协同(r,(h,m))-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式 Hermite-Hadamard Type Integral Inequality for Coordinated (r,(h,m))-Convex Function

doi:10.12677/AAM.2019.811202

Advances in Applied Mathematics
Vol. 08 No. 11 ( 2019 ), Article ID: 32893 , 10 pages
10.12677/AAM.2019.811202

Hermite-Hadamard Type Integral Inequality for Coordinated $(r, (h, m))$ -Convex Function

Shuang Gao, Donghai Ji

●How to Cite this Article

School of Science, Harbin University of Science and Technology, Harbin Heilongjiang

Received: Oct. 17^th, 2019; accepted: Nov. 4^th, 2019; published: Nov. 11^th, 2019

ABSTRACT

Hermite-Hadamard inequality is one of the most important inequalities in convex functions. Its integral error estimates have important applications in optimization and computation. Since the concept of co-convexity of multivariate functions was introduced, the convexity theory has been further developed. In this paper, a new binary function is defined, coordinated $(r, (h, m))$ -convex functions of bivariate functions, one of whose components is r-convex and the other is extended $(h, m)$ -convex; Hermite-Hadamard type integral inequalities are studied.

Keywords:r-convex, co-ordinated (r,(h,m))-Conve, Hermite-Hadamard Type Inequalities

协同 $(r, (h, m))$ -凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式

高爽，计东海

哈尔滨理工大学理学院，黑龙江哈尔滨

收稿日期：2019年10月17日；录用日期：2019年11月4日；发布日期：2019年11月11日

摘要

Hermite-Hadamard不等式是凸函数中重要不等式之一，其积分误差估计在优化问题、计算问题等中有着很重要的应用，多元函数的协同凸性的概念引进以来，使得凸性理论进一步发展，本文将定义一个新的二元函数，且其一个分量满足r-凸性，另一个分量为广义 $(h, m)$ -凸性的协同 $(r, (h, m))$ -凸函数，并研究其Hermite-Hadamard型积分不等式。

关键词 :r-凸性，协同 $(r, (h, m))$ -凸函数，Hermite-Hadamard不等式

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

1985年，Toader在文 [1] 引进了m-凸函数的概念，2007年Varosanec引入了h-凸函数的概念，引用文献 [2]。2011年Özdemir等进一步推广了h-凸函数与m-凸函数的概念，提出了 $(h, m)$ -凸函数的概念，见文献 [3]，若无特殊说明，本文均有 $ℝ = (- \infty, + \infty)$ 。

定义1：设 $m \in (0, 1]$ ，函数 $h : [0, 1] \to (0, \infty)$ ，区间 $I \in ℝ$ ，若函数 $f : I \to R$ 满足条件，若对任意的 $x, y \in I$ 和任意的 $λ \in [0, 1]$ ，有

$f (λ x + m (1 - λ) y) \leq h (λ) f (x) + m h (1 - λ) f (y),$

则称f为I上的 $(h, m)$ -凸函数。

M. P. Gill等人在文 [4] 中引进了“r-凸函数”的等价形式

定义2：设 $I \subseteq ℝ$ 为区间，实数 $r \in ℝ$ ，函数 $f : I \to ℝ_{+} = (0, + \infty)$ ，若对任意的点 $x, y \in I$ 和任意的 $λ \in [0, 1]$ ，有

$f (λ x + (1 - λ) y) \leq {\begin{cases} {(λ {[f (x)]}^{r} + (1 - λ) {[f (y)]}^{r})}^{1 / r}, r \neq 0, \\ {[f (x)]}^{λ} {[f (y)]}^{1 - λ}, r = 0, \end{cases}$

则称函数 $f (x)$ 为区间I上的r-凸函数。

吴善和在文 [5] 中定义了r-平均凸函数的概念：

定义3：设 $I \subseteq ℝ$ 为区间，实数 $r \in ℝ$ ，函数 $f : I \subseteq ℝ_{+} \to ℝ_{+}$ ，若对任意的点 $x, y \in I$ 及任意的 $λ \in [0, 1]$ ，有

$f ({[λ x^{r} + (1 - λ) y^{r}]}^{1 / r}) \leq {(λ {[f (x)]}^{r} + (1 - λ) {[f (y)]}^{r})}^{1 / r}, r \neq 0$

