设为首页
加入收藏
期刊导航
网站地图
首页
期刊
数学与物理
地球与环境
信息通讯
经济与管理
生命科学
工程技术
医药卫生
人文社科
化学与材料
会议
合作
新闻
我们
招聘
千人智库
我要投稿
办刊
期刊菜单
●领域
●编委
●投稿须知
●最新文章
●检索
●投稿
文章导航
●Abstract
●Full-Text PDF
●Full-Text HTML
●Full-Text ePUB
●Linked References
●How to Cite this Article
AdvancesinAppliedMathematics
A^
ê
Æ
?
Ð
,2022,11(6),3955-3964
PublishedOnlineJune2022inHans.http://www.hanspub.org/journal/aam
https://doi.org/10.12677/aam.2022.116424
˜
a
ä
k
‡
z
ƒ
Ž
Ó
.
•
`
Â
¼
äää
···
Ü
“
‰
Œ
Æ
ê
Æ
†
Ú
O
Æ
§
[
‹
=
²
Â
v
F
Ï
µ
2022
c
5
27
F
¶
¹
^
F
Ï
µ
2022
c
6
19
F
¶
u
Ù
F
Ï
µ
2022
c
6
28
F
Á
‡
Ï
L
Ú
\
Ó
ö
-
.
¥
š
‚
5
Ó
¼
¼
ê
§
ï
Ä
˜
a
ä
k
‡
z
ƒ
Ž
Ó
.
§
T
.
²
ï
:
•
3
5
Ú
Û
Ü
-
½
5
^
‡
§
Ï
L
E
Lyapunov
¼
ê
5
ä
²
ï
:
±
Œ
Û
-
½
5
"
(
½
š
‚
5
Â
¼
e
)
²
L
²
ï
:
§
¦
^
Pontryagin
4
Œ
Š
n
•
`
Â
¼
ü
Ñ
§
l
«
3
y
2
i
)
Ô
«
+
Ø
«
ý
œ
¹
e
§
é
•
’
]
?
1
|
^
Ú
m
u
Ó
ž
§
Ø
=
‰
•
¬
J
ø
•
Œ
²
L
|
d
§
…
‘
±
°
)
X
Ú
²
ï
"
'
…
c
2
i
)
Ô
§
Ó
ö
-
.
§
‡
z
ƒ
Ž
§
-
½
5
§
•
`
Â
¼
ü
Ñ
OptimalHarvestofaPredationModel
withAllelopathy
YajingYuan
CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,LanzhouGansu
Received:May27
th
,2022;accepted:Jun.19
th
,2022;published:Jun.28
th
,2022
©
Ù
Ú
^
:
ä
·
.
˜
a
ä
k
‡
z
ƒ
Ž
Ó
.
•
`
Â
¼
[J].
A^
ê
Æ
?
Ð
,2022,11(6):3955-3964.
DOI:10.12677/aam.2022.116424
ä
·
Abstract
Byintroducingthenonlinearcapturefunctioninthepredator-preymodel,akindof
predator-preymodelwithplantingphaseisstudied.Theconditionsfortheexistence
andlocalstabilityoftheequilibriumpointofthemodelareobtained.Theglobal
stabilityaroundthepositiveequilibriumpointisjudgedbyconstructingLyapunov
function,theecologicalandeconomicequilibriumpointundernonlinearharvesting
isdetermined,andtheoptimalharvestingstrategyisobtainedbyusingPontryagin
maximumprinciple,whichrevealsthatwhileensuringthenonextinctionofplankton
population,theutilizationanddevelopmentoffisheryresourcesnotonlyprovides
fishermenwiththemaximumeconomicprofit, butalsomaintainsthebalanceofmarine
ecosystem.
Keywords
Plankton,Prey-PredatorModel,Allelopathy,Stability,OptimalHarvestStrategy
Copyright
c
2022byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution InternationalLicense(CCBY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
Ú
ó
2
i
)
Ô
´)
¹
3
°
,
à
6
Ú
Ñ
¥
¤
6
)
Ô
.
Š
â
E
'
X
,
§
©
•
2
i
‡
Ô
Ú
2
i
Ä
Ô
.
2
i
‡
Ô
´
Y
)
Ô
ó
¥
•
Ä
E
,
´
°
‚
¸
¥
•
Ä
Ô
5
.
2
i
Ä
Ô
´
²
L
Y
Ä
Ô
,
´
¥
þ
Y
•
¥
~
a
Ú
Ù
¦
²
L
Ä
Ô
-
‡
,
é
•
’
u
Ð
ä
k
-
‡¿Â
.
‘
X
Ä
å
Æ
X
Ú
u
Ð
,
N
õ
)
ó
Š
ö
5
¿
,
Y
)
«
+
U
)
˜
z
Æ
Ô
Ÿ
,
ù
z
Æ
Ô
Ÿ
é
Ù
¦Y
)
«
+
©
O
k
e
-
Ú
³
›
)
•
Š
^
[1].
