问题与矩阵特征值问题等价，所以它们有相同的特征值。 ■

3. 矩阵特征值问题的时标上带有谱参数边界条件的S-L问题表示

接下来给出矩阵特征值问题

$DX=\lambda HX$ (36)

的具有Atkinson类型的含有谱参数边界条件的S-L问题表示。其中 $D=\left(d_{ij}\right)$ 是 $l\times l$ 实三对角或“几乎对角”矩阵且满足 $d_{i,i+1}\ne 0,i=2,3,\cdots ,l-2$ ，而 $H=\left(h_{ij}\right)$ 为 $l\times l$ “几乎对角”矩阵且满足 $h_{jj}\ne 0,j=2,3,\cdots ,l-1$ ，这是本文另一个重要结论，它是定理2.4的逆过程。

定理3.1 令 $l>4$ ，设 $D$ 为 $l\times l$ 实“几乎三对角”矩阵(除了 $\left(1,l-1\right),\left(1,l\right),\left(l,1\right),\left(l,2\right)$ 上有非零元素之外为三对角矩阵)

$D=\left(\begin{array}{ccccccccc}{d}_{11}& d_{12}& & & & & & d_{1,l-1}& d_{1l}\\ 1& d_{22}& d_{23}& & & & & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & & & & \\ & & d_{k,k-1}& d_{k,k}& d_{k,k+1}& & & & \\ & & & d_{k,k+1}& d_{k+1,k+1}& d_{k+1,k+2}& & & \\ & & & & d_{k+1,k+2}& d_{k+2,k+2}& d_{k+2,k+3}& & \\ & & & & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & & & & d_{l-1,l-2}& d_{l-1,l-1}& -1\\ d_{l1}& d_{l2}& & & & & & d_{l,l-1}& d_{ll}\end{array}\right),$ (37)

其中 $2\le k\le l-3$ ， $d_{ij}\in R,1\le i,j\le l$ ， $d_{j,j+1}\ne 0,j=2,3,\cdots ,m-2$ ， $d_{21}=1$ ， $d_{l-1,l}=-1$ 。而 $H$ 为 $l\times l$ “几乎对角”矩阵

$H=\left(\begin{array}{ccccc}{h}_{11}& h_{12}& & h_{1,l-1}& h_{1l}\\ & h_{22}& & & \\ & & \ddots & & \\ & & & h_{l-1,l-1}& \\ h_{l1}& h_{l2}& & h_{l,l-1}& h_{ll}\end{array}\right),$ (38)

其中 $h_{jj}\ne 0,j=2,3,\cdots ,m-1$ ，矩阵 $D,H$ 的第一行和最后一行元素满足

$rank\left(\begin{array}{cccc}{d}_{11}& d_{12}& d_{1,l-1}& d_{1l}\\ d_{l1}& d_{l2}& d_{l,l-1}& d_{ll}\end{array}\right)=2,rank\left(\begin{array}{cccc}{h}_{11}& h_{12}& h_{1,l-1}& h_{1l}\\ h_{l1}& h_{l1}& h_{l,l-1}& h_{ll}\end{array}\right)=2,$

$rank\left(\begin{array}{cccc}{d}_{11}& d_{12}& d_{1,l-1}& d_{1l}\\ h_{11}& h_{12}& h_{1,l-1}& h_{1l}\end{array}\right)=2,rank\left(\begin{array}{cccc}{d}_{l1}& d_{l2}& d_{l,l-1}& d_{ll}\\ h_{l1}& h_{l2}& h_{l,l-1}& h_{ll}\end{array}\right)=2.$

则对固定的 $\widehat{w}=w\left(c\right),\widehat{q}=q\left(c\right)$ 矩阵特征值问题(36)有Atkinson类型的含有谱参数边界条件的S-L问题表示，其形式为S-L问题(2)，(4)。且给定时标 $T$ 的一个固定分割(6)，矩阵特征值问题(36)在(9)的符号意义下有唯一的具有(35)，(4)形式的S-L问题的表示。