$f (x^{λ} y^{1 - λ}) \leq {[f (x)]}^{λ} {[f (y)]}^{1 - λ}, r = 0$

则称函数 $f (x)$ 为区间I上的r-平均凸函数。

2001年，Dragomir.S.S在文 [6] 中引入多元函数的协同凸性的概念。

定义4：设函数 $f : Δ = [a, b] \times [c, d] \subseteq ℝ^{2} \to ℝ$ ，其中 $a < b, c < d$ ，若对任意的点 $(x, y)$ ， $(z, w) \in Δ$ 和任意的 $t, λ \in [0, 1]$ ，有

$\begin{array}{l} f (t x + (1 - t) z, λ y + (1 - λ) w) \\ \leq t λ f (x, y) + t (1 - λ) f (x, w) + (1 - t) λ f (z, y) + (1 - t) (1 - λ) f (z, w) \end{array}$

则称二元函数 $f (x, y)$ 为矩形区域 $Δ$ 上的协同凸函数。

文 [7] 中定义了协同r-凸函数的概念。

下面介绍引进Stolarsky平均数：

设 $(u, v; r, s) \in R_{+}^{2} \times R^{2}$ ，Stolarsky平均数 $E (u, v; r, s)$ 定义为：

$\begin{array}{l} E (u, v; r, s) = {(\frac{r (v^{s} - u^{s})}{s (v^{r} - u^{r})})}^{1 / (s - r)}, r s (r - s) (u - v) \neq 0, \\ E (u, v; 0, s) = {(\frac{v^{s} - u^{s}}{s (\ln v - \ln u)})}^{1 / s}, s (u - v) \neq 0, \\ E (u, v; r, r) = \frac{1}{e^{1 / r}} {(\frac{u^{u^{r}}}{v^{v^{r}}})}^{1 / (u^{r} - v^{r})}, r (u - v) \neq 0, \\ E (u, v; 0, 0) = \sqrt{u v}, u \neq v, \\ E (u, v; 0, 0) = u, u = v . \end{array}$

其中 $L (u, v) ≜ E (u, v; 0, 1)$ ， $L_{r} (u, v) ≜ E (u, v; r, r + 1)$ 分别称为对数平均数和广义对数平均数。

文 [8] 中建立了协同对数凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式。

定理1 [4] 设函数 $f : [a, b] \subseteq ℝ \to ℝ_{+}$ 为对数凸函数，且 $a < b$ ，则

$\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \leq L (f (a), f (b)),$

其中 $L (u, v)$ 为对数平均数。

定理2 [4] 设一元函数 $f : [a, b] \subseteq ℝ \to ℝ_{+}$ 为r-凸函数，且 $a < b$ ， $r \in ℝ$ ，若 $f \in L_{1} ([a, b])$ ，则

$\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \leq L_{r} (f (a), f (b)),$

其中 $L_{r} (x, y)$ 为广义对数平均数。

定理3 设函数 $f : Δ = [a, b] \times [c, d] \subseteq ℝ^{2} \to ℝ_{+}$ 为矩形区域 $Δ$ 上的协同对数凸函数，其中 $a < b, c < d$ ，则

$\begin{array}{l} \frac{1}{(b - a) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f (x, y) d x d y \\ \leq \frac{1}{2} [\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} L (f (x, c), f (x, d)) d x + \frac{1}{d - c} \int_{c}^{d} L (f (a, y), f (b, y)) d y] \\ \leq \frac{1}{4} [\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} [f (x, c) + f (x, d)] d x + \frac{1}{d - c} \int_{c}^{d} [f (a, y) + f (b, y)] d y] \\ \leq Ψ_{f} (Δ) \leq \frac{1}{4} [f (a, c) + f (b, c) + f (a, d) + f (b, d)], \end{array}$

其中 $L (u, v)$ 为对数平均，且

$Ψ_{f} (Δ) = \frac{1}{4} [L (f (a, c), f (b, c)) + L (f (a, d), f (b, d)) + L (f (a, c), f (a, d)) + L (f (b, c), f (b, d))] .$

2. 主要结果

2.1. 协同 $(r, (h, m))$ -凸函数概念及引理

本节将定义二元函数的一个分量满足r-凸性，另一个分量为具有广义 $(h, m)$ -凸性的协同 $(r, (h, m))$ -凸函数概念和协同 $((h, m), r)$ -凸函数概念。