<
‚
Ï
~
r
e
-
)
•
z
Æ
Ô
Ÿ
¡
•
-
ƒ
,
r
³
›
)
•
z
Æ
Ô
Ÿ
¡
•
Ó
ƒ
,
¿
…
r
˜
«
Ô
Ÿ
)
Ó
ƒ
³
›
Ù
§
Ô
Ÿ
)
•
y–
‰
‡
z
ƒ
Ž
[2].
Maynard
−
Smith
Ä
g
J
Ñ
£
ã
ü
‡
Ô
«
m
‡
z
ƒ
Ž
Š
^
ê
Æ
.
[3].
¯¢
þ
,
˜
‡
Ô
«
ê
þ
O
\
Œ
U
¬
Ï
L
)
‡
z
ƒ
Ž
Š
^
½
ö
e
-
Ô
)
5
K
•
,
˜
‡
Ô
«
½
Ù
¦
A
‡
Ô
«
)
•
,
l
K
•
G
!
ü
O
[4].
8
c
'
u
2
i
)
Ô
‡
z
ƒ
Ž
ï
Ä
®
²
˜
-
‡
¤
J
[5–8].
(
DOI:10.12677/aam.2022.1164243956
A^
ê
Æ
?
Ð
ä
·
Ü
Maynard
−
Smith [3]
.
J
Ñ
±
e
2
i
)
Ô
‡
z
ƒ
Ž
Ó
.
d
x
d
t
=
rx
(1
−
x
k
)
−
β
1+
αx
xy
−
γx
2
y,
d
y
d
t
=
−
δy
+
aβxy
1+
αx
,
(1
.
1)
Ù
¥
x
L
«
2
i
‡
Ô
,
´
«
+
—
Ý
,
y
L
«
2
i
Ä
Ô
,
´
Ó
ö
«
+
—
Ý
.
γ
L
«
2
i
Ä
Ô
é
2
i
‡
Ô
Ó
ƒ
³
›
Ç
.
γx
2
´
y
Ô
«
é
x
Ô
«
—
Ý
˜
«
õ
U
‡
A
.
§
´
Ï
L
2
i
Ä
Ô
)
˜
«
k
Ó
Ô
Ÿ
5
{
Ž
2
i
‡
Ô
¦
^
Ó
]
.
ë
ê
r
“
L
S
O
•
Ç
.
φ
(
x
) =
β
1+
αx
´
HollingΠ
.
õ
U
‡
A
¼
ê
[9],
“
LÓ
ö
Ó
Ç
.
δ
•
Ó
ö
«
+
g
,
k
Ç
.
a
•
=
z
Ç
.
k
•
‚
¸
N
B
þ
.
3
Â
¼
A
e
,
·
‚
b
.
(1.1)
¥
2
i
‡
Ô
Ø
ä
k
û
’
-
‡
5
,
Ó
ö
Ø
ä/
Â
¼
,
¤
±
Â
¼
¼
ê
±
•
ã
å
¼
•
Œ
²
L
|
d
.
8
c
2
•
A^
Â
¼
¼
ê
,
Ì
‡
k
±
e
n
«
a
.
[10]:
(i)
~
êÂ
¼
¼
ê
,
é
Ó
¼
é
–
±
~
êÂ
¼
Ç
?
1
Ó
M
,
¡
•
½
•
Ó
M
ü
Ñ
;
(ii)
'
~
Â
¼
¼
ê
,
¡
•
½
ã
åþ
Ó
M
ü
Ñ
,
=b
½
ü
ž
m
S
Â
¼
þ
†
Ó
M
ã
åþ
9
«
+
Œ
¦
È
¤
'
,
˜
„
P
•
H(y
,
E) =
q
E
y
;
(iii)
š
‚
5
Â
¼
¼
ê
,
=
H(
y,
E)=
q
E
y
d
1
E+
d
2
y
,
Ù
¥
q
L
«
Œ
Ó
¼
X
ê
,E
L
«
é
Ó
ö
«
+
Â
¼
ã
å
,
d
1
,d
2
´
~
ê
.
Ø
J
u
y
,
~
êÂ
¼
¼
ê
‘
Å
Ï
é
Ô
,
'
~
Â
¼
¼
ê´
é
u
½
E,H(y
,
E)
¬
‘
y
Ã
.
‚
5
O
\
.
š
‚
5
Â
¼
¼
ê
ž
Ø
þ
ã
Ø
y
¢
A
,
¿
…
÷
v
lim
E
→
+
∞
q
E
y
d
1
E+
d
2
y
=
q
E
d
2
,
lim
y
→
+
∞
q
E
y
d
1
E+
d
2
y
=
qy
d
1
.
