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Advances in Applied Mathematics
Vol. 11  No. 11 ( 2022 ), Article ID: 58076 , 8 pages
10.12677/AAM.2022.1111843

4阶双星符号模式矩阵允许代数正

焦旸

辽宁师范大学数学学院，辽宁 大连

收稿日期：2022年10月16日；录用日期：2022年11月10日；发布日期：2022年11月21日

摘要

本文将引入双星符号模式矩阵的概念，通过研究双星符号模式矩阵，将所有4阶双星符号模式矩阵进行分类，分别给出4阶双星符号模式矩阵非允许代数正和允许代数正的等价刻画。

关键词

符号模式矩阵，双星符号模式矩阵，允许代数正，非允许代数正

The Double Star Sign Pattern Matrix with Order 4 That Allow Algebraic Positivity

Yang Jiao

School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning

Received: Oct. 16th, 2022; accepted: Nov. 10th, 2022; published: Nov. 21st, 2022

ABSTRACT

In this paper, we will introduce the concept of double star sign pattern matrix, and classify all the 4th order double star sign pattern matrix by studying the double star sign pattern matrix, and give the equivalent characterization of the 4th order double star sign pattern matrices that do not allow algebraic positivity, and that allow algebraic positivity respectively.

Keywords:Sign Pattern Matrix, Double Star Sign Pattern Matrix, Allow Algebraic Positivity, Not Allow Algebraic Positivity

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

在组合矩阵论中，符号模式矩阵是一个十分活跃的研究课题，它在众多领域中具有广泛的实际应用背景。符号模式矩阵主要研究实矩阵所确定的定性矩阵类的组合结构。1987年，C. Eschenbach引出并研究了符号模式允许和要求某种实矩阵的性质。随后许多专家和学者对符号模式矩阵的一些性质进行了研究 [1] - [7]。在2016年，代数正矩阵的概念首次被Steve Kirkland [8] 等人提出。同时，他们也提出了符号模式矩阵要求代数正和允许代数正这两个公开问题。2019年，Das [9] 等人给出了n阶三对角符号模式矩阵和星符号模式矩阵要求代数正的等价刻画。同年，Abagat [10] 等人讨论所有3阶不可约符号模式矩阵，分别给出符号模式矩阵非允许代数正、允许代数正和要求代数正的刻画。2022年，Biswas [11] 等人给出了所有3阶对称的符号模式矩阵要求代数正的等价刻画。Das [12] 研究符号模式矩阵允许代数正的充分条件，并且给出从低阶代数正矩阵构造高阶代数正矩阵的方法。同年，田岩和焦旸 [13] 通过对代数正矩阵的研究，给出代数正矩阵的一些性质，可以将实矩阵进行约化，简化证明。另外，她们 [14] 将3阶Hessenberg符号模式矩阵分为三类：不是允许代数正、允许代数正、允许代数正且要求代数正，并且给出具体形式。近些年来，很多学者和专家关于符号模式矩阵的研究已经取得了丰硕成果，但是还有许多问题亟待解决，符号模式矩阵要求代数正和允许代数正仍是组合矩阵论中的两个非常重要的问题。

在2001年，高玉斌在博士学位论文中给出了双星符号模式矩阵的强蕴含稳定性 [15]。同年，黄延祝刻画了蕴含最终正性质的双星符号模式矩阵的特征 [16]。由此可以看出双星符号模式矩阵具有一定的研究价值。因此，本文研究4阶双星符号模式矩阵。首先，给出4阶双星符号模式矩阵的概念，证明所有4阶双星符号模式矩阵是不可约的，并且给出4阶双星符号模式矩阵A对应的矩阵 B A 是不可约的等价条件。其次，通过列出所有4阶双星符号模式矩阵的形式，将4阶双星符号模式矩阵分为两类：非允许代数正、允许代数正。最后，给出4阶双星符号模式矩阵非允许代数正和允许代数正的充分必要条件。