定义1.1设常数 $0 < m \leq 1$ ，函数 $h : [0, 1] \to [0, \infty)$ ，实数 $r \in ℝ$ ，函数 $f : Δ = [a, b] \times [0, d] \subseteq ℝ_{+} \times ℝ_{0} \to ℝ_{+}$ ，其中 $a < b, 0 < d$ 。称二元函数 $f (x, y)$ 为区域 $Δ$ 上的协同 $(r, (h, m))$ -凸函数，若对任意点 $(x, y), (z, w) \in Δ$ 和任意的 $(t, λ) \in {[0, 1]}^{2}$ ，有

若 $r \neq 0$ ，有

$\begin{array}{l} f ({[t x^{r} + (1 - t) z^{r}]}^{1 / r}, λ y + m (1 - λ) w) \\ \leq h (λ) {t {[f (x, y)]}^{r} + (1 - t) {[f (z, y)]}^{r}}^{1 / r} + m h (1 - λ) {t {[f (x, w)]}^{r} + (1 - t) {[f (z, w)]}^{r}}^{1 / r}, \end{array}$ (3.1.1)

若 $r = 0$ ，有

$f (x^{t} z^{1 - t}, λ y + m (1 - λ) w) \leq h (λ) {[f (x, y)]}^{t} {[f (z, y)]}^{1 - t} + h (1 - λ) {[f (x, w)]}^{t} {[f (z, w)]}^{1 - t} .$

定义1.2设常数 $0 < m \leq 1$ ，函数 $h : [0, 1] \to (0, \infty)$ ， $r \in ℝ,$ 函数 $f : Δ = [0, b] \times [c, d] \to ℝ_{+}$ ，其中 $0 < b, 0 < c < d$ 。称二元函数 $f (x, y)$ 为区域 $Δ$ 上的协同 $((h, m), r)$ -凸函数，若对任意点 $(x, y), (z, w) \in Δ$ 和任意的 $(t, λ) \in (0, 1) \times [0, 1]$ ，有

若 $r \neq 0$ ，有

$\begin{array}{l} f (t x + m (1 - t) z, {[λ y^{r} + (1 - λ) w^{r}]}^{1 / r}) \\ \leq h (t) {λ {[f (x, y)]}^{r} + (1 - λ) {[f (x, w)]}^{r}}^{1 / r} + m h (1 - t) {λ {[f (z, y)]}^{r} + (1 - λ) {[f (z, w)]}^{r}}^{1 / r} \end{array}$

若 $r = 0$ ，有

$f (t x + m (1 - t) z, y^{λ} w^{1 - λ}) \leq h (t) {[f (x, y)]}^{λ} {[f (x, w)]}^{1 - λ} + m h (1 - t) {[f (z, y)]}^{λ} {[f (z, w)]}^{1 - λ} .$

2.2. 协同 $(r, (h, m))$ -凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式

本节将研究协同 $(r, (h, m))$ 凸函数的积分估计问题，建立协同 $(r, (h, m))$ -凸函数的几个Hermite-Hadamard型积分不等式。

定理2.1设 $r \in ℝ, r \neq 0$ ， $0 < m \leq 1$ ，函数 $h : [0, 1] \to (0, \infty)$ ，且函数 $f : Δ = [a, b] \times [0, \frac{d}{m}] \to ℝ_{+}$ 为

$(r, (h, m))$ -凸函数， $0 < a < b, 0 < c < d$ ，若 $f \in L_{1} (Δ)$ ，则

$\begin{array}{l} \frac{r}{(b^{r} - a^{r}) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \frac{f (x, y)}{x^{1 - r}} d x d y \\ \leq [L_{r} (f (a, c), f (b, c)) + m L_{r} (f (a, \frac{d}{m}), f (b, \frac{d}{m}))] \int_{0}^{1} h (λ) d λ, \end{array}$

其中 $L_{r} (u, v)$ 为广义对数平均数。

证作变换 $x = \sqrt[r]{t a^{r} + (1 - t) b^{r}}$ ， $y = λ c + (1 - λ) d$ ， $(t, λ) \in {[0, 1]}^{2}$ ，由 $f (x, y)$ 的协同 $(r, (h, m))$ -凸性，有

