ABSTRACT

By applying the improved Kolokolniov lemma to investigate the Gol’dberg-Grinshtein type logarithmic derivative estimation, the constant in the existing results are improved to 4.5206. In particularly, for the case that all zeros and poles of the meromorphic function are real numbers, the constant is improved to 3.8018.

Keywords:Meromorphic Functions, Nevanlinna Theory, Logarithmic Derivatives

Gol’dberg-Grinshtein型对数导数估计

李升，陈宝琴

广东海洋大学数学与计算机学院，广东 湛江

收稿日期：2017年10月27日；录用日期：2017年11月10日；发布日期：2017年11月14日

摘 要

通过应用改进的Kolokolniov引理，考虑Gol'dberg-Grinshtein型对数导数估计，将现有结果中的常数改进为4.5206。特别地，对零点和极点都是实数的亚纯函数，将相应的常数改进为3.8018。

关键词 :亚纯函数，Nevanlinna理论，对数导数

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1. 引言

在下文中，将使用Nevanlinna理论 [1] [2] [3] 的标准记号。对数导数引理刻画了对数导数的均值函数的上界，是亚纯函数值分布理论的核心定理之一。早在1976年，Gol’dberg和Grinshtein [4] 就研究了对数导数的均值函数的上界。他们得到了如下估计式：

$m\left(r,\frac{f^{\prime }}{f}\right)\le {\log }^{+}\left(\frac{T\left(\rho ,f\right)}{r}\frac{\rho }{\rho -r}\right)+5.8501$ (1)

其中 $\rho >r$ ， $f\left(z\right)$ 是一个亚纯函数且满足 $f\left(0\right)=1$ 。

形如式(1)的不等式称为Gol’dberg-Grinshtein型对数导数估计。其应用及如何改进常数5.8501，一直受到国内外专家学者的关注。Benbourenane和Korhonen [5] ，Kondratyuk和Kshanovskyy [6] 先后将不等式(1)中的常数5.8501改进为5.3078和4.8517。Heittokangas等人 [7] 则得到了不等式(1)包含高阶导数的形式。

我们首先证明如下的一般性结果：

定理1：设 $f\left(z\right)$ 在 $\left\{z\in C:\left|z\right|<R\right\}$ 内亚纯且 $f\left(0\right)=1$ ，其中 $0<R\le \infty$ ，则对所有满足 $0<r<\rho <R$ 的 $r$ 和 $\rho$ 有

$m\left(r,\frac{f^{\prime }}{f}\right)\le {\log }^{+}\left(\frac{T\left(\rho ,f\right)}{r}\frac{\rho }{\rho -r}\right)+4.5206$

对于零点和极点都是实数的亚纯函数，我们将常数4.5206进一步缩小为3.8018，也就是如下定理：

定理2：设 $f\left(z\right)$ 在 $\left\{z\in C:\left|z\right|<R\right\}$ 内亚纯且 $f\left(0\right)=1$ ，其中 $0<R\le \infty$ 。如果 $f\left(z\right)$ 的所有零点和极点都是实数，那么对所有满足 $0<r<\rho <R$ 的 $r$ 和 $\rho$ 有

$m\left(r,\frac{f^{\prime }}{f}\right)\le {\log }^{+}\left(\frac{T\left(\rho ,f\right)}{r}\frac{\rho }{\rho -r}\right)+3.8018$

2. 引理

引理1： [5] 如果 $0\le d\le 1$ ， $0<\alpha <1$ ， $C_1,C_2$ 为非负实数，那么

$C_1{\left(1-d\right)}^{\alpha }+C_2{d}^{\alpha }\le {\left(C_1^{\frac{1}{1-\alpha }}+C_2^{\frac{1}{1-\alpha }}\right)}^{1-\alpha }$

