上海工程技术大学，上海

收稿日期：2022年2月28日；录用日期：2022年3月22日；发布日期：2022年3月29日

摘要

利用灰色系统理论的GM(1, 1)预测模型预测2021~2030年的山东人口数量与老年人口总量，运用灰色关联度和主成分分析法分析了山东人口老龄化的主要影响因素，以期为山东省政府各职能部门制定有关政策提供依据。2021~2030年间山东省65岁以上人口的数量将逐年增加，并且上涨速度很快。2030年老年人口数量将比2020年翻一番，对山东省人口老龄化程度影响较大的因素是卫生技术人员数和人均GDP；文章提出了推进养老服务产业的优化改革、加大对专业技术人员的培训力度、优化人口结构和开发老年人力资源市场等应对山东省人口老龄化的对策。

关键词

GM(1, 1)模型，灰色关联度，人口老龄化，主成分分析

Study on the Development Trend and Influencing Factors of Population Aging in Shandong Province Based on Grey Theory

Shuang Liu

Shanghai University of Engineering and Technology, Shanghai

Received: Feb. 28^th, 2022; accepted: Mar. 22^nd, 2022; published: Mar. 29^th, 2022

ABSTRACT

The population and the total elderly population of Shandong Province in 2021 and 2030 are predicted by using the grey system theory’s GM prediction model. The grey correlation degree and principal component analysis are used to analyze the main influencing factors of Shandong population aging, in order to provide a basis for various functional departments of Shandong provincial government to formulate relevant policies. Between 2021 and 2030, the number of people over 65 in Shandong Province will increase year by year, and the rate of increase will be very fast. The number of elderly population in 2030 will be double than that in 2020. The factors that have a great impact on the degree of population aging in Shandong Province are the number of health technicians and per capita GDP; The article proposes countermeasures to cope with the aging of the population in Shandong Province, such as promoting the optimization and reform of the old-age service industry, increasing the training of professional and technical personnel, optimizing the population structure and developing the elderly human resources market.

Keywords:GM(1, 1) Model, Grey Relational Degree, Population Aging, Principal Component Analysis

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

21世纪是人口老龄化的时代。人口老龄化是指总人口中因年轻人口数量减少、年长人口数量增加而导致的老年人口在总人口中的比重增长的动态过程。根据第七次人口普查结果显示，目前我国60岁及以上人口为2.64亿人，占总人口的18.70%，其中，65岁以上老年人口为1.9亿人，占总人口的13.50%，这说明我国已进入中度老龄化阶段。有学者基于灰色预测GM(1, 1)模型预测2025年老年人口数量将达到2.3亿，比重达到16.1%，迈入深度老龄化社会；2030年预计为2.9亿，比重为20.35%，进入超级老龄化社会 [1]。这种时间上和程度上累进的人口老龄化态势给社会经济的发展带来了严峻考验，未来要在疫情下促进我国社会经济的快速发展，就必须正视老龄化问题并寻求合理的解决措施。

山东省是我国华东地区的一个沿海省份，是著名的经济与人口大省。第七次人口普查显示，山东省65岁及以上人口为1536.4万人，约占全国老年人口的8%，与2010年相比增加了588万人；50~59岁年龄组约有1691万人，预示着未来山东省将有大量人口依次步入老年行列，人口老龄化程度将进一步加深。本文根据山东省过去11年的人口数据建立人口灰色预测模型，预测2021~2030年山东省总人口与65岁以上老年人口数量，并运用灰色关联分析、主成分分析分析影响山东省人口老龄化进程的主要因素，以期为山东省政府各职能部门制定有关政策提供依据。

2. 基于灰色GM(1, 1)人口预测模型的分析

2.1. 研究思路

本文数据来自于山东省统计年鉴，查找统计2010年到2020年各年的人口总数、65岁以上的人口数和老龄化系数比数据，建立灰色GM(1, 1)模型预测未来10年内山东省总人口和65岁以上人口总数的变化趋势。