$\begin{array}{l} \frac{r}{(b^{r} - a^{r}) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \frac{f (x, y)}{x^{1 - r}} d x d y \\ = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f ({[t a^{r} + (1 - t) b^{r}]}^{1 / r}, λ c + (1 - λ) d) d t d λ = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f ({[t a^{r} + (1 - t) b^{r}]}^{1 / r}, λ c + m (1 - λ) \frac{d}{m}) d t d λ \\ \leq \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} [h (λ) {t {[f (a, c)]}^{r} + (1 - t) {[f (b, c)]}^{r}}^{1 / r} + m h (1 - λ) {t {[f (a, \frac{d}{m})]}^{r} + (1 - t) {[f (b, \frac{d}{m})]}^{r}}^{1 / r}] d t d λ \\ = \int_{0}^{1} h (λ) d λ \int_{0}^{1} {t {[f (a, c)]}^{r} + (1 - t) {[f (b, c)]}^{r}}^{1 / r} d t + m \int_{0}^{1} h (1 - λ) d λ \int_{0}^{1} {t {[f (a, \frac{d}{m})]}^{r} + (1 - t) {[f (b, \frac{d}{m})]}^{r}}^{1 / r} d t \\ = {\int_{0}^{1} {(t {[f (a, c)]}^{r} + (1 - t) {[f (b, c)]}^{r})}^{1 / r} d t + m \int_{0}^{1} {(t {[f (a, \frac{d}{m})]}^{r} + (1 - t) {[f (b, \frac{d}{m})]}^{r})}^{1 / r} d t} \int_{0}^{1} h (λ) d λ . \end{array}$

经计算可得

$\begin{array}{l} \int_{0}^{1} {(t {[f (a, c)]}^{r} + (1 - t) {[f (b, c)]}^{r})}^{1 / r} d t = L_{r} (f (a, c), f (b, c)), \\ \int_{0}^{1} {(t {[f (a, \frac{d}{m})]}^{r} + (1 - t) {[f (b, \frac{d}{m})]}^{r})}^{1 / r} d t = L_{r} (f (a, \frac{d}{m}), f (b, \frac{d}{m})) . \end{array}$

由上述三个公式，我们有

$\begin{array}{l} \frac{r}{(b^{r} - a^{r}) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \frac{f (x, y)}{x^{1 - r}} d x d y \\ \leq {\int_{0}^{1} {(t {[f (a, c)]}^{r} + (1 - t) {[f (b, c)]}^{r})}^{1 / r} d t + m \int_{0}^{1} {(t {[f (a, \frac{d}{m})]}^{r} + (1 - t) {[f (b, \frac{d}{m})]}^{r})}^{1 / r} d t} \int_{0}^{1} h (λ) d λ \\ = [L_{r} (f (a, c), f (b, c)) + m L_{r} (f (a, \frac{d}{m}), f (b, \frac{d}{m}))] \int_{0}^{1} h (λ) d λ \end{array}$

推论2.1.1在定理2.1的条件下，若 $m = 1$ ，有

$\begin{array}{l} \frac{r}{(b^{r} - a^{r}) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \frac{f (x, y)}{x^{1 - r}} d x d y \\ \leq [L_{r} (f (a, c), f (b, c)) + L_{r} (f (a, d), f (b, d))] \int_{0}^{1} h (λ) d λ, \end{array}$

其中 $L_{r} (u, v)$ 为广义对数平均数。

定理2.2 设常数 $0 < m \leq 1$ ，函数 $h : [0, 1] \to [0, \infty)$ ，函数 $f : Δ = [a, b] \times [0, \frac{d}{m}] \to ℝ_{+}$ 为协同 $(0, (h, m))$ -凸函数，若 $f \in L_{1} (Δ)$ ，则

$\begin{array}{l} \frac{1}{(\ln b - \ln a) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \frac{f (x, y)}{x} d x d y \\ \leq \int_{0}^{1} h (λ) d λ [L (f (a, c), f (b, c)) + m L (f (a, \frac{d}{m}), f (b, \frac{d}{m}))], \end{array}$