引理2： [8] 假设 $R<\infty$ ， $F\left(z\right)$ 在 $\left\{z\in C:\left|z\right|<R\right\}$ 解析，对 $0\le \theta \le 2\text{π}$ ，定义 $u\left(\theta \right)$ 如下：

$u\left(\theta \right):=\underset{z\to R{\text{e}}^{i\theta },\left|z\right|<R}{\lim \inf }{\left|F\left(z\right)\right|}^{1-\alpha }$

如果 $\text{Re}\left(F\left(z\right)\right)$ 或 $\text{Im}\left(F\left(z\right)\right)$ 不变号，那么对任意满足 $0<\alpha <1$ 的 $\alpha$ 有

$\frac{1}{\text{2π}}{\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}u{\left(\theta \right)}^{\alpha }\text{d}\theta }\le \sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right){\left|F\left(0\right)\right|}^{\alpha }$

以下引理是Kolokolniov引理(见 [9] )的改进形式。

引理3： [5] 假设 $R<\infty$ ， $\left\{c_k\right\}\subseteq \left\{z\in C:\left|z\right|<R\right\}$ 内的有限复数列。对每个 $k$ ，假设 ${\delta }_k=\pm 1$ 并定义

$H\left(z\right):={\displaystyle \sum _k\frac{{\delta }_k}{z-c_k}}$

则对任意满足 $0<\alpha <1$ 的 $\alpha$ ， $0<r<R$ 有

$\frac{1}{\text{2π}}{\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}{\left|H\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|}^{\alpha }\text{d}\theta }\le {\left(2^{\frac{1}{1-\alpha }}+2^{\frac{2}{1-\alpha }}\right)}^{1-\alpha }\sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right){\left(\frac{n\left(R,H\right)}{r}\right)}^{\alpha }$

注意到，如果对每个 $k$ ， $c_k$ 为实数，那么 ${\phi }_k=\arg \left(c_k\right)\in \left[0,\text{π}\right]$ ， $q_k={\delta }_k\sin \left({\phi }_k\right)=0$ ，参考引理3的证明，可以得到以下结果。

引理4：假设 $\left\{c_k\right\}$ 为有限实数列。对每个 $k$ ，假设 ${\delta }_k=\pm 1$ 并定义

$H\left(z\right):={\displaystyle \sum _k\frac{{\delta }_k}{z-c_k}}$

则对任意满足 $0<\alpha <1$ 的 $\alpha$ ， $0<r<R$ 有

$\frac{1}{\text{2π}}{\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}{\left|H\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|}^{\alpha }\text{d}\theta }\le 2^{2-\alpha }\sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right){\left(\frac{n\left(R,H\right)}{r}\right)}^{\alpha }$

下面的引理是Jensen不等式的推论，证明见Kondratyuk [6] 。

引理5：如果在 $\left[0,T\right]$ ， $u\left(t\right)\ge 0$ 且 $I=\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^{T}u}\left(t\right)\text{d}t$ 存在，那么

$\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{\log }^{+}}u\left(t\right)\text{d}t\le \max \left\{1,\log I\right\}$

3. 定理1的证明

设 $s=\beta r+\left(1-\beta \right)\rho$ ，其中 $0<\beta <1$ 。则 $\rho -s=\beta \left(\rho -r\right)$ 且 $s-r=\left(1-\beta )\right)\left(\rho -r\right)$ 。将 $f\left(z\right)$ 在 $\left\{z:\left|z\right|<s\right\}$ 内的所有零点、极点分别记为 $a_1,\cdots ,a_p$ 和 $b_1,\cdots ,b_q$ ，计算重数。由Poision-Jensen引理可得