2. 预备知识

符号模式矩阵是指所有元素都取自集合 { + , − , 0 } 的矩阵。对于实矩阵 A = ( a i j ) ，以 a i j 的符号为元素组成的符号模式矩阵称为A的符号模式矩阵。所有元素都是正实数的矩阵称为正矩阵，即矩阵中每个元素都大于零，记作 A > 0 。设A是实方阵，如果存在一个实系数多项式f使得 f ( A ) > 0 ，那么称A是代数正矩阵。对于任意符号模式矩阵A，所有与A的符号相同的实矩阵组成的集合称为A所决定的定性矩阵类，记为 Q ( A ) 。设V是有限集合， E ⊆ V 2 ，则集合对 D = ( V , E ) 称为一个有向图。V中的元素称为顶点。E中的元素称为弧。 D中首尾相连的一串弧称为有向路径。若存在一条从a到b的有向路径，也存在一条从b到a的有向路径，则称有向图 D = ( V , E ) 的两个顶点a和b是强连通的 [17]。设 A = ( a i j ) 是n阶实矩阵，有向图 D ( A ) 的顶点在 { 1 , 2 , ⋯ , n } 中， ( i , j ) 为弧当且仅当 A ( i , j ) ≠ 0 。

本文中 A ( i , j ) 表示矩阵A的第i行j列元素。本文讨论的矩阵都是实方阵。R表示是实数域。

定义1. 形如

A = ( a 1 b 2 ⋯ b m − 1 b m c 2 a 2 ⋮ ⋱ c m − 1 a m − 1 c m a m b m + 1 ⋯ b n c m + 1 a m + 1 ⋮ ⋱ c n a n ) ,

其中 a i ∈ { + , − , 0 } , i = 1 , 2 , ⋯ , n ， b j , c j ∈ { + , − } , j = 2 , 3 , ⋯ , n ，其它位置的元素全为0，称矩阵A是双星符号模式矩阵。

定义2. 设A是符号模式矩阵，如果 Q ( A ) 中存在代数正矩阵，那么称符号模式矩阵A是允许代数正的。

定义3. 设A是符号模式矩阵，如果 Q ( A ) 中任意矩阵都是代数正矩阵，那么称符号模式矩阵A是要求代数正的。

3. 主要结论

首先，我们证明4阶双星符号模式矩阵A是不可约的，同时给出4阶双星符号模式矩阵对应的 B A 是不可约的等价条件；然后，给出所有4阶双星符号模式矩阵的具体形式，分别讨论它们是否允许代数正；最后，将所有的4阶双星符号模式矩阵分为两类：非允许代数正和允许代数正。

引理3.1. [18] 方阵A不可约当且仅当其有向图 D ( A ) 强连通。

引理3.2. 4阶双星符号模式矩阵A是不可约的。

证明：设A是4阶双星符号模式矩阵，则

A ( 1 , 2 ) A ( 2 , 1 ) A ( 1 , 3 ) A ( 3 , 4 ) A ( 4 , 3 ) A ( 3 , 1 ) ≠ 0 ,

故A的有向图 D ( A ) 中任意两个顶点 i ≠ j ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 } 之间都存在有向路径，则 D ( A ) 是强连通的。由引理3。1可知，A是不可约的。

以下符号模式矩阵中的元素 ∗ ∈ { + , − , 0 } ， + 0 表示非负， − 0 表示非正。设A是n阶符号模式矩阵，取A中+的元素，其余元素用0替代，记为 A + ，取A中−的元素，其余元素用0替代，记为 A − ，则 B A = A + − A − T 。

定理1. 设A是4阶双星符号模式矩阵。若A是对称的当且仅当矩阵 B A 是不可约的。

证明：必要性 设A是4阶对称的双星符号模式矩阵，则

A = ( a 1 b 2 b 3 0 b 2 a 2 0 0 b 3 0 a 3 b 4 0 0 b 4 a 4 ) ，其中 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ∈ { + , − , 0 } , b 2 , b 3 , b 4 ∈ { + , − } .

当 A = ( a 1 + − 0 + a 2 0 0 − 0 a 3 + 0 0 + a 4 ) 时， A + = ( + 0 + 0 0 + + 0 0 0 0 0 + 0 + 0 0 + + 0 ) ， A − T = ( − 0 0 − 0 0 − 0 0 0 − 0 − 0 0 0 0 0 − 0 ) .

