 Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 192-201 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.24030 Published Online October 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) On Series Alternated with Positive and Negative Involving Reciprocals of Binominal Coefficients Wanhui Ji, Laiping Zhang Department of Basic, Yin Chuan University, Yinchuan Email: jiwanhui2008@163.com Received: Jun. 24th, 2012; revised: Jul. 15th, 2012; accepted: Aug. 1st, 2012 Abstract: Usin g one known series, we can structure several new alternated with positive and negative Series of reciprocals of binominal coefficients by splitting ite ms. These denominators of series contains different the multiplication of one to five odd factors and binominal coefficients. And some identities of series of numbers values of reciprocals of binominal coefficients are given. The method of split items offered in this paper is a new combinatorial analysis way and an elementary method to construct new series. Keywords: Binomial Coefficients; Split Terms; Reciprocals; Series; Form Closed; Alternated with Positive and Negative 关于正负相间二项式系数倒数级数 及万会，张来萍 银川大学基础部，银川 Email: jiwanhui2008@163.com 收稿日期：2012 年6月24 日；修回日期：2012 年7月15 日；录用日期：2012 年8月1日 摘 要：利用已知级数，通过裂项构造出一批新的正负相间二项式系数倒数级数，它们的分母分别含 有1到5个奇因子与二项式系数的乘积表达式。所给出正负相间二项式系数倒数级数的和式是封闭形 的。并给出正负相间二项式系数数倒数值级数恒等式。裂项的方法研究二项式系数倒数变换是组合分 析的新手段，也是产生新级数的一个初等方法。 关键词：二项式系数；裂项；倒数；级数；封闭形；正负相间 1. 引言 二项式系数倒数变换问题在组合数学，解析数学等 学科研究领域极为重要，引起了很 多学者的广泛关注 [1-7]。在文献[2-5]中，他们利用被称为 Lehmer 级数恒等式 2 22 1 22arcsin 1 n n nn x x x n x ，1x。使用积分，发生函 数，白塔–伽马函数，递推等数学工具得到二项式系数倒数级数的重要结果。文献[1-6]的二项式系数倒数级数 的和式是用积分形式表示的。显然，级数的和式不是封闭形式。要得到级数明显表达式还要进行积分运算。我们 利用文献[8]中级数恒等式 0 2 221 2 ln 1 !4 21! 1 1n n nn x x nx nx ，通过裂项构造出一批新的正负相间二项 式系数倒数级数，它们的分母分别含有 1到5个奇因子与二项式系数的乘积表达式。所给出正负相间二项式系 数倒数级数的和式是封闭形的。另外，在定理中，令 1 2 x ，或 1 22 x，给出了一些二项式系数倒数值级数恒 Copyright © 2012 Hanspub 192  及万会，张来萍 关于正负相间二项式系数倒数级数 等式。因此，由此看出，利用已知级数使用裂项的方法研究二项式系数倒数变换是组合分析的新手段，也是产 生新级数的一个初等方法。 2. 