Advances in Applied Mathematics
Vol.
07
No.
11
(
2018
), Article ID:
27627
,
3
pages
10.12677/AAM.2018.711163
Dynamics of the Difference Equation
Shaogao Deng1, Lijun Zhu2*
1School of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu Sichuan
2School of Mathematics and Information Science, North Minzu University, Yinchuan Ningxia
Received: Oct. 23rd, 2018; accepted: Nov. 13th, 2018; published: Nov. 20th, 2018
ABSTRACT
This paper considers the difference equation with the initial values . The asymptotic stability of the positive solutions is proved under some assumptions.
Keywords:Difference Equation, Equilibrium Point, Asymptotic Stability
差分方程 的动力学性质
邓绍高1,朱立军2*
1西南交通大学数学学院,四川 成都
2北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏 银川
收稿日期:2018年10月23日;录用日期:2018年11月13日;发布日期:2018年11月20日
摘 要
本文讨论了差分方程 的动力学性质,其中参数p是非负数,初始值 。在一定的条件下,方程的正解的渐近稳定性得到了证明。
关键词 :差分方程,平衡点,渐近稳定性
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
差分方程来源于递推关系,在各种实际问题中有着广泛的应用。同时在微分方程的数值求解中,需要通过对微分方程的离散化得到差分方程(参见 [1] [2] )。因此,非线性差分方程成了近年来的研究热点之一,比如文献 [3] [4] [5] 。
本文将考虑具有非负参数的差分方程:
(1.1)
的正解在一定的条件下的收敛性和周期性。其中,,初始值 。
设函数 ,则差分方程
(1.2)
在平衡点 的线性化方程的特征方程为(相关的概念参见 [1] [2] ):
(1.3)
引理1.1:若方程(1.3)的全部特征根的模都小于1,则方程(1.2)的平衡点 是(局部)渐近稳定的;若方程(1.3)至少有一个特征根的模大于1,则方程(1.2)的平衡点 是不稳定的(参见 [1] [2] )。
2. 主要结果
首先,我们考虑 为正数时的情形。
定理2.1:差分方程(1.1)在 时,其平衡点及其稳定性依赖于 的值。即:
1) 当 时,有唯一的平衡点 ,且是全局(渐近)稳定的;
2) 当 时,有两个平衡点 和 ,其中 是不稳定的,而 是(渐近)稳定的。
证明:因为 ,由数学归纳法可得 。
1) 当 时, ,
即方程(1.1)的解 单调递减。
从而存在 ,使得: 。
另一方面,对方程(1.1)两边取极限可求得:
从而得唯一的平衡点 。
由于解的收敛性不依赖于对初值的选取。所以,该平衡点是全局(渐近)稳定的。
2) 当 时,令 ,可得:
此时,方程(1.1)有两个平衡点 和 。
令 ,则:
,
当 时, , 。
所以,方程(1.1)的线性化方程的特征方程 的特征根为:
故,平衡点 是不稳定的。
当 时, , 。
同上,方程(1.1)的线性化方程的特征方程 的特征根满足:
;
。
由此可知,平衡点 是(渐近)稳定的。证毕。
其次,我们来考虑 时,其解是否收敛。
设初始值 ,容易得到:
定理2.2:差分方程(1.1)在 时,其解 在一般的情况下是六周期解(即 )。即解 是振荡的,也就是没有平衡点。
注释2.1:在差分方程(1.1)中,如果将参数 推广成一般的序列 则结论就会有所不同.
基金项目
中央高校基本科研业务费专项资金(2682018ZT25)资助(Supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities (2682018ZT25));宁夏自然科学基金项目(NZ17015);国家自然科学基金项目(61362033);四川省科技厅基础研究计划项目(2011JYZ002);西南交通大学本科教育教学研究与改革项目(1804171)。
文章引用
邓绍高,朱立军. 差分方程xn+1=xn/(p+xn-1)的动力学性质
Dynamics of the Difference Equation xn+1=xn/(p+xn-1)[J]. 应用数学进展, 2018, 07(11): 1402-1404. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.711163
参考文献
- 1. 周义仓, 曹慧, 肖燕妮. 差分方程及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2014.
- 2. Elaydi, S. (2005) An Introduction to Difference Equations. 3rd Edition, Springer-Verlag, New York.
- 3. Amleh, A.M., Grove, E.A., Ladas, G. and Georgiou, D.A. (1999) On the Recursive Sequence . Journal of Mathematical Analysis and Applica-tions, 233, 790-798. https://doi.org/10.1006/jmaa.1999.6346
- 4. 徐胜荣, 王希超, 周营营. 一类差分方程的稳定性研究[J]. 山东农业大学学报(自然科学版), 2013, 44(4):624-629.
- 5. 韩彩虹, 李 略, 黄荣里. 差分方程 的动力学性质[J]. 广西师范大学学报(自然科学版), 2013, 31(1): 44-47.
NOTES
*通讯作者。