由 B A = A + − A − T 可知， B A = ( ∗ + + 0 + ∗ 0 0 + 0 ∗ + 0 0 + ∗ ) ，则 B A 是4阶双星符号模式矩阵。由引理3.2可知， B A 不可约。

当A取其它形式时，同理可证。

充分性：假设A是不对称的双星符号模式矩阵，不妨设

A = ( a 1 + + 0 − a 2 0 0 + 0 a 3 + 0 0 + a 4 ) .

由 B A = A + − A − T 可知，

B A = ( + 0 + + 0 0 + 0 0 0 + 0 + 0 + 0 0 + + 0 ) ,

矩阵 B A 的第二行中除了对角线位置的元素 ( B A ) ( 2 , 2 ) 外其余元素都是0，则 B A 的有向图 D ( B A ) 中任意顶点 k ( k ∈ { 1 , 3 , 4 } ) 到2都不存在有向路径，所以 D ( B A ) 不是强连通的。由引理3.1可知， B A 是可约的，产生矛盾。因此，A是对称的符号模式矩阵。

定理2. 设A是4阶双星符号模式矩阵，则

1) A不是允许代数正当且仅当A或−A是不对称的符号模式矩阵。

2) A允许代数正当且仅当A或−A的形式如下：

( ∗ + + 0 + ∗ 0 0 + 0 ∗ + 0 0 + ∗ ) , ( ∗ + + 0 + − 0 0 0 + 0 ∗ − 0 0 − + ) , ( ∗ − + 0 − + 0 0 + 0 ∗ + 0 0 + − 0 ) , ( ∗ + − 0 + ∗ 0 0 − 0 ∗ + 0 0 + ∗ ) .

证明：设A是4阶双星符号模式矩阵，则A或-A的形式如下

S = { ( ∗ + + 0 + ∗ 0 0 + 0 ∗ + 0 0 + ∗ ) , ( ∗ + + 0 + ∗ 0 0 − 0 ∗ + 0 0 + ∗ ) , ( ∗ + + 0 + ∗ 0 0 + 0 ∗ + 0 0 − ∗ ) , ( ∗ + + 0 − ∗ 0 0 + 0 ∗ + 0 0 + ∗ ) ,

( ∗ + + 0 + ∗ 0 0 − 0 ∗ + 0 0 − ∗ ) , ( ∗ + + 0 − ∗ 0 0 + 0 ∗ + 0 0 − ∗ ) , ( ∗ + + 0 − ∗ 0 0 − 0 ∗ + 0 0 + ∗ ) , ( ∗ + + 0 − ∗ 0 0 − 0 ∗ + 0 0 − ∗ ) ,

( ∗ + − 0 + ∗ 0 0 + 0 ∗ + 0 0 + ∗ ) , ( ∗ + − 0 + ∗ 0 0 − 0 ∗ + 0 0 + ∗ ) , ( ∗ + − 0 + ∗ 0 0 + 0 ∗ + 0 0 − ∗ ) , ( ∗ + − 0 − ∗ 0 0 + 0 ∗ + 0 0 + ∗ ) ,

( ∗ + − 0 + ∗ 0 0 − 0 ∗ + 0 0 − ∗ ) , ( ∗ + − 0 − ∗ 0 0 + 0 ∗ + 0 0 − ∗ ) , ( ∗ + − 0 − ∗ 0 0 − 0 ∗ + 0 0 + ∗ ) , ( ∗ − + 0 − ∗ 0 0 − 0 ∗ + 0 0 − ∗ ) ,

( ∗ + + 0 + ∗ 0 0 + 0 ∗ − 0 0 + ∗ ) , ( ∗ + + 0 + ∗ 0 0 − 0 ∗ − 0 0 + ∗ ) , ( ∗ + + 0 + ∗ 0 0 + 0 ∗ − 0 0 − ∗ ) , ( ∗ + + 0 − ∗ 0 0 + 0 ∗ − 0 0 + ∗ ) ,

( ∗ + + 0 + ∗ 0 0 − 0 ∗ − 0 0 − ∗ ) , ( ∗ + + 0 − ∗ 0 0 + 0 ∗ − 0 0 − ∗ ) , ( ∗ + + 0 − ∗ 0 0 − 0 ∗ − 0 0 + ∗ ) , ( ∗ + + 0 − ∗ 0 0 − 0 ∗ − 0 0 − ∗ ) ,

