Pure Mathematics
Vol.06 No.03(2016), Article ID:17509,4
pages
10.12677/PM.2016.63024
The Number of Hall π-Subgroups of a π-Separable Group
Shuzhen Fang, Xin Li, Fang Zhou
Department of Mathematics, Taiyuan Normal University, Jinzhong Shanxi
Received: Apr. 20th, 2016; accepted: May 6th, 2016; published: May 9th, 2016
Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
Let G be a π-separable finite group, K and H respectively a subgroup and any Hall π-subgroup of G. Alexandre Turull gets the divisibility relation between the number of Hall π-subgroups of G and that of K by using the calculation formula about the number of Hall π-subgroup. It is obtained the form of certificate by using the elementary method.
Keywords:Hall π-Subgroup, π-Separable Finite Group, Divisibility
π-可分群的Hall π-子群的个数
方树珍,李欣,周芳
太原师范学院数学系,山西 晋中
收稿日期:2016年4月20日;录用日期:2016年5月6日;发布日期:2016年5月9日
摘 要
设G是有限π-可分群,H是G的任意Hall π-子群,K是G的子群。Alexandre Turull利用Hall π-子群的计算公式得到G的Hall π-子群H的个数可以被其子群K的Hall π-子群的个数整除这一关系。本文用初等方法证明了该结论。
关键词 :Hall π-子群,有限π-可分群,整除
1. 引言
设是有限群,
-是素数集,
是
的任意
-子群,
是
的子群。本文的符号是标准的,见 [1] ,记
的
-子群个数为
,
的
-子群个数为
。当
是
-可分群时,有
,且
为非负整数,其中
是
在
中的稳定子群,很显然有不等关系
,另由文 [1] 可知
。为了更清楚的反映这一整除关系,本文用初等方法证明了该结论。
2. 主要结果
定理1设为素数集,
为有限
-可分群,
是
的子群,则
。
为了完成定理1的证明,我们需要下面的引理。
引理1设,
均为有限群,且
互素作用在
上,
为
的
-不变子群,令
,则
。
文 [2] 引理2.1中对中仅有一个素数的情形进行了证明,该结论推广到由有限多个素数构成的集合
上也是成立的,见 [2] 。
引理2设是有限
-可分群
的正规子群,
是
的
-子群,则
。
证明:设群通过共轭作用在集合
上,由于
,则对任意
,有
,于是
。对于有限
-可分群,所有的
-子群均共轭,同时,有限
-可分群的子群仍是
-可分群,见 [3] 。因此,存在
满足
,从而
,即
,因此
。
引理3设是有限
-可分群,
。若
,则
。
证明:对的阶进行归纳。
一方面,设的非平凡正规子群是
,满足
为
-群,记
。由
及
,则有
含于
,见 [4] ,因而
,根据归纳假设得
。因为
是
的正规子群及
为
的
-子群,由引理2可得
,同理有
,因此
。
又因为,且
,可得
,于是
,而对于
,有
,于是
在
中的指数等于
,因此
由归纳假设所得的整除关系可知,而
,故有
。
另一方面,设的非平凡正规子群是
,满足
为
-群,记
。由于
为
的
-子群及
,根据归纳假设得
由题设条件知,于是
,其中
在
中的指数为
-数,故
在
中的指数也为
-数,于是
与
互素,进而
。由同构定理有
,于是
在
中的指数能被
整除。
现设,
,显然
在
中的稳定子含于
。假设
,有
,因
,有
,进而有
故。由于
含于
及
,有
因此。
现设,其中
为
的正规子群,则
在
上互素作用。令
,则
,而
,于是
。
又因为,由前一种情形可得
,因此,根据同构定理可得到
进而有,同理
。对于
,它是
的
-不变子群,由引理1可得
,因此
。
定理1的证明:对在
中的指数
进行归纳。
设,其中
为有限
-可分群。由归纳假设可知
。现不妨设
为
的极大子群,对于
-可分群
来讲,任取
,
在
中的指数有两种情形,或为
的方幂数或不能被
整除。
若,这里的
是正自然数。设
为
的
-子群,
为
与
的交集,则
在
中的指数等于
在
中的指数,由此可知
为
-数,于是
,而其中的
是因为
。由于
及
,可得
,于是有
,而对于
可被
整除,这是因为
。因此
,即
。
若,设
,此时
,
为
的
-子群,由引理3可知
,从而
,即
。
基金项目
国家自然科学基金(11401424)和山西省自然科学基金(2013011001-3)资助项目资助。
文章引用
方树珍,李 欣,周 芳. π-可分群的Hall π-子群的个数
The Number of Hall π-Subgroups of a π-Separable Group[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 162-165. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63024
参考文献 (References)
- 1. Turull, A. (2004) The Number of Hall π-Subgroups of a π-Separable Group. Proceedings of the American Mathematical Society, 132, 2563-2565. http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-04-07412-X
- 2. Navarro, G. (2003) Number of Sylow Subgroups in p-Solvable Groups. Proceedings of the American Mathematical Society, 131, 3019-3020. http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-03-06884-9
- 3. Isaacs, I.M. (2008) Finite Group Theory. American Ma-thematical Society, Providence. http://dx.doi.org/10.1090/gsm/092
- 4. 徐明曜. 有限群初步[M]. 北京: 科学出版社, 2013.