ABSTRACT

This paper is concerned with a class of doubly nonlinear parabolic systems. Under the homogeneous Dirichlet conditions and suitable conditions on the nonlinearity and certain initial datum, a sufficient condition for finite time blowup of its solution in a bounded domain is gave by using a modification of Levine’s concavity method.

Keywords:Blowup of Solution, Doubly Nonlinear Parabolic Equations, Levine’s Concavity Method

多重非线性抛物方程组解的爆破

苏璟，齐龙飞，呼青英

河南工业大学理学院，河南 郑州

Email: slxhqy@163.com

收稿日期：2015年2月27日；录用日期：2015年3月8日；发布日期：2015年3月12日

摘 要

本文研究了一类多重非线性抛物方程组解的爆破，利用修正的Levine凸性方法，对齐次Dirichlet边界和非线性项和初始条件的适当条件下，给出了解爆破时间的充分条件。

关键词 :爆破，多重非线性抛物方程组，Levine凸性方法

1. 引言

本文研究如下非线性抛物方程组解的爆破性

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

其中是上的有界区域且有光滑边界，是上的Laplace 算子，，为以后给定的函数。

型如(1.1)的单个多重非线性抛物方程

(1.5)

就是经典的所谓双非线性抛物方程,这类方程可以描述诸多化学反应、热传导过程和种群动力学过程(详细见文献[1] )。方程(1.5)的初值问题或初边值问题已经有许多文献研究其局部和整体可解性[2] -[6] ，文献[7] -[12] 则研究了其整体吸引子的存在性和正则性。最近几十年，该类非线性抛物方程的爆破问题吸引了许多人的注意，基于Levine [13] [14] 凸性方法这一开创性的证明爆破的结果，Iami和Mochizuki [15] 则给出了方程(1.5)带Neumann初边值问题解爆破的充分条件，该凸性方法还被Levine [16] [17] 用于如下渗流方程

(1.6)

Sacks [18] 研究了如下包含方程解的爆破问题

(1.7)

Zhang [19] 和Ding和Guo [20] -[22] 通过构造适当的辅助函数，利用一阶微分不等式考虑了下面带梯度项和Neumann (或Robin)初边值问题解的爆破条件

(1.8)

Korpusou和Sveshnikov [23] [24] 给出了如下方程初边值问题弱解爆破的充分条件

(1.9)

最后，还应提及Ouardi和 Hachimi [25] [26] 研究了如下多重非线性抛物方程组

得到了其整体吸引子的存在性和正则性以及Hausdorff维数估计。

本文用修正的Levine凸性方法证明问题(1.1)~(1.4)的解在有限时刻爆破，该方法比原始的Levine凸性方法更简洁，其基本技巧是Korpousov [24] 给出的一个微分不等式，本文把[24] 的方法用于多重非线性抛物方程组。据作者所知，关于多重非线性抛物方程组的爆破问题的研究还比较少。本文的安排如下：第二节将给出一些假设和基本引理，第三节给出主要结果和证明。

2. 假设和基本引理

本文用和表示通常的Soblev空间,其范数分别记为和，特别是当时，记，这些符号的含义和记法同文献[2] 。

本文始终假设。关于非线性项,的假设如下：

(A1)，存在函数使得

，

且存在常数使得

,

其中，当时，当时。

注：满足条件(A1)的函数是存在的。事实上，一个典型的例子是取

且，即

,

,

这时，，其中,，，。该例的详细情况可见文献[27] 。

利用Galerkin方法，结合单调性理论和紧性方法[2] ，类似文献[24] 可得问题(1.1)~(1.4)解的局部存在性。

定理2.1：假设条件(A1)成立，，，则问题(1.1)~(1.4)存在弱解，即，存在使得

, ,.

且对任意成立：

，

，

以及。

下面给出本文的基本引理。

引理2.2 [13] [24] [28] ：设是R上非负二次连续可导函数且满足不等式

其中为常数。若，，则必存在时刻，使当时有，其中

。

3. 主要结果及证明

首先引入泛函

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

现给出主要引理。

引理3.1：对任意，下面不等式成立

(3.5)

证明 注意到

(3.6)

而由Holder不等式得

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

考虑到(3.7)~(3.10)，则由(3.6)得

再利用不等式

,

得

于是，引理得证。

下面，给出主要定理。

定理3.2：设定理2.1的条件成立, 且

(3.11)

则问题(1.1)~(1.4)的弱解必在某有限时刻爆破，即

证明：方程(1.1)，(1.2)两边分别同乘和，然后关于x积分并相加，得

(3.12)

方程(1.1)，(1.2)两边分别同乘和，然后关于x积分并相加，得

(3.13)

(3.13)关于t积分得

(3.14)

再利用条件(A1)得

(3.15)

(3.12)结合(3.15)，并用到，得

即

(3.16)

注意到得

(3.17)

利用引理3.1，得

(3.18)

其中。

如果，由(3.1)，(3.6)和(3.11)知

, ,

于是，由引理2.2得结论。如果，取，则(3.18)变为

于是，由标准的凸性引理得结论。

文章引用

苏 璟,齐龙飞,呼青英, (2015) 多重非线性抛物方程组解的爆破
Blowup of Solutions for a Class of Doubly Nonlinear Parabolic Equations. 理论数学,02,59-65. doi: 10.12677/PM.2015.52009

参考文献 (References)