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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 263-267
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.24040 Published Online October 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)
A Note on Uniqueness of Meromorphic Functions
Sharing One Value*
Jindong Li
Department of Mathematics, College of Management Science, Chengdu University of Technology, Chengdu
Email: jd-li86cdut@163.com
Received: Aug. 11th, 2012; revised: Aug. 26th, 2012; accepted: Sep. 11th, 2012
Abstract: In this paper, we study the uniqueness of meromorphic functions sharing one value, prove two
main theorems which generalize and improve some results earlier given by T. D. Zhang and W. R. Lv in
[6].
Keywords: Meromorphic Function; Uniqueness
关于分担一个值的亚纯函数的唯一性的一个注记*
李进东
成都理工大学，管理科学学院数学系，成都
Email: jd-li86cdut@163.com
收稿日期：2012 年8月11 日；修回日期：2012 年8月26 日；录用日期：2012 年9月11 日
摘 要：本文研究了分担一个值的亚纯函数的唯一性，得到两个结果，这改进了张同对、吕魏然的一
个结果。
关键词：亚纯函数；唯一性
1. 引言
本文采用 Nevanlinna 中的标准记号[1-3]，我们用 11 1
,1
Nr
f




表示
f
与
g
的单级 1值点的计数函数，
1
,1
L
Nr
f




表示
f
与
g
的1值点重数不等的，但
f
的1值点重数大于
g
的计数函数。记
(2 (
11 1
,, ,,
k
k
NrNrNrNr 1
f
afa faf
 
 
 
 
 
a
定义 设k是一个正整数或无穷大，


,
f
Eak
表示
f
的所有 m重a值点的集合，其中当时，计 m次，
当时，计 m + 1次。如果 ，我们
mk
mk

f
Eak

,,
g
Eak
f
与
g
以权 k分担 a，表示为
f
与
g
分担(a, k)。
f
与
g
IM
或CM 分担 a当且仅当
f
与
g
分担(a, 0)或

,a

。显然对任何整数 p, 0 < p < k，若
f
与
g
分担(a, k)，则
f
与
g
分担(a, p)。
2001 年，方明亮[4]证明了以下定理。
定理 A 设
f
与
g
为两个非常数的整函数， 为满足。若 与CM 分担 1，则,nk 24nk



k
n
fz


k
n
gz



,
cz cz

12
f
zce egzc
，其中 满足
12
,,cc c

cc

12
kn
n

2
11
k
c

；或者




f
ztgzn
t，其中 。 1
*资助信息：数学地质四川省重点实验室开放基金资助项目(SCSXDZ2011008)。
Copyright © 2012 Hanspub 263
李进东  关于分担一个值的亚纯函数的唯一性的一个注记
2007 年，S. S. B. hoosnurmanth和R. S. Dyavanl[5]推广定理 A，得到
定理 B 设
f
与
g
为两个非常数的亚纯函数， 为满足。若,nk 38nk


k
n
fz



与CM 分担 1，
则


k
n
gz


 
12
cz cz
,
f
zce ce

gz ，其中 满足
12
,,cc c

cc

12
kn
n

2
11
k
c

；或者




f
ztgz
，其中 。 1
n
t
2008 年，张同对和吕魏然[6]运用权分担的思想改定理 B，获得
定理 C 设
f
与
g
为两个非常数的亚纯函数， 为满足。若,nk 511nk


k
n
fz



与分担 1(1,1)，
则


k
n
gz


 
cz cz
12
,
f
zce ce

gz ，其中 满足
12
,,cc c

cc

12
kn
n

2
11
k
c

；或者




f
ztgz
，其中 。 1
n
t
本文对定理 C做一个进一步的改进，证明了以下结论
定理 1.1 设
f
与
g
为两个非常数的亚纯函数， 为满足。若,nk 510nk


k
n
fz



与分担 1(1,1)，
则


k
n
gz



,
cz cz

12
f
zce z e

gc ，其中 满足
12
,,cc c
 
kn
n

12
cc

2
11
k
c

；或者




f
ztgz
，其中 。 1
n
t
定理 1.2 设
f
与
g
为两个非常数的整函数， 为满足。若,nk 35nk

n
fz

k



与分担 1(1,1)，
则

n
gz



k

,
cz cz

12
f
zce e

gzc ，其中 满足
12
,,cc c

cc

12
kn

2
11
k
nc

；或者




f
ztgzn
t，其中 。 1
2. 主要引理
引理 2.1[3] 设
f
为非常数的亚纯函数，


01
,,, 0
nn
aaa a

为有穷复数，则





1
10
,,
nn
nn
Trafa fanTrfSrf


 ,
引理 2.2[3] 设
f
为非常数的亚纯函数，为正整数， 为非零有穷复数，则
kc
 
 


 

1
10
1
11 1
,,, ,,,
11 1
,,, ,
kk
kkk
TrfNrf NrNrNrSrf
ffc f
NrfNrNrNrSrf
ffc f




 






 




,
这里

01
1
,k
Nr
f






表示为 但

10
k
f


0
k
ff c

的计数函数。
引理 2.3[6] 设
f
为非常数的亚纯函数， 为两个正整数，则 ,kp


11
,,,
ppk
k
NrNrkNrf Srf
f
f
 

 
 


,
显然
 
1
11
,,
kk
NrN r
ff









n
。
3. 定理的证明
我们仅证定理 1.1，定理 1.2 能类似证明。
令
 
,
n
F
zfGzg，则由定理条件若

k
F
与分担 1(1,1)。

k
G
  


1
1,
,,1
0,1lim1lim1lim
,,,
n
rr r
Nr
Nr Trf
fn
F
FTrfnTrfnTrf n
 

 
 
 
 