$\frac{f^{\prime }\left(z\right)}{f\left(z\right)}={\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}\frac{2s{\text{e}}^{i\phi }}{{\left(s{\text{e}}^{i\phi }-z\right)}^2}}\log \left|f\left(s{\text{e}}^{i\phi }\right)\right|\frac{\text{d}\phi }{2\text{π}}+{\displaystyle \sum _{j=1}^p\left(\frac{{\overline{a}}_j}{s^2-{\overline{a}}_{j}z}+\frac{1}{z-a_j}\right)}$ $-{\displaystyle \sum _{j=1}^q\left(\frac{{\overline{b}}_j}{s^2-{\overline{b}}_{j}z}+\frac{1}{z-b_j}\right)}$

对在圆周 $\left|z\right|=s$ 上的零点和极点的细节处理，见文 [10] 的第11页。

对上式取模可得

$\left|\frac{f^{\prime }\left(z\right)}{f\left(z\right)}\right|\le {\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}\frac{2s}{{\left|s{\text{e}}^{i\phi }-z\right|}^2}}\left|\log \left|f\left(s{\text{e}}^{i\phi }\right)\right|\right|\frac{\text{d}\phi }{2\text{π}}+\left|{\displaystyle \sum _{j=1}^p\frac{{\overline{a}}_j}{s^2-{\overline{a}}_{j}z}}-{\displaystyle \sum _{j=1}^q\frac{{\overline{b}}_j}{s^2-{\overline{b}}_{j}z}}\right|$ $+\left|{\displaystyle \sum _{j=1}^p\frac{1}{z-a_j}}-{\displaystyle \sum _{j=1}^q\frac{1}{z-b_j}}\right|$

注意到 $0<\alpha <1$ 和 $d_j$ ，有

${\left({\displaystyle \sum _j{d}_j}\right)}^{\alpha }\le {\displaystyle \sum _j{d}_j^{\alpha }}$ (2)

故由上述两个不等式可得

${\left|\frac{f^{\prime }\left(z\right)}{f\left(z\right)}\right|}^{\alpha }\le {\left({\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{2s}{{\left|s{\text{e}}^{i\phi }-z\right|}^2}}\left|\mathrm{logg}\left|f\left(s{\text{e}}^{i\phi }\right)\right|\right|\frac{\text{d}\phi }{2\text{π}}\right)}^{\alpha }+{\left|{\displaystyle \sum _{j=1}^p\frac{{\overline{a}}_j}{s^2-{\overline{a}}_{j}z}}-{\displaystyle \sum _{j=1}^q\frac{{\overline{b}}_j}{s^2-{\overline{b}}_{j}z}}\right|}^{\alpha }$ $+{\left|{\displaystyle \sum _{j=1}^p\frac{1}{z-a_j}}-{\displaystyle \sum _{j=1}^q\frac{1}{z-b_j}}\right|}^{\alpha }$

记 $z=r{\text{e}}^{i\theta }$ 并在上式左右两边分别对 $\theta$ 积分，有

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}{\left|\frac{f^{\prime }\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)}{f\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)}\right|}^{\alpha }}\frac{\text{d}\theta }{\text{2π}}\le {\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}{\left({\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}\frac{2s}{{\left|s{\text{e}}^{i\phi }-r{\text{e}}^{i\theta }\right|}^2}}\left|\log \left|f\left(s{\text{e}}^{i\phi }\right)\right|\right|\frac{\text{d}\phi }{\text{2π}}\right)}^{\alpha }}\frac{\text{d}\theta }{\text{2π}}\\ +{\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}{\left|{\displaystyle \sum _{j=1}^p\frac{1}{r{\text{e}}^{i\theta }-a_j}}-{\displaystyle \sum _{j=1}^q\frac{1}{r{\text{e}}^{i\theta }-b_j}}\right|}^{\alpha }}\frac{\text{d}\theta }{\text{2π}}\\ +{\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}{\left|{\displaystyle \sum _{j=1}^p\frac{{\overline{a}}_j}{s^2-{\overline{a}}_{j}r{\text{e}}^{i\theta }}}-{\displaystyle \sum _{j=1}^q\frac{{\overline{b}}_j}{s^2-{\overline{b}}_{j}r{\text{e}}^{i\theta }}}\right|}^{\alpha }}\frac{\text{d}\theta }{\text{2π}}\\ =:I_1+I_2+I_3\end{array}$ (3)