证明 令 $m=k-3,n=l-k-2$ ， ${\rm T}=\left[a,b\right]\cup \left\{c\right\}\cup \left[d,e\right],-\infty <a<b<c<d<e<\infty$ 。首先定义谱参数边界条件(4)中的各个参数，为此设 ${\alpha }_1=-d_{12}$ ， ${\alpha }_2=-d_{11}$ ， ${\alpha }_3=-d_{1,l-1}$ ， ${\alpha }_4=-d_{1l}$ ， ${{\alpha }^{\prime }}_1=h_{12}$ ， ${{\alpha }^{\prime }}_2=h_{11}$ ， ${{\alpha }^{\prime }}_3=h_{1,l-1}$ ， ${{\alpha }^{\prime }}_4=h_{1l}$ ，以及 ${\beta }_1=-d_{l2}$ ， ${\beta }_2=-d_{l1}$ ， ${\beta }_3=-d_{l,l-1}$ ， ${\beta }_4=-d_{ll}$ ， ${{\beta }^{\prime }}_1=h_{l2}$ ， ${{\beta }^{\prime }}_2=h_{l1}$ ， ${{\beta }^{\prime }}_3=h_{l,l-1}$ ， ${{\beta }^{\prime }}_4=h_{ll}$ 。按照(6)定义 ${\rm T}=\left[a,b\right]\cup \left\{c\right\}\cup \left[d,e\right]$ 的一个分割。然后构造 $\left[a,b\right]\cup \left\{c\right\}\cup \left[d,e\right]$ 上的分段常值函数 $\overline{p},\overline{q},\overline{w}$ ，使得满足(7)，(8)。下面定义(7)，(8)中在 $\left[a,b\right]\cup \left\{c\right\}\cup \left[d,e\right]$ 的子区间上不为零的函数值，其中 $\widehat{w}=w\left(c\right),\widehat{q}=q\left(c\right)$ 为固定的。为此，令

$p_i=-d_{i+1,i+2},i=1,2,\cdots ,m,p_{m+1}=-d_{m+2,m+3}\left(c-b\right),$

$\widehat{p}=-d_{m+3,m+4}\left(d-c\right),{\tilde{p}}_j=-d_{j+m+3,j+m+4},j=1,2,\cdots ,n,$

$w_i=h_{i+2.i+2},i=0,1,\cdots ,m,w_{m+1}=\frac{1}{c-b}{h}_{m+3,m+3},$

${\tilde{w}}_0=h_{m+4,m+4}-\left(d-c\right)\widehat{w},{\tilde{w}}_j=h_{j+m+4,j+m+4},j=1,2,\cdots ,n,$

以及

$q_0=d_{22}-p_1,q_i=d_{i+2,i+2}-p_i-p_{i+1},i=1,2,\cdots ,m-1,$

$q_m=d_{m+2,m+2}-p_m-\frac{p_{m+1}}{c-b},q_{m+1}=\frac{d_{m+3,m+3}}{c-b}-\frac{p_{m+1}}{{\left(c-b\right)}^2}-\frac{\widehat{p}}{\left(d-c\right)\left(c-b\right)},$

${\tilde{q}}_j=d_{j+m+4,j+m+4}-{\tilde{p}}_j-{\tilde{p}}_{j+1},j=1,2,\cdots ,n-1,{\tilde{q}}_n=d_{m+n+4,m+n+4}-{\tilde{p}}_n,$

${\tilde{q}}_0=d_{m+4,m+4}-\frac{\widehat{p}}{d-c}-{\tilde{p}}_1-\left(d-c\right)\widehat{q}.$

则按照(34)定义 $\overline{p}\left(t\right),\overline{q}\left(t\right),\overline{w}\left(t\right)$ 。这样的函数 $\overline{p},\overline{q},\overline{w}$ 为时标 $T$ 上满足(7)，(8)的分段常值函数。而方程(35)为Atkinson类型的，且将 $p,q,w$ 对应换为 $\overline{p},\overline{q},\overline{w}$ 时满足(9)，可看出问题(36)与问题(20)形式相同。因此，由定理2.4，矩阵问题(36)与含有谱参数的S-L问题(2)-(4)等价。定理剩下部分的证明可由定理2.6得出。■

注：当 ${\alpha }_3={\alpha }_4={\beta }_1={\beta }_2=0$ ，且 ${{\alpha }^{\prime }}_1{\alpha }_2-{\alpha }_1{{\alpha }^{\prime }}_2\ne 0,{{\beta }^{\prime }}_1{\beta }_2-{\beta }_1{{\beta }^{\prime }}_2\ne 0$ 时，含有谱参数的耦合型边界条件就变为分离的情形了。证明如定理3.1。

致谢

本文由国家自然科学基金资助项目(11661059, 11301259)；内蒙古自然科学基金项目(2017JQ07)支持。

文章引用

刘娜娜,敖继军,王 娟. 时标上带有谱参数边界条件的Sturm-Liouville问题的矩阵表示
Matrix Representations of Sturm-Liouville Problems with Eigenparameter-Dependent Boundary Conditions on Time Scales[J]. 应用数学进展, 2018, 07(02): 169-178. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2018.72021

参考文献 (References)