=
š
‚
5
Â
¼
¼
ê
é
Â
¼
ã
å
Y
²
Ú
«
+
´
Ý
þ
L
y
Ñ
Ú
A
,
l
L
²
š
‚
5
Â
¼
•
y
¢
.
Ï
d
,
3
•
3
š
‚
5
Â
¼
¼
ê
œ
¹
e
,
.
(1.1)
?
U
•
:
d
x
d
t
=
rx
(1
−
x
k
)
−
β
1+
αx
xy
−
γx
2
y,
d
y
d
t
=
−
δy
+
aβ
1+
αx
xy
−
q
E
y
d
1
E+
d
2
y
.
(1
.
2)
N
õ
;
[
Ú
Æ
ö
ï
Ä
ˆ
«
ˆ
«
+
Ä
å
X
Ú
Â
¼
¯
K
,
3
•
’
]
+
n
!
¾
Á
³
›
›
+
•
Œ
þ
¤
J
. Lv
[11]
ï
Ä
˜
‡
é
k
o
«
n
«
+
.
,
é
m
˜
«
Ú
Ó
ö
?
1
ƒ
Ó
Ó
M
ã
åþ
Ó
¼
,
‰
Ñ
Ä
u
•
Œ
²
L
Â
Ã
Û
É
•
`
›
›
. Manna
[12]
ï
Ä
^
ƒ
Ó
Ó
¼
ã
åþ
Ó
žÂ
¼
ü
«
+
•
`
Â
¼
ü
Ñ
.
o
ä
z
[13]
A^
Pontryagin
4
Œ
Š
n
?
Ø
€
9
D
Â
.
•
`
n
Ü
›
›
.
©
Ä
k
©
Û
.
(1.2)
²
ï
:
•
3
5
Ú
-
½
5
,
,
?
Ø
•
`
Â
¼
›
›
ü
Ñ
,
•
)
º
ƒ
A
(
Ø
.
2.
²
ï
:
-
½
5
•
{
ü
å
„
,
·
‚
Ú
\
Ã
þ
j
C
þ
:
u
=
1
k
x,v
=
β
r
y,t
=
τ
λ
,
Ã
þ
j
ë
ê
•
:
m
=
αk,η
=
γk
β
,s
=
δ
r
,b
=
aβk
r
,h
=
q
E
d
2
β
,d
=
β
E
d
1
d
2
r
.
DOI:10.12677/aam.2022.1164243957
A^
ê
Æ
?
Ð
ä
·
2
g
^
t
L
«
τ
,
.
(1.2)
C
•
X
e
/
ª
:
d
u
d
t
=
u
(1
−
u
)
−
uv
1+
mu
−
ηu
2
v,
d
v
d
t
−
sv
+
buv
1+
mu
−
hv
d
+
v
,
(2
.
1)
d
.
(2.1)
²
ï
:
k
²
…
²
ï
:
E
0
=(0
,
0),
š
²
…
²
ï
:
E
1
=(1
,
0),
²
ï
:
E
∗
= (
u
∗
,v
∗
),
v
∗
=
(1
−
u
∗
)(1+
mu
∗
)
1+
mu
∗
+
ηu
∗
,
Ù
¥
u
∗
÷
v
˜
n
g
•
§
A
u
3
∗
+B
u
2
∗
+C
u
∗
+D = 0
,
(2
.
2)
A =
m
(
ms
−
b
)
>
0
,
B =
m
(2
s
+
b
+
bd
−
ηds
−
ηh
)
−
m
2
(
s
+
ds
+
h
)+
b
(
ηd
−
1)
>
0
,
C =
bd
+
b
+
s
−
(4
ms
+2
mh
+
ηds
+
ηh
)
>
0
,
D =
−
(
s
+
sd
+
h
)
<
0
.
3ù
p
-
f
(
u
)=A
u
3
+B
u
2
+C
u
+ D.
Ï
•
f
(0)=D=
−
(
s
+
sd
+
h
)
<
0,
¤
±˜
n
g
•
§
(2.2)
ª
–
k
˜
‡
Š
.
2
|
^
(
k
Î
Ò
{
K
,
(
H
0
) :3
ms
+3
m
2
s
+
hbd>m
2
+
ηhm
+
b
÷
v
ž
,
§
k
•
˜
Š
E
∗
= (
u
∗
,v
∗
).
2.1.
²
ï
:
Û
Ü
-
½
5
½
n
1
.