对 $I_1$ 应用HÖlder不等式并改变积分顺序可得

$\begin{array}{c}{I}_1^{\frac{1}{\alpha }}\le {\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}\left({\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}\frac{2s}{{\left|s{\text{e}}^{i\phi }-r{\text{e}}^{i\theta }\right|}^2}}\left|\log \left|f\left(s{\text{e}}^{i\phi }\right)\right|\right|\frac{\text{d}\phi }{\text{2π}}\right)}\frac{\text{d}\theta }{\text{2π}}\\ =2s{\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}\left({\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}\frac{1}{{\left|s{\text{e}}^{i\phi }-r{\text{e}}^{i\theta }\right|}^2}}\frac{\text{d}\theta }{\text{2π}}\right)}\left|\log \left|f\left(s{\text{e}}^{i\phi }\right)\right|\right|\frac{\text{d}\phi }{\text{2π}}\end{array}$

对常数函数1应用Poisson引理，得到

${\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}\frac{1}{{\left|s{\text{e}}^{i\phi }-r{\text{e}}^{i\theta }\right|}^2}}\frac{\text{d}\theta }{\text{2π}}=\frac{1}{s^2-r^2}$

注意到 $s-r=\left(1-\beta \right)\left(\rho -r\right)$ 且

${\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}\left|\log \left|f\left(s{\text{e}}^{i\phi }\right)\right|\right|}\frac{\text{d}\phi }{\text{2π}}=m\left(s,f\right)+m\left(s,\frac{1}{f}\right)$

即可进一步得到

$I_1\le {\left(\frac{1}{1-\beta }\right)}^{\alpha }{\left(\frac{\rho }{r\left(\rho -r\right)}\right)}^{\alpha }{\left(m\left(\rho ,f\right)+m\left(\rho ,\frac{1}{f}\right)\right)}^{\alpha }$ (4)

下面考虑 $I_2$ 。记 ${\xi }_{1j}=\text{Re}\left(a_j\right),{\xi }_{2j}=\text{Im}\left(a_j\right),{\eta }_{1j}=\text{Re}\left(b_j\right),{\eta }_{2j}=\text{Im}\left(b_j\right)$ ，则有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{j=1}^p\frac{{\overline{a}}_j}{s^2-{\overline{a}}_{j}z}}-{\displaystyle \sum _{j=1}^q\frac{{\overline{b}}_j}{s^2-{\overline{b}}_{j}z}}\\ =\left({\displaystyle \sum _{{\xi }_{1j}>0}\frac{{\xi }_{1j}}{s^2-{\overline{a}}_{j}z}}-{\displaystyle \sum _{{\eta }_{1j}<0}\frac{{\eta }_{1j}}{s^2-{\overline{b}}_{j}z}}\right)-\left({\displaystyle \sum _{{\xi }_{1j}\le 0}\frac{-{\xi }_{1j}}{s^2-{\overline{a}}_{j}z}}-{\displaystyle \sum _{{\eta }_{1j}\ge 0}\frac{-{\eta }_{1j}}{s^2-{\overline{b}}_{j}z}}\right)\\ -i\left({\displaystyle \sum _{{\xi }_{2j}>0}\frac{{\xi }_{2j}}{s^2-{\overline{a}}_{j}z}}-{\displaystyle \sum _{{\eta }_{2j}<0}\frac{{\eta }_{2j}}{s^2-{\overline{b}}_{j}z}}\right)+i\left({\displaystyle \sum _{{\xi }_{2j}\le 0}\frac{-{\xi }_{2j}}{s^2-{\overline{a}}_{j}z}}-{\displaystyle \sum _{{\eta }_{2j}\ge 0}\frac{-{\eta }_{2j}}{s^2-{\overline{b}}_{j}z}}\right)\\ =:h_1\left(z\right)-h_2\left(z\right)-i{h}_3\left(z\right)+i{h}_4(z)\end{array}$