灰色预测的核心是灰色模型，主要思路是原始数据做累加生成近似指数规律，在此基础上建立白化微分方程，最后求解方程并根据结果进行预测。利用微分方程来充分挖掘系统的本质，预测精度高，运算简便且易于检验，适合用于人口预测、生物繁殖以及产品寿命等模型预测 [2]。GM(1, 1)模型的基本原理和计算方法如下：

1) 将时间序列设置为 $X^{\left(0\right)}=\left(x^{\left(0\right)}\left(1\right),x^{\left(0\right)}\left(2\right),\cdots ,x^{\left(0\right)}\left(n\right)\right)$，n代表有n个观测值。

通过数据处理，对原始数据进行一次累加，生成累加序列： $X^{\left(1\right)}\left(K\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{X}^{\left(0\right)}}\left(i\right)\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$

令 $Z^{\left(1\right)}\left(k\right)=\frac{1}{2}{X}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{1}{2}{X}^{\left(1\right)}\left(k-1\right)\left(k=2,3,\cdots ,n\right)$

其相应的GM(1, 1)模型的微分方程为：

$\frac{\text{d}{X}^{\left(1\right)}}{\text{d}t}+\alpha X^{\left(1\right)}=b$

其中 $\alpha$ 是发展灰数，b是内生控制灰数。

2) 建立矩阵B和Y。令 $Z^{\left(1\right)}\left(k\right)=\frac{1}{2}{X}^{\left(1\right)}\left(k\right)+\frac{1}{2}{X}^{\left(1\right)}\left(k-1\right)\left(k=2,3,\cdots ,n\right)$

$B=\left[\begin{array}{cc}-Z^{\left(1\right)}\left(2\right)& 1\\ -Z^{\left(1\right)}\left(3\right)& 1\\ ⋮& ⋮\\ -Z^{\left(1\right)}\left(n\right)& 1\end{array}\right]$，$Y_n=\left[\begin{array}{c}{X}^{\left(0\right)}\left(2\right)\\ X^{\left(0\right)}\left(3\right)\\ ⋮\\ X^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right]$

设 $\hat{\mu }$ 为待估参数， $\hat{\mu }=\left[\begin{array}{l}\alpha \hfill \\ b\hfill \end{array}\right]$，通过构建数据矩阵B和数据向量Y，然后用最小二乘法求解可以得到 $\hat{\mu }={\left(B^{\text{T}}B\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}{Y}_n$

建立模型并求解生成值与还原值。依据公式求解，可以得到预测模型：

${\hat{X}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)=\left(X^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{b}{\alpha }\right){\text{e}}^{-\alpha k}+\frac{b}{\alpha },\left(k=0,1,2,\cdots ,n\right)$

再将求得的数值进行累减后就可以得到还原值：

${\hat{X}}^{\left(0\right)}=\left({\hat{X}}^{\left(0\right)}\left(1\right),{\hat{X}}^{\left(0\right)}\left(2\right),\cdots ,{\hat{X}}^{\left(0\right)}\left(n-1\right)\right)$

3) 模型检验

平均相对误差和精度检验的公式分别为：

$\epsilon \left(\text{avg}\right)=\frac{1}{n-1}{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{n}{\sum }}\left|\epsilon \left(k\right)\right|}$，$P_{}^0=\left(1-\epsilon \left(\text{avg}\right)\right)\times 100\%$

后验差比值是 $C=\frac{S_2}{S_1}$，其中， $S_2$ 是对残差的标准差， $S_1$ 是原始序列的标准差。

$S_2=\sqrt{\frac{1}{n-1}{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{n}{\sum }}E{\left(\left(k\right)-\bar{E}\right)}^2}}$，$S_1=\sqrt{\frac{1}{n-1}{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{n}{\sum }}{\left(X^{\left(0\right)}\left(k\right)-\bar{X}\right)}^2}}$

2.2. 数据处理

表1为山东省2010~2020年总人口及65岁以上的老年人口数据情况，2010年数据为人口普查数据，2020年为根据第七次人口普查数据推算年末总人口数，老年人口数为当年人口总数乘以老龄化系数。按照上述GM(1, 1)模型的建模机理，建立2021~2030年总人口预测模型和老年人口数量预测模型，预测山东省未来10年内总人口数和65岁以上人口数变化情况。结果见表2。