(2.1)
3
z
‡
²
ï
:
±
Œ
Û
Ü
-
½
5
(i)
²
…
²
ï
:
E
0
= (0
,
0)
o
´
Ø
-
½
;
(ii)
b
1+
m
<s
+
hd
d
2
ž
,
š
²
…
²
ï
:
E
1
= (1
,
0)
´
ì
C
-
½
;
(iii)
hv
∗
(
d
+
v
∗
)
2
<
b
(
d
+
v
∗
)
2
h
(1+
mu
∗
)
2
(
u
∗
1+
mu
∗
+
ηu
2
∗
)
ž
,
²
ï
:
E
∗
= (
u
∗
,v
∗
)
´
ì
C
-
½
,
‡
ƒ
´
Ø
-
½
.
y
²
.
(2.1)
3
?
¿
:
(
u,v
)
Jacobi
Ý
•
J =
1
−
2
u
−
v
(1+
mu
)
2
−
2
ηuv
−
u
1+
mu
−
ηu
2
bv
(1+
mu
)
2
−
s
+
bu
1+
mu
−
hd
(
d
+
v
)
2
!
.
(2
.
3)
(i)
.
(2.1)
3
²
…
²
ï
:
E
0
= (0
,
0)
?
Jacobi
Ý
•
J
E
0
=
10
0
−
s
−
hd
d
2
,
(2
.
4)
DOI:10.12677/aam.2022.1164243958
A^
ê
Æ
?
Ð
ä
·
Ý
(2.4)
A
Š
•
1
Ú
−
(
s
+
hd
d
2
)
<
0,
Ï
d
²
…
²
ï
:
E
0
o
´
Ø
-
½
.
(ii)
.
(2.1)
3
š
²
…
²
ï
:
E
1
= (1
,
0)
?
Jacobi
Ý
•
J
E
1
=
−
1
−
1
m
+1
−
η
0
−
s
+
b
1+
m
−
hd
d
2
,
(2
.
5)
Ý
(2.5)
A
Š
•
−
1
Ú
−
s
+
b
1+
m
−
hd
d
2
.
b
1+
m
<s
+
hd
d
2
ž
,
š
²
…
²
ï
:
E
1
= (1
,
0)
´
ì
C
-
½
.
(iii)
.
(2.1)
3
²
ï
:
E
∗
= (
u
∗
,v
∗
)
?
Jacobi
Ý
•
J
E
∗
=
a
11
a
12
a
21
a
22
,
(2
.
6)
a
11
= 1
−
2
u
∗
−
v
∗
(1+
mu
∗
)
2
−
2
ηu
∗
v
∗
,a
12
=
−
u
∗
1+
mu
∗
−
ηu
2
∗
,
a
21
=
bv
∗
(1+
mu
∗
)
2
,a
22
=
−
s
+
bu
∗
1+
mu
∗
−
hd
(
d
+
v
∗
)
2
.
Ý
(2.6)
A
•
§
•
λ
2
−
Θ
λ
+Λ = 0
,
(2
.
7)
Ù
¥
Θ = tr[J(E
∗
)] =
a
11
+
a
22
,
Λ = det[J(E
∗
)] =
a
11
a
22
−
a
12
a
21
,
l
,
²
ï
:
-
½
5
d
Θ
Ú
Λ
Î
Ò
¤
û
½
.
Ï
d
,
hv
∗
(
d
+
v
∗
)
2
<
b
(
d
+
v
∗
)
2
h
(1+
mu
∗
)
2
(
u
∗
1+
mu
∗
+
ηu
2
∗
),
.
(2.1)
²
ï
:
E
∗
´
Û
Ü
ì
C
-
½
.
‡
ƒ
,
²
ï
:
E
∗
´
Ø
-
½
.
2.2.
²
ï
:
Û
-
½
5
3ù
˜
!
¥
,
·
‚
Ï
L
E
Ü
·
Lyapunov
¼
ê
5
ï
Ä
.
(2.1)
²
ï
:
E
∗
Û
-
½
5
.
½
n
2
b
(
H
0
)
¤
á
,
mv
∗
<
1+
mu
∗
ž
,
.
(2.1)
²
ï
:
E
∗
´
Û
ì
C
-
½
.
y
²
E
Lyapunov
¼
ê
V(
u,v
) = [(
u
−
u
∗
)
−
u
∗
ln
u
u
∗
]
−
ϕ
[(
v
−
v
∗
)
−
v
∗
ln
v
v
∗
]
,
DOI:10.12677/aam.2022.1164243959
A^
ê
Æ
?
Ð
ä
·
Ù
¥
ϕ
•
–
½
~
ê
.
÷
X
.
(2.1)
)
é
V(
u,v
)
¦
k
dV(
u,v
)
d
t
=
u
−
u
∗
u
d
u
d
t
−
ϕ
v
−
v
∗
v
d
v
d
t
=(
u
−
u
∗
)[1
−
u
−
v
1+
mu
−
ηuv
]
−
ϕ
(
v
−
v
∗
)[
−
s
+
bu
1+
mu
−
h
d
+
v
]
.