由(2)，可得

$I_2\le {\displaystyle \sum _{j=1}^4\left({\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}{\left|h_j\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|}^{\alpha }\frac{\text{d}\theta }{\text{2π}}}\right)}$

由于 $s>r$ ，故 $\text{Re}\left(s^2-{\overline{a}}_{j}r{\text{e}}^{i\theta }\right)>0$ 且 $\text{Re}\left(s^2-{\overline{b}}_{j}r{\text{e}}^{i\theta }\right)>0$ 。因此我们可以应用引理3，得到

$\begin{array}{c}{I}_2\le \sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right){\displaystyle \sum _{j=1}^4{\left|h_j\left(0\right)\right|}^{\alpha }}\le \frac{\sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right)}{s^{2\alpha }}{\displaystyle \sum _{k=1}^2[{\left({\displaystyle \sum _{{\xi }_{kj}>0}\left|{\xi }_{kj}\right|}+{\displaystyle \sum _{{\eta }_{kj}<0}\left|{\eta }_{kj}\right|}\right)}^{\alpha }}\end{array}$ $+{\left({\displaystyle \sum _{{\xi }_{kj}\le 0}\left|{\xi }_{kj}\right|}+{\displaystyle \sum _{{\eta }_{kj}\ge 0}\left|{\eta }_{kj}\right|}\right)}^{\alpha }]\le \frac{\sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right)}{s^{\alpha }}{\displaystyle \sum _{k=1}^2\left[{\left({\displaystyle \sum _{{\xi }_{kj}>0}1}+{\displaystyle \sum _{{\eta }_{kj}<0}1}\right)}^{\alpha }+{\left({\displaystyle \sum _{{\xi }_{kj}\le 0}1}+{\displaystyle \sum _{{\eta }_{kj}\ge 0}1}\right)}^{\alpha }\right]}$ $=\frac{\sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right)}{s^{\alpha }}{\displaystyle \sum _{k=1}^2\left({\gamma }_k^{\alpha }+{\left(1-{\gamma }_k\right)}^{\alpha }\right)}{\left(n\left(s,f\right)+n\left(s,\frac{1}{f}\right)\right)}^{\alpha }$

其中

${\gamma }_k=\frac{{\displaystyle \sum _{{\xi }_{kj}>0}1}+{\displaystyle \sum _{{\eta }_{kj}<0}1}}{n\left(s,f\right)+n\left(s,\frac{1}{f}\right)}\in \left[0,1\right]$

由引理1，得

$I_2\le 2^{2-\alpha }\frac{\sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right)}{s^{\alpha }}{\left(n\left(s,f\right)+n\left(s,\frac{1}{f}\right)\right)}^{\alpha }\le 2^{2-\alpha }\sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right){\left(\frac{n\left(s,f\right)+n\left(s,\frac{1}{f}\right)}{r}\right)}^{\alpha }$

由

$\begin{array}{c}n\left(s,f\right)+n\left(s,\frac{1}{f}\right)=\frac{\rho }{\rho -s}{\displaystyle {\int }_s^{\rho }\frac{\text{d}t}{\rho }}\left(n\left(s,f\right)+n\left(s,\frac{1}{f}\right)\right)\\ \le \frac{\rho }{\rho -s}{\displaystyle {\int }_s^{\rho }\left(n\left(t,f\right)+n\left(t,\frac{1}{f}\right)\right)}\frac{\text{d}t}{t}\\ \le \frac{\rho }{\rho -s}\left(N\left(\rho ,f\right)+N\left(\rho ,\frac{1}{f}\right)\right)\end{array}$ (5)