由表1针对总人口数据和65岁以上人口进行GM(1, 1)模型的构建，首先进行级比值检验判断数据序列进行模型构建的适用性，结果显示级比检验值均在标准范围区间[0.846, 1.181]内，意味着本数据适合进行GM(1, 1)模型构建。

表1. 2010~2020年山东省总人口与65岁以上的老年人口数据情况

表2. 总人口与65岁以上的老年人口预测情况

选取表1中2010~2020年总人口数据，得到数据系列：

${\chi }^{\left(0\right)}=\left({\chi }^{\left(0\right)}\left(1\right),{\chi }^{\left(0\right)}\left(2\right),\cdots ,{\chi }^{\left(0\right)}\left(11\right)\right)=\left(9579,9665,9708,9746,9808,9866,9973,10033,10077,10106,10165\right)$

对原始数据进行一次累加，生成累加数据列：

(9579，19244，28952，38698，48506，58372，68345，78378，88455，98561，108726)

通过建立灰微分方程求其参数值，求得发展系数 $\alpha =-0.005941682$，灰色作用量 $\beta =9566.123179$

相应的GM(1, 1)预测模型为：

${\chi }^{\left(1\right)}\left(\kappa +1\right)=1619581.435{\text{e}}^{0.005941682K}-1610002.435$

选取表1中65岁以上人口占总人口的比重数据，得到数据序列：

$\begin{array}{c}{\chi }^{\left(0\right)}=\left({\chi }^{\left(0\right)}\left(1\right),{\chi }^{\left(0\right)}\left(2\right),\cdots ,{\chi }^{\left(0\right)}\left(11\right)\right)\\ =\left(948.32,966.5,1009.63,1072.06,1137.72,1203.65,1316.43,1404.62,1511.55,1596.74,1534.91\right)\end{array}$

根据相同原理 $\alpha =0.05816045$，$\beta =885.2171187$

相应的GM(1, 1)预测模型： ${\chi }^{\left(1\right)}\left(\kappa +1\right)=16168.57912{\text{e}}^{0.05816045K}-15220.25916$

由表3和图1，图2可知，2012年的总人口数量预测值相对误差仅为0.012%，总人口平均模拟相对误差为0.18%，老年人口平均模拟相对误差为2.37%。老年人口预测模型相对误差最大值0.065 < 0.1。模型拟合效果达到了较高要求。针对级别偏差值，该值小于0.2说明达到要求，小于0.1则说明达到较高要求，老年人口预测模型级别偏差最大值0.031 < 0.1，模型拟合效果达到较高要求。总人口预测模型相对误差值最大值0.003 < 0.1，模型级别偏差最大值0.005 < 0.1，模型拟合效果达到较高要求。

为进一步检验模型的整体精度，对模型进行后验检验计算后验差比C值和小概率误差P值。一般来讲，当P > 0.95，C < 0.35时，模型精度为好，当P > 0.8，C < 0.5时，模型精度等级为合格。老年人口预算模型C = 0.0325，小误差概率P = 1，总人口预测模型后验差比C值为0.009 < 0.35，小误差概率p值为1 > 0.95，模型精度很好。

表3. 老年人口数量与总人口数量实际值与预测值的误差分析

图1. 山东省总人口数量GM(1, 1)预测模型拟合情况

图2. 老龄人口数量GM(1, 1)预测模型拟合情况

3. 基于灰色关联度和主成分分析的人口老龄化影响因素分析

参考有关文献和充分考虑数据的可获得性，本文将人口老龄化的主要影响因素归为五类：教育程度、社会公共健康、社会养老事业、经济生活水平与人口结构。从2010年~2020年《山东统计年鉴》中选取11个指标建立灰色关联度模型(见表4)。将2010~2020年大于65岁人口比的数据作为参考数列X₀，将教育支出(亿元)、居民人均消费支出(元)、卫生机构数(个)、0~14岁比例(%)、参加基本养老保险人数(万人)、人口密度(人/平方公里)、卫生总费用(亿元)、性别比(%)、人均GDP(元)、废水排放量、卫生技术人员数(万人)这11个因素作为比较序列，分别命名为X₁，X₂，X₃， $\cdots$，X₁₁。根据灰色建模理论建立灰色关联分析。