(2.8)
é
u
²
ï
:
E
∗
= (
u
∗
,v
∗
),
·
‚
k
˜
|
²
ï
•
§
1
−
u
∗
−
v
∗
1+
mu
∗
−
ηu
∗
v
∗
= 0
,
−
s
+
bu
∗
1+
mu
∗
−
h
d
+
v
∗
= 0
,
(2
.
9)
·
‚
ò
(2.8)
ª
Ú
(2.9)
ª
(
Ü
3
˜
å
k
dV(
u,v
)
d
t
=(
u
−
u
∗
)[
−
u
−
v
1+
mu
−
ηuv
+
u
∗
+
v
∗
1+
mu
∗
+
ηu
∗
v
∗
)]
−
ϕ
(
v
−
v
∗
)[
bu
1+
mu
−
h
d
+
v
−
bu
∗
1+
mu
∗
+
h
d
+
v
∗
]
,
ϕ
=
(1+
mu
∗
)(
ηu
∗
(1+
mu
)+1)
b
,
·
‚
dV(
u,v
)
d
t
=(
u
−
u
∗
)
2
[
−
1+
mv
∗
(1+
mu
)(1+
mu
∗
)
−
ηv
]
−
(1+
mu
∗
)(
ηu
∗
(1+
mu
)+1)
b
(
v
−
v
∗
)
2
=
−
[(
u
−
u
∗
)
2
(1
−
mv
∗
(1+
mu
)(1+
mu
∗
)
+
ηv
)+
(1+
mu
∗
)(
ηu
∗
(1+
mu
)+1)
b
(
v
−
v
∗
)
2
]
≤
0
.
Ï
d
,
Š
â
Lyapunov
−
Lasalle
ØC
n
[14],
²
ï
:
E
∗
´
Û
ì
C
-
½
.
3.
)
²
L
²
ï
:
•
3
5
Ï
L
Ñ
È
Ó
¼
Ó
ö
Ú
¼
o
Â
\
Ú
Ý
\
Ó
M
¤
^
¤
Ä
±
²
ž
,
Œ
±
ˆ
¤
¢
)
Ô
²
ï
.
3
.
(1.1)
¥
,
Ï
L
Ó
ö
(
=
2
i
Ä
Ô
)
3
û
’
þ
ä
k
-
‡¿Â
,
B
\
š
‚
5
Â
¼
¼
ê
.
Ï
d
,
·
‚
Œ
±
ˆ
¤
¢
)
Ô
²
ï
,
ù
¿
›
)
²
ïÚ
²
L
²
ï
,
)
Ô
²
ï
d
d
x
d
t
=
d
y
d
t
= 0
‰
Ñ
.
3ù
p
,
½
Â
c
•
z
ü
Ó
M
r
Ý
ð
½
¤
, P
•
z
ü
)
Ô
þ
Ñ
È
d
‚
,
¤
±
À
Â
\
´
Ñ
ÈÂ
¼
)
Ô
þ
¤
¼
o
Â
\
~
Â
¼
ã
å
o
¤
.
À
Â
\
•
π
(
x,y,
E) =
PE
qy
d
1
E+
d
2
y
−
c
E = (
P
qy
d
1
E+
d
2
y
−
c
)E
,
DOI:10.12677/aam.2022.1164243960
A^
ê
Æ
?
Ð
ä
·
@
o
)
²
ï
:
A
∞
= (
x
∞
,y
∞
,
E
∞
),
d
e
•
§
‰
Ñ
rx
(1
−
x
k
)
−
βxy
1+
αx
−
γx
2
y
= 0
,
−
δy
+
aβxy
1+
αx
−
q
E
y
d
1
E+
d
2
y
= 0
,
(
P
qy
d
1
E+
d
2
y
−
c
)E = 0
,
(3
.
1)
•
y
A
∞
•
3
,
7
L
±
P
qy
d
1
E+
d
2
y
>c
.
²
O
Ž
•
§
(3.1)
)
²
ï
:
A
∞
Œ
±
L
«
•
X
e
/
ª
:
x
∞
=
P(
δd
1
−
q
)+
cd
2
P(
aβd
1
−
δαd
2
)+
cd
2
α
,
y
∞
=
r
(
k
−
x
∞
)(1+
αx
∞
)
βk
+
γx
∞
k
(1+
αx
∞
)
,
E
∞
=
d
2
y
∞
[
δ
(1+
αx
∞
)
−
aβx
∞
]
aβx
∞
d
1
−
(1+
αx
∞
)(
δd
1
+
q
)
.
½
n
3
cd
2
p
<q<δd
1
,aβd
1
<δαd
1
+
αq
ž
,
)
²
ï
:
A
∞
= (
x
∞
,y
∞
,
E
∞
)
•
3
.
