模糊赋范Riesz空间的性质 Properties of Fuzzy Normed Riesz Spaces

doi:10.12677/AAM.2022.114218

Advances in Applied Mathematics
Vol. 11 No. 04 ( 2022 ), Article ID: 50636 , 7 pages
10.12677/AAM.2022.114218

模糊赋范Riesz空间的性质

赵家锐，李浩，潘相宇

●How to Cite this Article

西华大学理学院，四川成都

收稿日期：2022年3月22日；录用日期：2022年4月16日；发布日期：2022年4月24日

摘要

本文证明了模糊赋范Riesz空间中的分解定理，引入了向上集(向下集)依模糊范数收敛的概念，并讨论了模糊赋范Riesz空间中有关收敛的一些性质。

关键词

模糊赋范Riesz空间，分解定理，向上集(向下集)模糊范数收敛

Properties of Fuzzy Normed Riesz Spaces

Jiarui Zhao, Hao Li, Xiangyu Pan

School of Science, Xihua University, Chengdu Sichuan

Received: Mar. 22^nd, 2022; accepted: Apr. 16^th, 2022; published: Apr. 24^th, 2022

ABSTRACT

In this paper, the decomposition theorem in fuzzy normed Riesz spaces is proved. With the concept of convergence of upwards directed set (downwards directed set) with respect to fuzzy norm being introduced, some properties of convergence in fuzzy normed Riesz spaces are discussed.

Keywords:Fuzzy Normed Riesz Space, Decomposition Theorem, Convergence of Fuzzy Norm of Upwards Directed Set (Downwards Directed Set)

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

Riesz空间的研究开始于1930年，F. Riesz [1] 做了开创性的工作，他将格序结构引入到向量空间，建立了Riesz空间的一些基础理论。对于Riesz空间和Banach格的基本理论参考文献 [2] [3] [4] 有详细研究。

模糊数理论是模糊分析学的基础。1965年，美国控制论专家Zadeh [5] 提出了模糊集的概念。1972年Zadeh和Chang [6] 结合概率分布函数的性质，把实数域R上一族的模糊集(它们均具有一些特殊的性质)称之为模糊数。自此，展开了对模糊集的广泛研究。2003年，Bag和Samanta [7] 在线性空间中引入了一个模糊范数的新的定义。

模糊理论与Riesz空间的结合是以1971年Zadeh的文章 [8] 为标志，他在文章中首次定义了模糊序关系的概念。最近，C. Park [9] 定义了Riesz模糊赋范空间，他分别用模糊范数与单调序列定义了模糊Riesz空间中的模糊范数收敛与模糊序收敛，并给出一些例子与基本结果。C. Park [9] 主要是从模糊序列的角度研究模糊赋范Riesz空间上的收敛问题。本文主要是从模糊范数的角度研究模糊赋范Riesz空间上的问题。

2. 预备知识

首先给出经典Riesz空间的定义和结论。

定义2.1 [4] 设“≤”为一个关系，E是一个具有关系“≤”的非空集合，若关系“≤”满足以下条件：

1) $x \leq x$ ，对每个 $x \in E$ ，

2) 如果 $x \leq y$ 且 $y \leq x$ ，则 $x = y$ ，

3) 如果 $x \leq y$ 且 $y \leq z$ ，则 $x \leq z$ 。

则称E为偏序集。

设A是E的非空子集， $x_{0} \in E$ 。如果对任意的 $y \in A$ ，都有 $y \leq x_{0}$ ，那么称 $x_{0}$ 是A的一个上界。如果对于A的任意上界 $\bar{x}$ ，都有 $x_{0} \leq \bar{x}$ ，那么称 $\bar{x}$ 是A的最小上界或上确界，记为 $\sup A$ 。

类似的，可以定义一个集合的下界和下确界，A的下确界记为 $\inf A$ 。

定义2.2 [4] 设E是一个偏序集。若每个包含两个元素的子集都有上确界和下确界，则称E为格。通常用 $x \lor y$ 与 $x \land y$ 分别表示 ${x, y}$ 的上确界与下确界。