和 $\rho -s=\beta \left(\rho -r\right)$ ，得到

$I_2\le \frac{2^{2-\alpha }}{{\beta }^{\alpha }}\sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right){\left(\frac{\rho }{r\left(\rho -r\right)}\right)}^{\alpha }{\left(N\left(\rho ,f\right)+N\left(\rho ,\frac{1}{f}\right)\right)}^{\alpha }$ (6)

类似地，由(5)和引理3可得

$\begin{array}{c}{I}_3\le {\left(2^{\frac{1}{1-\alpha }}+2^{\frac{2}{1-\alpha }}\right)}^{1-\alpha }\sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right){\left(\frac{n\left(s,f\right)+n\left(s,\frac{1}{f}\right)}{r}\right)}^{\alpha }\\ \le \frac{{\left(2^{\frac{1}{1-\alpha }}+2^{\frac{2}{1-\alpha }}\right)}^{1-\alpha }}{{\beta }^{\alpha }}\sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right){\left(\frac{\rho }{r\left(\rho -r\right)}\right)}^{\alpha }{\left(N\left(\rho ,f\right)+N\left(\rho ,\frac{1}{f}\right)\right)}^{\alpha }\end{array}$ (7)

由定理条件 $f\left(0\right)=1$ 和Nevanlinna第一基本定理，可知 $T\left(\rho ,f\right)=T\left(\rho ,1/f\right)$ 。结合(3)，(4)，(6)和(7)，有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}{\left|\frac{f^{\prime }\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)}{f\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)}\right|}^{\alpha }}\frac{\text{d}\theta }{2\text{π}}\le I_1+I_2+I_3\\ \le {\left(\frac{1}{1-\beta }\right)}^{\alpha }{\left(\frac{\rho }{r\left(\rho -r\right)}\right)}^{\alpha }{\left(m\left(\rho ,f\right)+m\left(\rho ,\frac{1}{f}\right)\right)}^{\alpha }\\ +\frac{2^{2-\alpha }+{\left(2^{\frac{1}{1-\alpha }}+2^{\frac{2}{1-\alpha }}\right)}^{1-\alpha }}{{\beta }^{\alpha }}\sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right){\left(\frac{\rho }{r\left(\rho -r\right)}\right)}^{\alpha }{\left(N\left(\rho ,f\right)+N\left(\rho ,\frac{1}{f}\right)\right)}^{\alpha }\\ ={\left(\frac{T\left(\rho ,f\right)}{r}\frac{\rho }{\rho -r}\right)}^{\alpha }\left[C_1\left(\alpha ,\beta \right){\left(1-d_{\rho }\right)}^{\alpha }+C_2\left(\alpha ,\beta \right)d_{\rho }^{\alpha }\right]\end{array}$

其中

$\begin{array}{l}{C}_1\left(\alpha ,\beta \right)={\left(\frac{2}{1-\beta }\right)}^{\alpha },C_2\left(\alpha ,\beta \right)=\frac{4+{\left(2^{\frac{1+\alpha }{1-\alpha }}+2^{\frac{2+\alpha }{1-\alpha }}\right)}^{1-\alpha }}{{\beta }^{\alpha }}\sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right),\\ d_{\rho }=\frac{N\left(\rho ,f\right)+N\left(\rho ,\frac{1}{f}\right)}{2T\left(\rho ,f\right)}\in \left[0,1\right]\end{array}$

再次应用引理1，得

${\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}{\left|\frac{f^{\prime }\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)}{f\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)}\right|}^{\alpha }}\frac{\text{d}\theta }{\text{2π}}\le C\left(\alpha ,\beta \right){\left(\frac{T\left(\rho ,f\right)}{r}\frac{\rho }{\rho -r}\right)}^{\alpha }$ (8)

其中

$C\left(\alpha ,\beta \right)={\left(C_1{\left(\alpha ,\beta \right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}+C_2{\left(\alpha ,\beta \right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}\right)}^{1-\alpha }$