主要结论和证明 定理 1) 分母含有 1个奇因子的正负相间二项式系数倒数级数 1 0 2 22 2 ln 1 1!2 2!2 11 mm m xx mx mm xD x (1) 2 0 2 1 2 1!2 2 1 2!23 m m m mx D mm 2 2 x x (2) 22 42 4 1 0 1!2 841 84 2!253 33 39 m mm mx mm xx x D2 x (3) 22 61 426 4 0 1!2 1682 11686 2!275 5555 1525 m mm mx mm 2 x xxx xx D (4) 22 8642 16 084 1!2 128 64168 112864488 2!297 3535353535 105 17549 m mm mx mm xxxxD2 x xx x (5) 2) 分母含有 2个因子的正负相间二项式系数倒数级数 22 1 2 0 1!2 11 1 2!2123 mm m mx D mm m2 x x (6) 22 1 4 024 1!2 211 21 2!21253 33 39 mm m mx D mm m2 x xx x (7) 22 1 4 024 1!2 45147 2!23253 33 39 mm m mx D mm m2 x xx x (8) 22 1 6426 4 0 1!2 8411 841 2!21275 15 15 15154525 mm m mx D mm m2 x xx xxx (9) 22 1 64 0264 1!2 4231 4211 2!232 75 55551525 m mm mx D mm m2 x xxx xx (10) 22 1 642 64 0 1!2 8327 18 1623 2!252715 5 15155 15225 m m mmx D mm m2 x xxxxx (11) 22 1 86428 64 02 1!2 16821116861 2!21297 3535353535 10517549 m mm mx D mm m x xxxx x x x (12) 22 1 8642 0864 1!2 6432813 16432815 2!23297 105105 10535105315 17549 mm m mx D mm m2 x xxx xxx x (13) 22 1 8648 64 02 1!2 32 168229 1321631431 2!252 921 353510510535 105525441 mm m mx D mm m2 x xxx xxx x (14) 22 1 86428 64 02 1!2 648843164 1366847 2!2 72 935 353573535 105525 1225 mm m mx D mm m x xx xxxxx (15) Copyright © 2012 Hanspub 193  及万会，张来萍 关于正负相间二项式系数倒数级数 3) 分母含有 3个因子的正负相间二项式系数倒数级数恒等式 22 1 42 42 02! 2 123253 33 39 D mm mm 1!2 121 12 mm m mx x xxx (16) 22 1 642642 0 1!2 2141216 2!2 123275 15 15 15154525 mm m mx D mm mm x xx xxx (17) 22 1 642 64 0 1!2 4721 48113 2!2 1252715 15 15 151515 150 mm m mx D mm mm2 x xxxx x (18) 22 1 64264 0 1!2 213 812338 2!232527 15 5151555225 mm m mx D mm m m2 x xxxx x (19) 22 1 8642 8642 4118 0 1!2 84161 8 2!212329 7 105 105 10535105 105 17549 mm m mx D mm mm x xxxxxxx (20) 22 1 86 428 64 0 1!2 4219 814 2 8310 2!212529 21 3535105 10535 105525441 mm m mx D mm mm2 x xxx xxx x (21) 22 1 86 4 2864 0 1!2 88112 18 14312 2!2 1272935 3521105 105355 1575 1225 mm m mx D mm mm2 x xxxxx x x (22) 22 1 8642 864 0 1!2 1683734 116916918 2!232529 21 105 105 105 10510535525 145 mm m mx D mm m m2 x xxx xxxx (23) 22 1 8642 864 0 1!2 3258174132222382 2!232729 35 105105105 35105 63 5251225 mm m mx D mm mm2 x xxx xxx x (24) 22 1 86 42864 0 1!2 163671 211676 29176 2!252729 105 3535 1052135 10514011025 mm m mx D mm m m2 x xxx xxx x 4) 分母含有 4个因子的正负相间二项式系数倒数级数恒等式 (25) 22 1 64 02 !21232527155 5 mmm m m m26 42 1!2 11111 723 15 15 45 225 mm mx D x xx x xx (26) 22 1 8642 0 8642 1!2 213131 2!21232529 21 105 10535105 2143 31 105 315 525441 mm m mx D mm mmmxxxx xxxx (27) 22 1 8642 0 86 42 1!2 43111 2!21232729 35 105 35 3521 4 2 1347 10571575 1225 mm m mx D mm mmmxxxx xx x x (28) 22 1 8642 0 86 42 1!2 