定义2.3 [4] 设E是一个实向量空间，若赋予偏序关系“≤”，使得向量空间结构与序结构相容，即满足下列条件：

1) 如果 $x \leq y$ ，则对任意 $z \in E$ ，有 $x + z \leq y + z$ ；

2) 如果 $x \geq θ$ ，则对任意 $0 \leq a \in R$ ，有 $a x \geq θ$ 。

则称E是序向量空间。其中，θ为E的零向量(在以后的行文中，若无特别说明，θ均表示向量空间的零向量)。特别的，若E还是格，则称E为Riesz空间或向量格。

对Riesz空间E，给出如下定义和记号。

1) 称子集 $E^{+} = {f : θ \leq f \in E}$ 为E的正部， $E^{+}$ 的元素称为E的正元。

2) 对 $f \in E$ ，记 $f^{+} = f \lor θ$ ， $f^{-} = (- f) \lor θ$ ， $| f | = f \lor (- f)$ 。

3) 若 $x, y \in E$ 且满足 $| x | \land | y | = θ$ ，则称x和y是不交的，记作 $x ⊥ y$ 。

对于Riesz空间，有如下简单性质。

引理2.4 [4] 设E是一个Riesz空间，对E中的f，g和h，有

1) $f = f^{+} - f^{-}$ ， $f^{+} \land f^{-} = θ$ ， $| f | = f^{+} + f^{-}$ ，因此 $| f | \in V^{+}$ 。

2) $(f \lor g) + (f \land g) = f + g$ ， $(f \lor g) - (f \land g) = | f - g |$ 。

3) ${(f + g)}^{+} \leq f^{+} + g^{+}$ ， ${(f + g)}^{-} \leq f^{-} + g^{-}$ ， $| | f | - | g | | \leq | f + g | \leq | f | + | g |$ 。

4) $| f \lor h - g \lor h | \leq | f - g |$ 。

定义2.5 [4] 设E是一个Riesz空间，且E的子集与E有相同的序关系。

1) 设V是E的线性子空间。如果对V的任意两个元素f、g，有 $f \lor g$ 与 $f \land g$ 属于V，则称V为E的Riesz子空间。

2) 设S是E的子集。如果对任意 $g$ ， $f \in S$ ，当 $f \in S$ 且 $| g | \leq | f |$ ，有 $g \in S$ ，则称S为实心的。

3) 设A是E的子集。如果A是E的一个实心的线性子空间，则称A为E的理想。

现在回顾Riesz空间中的两个重要概念，向上集和向下集。

定义2.6 [4] 设E是一个Riesz空间，D是E的非空子集。如果对D中任意两个元素f和g，存在一个元素 $h \in D$ ，使得 $h \geq f \lor g$ ，则称D为向上集，记为 $D ↑$ 。类似地可定义向下集，记为 $D ↓$ 。

下面，回顾Riesz空间中序列收敛的有关概念。

定义2.7 [4] 设E是一个Riesz空间， ${f_{n}}$ 为E中序列。如果 $f_{1} \leq f_{2} \leq \dots$ ，则称 ${f_{n}}$ 为单调递增的，记为 $f_{n} ↑$ 。如果 $f_{1} \geq f_{2} \geq \dots$ ，则称 ${f_{n}}$ 为单调递减的，记为 $f_{n} ↓$ 。如果 $f_{n} ↑$ ， $f = \sup f_{n}$ 存在，则称 ${f_{n}}$ 单增趋于f，记为 $f_{n} ↑ f$ ；相同地，如果 $f_{n} ↓$ ，并且 $\inf f_{n}$ 在E中存在，则称 $f_{n}$ 单减趋于f，记为 $f_{n} ↓ f$ 。如果 $f_{n} ↑ f$ 或 $f_{n} ↓ f$ ，则称 ${f_{n}}$ 单调趋于f。

定义2.8 [4] 设E是一个Riesz空间， $‖ \cdot ‖$ 为E上的一个范数。如果对任意 $x, y \in E$ ，且 $| x | \leq | y |$ ，都有 $‖ x ‖ \leq ‖ y ‖$ ，则称 $‖ \cdot ‖$ 为Riesz范数(或格范数)。一个被赋予Riesz范数的空间叫做赋范Riesz空间。

