Pure Mathematics
Vol.07 No.01(2017), Article ID:19578,4
pages
10.12677/PM.2017.71006
Maps of the Continuum with Every Point Chain Recurrent
Ridi Huang1, Jingren Zhou1, Yalin Tang1, Gengrong Zhang1,2*
1School of Mathematics and Information Science, Guangxi University, Nanning Guangxi
2College of Mathematics and Computational Science, Hunan First Normal University, Changsha Hunan
Received: Jan. 2nd, 2017; accepted: Jan. 17th, 2017; published: Jan. 20th, 2017
Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
Let be
continuum and
be a continuous map, where
,
,
. It is showed that if
is pointwise chain recurrent, then if
is connected,
is identify; if
is disconnected, then
is turbulent while
or
is nondegenerate disconnected;
is not turbulent while
,
and
.
Keywords:Continuum, Pointwise Chain Recurrent, Identify, Turbulent
连续统上每个点都为链回归点的映射
黄日娣1,周敬人1,唐亚林1,张更容1,2*
1广西大学数学与信息科学学院,广西 南宁
2湖南第一师范学院数学与计算科学学院,湖南 长沙
收稿日期:2017年1月2日;录用日期:2017年1月17日;发布日期:2017年1月20日
摘 要
设为
连续统,
为连续自映射,其中
,
,
。本文指出:如果
为逐点链回归映射,那么,若
连通,则
为恒等映射;若
不连通,则当
或者
非退化不连通时,
含湍流,当
,
且
时,
不含湍流。
关键词 :连续统,逐点链回归,恒等映射,湍流
1. 预备知识
设,
,记
,我们称
为
连续统。由 [1] 知,
为紧的,类弧连通的,但不是弧连通的,也不是局部连通的。
连续统在拓扑学的综合文章中提到的不少,而且也引起了动力系统研究者的兴趣。本文主要研究
连续统上逐点链回归的性质。
首先,列举本文的一些符号和定义如下:
设为紧致度量空间,
为连续映射。若对任意
以及某个正整数
,有
且当
,则称
为周期
的周期点,其中
,特别地,如果
,则
为
的不动点,分别用
和
来表示
的不动点集和周期点集。对于任意
到
的
链就是一个有限序列
,其中
且对于
,一个点
被称为链回归的是指存在从
到
的
链。用
来表示
的链回归点集。如果每个点在映射
下都是链回归的,则称这个映射
为逐点链回归的。下面关于链回归的事实是明显成立的:
(1) 如果是逐点链回归的,则
是
上的满射。
(2)为逐点链回归的当且仅当对于任
,
是逐点链回归的。
(3) [2] 若是连通的且
是逐点链回归的,则不存在非空开集
使得
。
链回归是一个系统的重要动力学性质,近年来,在这方面的研究已取得突破性进展,详情可见 [2] - [7] 。
一个映射称为含湍流,是指如果存在非退化闭的连通子集
和
且
内部不交使得
。
下面关于链回归的事实是明显成立的:
(1) 如果含湍流,则对于任意
,
含湍流。
(2) 如果存在使得
,则
含湍流。
文献 [3] 中证明了紧致区间上的逐点链回归映射必须满足
为恒等映射或者
含湍流;文献 [6] 中证明了
空间中逐点链回归映射
必须满足
为恒等映射或者
恰有一个不动点或者
为恒等映射或者
含湍流;文献 [7] 中证明了区间
上每个点都为链回归点的映射
,若
连通,则
为恒等映射,若
,则
含湍流。
本文主要证明了以下定理:
设为
连续统,
如前所述,
为连续映射,如果
为逐点链回归映射,则
(1) 若连通,
为恒等映射;
(2) 若不连通,则当
或者
非退化不连通,
含湍流,当
,
且
,
不含湍流。
2. 主要定理的证明
引理1 [8] :设为
连续统,
如前所述,
为连续映射,则下列之一成立:
(1);
(2);
(3)。
引理2 [9] :设为连续映射,则存在唯一的一个连续映射
使得
。
引理3 [7] :设为连续自映射,如果
是逐点链回归的,那么,若
是连通的,则
是恒等映射;若
是不连通的,则
含湍流。
定理1:设为
连续统,
如前所述,
为连续映射,
为逐点链回归映射,则
。
证明:由引理1可知,若为
连续统,
如前所述,
为连续映射,则
,或者对于任意
。又因为对于任意
,
不是S上的满射,因此
不是逐点链回归映射。因此若
为逐点链回归映射,则
。
定理2:设为
连续统,
如前所述,
为连续映射,
为逐点链回归映射,则
(1) 若连通,
为恒等映射;
(2) 若不连通,则当
或者
非退化不连通,
含湍流,当
,
且
,
不含湍流。
证明:由定理1可知,。设
上连续自映射的不动点集为
,
上连续自映射的不动点集为
,则
,
情形1:若连通,即
连通。若
,由于
连通,则
。又
不连通,所以
不连通,与
连通矛盾。故
,从而存在
使得
,因此与
连通。又设同胚映射
为连续满射,由引理2可知存在连续映射
使得
。若
则
且
,因此
。因为
连通,所以
连通,又
逐点链回归,因此
逐点链回归,由引理3可知
为恒等映射,则
。所以
为恒等映射,故
为恒等映射。
情形2:若不连通,即
不连通。
子情形1:若不连通,即
,则
含湍流,因此
含湍流。
子情形2:若非退化不连通,又设同胚映射
为连续满射,由引理2可知存在连续映射
使得
。若
,则
且
,因此
。因为
不连通,所以
不连通,又
逐点链回归,因此
逐点链回归,由引理3可知
含湍流,则
。所以
含湍流,故
含湍流。
子情形3:若,
且
,反设
含湍流,由于
为恒等映射,所以
含湍流,则存在闭集
使得
,所以
,因此存在
使得
,使得
,若
,因此存在不动点
,与
矛盾,若
,即
,则
,故存在
使得
使得
,因此存在不动点
,与
矛盾,故与
不含湍流。
基金项目
国家自然科学基金(NO: 11461002; 11401288);广西自然科学基金(NO: 2016GXNSFAA380317)。
文章引用
黄日娣,周敬人,唐亚林,张更容. sin(1/x)连续统上每个点都为链回归点的映射
Maps of the sin(1/x) Continuum with Every Point Chain Recurrent[J]. 理论数学, 2017, 07(01): 39-42. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.71006
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