其中 $L (u, v)$ 为对数平均数。

证作变换 $x = a^{t} b^{1 - t}$ ， $y = λ c + (1 - λ) d$ ， $(t, λ) \in {[0, 1]}^{2}$ ，再由 $f (x, y)$ 的协同 $(0, (h, m))$ -凸性，有

$\begin{array}{l} \frac{1}{(\ln b - \ln a) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \frac{f (x, y)}{x} d x d y \\ = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f (a^{t} b^{1 - t}, λ c + (1 - λ) d) d t d λ \\ \leq \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} {h (λ) {[f (a, c)]}^{t} {[f (b, c)]}^{1 - t} + m h (1 - λ) {[f (a, \frac{d}{m})]}^{t} {[f (b, \frac{d}{m})]}^{1 - t}} d t d λ \\ = \int_{0}^{1} h (λ) d λ \int_{0}^{1} {[f (a, c)]}^{t} {[f (b, c)]}^{1 - t} d t + \int_{0}^{1} h (1 - λ) d λ \int_{0}^{1} m {[f (a, \frac{d}{m})]}^{t} {[f (b, \frac{d}{m})]}^{1 - t} d t \\ = \int_{0}^{1} h (λ) d λ \int_{0}^{1} {{[f (a, c)]}^{t} {[f (b, c)]}^{1 - t} + m {[f (a, \frac{d}{m})]}^{t} {[f (b, \frac{d}{m})]}^{1 - t}} d t . \end{array}$

因

$\begin{array}{l} \int_{0}^{1} {[f (a, c)]}^{t} {[f (b, c)]}^{1 - t} d t = L (f (a, c), f (b, c)), \\ \int_{0}^{1} {[f (a, \frac{d}{m})]}^{t} {[f (b, \frac{d}{m})]}^{1 - t} d t = L (f (a, \frac{d}{m}), f (b, \frac{d}{m})) . \end{array}$

于是，有

$\begin{array}{l} \frac{1}{(\ln b - \ln a) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \frac{f (x, y)}{x} d x d y \\ \leq \int_{0}^{1} h (λ) d λ \int_{0}^{1} {{[f (a, c)]}^{t} {[f (b, c)]}^{1 - t} + m {[f (a, \frac{d}{m})]}^{t} {[f (b, \frac{d}{m})]}^{1 - t}} d t \\ = [L (f (a, c), f (b, c)) + m L (f (a, \frac{d}{m}), f (b, \frac{d}{m}))] \int_{0}^{1} h (λ) d λ . \end{array}$

故定理证毕。

推论2.2.1 在定理2.2的条件下，若 $m = 1$ ，有

$\begin{array}{l} \frac{1}{(\ln b - \ln a) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \frac{f (x, y)}{x} d x d y \\ \leq [L (f (a, c), f (b, c)) + L (f (a, d), f (b, d))] \int_{0}^{1} h (λ) d λ, \end{array}$

其中 $L (u, v)$ 为对数平均数。

定理2.3 设 $r \in ℝ, r \neq 0$ ，常数 $m \in (0, 1]$ ，函数 $h : [0, 1] \to [0, \infty)$ ，函数 $f : Δ = [a, b] \times [0, \frac{d}{m}] \to ℝ_{+}$ 为

$(r, (h, m))$ -凸函数， $0 < a < b, 0 < c < d$ ，且 $f \in L_{1} (Δ)$ 。

(i) 若 $r \geq 1$ ，则

$f ({(\frac{a^{r} + b^{r}}{2})}^{1 / r}, \frac{c + d}{2}) \leq h (\frac{1}{2}) \frac{r}{(b^{r} - a^{r}) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} (\frac{f (x, y)}{x^{1 - r}} + \frac{m f (x, \frac{y}{m})}{x^{1 - r}}) d x d y,$

(ii) 若 $r < 1$ ，则

$\begin{array}{l} f ({(\frac{a^{r} + b^{r}}{2})}^{1 / r}, \frac{c + d}{2}) \\ \leq h (\frac{1}{2}) {[\frac{r}{(b^{r} - a^{r}) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} (\frac{{[f (x, y)]}^{r}}{x^{1 - r}} + \frac{m {[f (x, \frac{y}{m})]}^{r}}{x^{1 - r}}) d x d y]}^{1 / r}, \end{array}$

