ABSTRACT

Let G be a π-separable finite group, K and H respectively a subgroup and any Hall π-subgroup of G. Alexandre Turull gets the divisibility relation between the number of Hall π-subgroups of G and that of K by using the calculation formula about the number of Hall π-subgroup. It is obtained the form of certificate by using the elementary method.

Keywords:Hall π-Subgroup, π-Separable Finite Group, Divisibility

π-可分群的Hall π-子群的个数

方树珍，李欣，周芳

太原师范学院数学系，山西 晋中

收稿日期：2016年4月20日；录用日期：2016年5月6日；发布日期：2016年5月9日

摘 要

设G是有限π-可分群，H是G的任意Hall π-子群，K是G的子群。Alexandre Turull利用Hall π-子群的计算公式得到G的Hall π-子群H的个数可以被其子群K的Hall π-子群的个数整除这一关系。本文用初等方法证明了该结论。

关键词 :Hall π-子群，有限π-可分群，整除

1. 引言

设是有限群， -是素数集，是的任意-子群，是的子群。本文的符号是标准的，见 [1] ，记的-子群个数为，的-子群个数为。当是-可分群时，有，且为非负整数，其中是在中的稳定子群，很显然有不等关系，另由文 [1] 可知。为了更清楚的反映这一整除关系，本文用初等方法证明了该结论。

2. 主要结果

定理1设为素数集，为有限-可分群，是的子群，则。

为了完成定理1的证明，我们需要下面的引理。

引理1设，均为有限群，且互素作用在上，为的-不变子群，令，则。

文 [2] 引理2.1中对中仅有一个素数的情形进行了证明，该结论推广到由有限多个素数构成的集合上也是成立的，见 [2] 。

引理2设是有限-可分群的正规子群，是的-子群，则。

证明：设群通过共轭作用在集合上，由于，则对任意，有，于是。对于有限-可分群，所有的-子群均共轭，同时，有限-可分群的子群仍是-可分群，见 [3] 。因此，存在满足，从而，即，因此。

引理3设是有限-可分群，。若，则。

证明：对的阶进行归纳。

一方面，设的非平凡正规子群是，满足为-群，记。由及，则有含于，见 [4] ，因而，根据归纳假设得。因为是的正规子群及为的-子群，由引理2可得，同理有，因此。

又因为，且，可得，于是，而对于，有，于是在中的指数等于，因此

由归纳假设所得的整除关系可知，而，故有

。

另一方面，设的非平凡正规子群是，满足为-群，记。由于为的-子群及，根据归纳假设得

由题设条件知，于是，其中在中的指数为-数，故在中的指数也为-数，于是与互素，进而。由同构定理有，于是在中的指数能被整除。

现设，，显然在中的稳定子含于。假设，有，因，有，进而有

故。由于含于及，有

因此。

现设，其中为的正规子群，则在上互素作用。令，则，而，于是。

又因为，由前一种情形可得，因此，根据同构定理可得到

进而有，同理。对于，它是的-不变子群，由引理1可得，因此。

定理1的证明：对在中的指数进行归纳。

设，其中为有限-可分群。由归纳假设可知。现不妨设为的极大子群，对于-可分群来讲，任取，在中的指数有两种情形，或为的方幂数或不能被整除。

若，这里的是正自然数。设为的-子群，为与的交集，则在中的指数等于在中的指数，由此可知为-数，于是，而其中的是因为。由于及，可得，于是有，而对于可被整除，这是因为。因此，即。

若，设，此时，为的-子群，由引理3可知，从而，即。

基金项目

国家自然科学基金(11401424)和山西省自然科学基金(2013011001-3)资助项目资助。

文章引用

方树珍,李 欣,周 芳. π-可分群的Hall π-子群的个数
The Number of Hall π-Subgroups of a π-Separable Group[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 162-165. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63024

参考文献 (References)