Pure Mathematics
Vol.06 No.02(2016), Article ID:17263,6 pages
10.12677/PM.2016.62018

A Strong Law of Large Number for PA Random Sequences

Ying Lin1, Jianhua Shi2

1Department of Mathematics, Ningde Normal University , Ningde Fujian

2School of Mathematics and Statistics, Minnan Normal University , Zhangzhou Fujian

Received: Mar. 12th, 2016; accepted: Mar. 24th, 2016; published: Mar. 30th, 2016

Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

ABSTRACT

In this paper, the convergence properties of PA random sequences are studied, some strong laws of large numbers in the independent case are extended, and some new results are obtained.

Keywords:PA Random Sequences, Independent, Strong Law of Large Numbers

PA列的一个强大数定律

林影1,施建华2

1宁德师范学院数学系,福建 宁德

2闽南师范大学数学与统计学院,福建 漳州

收稿日期:2016年3月12日;录用日期:2016年3月24日;发布日期:2016年3月30日

摘 要

研究PA随机变量序列的收敛性质,推广了与独立情形相类似的一些强大数定律,得到了新的结果。

关键词 :PA列,独立,强大数定律

1. 引言与引理

定义 [1] :随机变量被称为是PA(Positively Associated)列,如果

,

其中f和g是任何两个定义在上使上述协方差存在且对每个变元均非降的函数;称随机变量序列是PA列,如果对任何自然数都是PA的。

由于PA列在多元统计分析,可靠性理论及相关的各种领域中均有广泛的应用,许多学者对其极限性质进行了深入的研究。如Newman和Wright在文 [2] 中建立了PA列的不变性原理,Prakasa Rao在文 [3] 中给出了关于PA列的三级数定理。本文在文 [3] 的基础上给出了PA列的一个强大数定律,推广了与独立情形相类似的一些结果。

引理1 [1] :设是PA列,的非降函数,,则仍为PA列。

引理2 [3] :设是PA列,对某,记,如果有

2. 主要结果及其证明

定理:设为零均值的PA列,若下列二条件之一成立:

(1)

(2)

其中是常数列且满足,则

证明:由Kronecker引理知,只需证明。由引理1知,还是PA列,从而只需验证引理2中三级数收敛。

由(1)式知,对充分大的n,有

,

所以

(3)

同理由(2)式有

(4)

时,有,从而

由(3)式可得

时,有,由(4)式同样可得。从而当(1)式或(2)式成立时,有

(5)

,有

,由,有

所以当(1)式或(2)式成立时,均有

(6)

由Holder不等式,得

(7)

不等式 [4] 知

,有

,有

所以当(1)式或(2)式成立时,均有

又由(7)式知

(8)

从(6)式和(8)式可得

(9)

由(5),(6),(9)式及引理2知。证毕。

推论1:设为零均值的PA列,是常数列且满足,若,则

证明:由定理可见结论是显然的。

说明:推论1给出了与独立情形相类似的强大数律,由此可见,定理是推广的PA列的极限定理,它可使相关的问题更方便简洁。

推论2:设为零均值的PA列,,若存在单调增函数,使得,则

证明:由

及推论1即得。

推论3:设为零均值的PA列,是常数列且满足是正实数序列且,若存在,使得

证明:当时,由推论1知结论成立。现设,记

于是有

从而有

由假设可得

又因为

故由推论1知结论成立。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(No.11471153)。

文章引用

林 影,施建华. PA列的一个强大数定律
A Strong Law of Large Number for PA Random Sequences[J]. 理论数学, 2016, 06(02): 121-126. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.62018

参考文献 (References)

  1. 1. Esary, J.D., Proschan, F. and Walkup, D.W. (1967) Associated of Random Variables, with Applications. The Annals of Mathematical Statistics, 38, 1466-1474. http://dx.doi.org/10.1214/aoms/1177698701

  2. 2. Newman, C.M. and Wright, A.L. (1981) An Invariance Principle for Certain Dependent Sequences. The Annals of Probability, 9, 671-675. http://dx.doi.org/10.1214/aop/1176994374

  3. 3. Prakasa Rao, B.L.S. (2002) Hajek-Renyi-Type Inequality for Associated Sequences. Statistics & Probability Letters, 57, 139-143. http://dx.doi.org/10.1016/S0167-7152(02)00025-1

  4. 4. 林正炎, 陆传荣, 苏中根. 概率论极限理论基础[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999.

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