5
:
X
J
E
>
E
∞
,
@
o
Ó
¼
Ô
o
¤
ò
‡
L
l
•
’
¼
o
Â
\
,
˜
•
¬
¬
;
É
›
”
,
¦
‚
g
,
¬
ò
Ñ
•
’
,
E
>
E
∞
Ø
U
Ã
•
‘
±
.
‡
ƒ
, E
<
E
∞
,
K
•
’
•
\
k
|
Œ
ã
,
Ï
d
,
3
m
˜
¼
•
’
¥
,
§
¬
á
Ú
5
õ
•
¬
,
ù
ò
é
Â
¼
ó
Š
)
5
Œ
K
•
,
ƒ
A
é
‚
¸
Ú
•
’
]
m
u
Ú
|
^
Ò
¬
k
B
Š
^
,
¤
±
,E
<
E
∞
•
Ø
U
Ã
•
/
±
.
4.
•
`
Â
¼
ü
Ñ
•
(
½
˜
‡
•
`
Â
¼
ü
Ñ
,
Ú
\
˜
‡
ë
Y
Â
\
ž
m
6
J
c
Š
:
J(E) =
Z
∞
0
e
−
εt
π
(
x,y,
E)d
t
=
Z
∞
0
e
−
εt
(
P
qy
d
1
E+
d
2
y
−
c
)Ed
t,
Ù
¥
,
ε
•
b
y
Ç
, E(
t
)
•
Ó
ö
«
+
Ó
¼
ã
å þ
,
÷
v
›
›
•
V=[0
,
E
max
]. E
max
´
Ú
Ó
ö
Â
¼
Œ
1
þ
•
, E
ε
L
«
•
`
›
›
,
¤
é
A
G
•
x
ε
,y
ε
.
·
‚
A
ε
=(
x
ε
,y
ε
)
•
•
Z
²
ï
:
.
·
‚
8
I
´
3
y
4
X
Ú
«
+
Œ
±
Y
u
Ð
c
J
e
,
3
›
›
•
V
þ(
½
#
N
›
›
E(t),
¦
.
(1.2)
²
L
Ð
Š
(
x
(0)
,y
(0))=(
x
0
,y
0
)
)
4
ë
Y
Â
\
ž
m
6
J
c
Š
ˆ
•
Œ
Š
.
=
•
`
›
›
E
ε
÷
v
J(E
ε
) = maxJ(E).
y
3
½
Â
•
`
›
›
M
—
î
¼
ê
H =
e
−
εt
(
P
q
E
y
d
1
E+
d
2
y
−
c
E)+
λ
1
[
rx
(1
−
x
k
)
−
βxy
1+
αx
−
γx
2
y
]+
λ
2
[
−
δy
+
aβxy
1+
αx
−
q
E
y
d
1
E+
d
2
y
]
,
Ù
¥
λ
1
,λ
2
´
Š
‘
C
þ
,
Ó
ž
k
∂
H
∂
E
=:
σ
(
t
),
Œ
„
σ
(
t
)
¦
E(
t
)
3
0
†
E
max
þ
5
£
ƒ
†
,
¡
σ
(
t
)
•
ƒ
DOI:10.12677/aam.2022.1164243961
A^
ê
Æ
?
Ð
ä
·
†
¼
ê
.
du
M
—
î
¼
ê
H
3
›
›
C
þ
¥
´
‚
5
,
¤
±
•
`
›
›
9
Û
É
›
›
Ú
bang
−
bang
›
›
(
3
§
þ
.
½
e
.
)
(
Ü
.
Ï
d
,
3ù
«
œ
¹
e
,
é
A
•
`
ü
Ñ
X
e
:
E(
t
) =
E
max
,σ
(
t
)
>
0
⇔
λ
2
e
εt
<
P
−
c
(
d
1
E+
d
2
y
)
2
qd
2
y
2
,
0
,σ
(
t
)
<
0
⇔
λ
2
e
εt
>
P
−
c
(
d
1
E+
d
2
y
)
2
qd
2
y
2
.
λ
2
e
εt
´
b
½
d
‚
,
λ
2
e
εt
<
P
−
c
(
d
1
E+
d
2
y
)
2
qd
2
y
2
´Â
¼
Ó
ö
À
Â
\
.
l
²
L
Æ
Ý
w
,
1
˜
‡
^
‡
)
º
•
’
Ó
M
Â
\
Œ
u
b
½
d
‚
ž
,
•
¬
3
¼
|
œ
¹
,
ù
ò
y
¦
‚
u
ž
•
õ
Ó
M
ã
å
.
1
‡
^
‡
)
º
•
’
Ó
M
Â
\
$
u
Ó
M
¤
ž
,
•
¬
ò
¬
‘
›
”
,
—
•
’
Ó
M
¹
Ä
Ê
Ž
.