定义2.9 [4] 设E是一个Riesz空间， ${f_{n}}$ 为E中序列， $f \in E$ 。若存在E中单减趋于零的序列 ${p_{n}}$ (即 $p_{n} ↓ θ$ )，使得对任意自然数n，都有 $| f_{n} - f | \leq p_{n}$ ，则称 ${f_{n}}$ 序收敛于f，也称f为 ${f_{n}}$ 的序极限，记为 $f_{n} \overset{o r d e r}{\to} f$ 。对于E中序列 ${g_{n}}$ ，若存在 $g \in E$ ，使得 $g_{n} \overset{o r d e r}{\to} g$ ，则称 ${g_{n}}$ 序收敛。

定义2.10 [4] 设E是一个Riesz空间， $θ < u \in E$ ， ${f_{n}}$ 为E中序列，如果对任意的数 $ε > 0$ ，存在 $n (ε)$ ，使得当 $n > n (ε)$ 时，有 $| f - f_{n} | \leq ε u$ ，则称 ${f_{n}}$ u-一致收敛到f，记为 $f_{n} \overset{u - u n i f o r m}{\to} f$ 。等价地， $f_{n} \overset{u - u n i f o r m}{\to} f$ 当且仅当存在单减趋于零的实数列 ${ε_{n}}$ ，使对任意n，有 $| f - f_{n} | \leq ε_{n} u$ 。若对 $\forall ε > 0$ ，当 $m, n \geq n (ε)$ 有 $| f_{m} - f_{n} | \leq ε u$ ，则称 ${f_{n}}$ 是u-uniformly Cauchy列。

现在，回顾模糊赋范Riesz空间的概念和一些性质。首先回顾模糊赋范线性空间的一些概念和性质。

定义2.11 [7] 设E为数域F的线性空间。设N为 $E \times ℝ$ 的模糊子集，如果对任意的 $x, y \in E$ 和 $c \in F$ ，满足：

(N1) $N (x, t) = 0$ ； $\forall t \in ℝ$ 与 $t \leq 0$ ；

(N2) $N (x, t) = 1$ ， $\forall t \geq 0 \in ℝ$ ，当且仅当 $x = θ$ ；

(N3) $N (c x, t) = N (x, \frac{t}{| c |})$ ； $\forall t \in ℝ$ ， $t > 0$ 和 $c \neq 0$ ；

(N4) $N (x + y, t + s) \geq \min {N (x, s), N (y, t)}$ ，其中 $s, t \in ℝ$ ；

(N5) $N (x, .)$ 是 $ℝ$ 上一个非递减函数，且 $\lim_{t \to \infty} N (x, t) = 1$ 。

则称N为E上的模糊范数，并且 $(E, N)$ 是一个模糊赋范线性空间。

模糊赋范线性空间中有一个重要定理——分解定理。

引理2.12 [7] 设 $(E, N)$ 为一个模糊赋范空间，且满足条件：

(N6) $N (x, t) > 0$ ， $\forall t > 0$ ，就有 $x = θ$ 。

令 ${‖ x ‖}_{α} = \inf {t > 0 : N (x, t) \geq α}$ ， $α \in (0, 1)$ 。

则 ${{‖ . ‖}_{α} : α \in (0, 1)}$ 是E上的一个单增范数族。称这个范数为E上的 $α$ -范数。

引理2.13 [7] 令 $(E, N)$ 是一个模糊赋范线性空间，且满足(N6)和条件：

(N7) 假设对 $x \neq 0$ ， $N (x, \cdot)$ 是R (实数集)上的一个连续泛函并且在R的子集 ${t : 0 < N (x, t) < 1}$ 上是严格单调递增的。

令 $N^{'} : E \times R \to [0, 1]$ 是一个如下定义的泛函：

$N^{'} (x, t) = {\begin{cases} \lor {{α \in (0, 1) : ‖ x ‖}_{α} \leq t} (x, t) \neq (θ, 0) \\ 0 (x, t) = (θ, 0) \end{cases}$

则：

1) $N^{'}$ 是E上的一个模糊范数，

2) $N^{'} = N$ 。

定义2.14 [9] 设 $(E, N)$ 是一个模糊赋范空间， ${x_{n}}$ 为E中序列， $x \in E$ 。若对所有 $t > 0$ ，都有 $\lim_{n \to \infty} N (x_{n} - x, t) = 1$ ，则称 ${x_{n}}$ 按模糊范数收敛于x，也称x为序列 ${x_{n}}$ 的模糊范极限，记为 $x_{n} \overset{F N}{\to} x$ 。