表4. 老龄化影响因素的原始数据

灰色关联度步骤如下：

1) 针对数据进行无量纲化处理。

2) 计算关联系数，关联系数表示某项与参考数列X₀的相关程度。具体关联系数见图3。

${\xi }_i\left(k\right)=\frac{\underset{i}{\min }\underset{k}{\min }\left|x_0\left(k\right)-x_i\left(k\right)\right|+\rho \underset{i}{\max }\underset{k}{\max }\left|x_0\left(k\right)-x_i\left(k\right)\right|}{\left|x_0\left(k\right)-x_i\left(k\right)\right|+\rho \underset{i}{\max }\underset{k}{\max }\left|x_0\left(k\right)-x_i\left(k\right)\right|}$ (1)

式子中 $\rho$ 为分辨系数，用来消弱最大绝对值太大引起的失真， $\rho$ 一般取0.5。

3) 综合关联系数计算关联度。

$r_i=\frac{1}{n}\underset{n=1}{\overset{n}{\sum }}{\xi }_i\left(k\right)$ (2)

图3. 关联系数

由关联度可知影响因素对老龄化程度的影响排序(见图4)。

图4. 灰色关联度结果

由图4可以看出，各因素对人口老龄化都产生了一定影响，但其影响程度不同。对山东省老龄化程度影响较大的是和X₉ (人均GDP)和X₁₁ (卫生技术人员数)，这二者主要反映了经济发展和医疗卫生事业的推动对人口老龄化的影响。X₇ (卫生总费用)和X₁₀ (废水排放)对其影响较小。但是灰色关联度中选取的指标较多，分析复杂，为了能在解决山东省人口老龄化问题时抓住主要矛盾，因此建立主成分分析模型，将选取的11个指标在SPSS中先进行降维处理，得出相关矩阵的特征值、特征向量和贡献率，提取主成分分析山东省老龄化的主要影响因素(见表5)。

表5. 特征值、特征向量及贡献率表

2个标准化样本的主成分分析：

$\begin{array}{c}{Y}_1=0.335X_1+0.338X_2+0.253X_3+0.319X_4+0.335X_5+0.336X_6\\ +0.336X_7-0.068X_8+0.337X_9-0.194X_1+0.336X_{11}\end{array}$

$\begin{array}{c}{Y}_2=-0.024X_1-0.012X_2-0.163X_3+0.005X_4-0.008X_5+0.108X_6\\ +0.007X_7+0.798X_8-0.013X_9-0.487X_{10}-0.062X_{11}\end{array}$

从这2个标准化样本的主成分分析表达式中可以看出：教育支出、居民人均消费支出、基本养老保险参保人数、人口密度、卫生总费用、人均GDP、卫生技术人员在第一主成分有较高载荷，主要是经济发展与医疗卫生事业的推动对人口老龄化的影响，反映了社会发展与政府政策的结果。在第二主成分中，0~14岁人口比例、人口密度、卫生总费用、性别比这几个指标在第二主成分中有较高载荷，对于人口密度增大所带来的压力，个人会理性的降低生育率。性别比的上升会减少女婴的出生数，未来育龄妇女规模下降，生育率进一步下降，必然加剧人口老龄化现象。

4. 结论与建议

通过山东省2010~2020年的人口数据和预测结果可以看出，2021年之后的10年内，山东省65岁以上人口的数量将逐年增加，并且上涨速度很快，预测到2030年第八次人口普查时，65岁以上老年人数将达到2923.5万人，占山东省总人口的27.14%，山东省的老龄化将会达到更高程度。