217111 2!21252729 105 35 105735 213103 71 35 105 1575 11025 mm m mx D mm mmmxxxx xx xx (29) Copyright © 2012 Hanspub 194  及万会，张来萍 关于正负相间二项式系数倒数级数 22 1 864 2 0 864 2 1!2 859111 2!23252729 105 10521 35 105 85973281 105 315525 11025 mm m mx D mm m mmxxxx xxx x (30) 5) 分母含有 5个因子的的正负相间二项式系数倒数级数恒等式 22 1 8642 0 8 105 63xx 64 2 1!2 1 424 2!2123252729 105 105 10535 105 1258 176 1575 11025 mm m mx mm mmmmxxx x x x (31) 定理证明 文献[8]级数： 1 D 0 2 221 2 ln 1 !4 21! 1 1n n nn x x nx nx ，两端乘以 1 x ，得到(1)式，并设右端为 。 左端裂项， 1 D 22 2 1 0 1! 2 22!2 1122 1 1 n n n nD nx nnnn ，令 1nm 1) 对(1)式，化成， 22 2 1 0 !2 mmm 2 2 2! 2 12 11 3 m m xxD mm m ，两端同乘 2 1 x ， 0 2 2 2 1 2 !2 11 2!23 2123 11 1m m m mx D mmmm xx (0.1) 对(0.1)式实行下列运算，得到分母含 1个 因子的二项式系数倒数恒等式。 ①(0.1)式的分式化成部分分式 因子，2个 2 1 2 2 2 0 !2 1211121 2!2 123 m m m x mx D mmm x ，化简得(2)式，令(2)式右端设为 2) 对(1)式左端 裂项， 3 D。 ②由于 1 D已知，由(0.1)整理得(6)式。 222 2 01 2!1 2 24!2 11 32 n n n nnnxD n ，令 2nm ，化 成 2 2x 322!21 21nnnnn 222 2 4 2 1 2 0 2!1 242 2324 125 m m m mm mxxD m x mm 4 1 x 2 !2122 1 3mm m ，两端同乘以 得到 2 !22 21mm 2 42 4 01 242 1 2!2 12 1 3 325 m m mmxD mm m xx mx ， 22 1 0 42 4 1121 1!2 11 1 2212325!2521252335 3 m m mmx D m mmmmmm xx x mm (0.2) 对(0.2)式实行下列运算，得到分母含 1个，2个，3个因子的二项式系数倒数恒等式。 ①(0.2)式所有分式化成部分分式，得到 22 1 42 4 0 !2 1 23814381 2! 2 112 32 5 3 m m m mx D mmmm xx x 由于 ，已知，化简得到(3)式，并令右端为 。 1 D3 D5 D Copyright © 2012 Hanspub 195  及万会，张来萍 关于正负相间二项式系数倒数级数 ②在(0.2)式首先将 3个因子的分式化成部分分式，然后对 2个因子的分式每次保留1个，另 1个化成部分 分式，得到： 15 11 44 5 23 1115 848 21 3DDD xx D x D (A) 35 11 44 5 23 3127 848 41 3DDD D xx D x (B) 由于，， 已知，由(A)，(B)计算得到(7)，(8)式。 ③在(0.2)式保留 3个因子的分式，其他分式化成部分分式， 1 D3 D5 D 135 11 4 x D 42 35 111 2 3 1 4 1 4 2DDD xx D 由于，， 已知，化简得到(16)式。 1 D3 D5 D 3) 对(1)式左端裂项， 2 43! 2 28 11 nnn xx 2 2 1 222 0 1 2 26!252315 21 n n nnx D nn nn ，令 3nm ，得出 24 0 22 6 1 !222426 2 2!2 1232 28 11 315 527 m m m mmmmx xx xD mm mmm 6 1 x ，两端同乘以 得 22 0 24 11 25 7 !2 11 1 2!27 212723 27 11 21 232 72 m m mx mmmm mm mmm m m 28 1 315 2 12527 m mm x x m 1 6 111 232527 21232527 D mmmmmmm x (0.3) 对(0.3)式实行下列运算，得到分母含 1个，2个，3个，4个因子的二项式系数恒等式。 ①对(0.3)式所有分式化成部分分式，得到 22 1 64 26 0 !2 1285 163163 165 161 2!2 1232527 315 1 m m mmx D mmmmm xx xx 由于 1 D，3 D，5 D化简得到(4)式，并令(4)式右端为 7 D。 ②对(0.3)式首先保留 2个因子的分式，其他分式成部分分式。 