ABSTRACT

In this paper, we mainly study a class of finite rank torsion free abelian groups which their automorphism groups are C₂.

Keywords:Automorphism, Torsion Free Abelian Groups, Finite Automorphism

一类有限秩Abel群的自同构

苗俊，廖军，刘合国^*

湖北大学数学系，湖北 武汉

收稿日期：2016年7月9日；录用日期：2016年7月25日；发布日期：2016年7月28日

摘 要

本文给出了一类有限秩的具有C₂自同构的无挠Abel群。

关键词 :自同构，无挠Abel群，有限自同构

1. 引言

Baer于1937年在无挠Abel群中引入型的概念成功地给出了秩为1的无挠Abel群的同构不变量：两个秩为1的无挠Abel群的同构，当且仅当它们具有相同的型，参见文献 [1] 。此后尽管很多学者试图找出秩大于1的无挠Abel群的同构不变量，但是迄今为止仍然没有一个满意的同构不变量 [2] 。

在 [3] ，引理A中，作者给出了秩为1无挠Abel群的自同态环和自同构群的结构，并且研究了无限亚局部循环群的结构以及它们的自同构和自同构群。

K.A. Hirsch 和他的合作者在 [4] [5] 中研究了当无挠Abel群的自同构群有限时的自同构群的结构。如果有限群同构于一个无挠的自同构群，那么同构与下列类型群的直积的一个子群：

(1) 阶为2，4，6的循环群，，；

(2) 8阶4元数群；

(3)；

(4)。

一个自然的问题是确定无挠Abel群，使得其自同构群是。本文是在这方面的一个尝试，给出了一类有限秩的具有自同构群的无挠Abel群，推广了( [6] , 4.4.2)。

2. 自同构群为C₂的有限秩无挠Abel群例

本文采用 [6] [7] 的符号和概念。下面的定理表明存在任意有限秩的无挠Abel群，它们的自同构群为，因而是不可分解的。见 [1] 。

定理2.1：设，令子群

其中是互异的素数，。则。

证明：首先考虑的无限高元：

设

具有无限阶高，则存在

使得对任意的自然数t成立。即

由于是的一组基，则由的系数对应相等有

即

对任意成立，于是

,

得到

若

具有无限阶高，则存在

使得对任意的自然数t成立。

由于也构成的一组基，则由的系数对应相等有

即

对任意的自然数成立，于是

得到

所以无限高的元是的一个有理数；无限高的元是的一个有理倍数。

下面确定的自同构群。如果，因为和具有相同的-高，于是，其中是有理数，；同理，即

又

所以，记，则任意的，，其中是有理数。又，结合的生成元特点，知。因此，由它生成，且。

注记：事实上，类似于的子群的自同构群都是2阶的，例如设

其中，是互异的素数，则。

一般地，称与在中有关系，如果是它的某个生成元。如果之间都有关系，则。

定理2.2：设，令子群

其中，是互异的素数。则,。

证明：与定理2.1类似，知无限高的元是的一个有理倍数；无限高的元是的一个有理倍数。再结合同态保持运算的特点以及同构是可逆的不难推出，。

定理2.2表明，构造的这个可以分解成有限秩不可分解全不变子群的直和。

一般地，当上述换为素数集合是有类似的结论，与定理1对应设，设是某些素数的集合，记，其中是一个-数，即，，。使具有无限-高，有限-高，

同上述方法当时，是全不变的，即任意的无限-高元属于，此时若记，则，特别地，当时，。一般地，对于有多个分块的，对每个块进行讨论。如果一个块连接部分有几部分，记， 在连接块中出现(等同于上述的)，当，同样的结论成立。

基金项目

国家自然科学基金(11371124, 11401186)和“高等代数”湖北省精品课程专项基金资助。

文章引用

苗 俊,廖 军,刘合国. 一类有限秩Abel群的自同构
The Automorphism Groups of a Class of Finite Rank Abelian Groups[J]. 理论数学, 2016, 06(04): 337-341. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.64049

参考文献 (References)