( ∗ − + 0 + ∗ 0 0 + 0 ∗ + 0 0 + ∗ ) , ( ∗ − + 0 + ∗ 0 0 − 0 ∗ + 0 0 + ∗ ) , ( ∗ − + 0 + ∗ 0 0 + 0 ∗ + 0 0 − ∗ ) , ( ∗ − + 0 − ∗ 0 0 + 0 ∗ + 0 0 + ∗ ) ,

( ∗ − + 0 + ∗ 0 0 − 0 ∗ + 0 0 − ∗ ) , ( ∗ − + 0 − ∗ 0 0 + 0 ∗ + 0 0 − ∗ ) , ( ∗ − + 0 − ∗ 0 0 − 0 ∗ + 0 0 + ∗ ) , ( ∗ − + 0 − ∗ 0 0 − 0 ∗ + 0 0 − ∗ ) } .

首先，考虑A不是允许代数正的充分必要条件。

设A不是允许代数正矩阵。由引理3.2可知，4阶双星符号模式矩阵A是不可约的，观察可以发现，S中除了第一个、第十个、第十九个和倒数第五个符号模式矩阵外其余符号模式矩阵都是不对称的。由定理1可知， B A 是可约的。根据[10，定理4]可知，S中除了第一个、第十个、第十九个和倒数第五个符号模式矩阵外其余符号模式矩阵符合条件。

反之，由引理3.2可知，4阶双星符号模式矩阵A是不可约的。S中除了第一个、第十个、第十九个和倒数第五个符号模式矩阵外其余符号模式矩阵是不对称的符号模式矩阵，由定理1可知， B A 是可约的。由[10，定理4]可知，S中除了第一个、第十个、第十九个和倒数第五个符号模式矩阵外其余符号模式矩阵不是允许代数正矩阵。

其次，讨论A是允许代数正的充分必要条件。

设A是允许代数正矩阵。考虑S中第一个符号模式矩阵。由[8，定理12]可知，A的每行和每列含有+，则S中第一个符号模式矩阵符合条件。

反之，设A是S中第一个符号模式矩阵。由引理3.2可知，A是不可约的，则存在不可约的实矩阵 M ∈ Q ( A ) ，则M是除对角线外所有非零元素全相同。由[8，定理5]可知，M是代数正矩阵，故S中第一个符号模式矩阵A是允许代数正矩阵。

考虑S中第十个符号模式矩阵A。设A是允许代数正矩阵，观察可以发现，S中第十个符号模式矩阵A是对称的4阶双星符号模式矩阵，由引理3.2可知， B A 是不可约的。再根据引理3.1，A是不可约的。因此，由[10，定理4]可知，S中第十个符号模式矩阵符合条件。

考虑S中第十九个符号模式矩阵，设允许代数正矩阵 A = ( ∗ + + 0 + ∗ 0 0 + 0 ∗ − 0 0 − ∗ ) ，则存在实矩阵

M = ( a ′ 1 1 1 0 1 a ′ 2 0 0 1 0 a ′ 3 − b 0 0 − b a ′ 4 ) ∈ Q ( A ) , b > 0

是代数正矩阵，则存在实系数多项式f，使得 f ( M ) = α M 3 + β M 2 + γ M + t I > 0 。由 f ( M ) ( 1 , 4 ) = a ′ 1 + a ′ 3 + a ′ 4 − β > 0 和 f ( M ) ( 2 , 3 ) = − a ′ 1 − a ′ 2 − a ′ 3 + β > 0 可得， a ′ 2 < a ′ 4 。由[8，定理12]可知，A的每行和每列含有+，则M的每行和每列含有正数，故 a ′ 4 > 0 ，为使其恒成立，则 a ′ 2 ≤ 0 。因此， A ( 2 , 2 ) 可取−和0，则

A = ( ∗ + + 0 + − 0 0 0 + 0 ∗ − 0 0 − + ) .