然后对 2个因子的分式每次保留1个，其余化成部分分式得到： 11 64 71357 26 73323 48 16 12 81 315 16 48D xx DDDDD xx (A) 37 1 3 64 2 513 16 1616 128 DDD xx xDD 1 6 5 7 91 31 48 D x (B) 5 51 64 71357 26 53 513 16 16 12 81 315 16 16D xx DDDDD xx 由于，， ， 已知，由(A)，(B)，(C)计算得出(9)~(11)式。 ③对(0.3)式首先保留 3个因子的分式，其他分式项化成部分分式。 然后对 3个因子的分式每次保留1个，其余化成部分分式得到： (C) 1 D3 D5 D7 D Copyright © 2012 Hanspub 196  及万会，张来萍 关于正负相间二项式系数倒数级数 1371 3571 64 26 11 5313 48 1 1 6164 28 1 58 31 D xx xDDD x DD (A) 1571 3571 64 26 13 35 1128DDDD 11 DD x (B) 48 16164 58 31xx x 357 1 31 64 26 57 517128 DDDDD 3 16 1616 1 116 35 D xxxx (C) 由于，， ， 已知，由(A)，(B)，(C)计算得出(17)~(19)式。 ④在(0.3)式保留 4个因子的分式，其他分式项化成部分分式，得到： 1 D3 D5 D7 D 13571 3 42 51 676 7111 24 4 12 81 31 83 5D xx xx DDDDD 由于，， ， 已知，计算得出(26)式。 1 D3 D5 D7 D 4) 对(1)式左端裂项， 2 24 64! 3 2816nnn xx x 22 2 2 2 1 21 2 26 221 n nnnx D n nn ，令 4nm ，化成 028 !27 11 31535 nnn 22 8 1 24 6 0 2816 11 !222426282 2!31535 2123252729 m m m mmmmmxx D mm m x m xx mm 两端同乘以 8 1，得： x 86 42 0 22 !2 11 1 2!292129 2329 11 2729 212329 12 8161 315 35 mm m mx mmmm mm m xx mmm xx m 11 212529 212729 11 232529232729 mmmmm m mmm mmm 11 252729 21232529 1 21232729 mmm mmmm mmm m 1 21252729 1 23252729 mmm m mmmm 1 8 11 2123252729 D mmmm mx (0.4) 对(0.4)式实行下列运算，得到分母含 1个，2个，3个，4个，5个因子的二项式系数恒等式。 ①对(0.4)式所有分式化成部分分式，得到 2 86 4 2 21 8 0 !2 35112853296453235 1281 2! 21232527 2816 1 315 29 35 m m mmx D mmm m xx mxxx m ， Copyright © 2012 Hanspub 197  及万会，张来萍 关于正负相间二项式系数倒数级数 由于，， ， 已知，计算得到(5)式。并令(5)式为 。 ②在(0.4)式保留 2个因子的分式，其他分式化成部分分式。 然后对这些 2个因子的分式，每次保留1个，其他分式化成部分分式，得： 1 D3 D5 D7 D9 D 191357 9 86 482 1 12 8161959551 32 326432 128 3155 1 3D DDDDD xx xxD x (A) 39 13579 86 41 82 12 81635195169 12896 64 32 384 31535 1DDDDDDD xx xxx (B) 591 3 579 86 482 1 12816355 7 5 67 128 326432128 31535 1 DDDD x DD xD xxx (C) 191 3579 6 8842 1 12 81635591199 128 326432128 3153 1 5DDDDDDD xx xxx (D) 由于 已知由(A)，(B)，(C)，(D)计算得出(12)~(15)式。 ③在(0.4)式保留 3个因子的分式，其他分式化成部分分式。 然后对这些 3个因子的分式每次保留1个，其余化成部分分式，得到： 13579 ,,,,DDDDD 1391 3579 86 421 8 12 81627239597 128 966432384 35 1 135 DDDDDD xx xxD x (A) 159135 79 86 421 8 12 8 1631513531 128 326432128 531 35 xx xxx 1 DDDDD DD (B) 179135 79 86 421 8 12 816 D 975923 27 384 326496 128 31535 1 DDDDD xx xxD x (C) 3591 3 579 86 421 8 12 81635725589 128 966432384 5 1 31 35DDDDDD xx xxD x (E) 3791 3 86 42128 9664 35135 DDD xx xx 5791 8 9 73 32 384 1 DDDD x (F) 12 8 1635119 579135 79 86 421 8 12 81635511319 128 326432128 31535 1 DDDDDD xx xxD (G) 由于 已知由。