σ
(
t
)=0
ž
,
ù
¿
›
X
^
r
z
ü
ã
å
Â
¼
¤
u
3
-
Y
²
e
T
ã
å
™
5
>
S
|
d
b
y
Š
,
l
k
λ
2
qd
2
y
2
(
d
1
E+
d
2
y
)
2
=
e
−
εt
(
P
qd
2
y
2
(
d
1
E+
d
2
y
)
2
−
c
) =
∂π
∂
E
e
−
εt
.
(4
.
1)
|
^
Pontryagin
4
Œ
Š
n
[15],
Š
‘
C
þ
7
L
÷
v
¤
‰
Ñ
Š
‘
•
§
∂λ
1
∂t
=
−
∂
H
∂x
=
−
[
λ
1
(
r
−
2
rx
k
−
βy
(1+
αx
)
2
−
2
γxy
)+
λ
2
aβy
(1+
αx
)
2
]
,
(4.2)
∂λ
2
∂t
=
−
∂
H
∂y
=
−
[
e
−
εt
P
qd
1
E
2
(
d
1
E+
d
2
y
)
2
+
λ
1
(
−
βx
1+
αx
−
γx
2
)+
λ
2
(
−
δ
+
aβx
1+
αx
−
qd
1
E
2
(
d
1
E+
d
2
y
)
2
)]
.
(4.3)
(
Ü
(4.1)
Ú
(4.2)
ª
Œ
±
∂λ
1
∂t
=
−
A
2
λ
1
−
A
3
λ
2
,
(4
.
4)
Ù
¥
A
1
=
e
−
εt
P
−
c
(
d
1
E+
d
2
y
)
2
qd
2
y
2
,
A
2
=
r
−
2
rx
k
−
βy
(1+
αx
)
2
−
2
γxy,
A
3
=
aβy
(1+
αx
)
2
,
¦
)
‚
5
•
§
(4.4)
Ï
)
,
λ
1
(
t
) =
A
1
A
3
e
−
εt
A
2
−
ε
.
(4
.
5)
Š
â
(4.3)
ª
Œ
±
∂λ
2
∂t
=
−
B
1
e
−
εt
+B
2
λ
2
,
(4
.
6)
Ù
¥
B
1
=
P
qd
1
E
2
(
d
1
E+
d
2
y
)
2
+
A
1
A
3
A
2
−
ε
(
−
βx
1+
αx
−
γx
2
)
,
B
2
=
δ
−
aβx
1+
αx
+
qd
1
E
2
(
d
1
E+
d
2
y
)
2
.
¦
)
‚
5
•
§
(4.6)
Ï
)
,
λ
2
(
t
) =
B
1
e
−
εt
B
2
+
ε
,
(4
.
7)
DOI:10.12677/aam.2022.1164243962
A^
ê
Æ
?
Ð
ä
·
w
,
λ
1
(
t
)
,λ
2
(
t
)
÷
v
î
5
^
‡
.
d
(4.1)
Ú
(4.7)
ª
Œ
±
c
= (P
−
B
1
B
2
+
ε
)
qd
1
E
2
(
d
1
E+
d
2
y
)
2
,
(4
.
8)
d
d
Œ
•
•
`
²
ï
)
A
ε
= (
x
ε
,y
ε
,
E
ε
)
,
x
ε
=
P(
δd
1
−
q
)+
cd
2
P(
aβd
1
−
δαd
2
)+
cd
2
α
,
y
ε
=
r
(
k
−
x
ε
)(1+
αx
ε
)
βk
+
γx
ε
k
(1+
αx
ε
)
,
E
ε
=
d
2
y
ε
[
δ
(1+
αx
ε
)
−
aβx
ε
]
aβx
ε
d
1
−
(1+
αx
ε
)(
δd
1
+
q
)
.
d
(4.8)
ª
•
,
ε
→∞
ž
,
P
qd
1
E
2
(
d
1
E+
d
2
y
)
2
−
c
= 0
,
¤
±
∂π
∂
E
e
−
εt
= 0
,
ù
¿
›
X
Ã
•
b
y
Ç
¬
—
™
5
ü
ã
å
|
d
~
.
Ï
d
,
ε
→
0
ž
,
Â
Ã
ˆ
•
Œ
.
5.
(
Ø
T
©
ï
Ä
˜
a
2
i
)
Ô
ä
k
‡
z
ƒ
Ž
Š
^
š
‚
5
Ó
ö
Ó
¼
Ó
.
.
3ù
˜
a
.
¥
,
æ
^
š
‚
5
Â
¼
¼
ê
,
ò
û
’
•
’
¥
•
3
Ó
M
Ú
«
+
S
Ó
ƒ
(
Ü
,
ï
Ää
k
‡
z
ƒ
Ž
Š
^
Ó
.
Ä
å
Æ
Ú
•
`
Â
¼
.