考虑S中倒数第五个符号模式矩阵，设允许代数正矩阵 A = ( ∗ − + 0 − ∗ 0 0 + 0 ∗ + 0 0 + ∗ ) ，则存在实矩阵

M = ( a ′ 1 − 1 1 0 − 1 a ′ 2 0 0 1 0 a ′ 3 b 0 0 b a ′ 4 ) ∈ Q ( A ) , b > 0

是代数正矩阵，则存在实系数多项式f，使得 f ( M ) = α M 3 + β M 2 + γ M + t I > 0 。由 f ( M ) ( 1 , 4 ) = − b ( a ′ 1 + a ′ 3 + a ′ 4 + β ) > 0 和 f ( M ) ( 2 , 3 ) = a ′ 1 + a ′ 2 + a ′ 3 − β > 0 可得， a ′ 4 < a ′ 2 。由[8，定理12]可知，A的每行和每列含有+，则M的每行和每列含有正数，故 a ′ 2 > 0 ，为使其恒成立，则 a ′ 4 ≤ 0 。因此， A ( 4 , 4 ) 可取−和0，则

A = ( ∗ − + 0 − + 0 0 + 0 ∗ + 0 0 + − 0 ) .

反之，设 A = ( ∗ + − 0 + ∗ 0 0 − 0 ∗ + 0 0 + ∗ ) ，取实矩阵

M = ( a ′ 1 1 − 1 0 1 a ′ 2 0 0 − 1 0 a ′ 3 b 0 0 b a ′ 4 ) ∈ Q ( A ) .

那么存在 α = − 1 ， β = a ′ 1 + a ′ 3 +m−1,m=min{ a ′ 2 , a ′ 4 } ，

γ = a ′ 3 2 + b 2 − β a ′ 3 + 3 + a ′ 4 2 + a ′ 1 2 + a ′ 1 a ′ 3 + a ′ 3 a ′ 4 − β a ′ 1 − β a ′ 4 2

和足够大的 t ∈ R ，使得 α M 3 + β M 2 + γ M + t I > 0 ，所以M是代数正矩阵，所以A是允许代数正。

设 A = ( ∗ + + 0 + − 0 0 0 + 0 ∗ − 0 0 − + ) ，取实矩阵

M = ( a ′ 1 1 1 0 1 a ′ 2 0 0 1 0 a ′ 3 − b 0 0 − b a ′ 4 ) ∈ Q ( A ) .

那么存在 α = − 1 ， β = a ′ 1 + a ′ 3 + a ′ 2 2 + a ′ 4 2 ，

γ = a ′ 3 2 + b 2 − β a ′ 3 + 3 + a ′ 4 2 + a ′ 1 2 + a ′ 1 a ′ 3 + a ′ 3 a ′ 4 − β a ′ 1 − β a ′ 4 2

和足够大的 t ∈ R ，使得 α M 3 + β M 2 + γ M + t I > 0 ，所以M是代数正矩阵，所以A是允许代数正。

设 A = ( ∗ − + 0 − + 0 0 + 0 ∗ + 0 0 + − 0 ) ，取实矩阵

M = ( a ′ 1 − 1 1 0 − 1 a ′ 2 0 0 1 0 a ′ 3 b 0 0 b a ′ 4 ) ∈ Q ( A ) .

那么存在 α = − 1 ， β = a ′ 1 + a ′ 3 + a ′ 2 2 + a ′ 4 2 ，

γ = 3 + a ′ 1 2 + a ′ 2 2 + a ′ 3 2 + a ′ 4 2 + a ′ 1 a ′ 2 + a ′ 3 a ′ 4 + b 2 − β a ′ 1 − β a ′ 2 − β a ′ 3 − β a ′ 4 2

和足够大的 t ∈ R 使得 α M 3 + β M 2 + γ M + t I > 0 ，所以M是代数正矩阵，所以A是允许代数正。

4. 结论

本文主要通过对所有4阶双星符号模式矩阵进行研究，证明4阶双星符号模式矩阵A对应的矩阵 B A 是不可约的等价条件，分别给出4阶双星符号模式矩阵非允许代数正和允许代数正的等价条件。本文对于特殊符号模式矩阵的允许代数正的研究可以提供一定的证明思路和研究方法。

文章引用

焦 旸. 4阶双星符号模式矩阵允许代数正
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