对不等式(8)应用引理5，有

$m\left(\frac{f^{\prime }}{f}\right)\le {\log }^{+}\left(\frac{T\left(\rho ,f\right)}{r}\frac{\rho }{\rho -r}\right)+\frac{\log C\left(\alpha ,\beta \right)}{\alpha }$

这个不等式的所有的 $\alpha ,\beta \in \left(0,1\right)$ 成立。经数学软件Lingo运算可知， $\left(\log C\left(\alpha ,\beta \right)\right)/\alpha$ 的最小值为4.5206，在 $\alpha \approx 0.7813$ 和 $\beta \approx 0.9497$ 处取得。定理1证明完毕。

4. 定理2的证明

仿照定理1的证明，可知不等式(4)仍然成立。由于 $a_j,b_j$ 均为实数，故对 $I_2$ 的估计式中的 ${\xi }_{2j}=\text{Im}\left(a_j\right)={\eta }_{2j}=\text{Im}\left(b_j\right)=0$ ，从而 $h_3\left(z\right)=h_4\left(z\right)\equiv 0$ 。这就给出

$I_2\le \frac{2^{1-\alpha }}{{\beta }^{\alpha }}\sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right){\left(\frac{\rho }{r\left(\rho -r\right)}\right)}^{\alpha }{\left(N\left(\rho ,f\right)+N\left(\rho ,\frac{1}{f}\right)\right)}^{\alpha }$ (9)

对 $I_3$ 应用引理4，可得

$\begin{array}{c}{I}_3\le 2^{2-\alpha }\sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right){\left(\frac{n\left(s,f\right)+n\left(s,\frac{1}{f}\right)}{r}\right)}^{\alpha }\\ \le \frac{2^{2-\alpha }}{{\beta }^{\alpha }}\sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right){\left(\frac{\rho }{r\left(\rho -r\right)}\right)}^{\alpha }{\left(N\left(\rho ,f\right)+N\left(\rho ,\frac{1}{f}\right)\right)}^{\alpha }\end{array}$ (10)

再次应用引理1，结合(4)，(9)和(10)，可以推出

$m\left(\frac{f^{\prime }}{f}\right)\le {\log }^{+}\left(\frac{T\left(\rho ,f\right)}{r}\frac{\rho }{\rho -r}\right)+\frac{\log C\left(\alpha ,\beta \right)}{\alpha }$ (11)

其中

$\begin{array}{l}C\left(\alpha ,\beta \right)={\left(C_1{\left(\alpha ,\beta \right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}+C_2{\left(\alpha ,\beta \right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}\right)}^{1-\alpha },\\ C_1\left(\alpha ,\beta \right)={\left(\frac{2}{1-\beta }\right)}^{\alpha },C_2\left(\alpha ,\beta \right)=\frac{6}{{\beta }^{\alpha }}\sec \left(\frac{\alpha \text{π}}{2}\right)\end{array}$

不等式(11)对所有的 $\alpha ,\beta \in \left(0,1\right)$ 成立。经数学软件Lingo运算可知， $\left(\log C\left(\alpha ,\beta \right)\right)/\alpha$ 的最小值为3.8018，在 $\alpha \approx 0.7679,\beta \approx 0.9081$ 处取得。定理2证明完毕。

致谢

本论文得到广东省高等学校优秀青年教师培养计划项目(YQ2015089)，广东自然科学基金项目(2015A030313620)，广东海洋大学优秀青年教师培养计划项目(2014007，HDYQ2015006)，广东海洋大学创新强校工程项目(gdou2016050209，gdou2016050206)的资助。

文章引用

李 升,陈宝琴. Gol’dberg-Grinshtein型对数导数估计
Gol’dberg-Grinshtein Type Logarithmic Derivative Estimation[J]. 理论数学, 2017, 07(06): 454-460. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.76059

参考文献 (References)