•
‘
±
°
)
X
Ú
²
ïÚ
Œ
±
Y
u
Ð
,
é
2
i
)
Ô
«
+
¦
^
•
`
Â
¼
›
›
ü
Ñ
,
A^
Pontryagin
4
Œ
Š
n
,
&?
X
Ú
S
•
Œ
Œ
±
Y
þ
.
(
J
L
²
,
æ
Â
ž
b
½
d
‚
÷
v
î
5
^
‡
,
"
b
y
Ç
)
•
Œ
Â
Ã
,
l
?
˜
Ú
`
²
•
`
Â
¼
ü
Ñ
Q
Œ
±
Ü
n
/
m
u
Ú
¦
^
]
,
q
Œ
±
¢
y
²
L
Ã
,
3
°
)
X
Ú
¥
ä
k
-
‡¿Â
.
ë
•
©
z
[1]Mukhopadhyay,A.,Chattopadhyay,J.andTapaswi,P.K.(1998)ADelayDifferentialEqua-
tionsModelofPlanktonAllelopathy.
MathematicalBiosciences
,
149
,167-189.
https://doi.org/10.1016/S0025-5564(98)00005-4
[2]
•
=
¬
,
y
#
‰
,
º
˜
.
ê
Æ
)
Æ
.
†
ï
Ä
•{
[M].
®
:
®
‰
Æ
Ñ
‡
,1998.
[3]Smith,M.(1974)ModelsinEcology.UniversityPress.
[4]Rice,E.L.(1984)ManipulatedEcosystems:RolesofAllelopathyinAgriculture.In:
Allelopa-
thy
,2ndEdition,AcademicPress,Cambridge,MA,8-73.
https://doi.org/10.1016/B978-0-08-092539-4.50006-X
DOI:10.12677/aam.2022.1164243963
A^
ê
Æ
?
Ð
ä
·
[5]Gupta,R.P.,Banerjee,M.andChandra,P.(2012)TheDynamicofTwo-SpeciesAllelopathic
CompetitionwithOptimalHarvesting.
JournalofBiologicalDynamics
,
6
,674-694.
https://doi.org/10.1080/17513758.2012.677484
[6]Abbas,S.,Banerjee,M.andHungerb
j
hler,N.(2010)Existence,UniquenessandStability
AnalysisofAllelopathicStimulatoryPhytoplanktonModel.
JournalofMathematicalAnalysis
andApplications
,
367
,249-259.https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2010.01.024
[7]Tian,C.,Lai,Z.andLin,Z.(2011)PatternFormationforaModelofPlanktonAllelopathy
withCross-Diffusion.
JournaloftheFranklinInstitute
,
348
,1947-1964.
https://doi.org/10.1016/j.jfranklin.2011.05.013
[8]Tian, C. and Ruan, S. (2019) Pattern Formation and Synchronism in anAllelopathic Plankton
ModelwithDelayinaNetwork.
SIAMJournalonAppliedDynamicalSystems
,
18
,531-557.
https://doi.org/10.1137/18M1204966
[9]Holling, C.S. (1959) Some Characteristics of Simple Types of Predation and Parasitism.
Cana-
dianEntomologist
,
91
,385-398.https://doi.org/10.4039/Ent91385-7
[10]Gupta,R.P.,Chandra,P.andBanerjee,M.(2015)DynamicalComplexityofaPrey-Predator
ModelwithNonlinearPredatorHarvesting.
DiscreteandContinuousDynamicalSystems—
SeriesB(DCDS-B)
,
20
,423-443.https://doi.org/10.3934/dcdsb.2015.20.423
[11]Lv,Y.,Rong,Y.andPei,Y.(2013)APrey-PredatorModelwithHarvestingforFishery
ResourcewithReserveArea.
AppliedMathematicalModelling
,
37
,3048-3062.
https://doi.org/10.1016/j.apm.2012.07.030
[12]Manna,D.,Maiti,A.andSamanta,G.P.(2018)AnalysisofaPredator-PreyModelforEx-
ploitedFishPopulationswithSchoolingBehavior.
AppliedMathematicsandComputation
,
317
,35-48.https://doi.org/10.1016/j.amc.2017.08.052
[13]
o
ä
z
,
4
||
.
€
9
D
Â
.
•
`
n
Ü
›
›
ï
Ä
[J].
A^
ê
Æ
Ú
å
Æ
,2022,43(4):
445-452.
[14]Hale,J.K.(1969)OrdinaryDifferentialEquations.
AmericanMathematicalMonthly
,
23
,82-
122.
[15]
0
U
Œ
,
Ü
S
`
,
M
ö
L
.
•
`
›
›
ü
Ñ
A^
Ä
:
[M].
®
:
‰
Æ
Ñ
‡
,2003.
DOI:10.12677/aam.2022.1164243964
A^
ê
Æ
?
Ð