(A)，(B)，(C)，(D)，(E)，(G)计算得出(20)~(25) 式。 ④在(0.4)式，保留 4个因子的分式，其他分式化成部分分式。 然后对这些 4个因子的分式每次保留1个，其余化成部分分式，得到 x 13579 ,,,,DDDDD 13591 3 578 9 86 421 1 2816331975107 128 966432384 3535 1D (A) 1DD DDDD xx xxx 137913 51 8 79 86 42 1 281610117913109 384966496384 31535 1D (B) DD DDDD xx xxx 157913 86 4238 4 326 31 355 DDD xx xx 5 78 9 1 111 37 496128 1 D DDD x (C) 2 8 16103511 1 8 35791 3 579 86 42 12 8163513133113 128 966432384 31535 1DDDD D xx x DD xx (D) 由于 已知，由(A)，(B)，(C)，(D)计算得到(27)~(30)式。 ⑤在(0.4)式，保留 5个因子的分式，其他分式化成部分分式。 13579 ,,,,DDDDD Copyright © 2012 Hanspub 198  及万会，张来萍 关于正负相间二项式系数倒数级数 135791 3 5179 86 4 28 128 161311113 48 68648 31535 1 DDDDDD xx xxD x 由于 已知，计算得出(31)式。定理证毕。 3. 一些封闭形数值级数 在定理公式(1)~(15)，令 13579 ,,,,DDDDD 1 2 x，1 22 x，设 15 2 为黄金比。 推论 1 分母含有奇因子的正负相间二项式系数倒数级数封闭形恒等式成立 1) 2 0 145ln 5 21 m m mmm ； 2) 2 0 1365 ln8 5 23 m m mmm ； 3) 2 015 9 25 m mm ； 4) 5725 ln368 1m 2 027 m mm 19165 ln m m 14792 575 ； 5) m 2 0 1293085 ln3311008 35 3675 29 m m mmm ； 6) 2 0 145ln 4 2123 m m mmmm ； 7) 2 0 1285 ln92 39 2125 m m mmmm ； 8) 2 0 1685 ln220 39 325m2 m m mmm ； 9) 2 0 1925 ln7396 322 2127 5 m mmmm ； ) m 2 0 13548 445 ln ； 10 75 23 27 m m mmm 11) m 2 02 252 m mmmm 13325 ln26788 325 7 ； m 12) 2 0 7325 ln4138 176 m ； 21 7367 95 2 m mmmm 13) 2 0 2956 5 1 2 ln 32 1670204 21 11025 9 m m mmmm ； 14) 2 0 4196 5 1 2 ln 52 2370556 21 11025 9 m m mmmm ； 15) 2 0 35725 ln201770 1 272 8 7 3675 9 m m mmmm 。 Copyright © 2012 Hanspub 199  及万会，张来萍 关于正负相间二项式系数倒数级数 推论 间二项式2 分母含有 与奇因子乘积的正负相系数倒数级数封闭形恒等式成立 1) 2m 2 0 18ln2 3 221 m mm mmm ； 2) 2 0 1136ln 216 3 223 m mm mmm ； 3) 2 0 11448ln 21504 39 225 m mm mmm ； 4) 2 0 169512ln2120464 15 75 227 m mm mmm ； 5) 2 0 14448728ln253963072 105 3675 229 m mm mmm ； 6) 2 0 124ln 28 22123 m mm mmmm ； 7) 2 0 11208ln 2376 99 22125 m mm mmmm ； 8) 2 0 1824 264 29 22325 m mm mmmm ； 9) 2 0 13864ln260232 522 22127 m mm mmmm 5 ； 10) 2 0 15736ln231624 57 22327 m mm mmmm 5 ； 11) 2 0 112792ln2199496 522 22527 m mm mmmm 5 ； 12) 2 035 3 22129675 mm mmmm 185 1352ln27892264 m ； 2 0 2223416ln 2 315 13)1 22 27010 3 936 110 5 29 2 m mm mmmm ； 2 0 36650 1 2 4ln2 14)40011704 35 110 22 2 55 9 m mm mmmm ； 2 0 822552ln216170344 3 1 227295 3675 m mm mmmm 15)。 参考文献 (References) [1] B. 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