综合分析结果可以得出山东省老龄化程度不断加深主要有以下几个原因：首先，社会经济的快速发展带来了医疗卫生条件的持续改善，我国医疗保障体系也不断完善，卫生机构数与卫生技术人员不断增多，高龄老年人口数量明显增多。目前，山东省80岁及以上老年人口数为283.05万人，比2010年的182.16万人增长了55.39%，人均寿命也明显延长。其次，随着经济社会快速发展人们受教育水平的提高，群众的生育观念有所改变，生育率不断降低加快了人口老龄化进程。目前不止是山东省，全国生育率都在不断降低，2020年，全国人口出生率为8.52‰，首次跌破10‰。最后，山东省年轻人口流失严重，2017~2019年间，山东省人口净流出分别为41.97万人、19.55万人、19.93万人。人口的流出加重了人口结构带来的问题，尽管总人口仍在增长，但劳动适龄人口在2011年达到峰值后开始下降。劳动力供给的基础发生变化，使得山东省农村的老龄化程度更严重。对此，山东省应早做准备，从以下几个方面着手：

1) 推进养老服务产业的优化改革

根据老龄化预测结果可知，未来山东省人口老龄化将愈发严重。山东省应发展多元的养老模式，积极推进养老服务产业的优化改革，将家庭养老、机构养老和社区养老三种模式进行结构化整合，将养老机构入驻社区，以社区为纽带串联养老机构与居家养老，改善居家养老环境。加快社区老年服务建设，建立多层次多功能的社区老年服务体系，通过建立家庭服务制度、提供膳食服务、开办托老所等措施为老年人提供服务，缓解日益严重的养老压力。山东省政府要加强资金支持力度，针对特殊困难老人建立专项救助资金，整合社会各阶层和社会力量，引导社会资本进入养老服务产业，推动政府和社会结合的特困老年人救助体系建设 [3]。

2) 加大对专业技术人员的培训力度

根据灰色关联度的分析结果，专业卫生技术人员与老龄化之间存在极高的关联度。目前，山东省拥有的专业卫生技术人员还远远达不到未来更深层次老龄化的需求，政府要以全科医生为重点，加强对基本卫生专业人员和技术人员的培训。同时完善继续医学教育，使其覆盖全体卫生专业技术人员，满足各级各类卫生专业技术人员理论知识和实践技能提高的需求 [4]。应加强推广对医保起补充作用的长期护理保险制度。山东省一直高度重视长期护理保险制度建设，目前，全省16个市已建立了职工长期护理保险制度。未来山东省要分类推动长期护理保险制度发展，进一步优化长期护理保险筹资结构，积极拓展筹资途径，建立健全管理业服务规范系统，增强长期护理服务业务供给能力，加强专业人才队伍建设 [5]。

3) 优化人口结构，积极鼓励三胎生育

政府应出台优惠措施鼓励人民积极响应三胎政策。为改善我国的人口结构，积极应对人口老龄化，2021年5月31日中共中央政治局召开会议提出实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施。山东省要全方位积极落实生育配套保障，完善婴幼儿托育配套，通过提高公办幼儿园比例 [6]，在住宅区建立婴幼儿照护机构，给予幼龄人群适当的经济补贴和税收优惠政策等实质性激励措施，减轻生育群体的负担，促进山东省人口结构的调整。

4) 开发老年人力资源市场

基于灰色预期结果，未来12年山东省老年人口将迎来大幅增长。同时为了社会经济的健康发展，山东省政府要注重对老年人力资源市场的开发，并积极发展老龄产业，以市场机制促进老龄产业的发展，并力争减少为老行业发展成本。政府部门要通过丰富的老年人力资源市场和人力资源招聘会，为老人再就业创造专业平台 [7]。积极发展老年人力教育资源，挖掘老人自身潜能，形成多元化的完整的老年人力教育资源系统，为老年人力资源发展创造新动力。还要从税收政策上，支持为老服务行业的发展。

文章引用

刘 爽. 基于灰色理论的山东省人口老龄化发展趋势及影响因素研究
Study on the Development Trend and Influencing Factors of Population Aging in Shandong Province Based on Grey Theory[J]. 应用数学进展, 2022, 11(03): 1367-1375. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.113149

参考文献