证对任意的 $(t, λ) \in {[0, 1]}^{2}$ ，由函数 $f (x, y)$ 的区域 $Δ$ 上协同 $(r, (h, m))$ -凸性，有

$\begin{array}{l} f ({(\frac{a^{r} + b^{r}}{2})}^{1 / r}, \frac{c + d}{2}) \\ = f ({(\frac{t a^{r} + (1 - t) b^{r} + (1 - t) a^{r} + t b^{r}}{2})}^{1 / r}, \frac{λ c + (1 - λ) d + ((1 - λ) c + λ d)}{2}) \\ = f (\frac{1}{2} {[{(t a^{r} + (1 - t) b^{r})}^{1 / r}]}^{r} + \frac{1}{2} {[{((1 - t) a^{r} + t b^{r})}^{1 / r}]}^{r}, \frac{1}{2} (λ c + (1 - λ) d) + \frac{1}{2} m (\frac{(1 - λ) c + λ d}{m})) \\ \leq h (\frac{1}{2}) {(\frac{1}{2} {[f ({[t a^{r} + (1 - t) b^{r}]}^{1 / r}, λ c + (1 - λ) d)]}^{r} + \frac{1}{2} {{[f ({[(1 - t) a^{r} + t b^{r}]}^{1 / r}, λ c + (1 - λ) d)]}^{r})}^{1 / r} \\ + m (\frac{1}{2} {[f ({[t a^{r} + (1 - t) b^{r}]}^{1 / r}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m})]}^{r} + \frac{1}{2} {{[f ({[(1 - t) a^{r} + t b^{r}]}^{1 / r}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m})]}^{r})}^{1 / r}} . \end{array}$

当 $r \geq 1$ ，时，对两边求 $(t, λ)$ 的积分，并作积分变换

$x = {[t a^{r} + (1 - t) b^{r}]}^{1 / r}, y = λ c + (1 - λ) d, (t, λ) \in [0, 1] \times (0, 1),$

可得

$\begin{array}{l} f ({(\frac{a^{r} + b^{r}}{2})}^{1 / r}, \frac{c + d}{2}) \\ \leq h (\frac{1}{2}) {\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} [\frac{1}{2} f ({[t a^{r} + (1 - t) b^{r}]}^{1 / r}, λ c + (1 - λ) d) + \frac{1}{2} f ({[(1 - t) a^{r} + t b^{r}]}^{1 / r}, λ c + (1 - λ) d) \\ + \frac{m}{2} f ({[t a^{r} + (1 - t) b^{r}]}^{1 / r}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m}) + \frac{m}{2} f ({[(1 - t) a^{r} + t b^{r}]}^{1 / r}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m})] d t d λ} \\ = h (\frac{1}{2}) \frac{r}{(b^{r} - a^{r}) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} (\frac{f (x, y)}{x^{1 - r}} + \frac{m f (x, \frac{d}{m})}{x^{1 - r}}) d x d y . \end{array}$

当 $r < 1$ 时，有

$\begin{array}{l} h (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2} {[f ({[t a^{r} + (1 - t) b^{r}]}^{1 / r}, λ c + (1 - λ) d)]}^{r} + \frac{1}{2} {{[f ({[(1 - t) a^{r} + t b^{r}]}^{1 / r}, λ c + (1 - λ) d)]}^{r})}^{1 / r} \\ + h (\frac{1}{2}) m (\frac{1}{2} {[f ({[t a^{r} + (1 - t) b^{r}]}^{1 / r}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m})]}^{r} + \frac{1}{2} {{[f ({[(1 - t) a^{r} + t b^{r}]}^{1 / r}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m})]}^{r})}^{1 / r} \\ \leq h (\frac{1}{2}) {\frac{1}{2} {[f ({[t a^{r} + (1 - t) b^{r}]}^{1 / r}, λ c + (1 - λ) d)]}^{r} + \frac{1}{2} {[f ({[(1 - t) a^{r} + t b^{r}]}^{1 / r}, λ c + (1 - λ) d)]}^{r} \\ + {\frac{m}{2} {[f ({[t a^{r} + (1 - t) b^{r}]}^{1 / r}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m})]}^{r} + \frac{m}{2} {[f ({[(1 - t) a^{r} + t b^{r}]}^{1 / r}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m})]}^{r}}}^{1 / r} . \end{array}$