定义2.15 设 $(E, N)$ 是一个模糊赋范空间， ${x_{n}}_{n}$ 为 $(E, N)$ 中的序列。若对每个 $α \in (0, 1)$ 和 $t > 0$ ， $\exists n_{0}$ ，使得当 $m, n \geq n_{0}$ ，有 $N (x_{m} - x_{n}, t) \geq 1 - α$ ，则称 ${x_{n}}_{n}$ 为模糊范柯西序列。

定义2.16 设 $(E, N)$ 是一个模糊赋范空间，F为E的子集。若对F中任一序列 ${f_{n}}$ ，只要 $f_{n} \overset{F N}{\to} f$ ，就有 $f \in F$ ，则称F为模糊闭集。

现在，回顾本文的重要概念——模糊赋范Riesz空间。

定义2.17 [9] 设 $(E, \leq)$ 是一个Riesz空间。N为E上模糊范数。如果N满足条件：

(N8) 当 $| x | \leq | y |$ ，有 $N (x, t) \geq N (y, t)$ ，其中 $x, y \in E$ ， $s, t \in ℝ$ 。

则称N为Riesz模糊范数，并且称 $(E, \leq, N)$ 为一个模糊赋范Riesz空间(以下简称FNRS)。

关于模糊赋范Riesz空间，有如下主要性质。

引理2.18 [9] 在模糊赋范Riesz空间E中，若 $f_{n} \overset{F N}{\to} f$ 且 $g_{n} \overset{F N}{\to} g$ ，则：

1) $f_{n} + g_{n} \overset{F N}{\to} f + g$ ； $f_{n} - g_{n} \overset{F N}{\to} f - g$

2) $f_{n} \lor g_{n} \overset{F N}{\to} f \lor g$ ； $f_{n} \land g_{n} \overset{F N}{\to} f \land g$

注：由以上引理，容易得出，若 $f_{n} \overset{F N}{\to} f$ ，则有 $f_{n}^{+} \overset{F N}{\to} f^{+}$ 、 $f_{n}^{-} \overset{F N}{\to} f^{-}$ 和 $| f_{n} | \overset{F N}{\to} | f |$ 。

3. 模糊赋范Riesz空间中的分解定理

本节主要讨论模糊赋范Riesz空间中的分解定理。

定理3.1 设 $(E, \leq, N)$ 为一个模糊赋范Riesz空间，且满足(N6)条件，令 ${‖ x ‖}_{α} = \inf {t > 0 : N (x, t) \geq α}$ ， $α \in (0, 1)$ ，则 ${{‖ . ‖}_{α} : α \in (0, 1)}$ 是E上的一个单增Riesz范数族。我们将这个Riesz范数称为E上的 $α$ -Riesz范数。

证明：由模糊Riesz范数的定义知， $(E, N)$ 为模糊赋范线性空间，且N满足条件(N6)，由引理2.12知， ${‖ . ‖}_{α}$ 为E上的一族单增范数族。因此，为证本定理，只须证若 $x, y \in E$ ，且 $| x | \leq | y |$ ，则有 ${‖ x ‖}_{α} \leq {‖ y ‖}_{α}$ 。

事实上，由(N8)知若 $| x | \leq | y |$ ，则 $N (x, t) \geq N (y, t)$ ，所以有 ${‖ x ‖}_{α} = \land {t : N (x, t) \geq α} \leq {‖ y ‖}_{α} = \land {t : N (y, t) \geq α}$ 。故 ${‖ . ‖}_{α}$ 为E上的 $α$ -Riesz范数。

定理3.2 设 $(E, \leq, N)$ 是一个满足(N6)和(N7)的模糊赋范Riesz空间。令 ${‖ x ‖}_{α} = \inf {t > 0 : N (x, t) \geq α}$ ， $α \in (0, 1)$ ，并且 $N^{'} : U \times R \to [0, 1]$ 是一个如下定义的泛函：

$N^{'} (x, t) = {\begin{cases} \lor {α \in (0, 1) : {‖ x ‖}_{α} \leq t} (x, t) \neq (0, 0) \\ 0 (x, t) = (0, 0) \end{cases}$

