Advances in Applied Mathematics
Vol.07 No.05(2018), Article ID:24966,6
pages
10.12677/AAM.2018.75063
Kolmogorov n-Width of Infinite Dimension Identity Operator
Tongxin Wang, Wenjing Lu, Yongjie Han, Liu Liang
School of Science, Xihua University, Chengdu Sichuan
Received: Apr. 26th, 2018; accepted: May 15th, 2018; published: May 22nd, 2018
ABSTRACT
In this paper, we study the Kolmogorov n-width of infinite dimension identity operator , and obtain its asymptotic degree.
Keywords:Infinite Dimension Identity Operator, Kolmogorov n-Width, Sequence Space, Asymptotic Degree
无穷维恒等算子的Kolmogorov n-宽度
王桐心,陆文静,韩永杰,梁柳
西华大学理学院,四川 成都
收稿日期:2018年4月26日;录用日期:2018年5月15日;发布日期:2018年5月22日
摘 要
本文讨论了无穷维恒等算子 的Kolmogorov n-宽度,并计算了其精确渐近阶。
关键词 :无穷维恒等算子,Kolmogorov n-宽度,序列空间,渐近阶
Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc.
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1. 引言及主要结果
宽度理论是函数逼近论的重要内容之一,也是国内外研究的热点之一,它与计算复杂性有着密切的联系 [1] 。宽度问题是A. N. Kolmogorov [2] 在1936年首次提出的一个概念,并给出了Sobolev函数类 到 上的Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶。1954 年,S. R. Stechkin [3] 研究了在 特殊情况下有限维空间的 Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶与线性n-宽度的精确渐近阶。1960年,V. M. Tikhomirov [4] 给出了宽度 的精确渐近阶。此后两年,A. Pietsch [5] 和 M. I. Stein [6] 研究了在一般情形下, 时 Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶与线性n-宽度的精确渐近阶。1974年,Ismagilov [7] 研究了当 时的精确渐近阶估计。1985年,Pinkus [8] 给出了有限维恒等算子的Kolmogorov n-宽度。本文主要讨论无穷维恒等算子的Kolmogorov n-宽度。首先,介绍Kolmogorov n-宽度的定义。
定义1.1. 设W为赋范线性空间 的一非空子集, ,称
为W在Z中的Kolmogorov n-宽度,其中 取遍Z中的维数不超过n的所有线性子空间。
定义1.2. 设 为两个赋范线性空间,其范数分别为 与 ,T是X到Y的有界线性算子, ,称
为算子T的Kolmogorov n-宽度,其中 表示X的单位球,即 .
关于Kolmogorov n-宽度的一些重要性质可参见Pinkus [8] 的专著《n-width in Approximation Theory》。特别地,Pinkus在这本专著讨论了有限维恒等算子的Kolmogorov n-宽度,并得到了精彩的结果。本文将继续这一工作,讨论无限维恒等算子的Kolmogorov n-宽度。为此,继续介绍有关概念。
设 ,对任一实序列 ,令
表示满足条件 的实序列x所构成的集合。众所周知, 为 上的一个范数。而且 是一个Banach空间。易见, 空间具有如下性质:
1)
2)
因此无穷维恒等算子I是从 到 的有界线性算子,而不是 到 的算子。
对于 ,令
,
和
则易见 为 上的范数,且 为Banach空间。用 表示 中的单位球。
令 , ,( 时,记 )。对任意的 ,由Hölder不等式有
因此 。从而无穷维恒等算子
为 到 的有界线性算子。
本文利用离散化的方法讨论了无穷维恒等算子 的Kolmogorov n-宽度,并得到其精确渐近阶。这就是本文的主要结果,即
定理1. 设 , , 则
其中,符号“ ”的定义如下:假设 是和参数 有关的非负常数。对两个正函数 和 , ,如果存在正常数 满足条件 ,则记 。若存在正常数 满足条件 ,则记 ,若 且 ,则记 。
2. 主要结果的证明
为了证明定理1,首先讨论有限维空间的Kolmogorov n-宽度。令
设 , 。令
则 为 上的范数。用 表示 按照范数 所构成的Banach空间。用 表示 中的单位球。易见 为 的基,其中 (第n个分量为1,其余分量为0)。
引理1. [8] 设 , ,则
下面建立估计定理1上界的离散化定理。首先介绍一些记号。
对 ,其中 ,记 。则对任意的 ,且 有 , 。用 表示 中元素的个数,则 。
以下我们总是假设 。用 表示第n个分量为1,其余分量为0的无穷维实序列,则 为 的Schauder基。从而对 ,有 。
对 ,记 ,则 。令
则对 ,有
(2.1)
且
(2.2)
从而 为 到 上的等距同构映射。
引理2. 设 , ,非负整数序列 满足 ,且 。则
证明:对 ,由(2.1)知,对 ,有
,由(2.2)知
所以
由Kolmogorov n-宽度的定义知,存在 的一个维数不超过 的线性子空间 使得
令 (直和)。则M为 的线性子空间,且
从而
下面引理3是估计定理1下界的离散化定理。
引理3. 令 , , ,则
其中 。
证明:对 ,则由(2.1)有
对 ,则由(2.2)有
所以
定理1的证明:
由定义1.1及定义1.2和无穷维恒等算子 的定义,易见 。
首先估计定理1的上界。
对 ,令 ,
其中, ,易见 满足引理2的条件。
由引理2和引理1有
估计定理1的下界。
取满足引理3中条件的k,则由引理3和引理1有
综上,定理1得证。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(项目编号:15233593)。
文章引用
王桐心,陆文静,韩永杰,梁 柳. 无穷维恒等算子的Kolmogorov n-宽度
Kolmogorov n-Width of Infinite Dimension Identity Operator[J]. 应用数学进展, 2018, 07(05): 519-524. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.75063
参考文献
- 1. Traub, J.F. Wasilkowski, G.W. and Wozniakowski, H. (1988) Information-Based Complexity. Academic Press, Boston, 1988.
- 2. Kolmogorov, A.N. (1936) Uber die deste Annaherung yon funktionen einer gegebenen funktioneklasse. Annals of Mathematics, 37, 107-111. 〈br/〉https://doi.org/10.2307/1968691
- 3. Stechkin, S.R. (1954) On Best Approximation of Given Classes of Functions by Arbitrary Polynomials. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 9, 133-134. (In Russian)
- 4. Tikhomirov, V.M. (1960) Diameters of Sets in Function Spaces and the Theory of Best Approximations. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 15, 81-120.
- 5. Pietsch, A. (1974) s-Numbers of Operators in Banach Spaces. Studia Mathematica, 51, 201-223. 〈br/〉https://doi.org/10.4064/sm-51-3-201-223
- 6. Stesin, M.I. (1975) Aleksandrov Widths of Finite—Dimensional Sets and Classes of Smooth Functions. Doklady Akademii Nauk, 220, 1278-1281.
- 7. Ismagilov, R.S. (1974) Widths of Sets in Normed Linear Spaces and Approximation of Functions by Trigonometric Polynomials. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 29, 161-178.
- 8. Pinkus, A. (1985) n-Widths in Approximation Theory. Springer, Berlin.