对上述不等式两边求 $(t, λ)$ 的积分，并作变换

$x = {[t a^{r} + (1 - t) b^{r}]}^{1 / r}, y = λ c + (1 - λ) d, (t, λ) \in [0, 1] \times (0, 1)$

可得

$\begin{array}{l} {[f ({(\frac{a^{r} + b^{r}}{2})}^{1 / r}, \frac{c + d}{2})]}^{r} \\ \leq h {(\frac{1}{2})}^{r} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} {\frac{1}{2} {[f ({[t a^{r} + (1 - t) b^{r}]}^{1 / r}, λ c + (1 - λ) d)]}^{r} + \frac{1}{2} {[f ({[(1 - t) a^{r} + t b^{r}]}^{1 / r}, λ c + (1 - λ) d)]}^{r} \\ + \frac{m}{2} {[f ({[t a^{r} + (1 - t) b^{r}]}^{1 / r}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m})]}^{r} + \frac{m}{2} {[f ({[(1 - t) a^{r} + t b^{r}]}^{1 / r}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m})]}^{r}} d t d λ \\ = h {(\frac{1}{2})}^{r} \frac{r}{(b^{r} - a^{r}) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} (\frac{{[f (x, y)]}^{r}}{x^{1 - r}} + \frac{m {[f (x, \frac{y}{m})]}^{r}}{x^{1 - r}}) d x d y \end{array}$

故定理2.3证毕。

同理，可证得

定理2.4 设函数 $f : Δ = [a, b] \times [c, d] \subseteq ℝ_{+} \times ℝ \to ℝ_{+}$ 为协同 $(r, (h, 1))$ -凸函数， $r \in ℝ, r \neq 0$ ，函数 $h : [0, 1] \to (0, \infty)$ ，且 $f \in L_{1} (Δ)$

(i) 若 $r \geq 1$ ，则

$f ({(\frac{a^{r} + b^{r}}{2})}^{1 / r}, \frac{c + d}{2}) \leq h (\frac{1}{2}) \frac{2 r}{(b^{r} - a^{r}) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \frac{f (x, y)}{x^{1 - r}} d x d y,$

(ii) 若 $r < 1$ ，则

$f ({(\frac{a^{r} + b^{r}}{2})}^{1 / r}, \frac{c + d}{2}) \leq h (\frac{1}{2}) {[\frac{2 r}{(b^{r} - a^{r}) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \frac{{[f (x, y)]}^{r}}{x^{1 - r}} d x d y]}^{1 / r}$

定理2.5 设常数 $m \in (0, 1]$ ，函数 $h : [0, 1] \to (0, \infty)$ ，正值函数 $f : Δ = [a, b] \times [0, \frac{d}{m}] \to ℝ_{+}$ 为 $(0, (h, m))$ -

凸函数， $0 < a < b, 0 < c < d$ ，若 $f \in L_{1} (Δ)$ ，则

$f ({(a b)}^{1 / 2}, \frac{c + d}{2}) \leq h (\frac{1}{2}) \frac{1}{(\ln b - \ln a) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} (\frac{f (x, y)}{x} + \frac{m f (x, \frac{y}{m})}{x}) d x d y .$

证对任意的 $(t, λ) \in [0, 1] \times (0, 1)$ ，利用基本不等式以及 $f (x, y)$ 的 $(0, (h, m))$ -凸性，有

$\begin{array}{l} f ({(a b)}^{1 / 2}, \frac{c + d}{2}) = f ({(a^{t} b^{1 - t} a^{1 - t} b^{t})}^{1 / 2}, \frac{λ c + (1 - λ) d + (1 - λ) c + λ d}{2}) \\ = f ({(a^{t} b^{1 - t})}^{1 / 2} {(a^{1 - t} b^{t})}^{1 - 1 / 2}, \frac{1}{2} [λ c + (1 - λ) d] + \frac{m}{2} \cdot \frac{(1 - λ) c + λ d}{m}) \\ \leq h (\frac{1}{2}) [f (a^{t} b^{1 - t}, λ c + (1 - λ) d) {f (a^{1 - t} b^{t}, λ c + (1 - λ) d)]}^{1 / 2} \\ + m h (\frac{1}{2}) [f (a^{t} b^{1 - t}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m}) {f (a^{1 - t} b^{t}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m})]}^{1 / 2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \leq h (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2} [f (a^{t} b^{1 - t}, λ c + (1 - λ) d) + f (a^{1 - t} b^{t}, λ c + (1 - λ) d)] \\ + \frac{m}{2} [f (a^{t} b^{1 - t}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m}) + f (a^{1 - t} b^{t}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m})]) \\ = \frac{1}{2} h (\frac{1}{2}) [f (a^{t} b^{1 - t}, λ c + (1 - λ) d) + f (a^{1 - t} b^{t}, λ c + (1 - λ) d) \begin{matrix} \end{matrix} \\ + m f (a^{t} b^{1 - t}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m}) + m f (a^{1 - t} b^{t}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m})], \end{array}$