则：

1) $N^{'}$ 是E上的一个Riesz模糊范数，

2) $N^{'} = N$ 。

证明：由引理2.13知 $N^{'}$ 是E上的一个模糊范数，因此，为证本定理，只需证当 $| x | \leq | y |$ 有 $N^{'} (x, t) \geq N^{'} (y, t)$ 。

事实上，由定理3.1知，若 $| x | \leq | y |$ ，有 ${‖ x ‖}_{α} \leq {‖ y ‖}_{α}$ ，所以当 $(x, t) \neq (0, 0)$ 时， $N^{'} (x, t) = \lor {α \in (0, 1) : {‖ x ‖}_{α} \leq t} \geq N^{'} (y, t) = \lor {α \in (0, 1) : {‖ y ‖}_{α} \leq t}$ ；当 $(x, t) \neq (0, 0)$ 时， $N^{'} (x, t) = N^{'} (y, t) = 0$ 。所以当 $| x | \leq | y |$ 有 $N^{'} (x, t) \geq N^{'} (y, t)$ ，本定理得证。

4. 模糊赋范Riesz空间中的各种收敛

本节主要讨论了模糊赋范Riesz空间中的各种收敛性质，给出了模糊赋范Riesz空间中向上集(向下集)收敛的概念，并讨论其相关性质。

定理4.1 在模糊赋范Riesz空间E中，若 $f_{n} \overset{F N}{\to} f$ 且 $g_{n} \overset{F N}{\to} g$ 。则：

1) 若对任意的n，都有 $f_{n} \geq g_{n}$ ，则 $f \geq g$ 。因此，若 $f_{n} \geq θ$ 对所有n成立，则 $f \geq θ$ 。

2) 若D是模糊赋范Riesz空间E的一个子集，使得 $f_{n} ⊥ h$ 对所有 $h \in D$ 和所有n成立，则 $f ⊥ h$ 对所有 $h \in D$ 成立。

证明：

1) 首先证明：若 $f_{n} \geq θ$ 对任意n成立，则 $f \geq θ$ 。事实上，由引理2.4知

$\begin{matrix} | f - f_{n} | = | f_{n} - f | = | - f + f_{n} | = | - f - (- f_{n}) | \\ \geq | (- f) \lor θ - (- f_{n}) \lor θ | \\ = | f^{-} - f_{n}^{-} | \end{matrix}$

由(N8)知，对 $\forall t > 0$ ，有

$N (f - f_{n}, t) \leq N (f^{-} - f_{n}^{-}, t) \leq 1$ 。

由于对 $\forall t > 0$ ， $\lim_{n \to \infty} N (f - f_{n}, t) = 1$ ，故 $\lim_{n \to \infty} N (f^{-} - f_{n}^{-}, t) = 1, (\forall t > 0)$ 。又因为 $f_{n}^{-} = θ$ 对所有n成立，所以 $\forall t > 0$ ，有

$1 = \lim_{n \to \infty} N (f_{n}^{-} - f^{-}, t) = \lim_{n \to \infty} N (- f^{-}, t) = N (f^{-}, t)$

即 $\forall t > 0$ ，有 $N (f^{-}, t) = 1$ ，故 $f^{-} = θ$ ，从而由 $θ = f^{-} = (- f) \lor θ$ 知 $- f \leq θ$ ，因此 $f \geq θ$ 。

下证： $f \geq g$ 。由于 $f_{n} \overset{F N}{\to} f$ ， $g_{n} \overset{F N}{\to} g$ ，故 $f_{n} - g_{n} \overset{F N}{\to} f - g$ 。而 $f_{n} - g_{n} \geq θ$ ，故 $f - g \geq θ$ 。即 $f \geq g$ 。

2) 由引理2.18的注知， $| f_{n} | \overset{F N}{\to} | f |$ ，显然，若令 $h_{n} = | h |$ ， $\forall n$ ，则 $h_{n} \overset{F N}{\to} | h |$ 。显然，对 $\forall n$ ， $| f_{n} | \land h_{n}$ ，故由引理2.18 (2)知 $θ = | f_{n} | \land h_{n} \overset{F N}{\to} | f | \land | h |$ 。即 $| f | \land | h | = θ$ ，即 $f ⊥ h$ 。

