Advances in Applied Mathematics
Vol.
11
No.
01
(
2022
), Article ID:
48458
,
11
pages
10.12677/AAM.2022.111057
关于第三类退化的Poly-Cauchy多项式的 组合恒等式
道如娜图亚,乌云高娃
内蒙古大学,内蒙古 呼和浩特
收稿日期:2021年12月26日;录用日期:2022年1月16日;发布日期:2022年1月28日
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摘要
本文利用发生函数和Riordan阵研究了第三类退化的Poly-Cauchy多项式相关的恒等式。首先,运用发生函数方法给出第三类退化的Poly-Cauchy多项式的性质,从而得到了关于第三类退化的Poly-Cauchy多项式的一些组合恒等式。其次,应用Riordan阵法,建立了第三类退化的Poly-Cauchy多项式与两类Stirling数、Lab数、Bell数之间的一些关系式。
关键词
Cauchy多项式,发生函数,Riordan阵,第三类退化的Poly-Cauchy多项式,Stirling数,Lab数
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Some Identities on Degenerate Poly-Cauchy Polynomials of the Third Kind
Daorunatuya, Wuyungaowa
Inner Mongolia University, Huhhot Inner Mongolia
Received: Dec. 26th, 2021; accepted: Jan. 16th, 2022; published: Jan. 28th, 2022
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ABSTRACT
In this paper, using generating functions and Riordan arrays, we establish some identities involving the degenerate Poly-Cauchy polynomials of the third kind. Using the generating functions, we explore some properties of the degenerate Poly-Cauchy polynomials of the third kind, and obtain some combinatorial identities involving the degenerate Poly-Cauchy polynomials of the third kind. In addition, using Riordan arrays, we give some interesting relations involving degenerate Poly-Cauchy polynomials of the third kind with the Stirling numbers of both kinds, the Lab numbers and the Bell numbers.
Keywords:Cauchy Polynomials, Generating Functions, Riordan Matrices, The Degenerate Poly-Cauchy Polynomials of Third Kind, Stirling Numbers, Lab Numbers
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1. 预备知识
在文献 [1] 中,Cauchy多项式
的发生函数定义为:
. (1)
其中,当
时,称
为Cauchy数。
首先,我们引入第三类退化的Poly-Cauchy多项式的定义,其发生函数的定义为(文献 [2] ):
. (2)
其次,我们给出本文中用到的几种组合序列的发生函数的定义:即第一类Stirling数
;第一类无符号Stirling数
;第二类Stirling数
;Lab数
;第一类Bell数
以及第二类Bell数
的发生函数定义如下(文献 [3] ):
, (3)
, (4)
, (5)
, (6)
, (7)
. (8)
下面引进一个引理:
引理1 令
为一个Riordan阵,令
为序列
的发生函数,则有(文献 [3] )
. (9)
2. 第三类退化的Poly-Cauchy多项式与一些组合数间的关系
定理1 设n为非负整数,则有
. (10)
证明:由第三类退化的Poly-Cauchy多项式的发生函数(2),可得
比较等式两边
的系数,可完成定理的证明。
定理2 设n为非负整数,则有
. (11)
证明:由式(2),可得
比较等式两边
的系数,可得定理的证明。
在定理2中,令
,可得如下推论。
推论2 设n为非负整数,则有
. (12)
定理3 设n为非负整数,则有
. (13)
证明:由式(2),可得
比较等式两边
的系数,可以得到结论(13)。
在定理3中,令
,即可得如下推论。
推论3 设n为非负整数,则有
. (14)
定理4 设n为非负整数,则有
. (15)
证明:由式(2),可得
比较等式两边
的系数,可完成定理的证明。
定理5 设n为非负整数,则有
. (16)
证明:因为
,再由引理1和式(2),则有
下面引进序列
和
的反演公式
. (17)
由式(17)和定理5立即可得如下等式。
定理6 设n为非负整数,则有
. (18)
定理7 设n为非负整数,则有
. (19)
证明:由定理5的证明可知
. (20)
因为
,再由式(9)和式(20),可得
由式(17)和定理7立即可得如下结论。
定理8 设n为非负整数,则有
.(21)
定理9 设n为非负整数,则有
.(22)
证明:因为
,再由式(9)和式(2),可得
, (23)
又由式(5),可得
由式(17)和定理9,可得如下结论。
定理10 设n为非负整数,则有
. (24)
定理11 设n为非负整数,则有
(25)
证明:由式(6)有
, (26)
再由式(9)有
而由式(14)和式(9),还可以得到
定理12 设n为非负整数,则有
. (27)
证明:因为
,再由式(9)和式(2),可得
定理13 设n为非负整数,则有
. (28)
证明:由第三类退化的Poly-Cauchy多项式的发生函数(2)有
比较等式两边
的系数,可完成定理的证明。
由式(17)和定理13,立即可得如下结论。
定理14 设n为非负整数,则有
. (29)
基金项目
国家自然科学基金项目(11461050),内蒙古自然科学基金项目(2020MS01020)。
文章引用
道如娜图亚,乌云高娃. 关于第三类退化的Poly-Cauchy多项式的组合恒等式
Some Identities on Degenerate Poly-Cauchy Polynomials of the Third Kind[J]. 应用数学进展, 2022, 11(01): 492-502. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.111057
参考文献
- 1. Merlini, D., Sprugnoli, R. and Verri, M.C. (2006) The Cauchy Numbers. Discrete Mathematics, 306, 1906-1920.
https://doi.org/10.1016/j.disc.2006.03.065
- 2. Pyo, S.-S., Kim, T. and Rim, S.-H. (2018) Degenerate Cauchy Numbers of the Third Kind. Journal of Inequalities and Applications, 32, 12. https://doi.org/10.1186/s13660-018-1626-x
- 3. S. H. Wilf. 近代组合学[M]. 王天明, 译. 大连: 大连理工大学出版社, 2008.