对上述不等式两边求 $(t, λ)$ 积分，并作积分变换 $x = a^{t} b^{1 - t}, y = λ c + (1 - λ) d$ ，有

$\begin{array}{l} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f ({(a b)}^{1 / 2}, \frac{c + d}{2}) d t d λ \\ \leq \frac{1}{2} h (\frac{1}{2}) \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} [f (a^{t} b^{1 - t}, λ c + (1 - λ) d) + f (a^{1 - t} b^{t}, λ c + (1 - λ) d) \begin{matrix} \end{matrix} \\ + m f (a^{t} b^{1 - t}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m}) + m f (a^{1 - t} b^{t}, \frac{(1 - λ) c + λ d}{m})] d t d λ \\ = h (\frac{1}{2}) \frac{1}{(\ln b - \ln a) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} (\frac{f (x, y)}{x} + \frac{m f (x, \frac{y}{m})}{x}) d x d y . \end{array}$

故本定理证毕。

同理可证：

定理2.6 设函数 $f : Δ = [a, b] \times [c, d] \subseteq ℝ_{+} \times ℝ \to ℝ_{+}$ 是协同 $(0, (h, 1))$ -凸函数， $0 < a < b, c < d$ ，函数 $h : [0, 1] \to (0, \infty)$ ，若 $f \in L_{1} (Δ)$ ，则

$f ({(a b)}^{1 / 2}, \frac{c + d}{2}) \leq h (\frac{1}{2}) \frac{2}{(\ln b - \ln a) (d - c)} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \frac{f (x, y)}{x} d x d y .$

文章引用

高爽,计东海. 协同(r,(h,m))-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式
Hermite-Hadamard Type Integral Inequality for Coordinated (r,(h,m))-Convex Function[J]. 应用数学进展, 2019, 08(11): 1722-1731. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.811202

参考文献

1. Toader, G. (1985) Some Generalization of the Convexity. Proceedings of the Colloquium on Approximation and Optimization, University Cluj-Napoca, 1985, 329-338.

2. Varosanec, S. (2007) On h-Convexity. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 326, 303-311.
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2006.02.086

3. Özdemir, M.E., Akdemir, A.O. and Set, E. (2011) On -Convexity and Hadamard-Type Inequalities. Mathematics, 2011-12-15. http://arxiv.rg/pdf/1103.6163v1

4. Gill, P.M., Pearce, C.E.M. and Pěcarić, J. (1997) Hadamard’s Inequality for r-Convex Functions. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 215, 461-470.
https://doi.org/10.1006/jmaa.1997.5645

5. 吴善和. -凸函数与琴生型不等式 [J]. 数学实践与认识, 2005, 35(3): 220-228.

6. Dragomir, S.S. (2001) On Hadamard’s Inequality for Convex Functions on the Coordinates in a Rectangle from the Plane. Taiwanese Journal of Mathematics, 5, 775-788.
https://doi.org/10.11650/twjm/1500574995

7. Akdemir A.O. and Ozdemir, E.M. (2010) On Hadamard-Type Inequalities for Coordinated r-Convex Functions. Mathematics, 1309, 7-15.

8. Bai, Y.M. and Qi, F. (2016) Some Integral Inequalities of the Hermite-Hadamard Type for Log-Convex Functions on Coordinates. Journal of Nonlinear Sciences and Applications, 9, 5900-5908.
https://doi.org/10.22436/jnsa.009.12.01

期刊菜单