定理4.2 若E是FNRS， $f_{n} \in E$ ，则

1) $f_{n} ↑$ 并且 $f_{n} \overset{F N}{\to} f$ ，则 $f_{n} ↑ f$ 。对单调递减的序列也成立。

2) 若 $f_{n} \overset{u - u n i f o r m}{\to} f$ ，则 $f_{n} \overset{F N}{\to} f$ 。

3) 若 $f_{n}$ 是u-uniformly Cauchy且 $f_{n} \overset{F N}{\to} f$ ，则 $f_{n} \overset{u - u n i f o r m}{\to} f$ 。

证明：1) 由于 $f_{n} ↑$ ，故对 $\forall m$ ，当 $n \geq m$ 时有 $f_{n} \geq f_{m}$ 。由 $f_{n} \overset{F N}{\to} f$ 和定理4.1的(1)知， $f \geq f_{m}$ 。因此f为 ${f_{m}}$ 的上界。下证，f为 ${f_{m}}$ 的上确界。事实上，若g为 ${f_{m}}$ 的上界，即对 $\forall m$ 有 $f_{m} \leq g$ 。再由定理4.1的(1)知 $f \leq g$ ，因此，f是 ${f_{m}}$ 的最小上界，即 $f = \sup {f_{m}}$ ，从而 $f_{n} ↑ f$ 。

若 $g_{n} ↓$ ，且 $g_{n} \overset{F N}{\to} g$ ，则 $- g_{n} ↑$ ，且 $- g_{n} \overset{F N}{\to} - g$ 。由以上定理知 $- g = \sup {- g_{n}}$ ，即 $g = \inf {g_{n}}$ ，从而 $g_{n} ↓ g$ 。

2) 由于 $f_{n} \overset{u - u n i f o r m}{\to} f$ ，故存在单减趋于零的数列 ${ε_{n}}$ ，使得对 $\forall n$ ，有 $| f_{n} - f | \leq ε_{n} u$ ，由(N8)知，对 $\forall t > 0$ ，有

$1 \geq N (f_{n} - f, t) \geq N (ε_{n} u, t) = N (u, \frac{t}{ε_{n}})$ ， (1)

而 $\frac{t}{ε_{n}} \to \infty$ $(n \to \infty)$ 。故 $\lim_{n \to \infty} N (u, \frac{t}{ε_{n}}) = 1$ 。因此，由不等式(1)知 $\lim_{n \to \infty} N (f_{n} - f, t) = 1$ ， $\forall t > 0$ 。即 $f_{n} \overset{F N}{\to} f$ 。

3) 对 $\forall m, n$ ，有

$| f_{m} - f | = | f_{m} - f_{n} + f_{n} - f | \geq | | f_{m} - f_{n} | - | f_{n} - f | |$ ，

从而由(N8)知，对 $\forall t > 0$ ，有

$1 \geq N (| f_{m} - f_{n} | - | f_{n} - f |, t) \geq N (f_{m} - f, t)$ ，

再由 $f_{m} \overset{F N}{\to} f$ 及上述不等式知，对 $\forall t > 0$ ，有

$\lim_{m \to \infty} N (| f_{m} - f_{n} | - | f_{n} - f |, t) = 1$ ，

即

$| f_{m} - f_{n} | \overset{F N}{\to} | f_{n} - f |$ ， $(m \to \infty)$ ， (2)

由 ${f_{n}}$ 为u-uniformly Cauchy列知，对 $\forall ε > 0$ ， $\exists n (ε)$ ， $\forall i, j \geq n (ε)$ ，有

$| f_{i} - f_{j} | \leq ε u$ (3)

从而，当 $m, n \geq n (ε)$ ，由(2)、(3)及定理4.1(1)知 $| f_{n} - f | \leq ε u$ ，即 $f_{n} \overset{u - u n i f o r m}{\to} f$ 。

定理4.3 在FNRS中，若 $f_{n} \overset{F N}{\to} f$ 并且 $f_{n} \overset{o r d e r}{\to} g$ ，则 $f = g$ 。