(3.1)
类似的，

1
0, n
Gn

 (3.2)
Copyright © 2012 Hanspub
264
李进东  关于分担一个值的亚纯函数的唯一性的一个注记

1
,n
Fn

  (3.3)

1
,n
Gn

  (3.4)
同时，
 





11
1
11
,1
0,1lim1lim
,,
1
1, 1
1
1lim 1
,
kk
krr
r
Nr kNr
,
F
F
FTrFTrF
kNr nk
fk
nTr Fnn


 

 

 
 
 

 


 
(3.5)
同理



1
1
0,
k
nk
Gn




 (3.6)
设









2121
11
22
11
kkkk
kkkk
FFGG
hz FFGG


 


 (3.7)
假设不恒等于零，如果 是

hz 0
z

k
F
与的简单 1值点，代入(3.7)，我们看到 是的零点，故

k
G0
z

hz
 
  
11 11
() ()
111
,,,,
11
,, ,
kk
NrNrNr TrhO
h
FG
Nrh SrFSrG







1

(3.8)
根据(3.7)，我们有
 

  
01
01
11 1
,,, ,,,
11 1
,, ,
11
k
LL
kk k
NrhNrFNrGNrNrN r
FG F
NrNrNr
GF G




  
 
 
 

 

 

 

(3.9)
这里

01
1
,k
Nr
F



表示为 但

10
k
F


0
k
FF c

的计数函数。
根据引理 2.2，
 
 

10
1
11 1
,,,,,
kkk
TrFNrFNrNrN rSrF
FFc F




 
 




,
(3.10)

 

10
1
111
,,,,,
kkk
TrGNrGNrNrN rSrG
GGc G



 




,
(3.11)
因为

k
F
与分担 1(1,0)，所以

k
G
 
   
(2
11
11
,,
11
111
2,2,2,2 ,
111
kk
LLE
kkk
Nr Nr
FG
Nr Nr Nr Nr
FFGF








 

 

 

1
1
k

(3.12)
Copyright © 2012 Hanspub 265
李进东  关于分担一个值的亚纯函数的唯一性的一个注记
这里

(2 1
,1
Ek
Nr
F




表示 k
F
与的公共的重数大于等于 2的1值点的计数函数。

k
G
由(3.8)、(3.9 )、(3 .12)有
 
  
 

(2
11
00
11
11
,,
11
111
,3,3,2,
111
11 1
,,,,,
kk
LLE
kkk
kk
Nr Nr
FG
Nr Nr Nr Nr
FFG F
N rN rNrFNrGNrNr
1
1
1
,
k
F
G
FG









 
  
 

 


 



 







(3.13)
因为

k
F
与分担 1(1,1)，所以容易看到

k
G
  





 
(2
11 111
,3,2,2,
111
1
,,,,,,
1
,,,,
LLE
kkk
k
k
NrNrNrN r
FGF F
NrSrF SrG TrGSrF SrG
G
TrGkNrG SrFSrG

 

 

 






 
1
1
k

(3.14)
由(3.10)、(3.11)、(3.13)、(3.14)，我们得到
 



11
11
,,2,,2, ,
11
,,,,
1
,,,
1
kk
Lk
TrFTrGNrFN rNrGN r
F
G
NrNrTrG kNrG
FG
Nr SrFSrG
F

 
 
 
 











(3.15)
此外，根据引理 2.3，我们有
 




 




1
1
1
111
,,,,
111
1
,,,,,
1
,1,,
k
Lkkkk
k
kk
kk
F
Nr NrNr Nr
FFFF
F
NrSrFNrF NrSrF
FF
Nr kNrFSrF
F











 

 
 





(3.16)
由(3.15)和(3.16)，得到
  

11
11
,3,2,, ,
11
2,,, ,
kk
TrFkNrFkNrG NrNr
F
G
NrNr SrFSrG
FG


 


 

 
 



不失一般性，我们假设




,,TrG TrF,rI

,
I
为一个具有无穷测度的集合，则


  
 


11
,
2 103,2,0,0,20,0,,
,
kk
TrF
kk Fk GFGFGTr
SrF
 

  
 


F
(3.17)
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9
F
这里

02k

 
即
 
29, ,kTrFSr




故


29k

 (3.18)
其中












 
11
(3), (2),0,0, 20,0,
1
111 510
3223210
kk
kFkGFG F
nk
nnn k
kk k
nnnn n


  

 
 
G
注意到(3.18)，我们得到 这与条件 矛盾。 510nk 510nk
故 ，即

0hz








212
11
22
11
kkk
kk kk
FFGG
FFGG



1k


通过积分有，



1
11
k
kk
bGab
FG




,这里 0,ab

为常数。接下来，采用文[6]中类似的讨论可以得到定理 1.1的
结论，在此我们省去细节。
4. 致谢
本文得到四川省科技厅数学地质四川省重点实验室开放基金的资助(编号：SCSXDZ2011008)。
参考文献 (References)
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[2] L. Yang. Distrbution theory. Berlin: Spinger-Verlag, 1993: 1-30.
[3] H. X. Yi, C. C.Yang. Uniqueness theory of meromorphic functions. Beijing: Science Press, 1995: 1-32.
[4] M. L. Fang, W. Hong. A unicity theorem for entire functions concerning differential polynomial. Indian Journal of Pure and Applied Mathe-
matics, 2001, 32(9): 1343-1348.
[5] S. S. Bhoosnurmath, R. S. Dyavanal. Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions. Computers & Mathematics with Applications,
2007, 53(8): 1191-1205.
[6] T. D. Zhang, W. R. Lv. Uniqueness of theorems on meromorphic functions sharing one value. Computers & Mathematics with Applications,
2008, 55(12): 2981-2992.

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