证明：不妨设 $g = θ$ ，因此，要证本定理，只需证 $f = θ$ 。下证 $f = θ$ 。事实上，由引理2.17知， $| f_{n} | \overset{F N}{\to} | f |$ (1)，由 $f_{n} \overset{o r d e r}{\to} g = θ$ 知，存在 $p_{n} ↓ θ$ ，使得对 $\forall n$ 有 $| f_{n} | \leq p_{n}$ 。对任意的n，当 $m \geq n$ 时，有 $| f_{m} | \leq p_{m} \leq p_{n}$ 。由(1)式及定理4.1(1)有 $| f | \leq p_{n}$ ， $\forall n$ 。故 $θ \leq | f | \leq \inf {p_{n}} = θ$ ，即 $| f | = θ$ ，即 $f = θ$ 。

下面介绍模糊赋范Riesz空间中向上集(向下集)收敛的性质。

定义4.4 设E是FNRS，D是E的一个向上集，若对 $\forall t > 0$ 和 $\forall α \in (0, 1)$ ， $\exists f (α) \in D$ ， $\exists f_{0} \in E$ ，使得当 $f \in D$ 且 $f \geq f (α)$ 时有 $N (f - f_{0}, t) \geq 1 - α$ ，则称 $D \overset{F N}{\to} f_{0}$ 。类似可定义向下集模糊范数收敛。

定理4.5 设E是FNRS，D是E的一个向上集且 $D \overset{F N}{\to} f_{0}$ ，则 $f_{0} = \sup D$ 。若D是E的一个向下集且 $D \overset{F N}{\to} f_{0}$ ，则 $f_{0} = \inf D$ 。

证明：首先证明 $f_{0}$ 是D的上界。 $\forall f^{*} \in D$ ，下证明 $f^{*} \leq f_{0}$ 。因为 $D \overset{F N}{\to} f_{0}$ ，所以对 $α = \frac{1}{2}$ ， $\exists f (\frac{1}{2}) \in D$ ，使得 $f \in D$ 且 $f \geq f (\frac{1}{2})$ 时有

$N (f_{0} - f, t) \geq 1 - \frac{1}{2}$ ，

下面选取 $f_{1} \in D$ ，使得 $f_{1} \geq f^{*} \lor f (\frac{1}{2})$ ，故 $f_{1} \geq f^{*}$ 且 $f_{1} \geq f (\frac{1}{2})$ ，有

$N (f_{0} - f_{1}, t) \geq \frac{1}{2}$ ，

接下来，对 $α = \frac{1}{2^{2}}$ ， $\exists f (\frac{1}{2^{2}}) \in D$ ，使得 $f \in D$ 且 $f \geq f (\frac{1}{2^{2}})$ 时有

$N (f_{0} - f, t) \geq 1 - \frac{1}{2^{2}}$ ，

下面选取 $f_{2} \in D$ ，使得 $f_{2} \geq f_{1} \lor f (\frac{1}{2^{2}})$ ，故 $f_{2} \geq f_{1}$ 且 $f_{2} \geq f (\frac{1}{2^{2}})$ ，故

$N (f_{0} - f_{2}, t) \geq 1 - \frac{1}{2^{2}}$ ，

用此方法做下去，可得在D中序列 $f^{*} \leq f_{1} \leq f_{2} \leq \dots$ 使得

$N (f_{0} - f_{n}, t) \geq 1 - \frac{1}{2^{n}}$ ， $n = 1, 2, \dots$ ，

故 $f_{n} ↑$ ，且 $f_{n} \overset{F N}{\to} f_{0}$ 。由定理4.1(1)和定理4.2(1)知 $f^{*} \leq f_{0}$ ，因为 $f^{*}$ 是D中任意的，故 $f_{0}$ 是D的一个上界。下证明 $f_{0}$ 是D最小的上界。对D中任意其他上界g，则对n，有 $f_{n} \leq g$ ，又因为 $f_{n} \overset{F N}{\to} f_{0}$ ，由定理4.1(1)得 $f_{0} \leq g$ ，故 $f_{0}$ 是D最小上界， $f_{0} = \sup D$ 。

类似可证明向下集。

文章引用

赵家锐,李浩,潘相宇. 模糊赋范Riesz空间的性质
Properties of Fuzzy Normed Riesz Spaces[J]. 应用数学进展, 2022, 11(04): 2017-2023. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.114218

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