Pure Mathematics
Vol.
09
No.
01
(
2019
), Article ID:
28376
,
3
pages
10.12677/PM.2019.91006
A Note on the Indeterminate
Yi Chen, Xiaoyou Chen*
College of Science, Henan University of Technology, Zhengzhou Henan
Received: Dec. 12th, 2018; accepted: Jan. 1st, 2019; published: Jan. 9th, 2019
ABSTRACT
Let D be an integral domain and Q be its field of fractions. It is proved in this note that x is an indeterminate over D if and only if so is x over Q.
Keywords:Indeterminate, Integral Domain, Field of Fractions, Polynomial Ring
关于未定元的注记
陈意,陈晓友*
河南工业大学,理学院,河南 郑州
收稿日期:2018年12月12日;录用日期:2019年1月1日;发布日期:2019年1月9日
摘 要
设D是一个整环,Q是其商域,本文证明了x是D上的未定元,当且仅当x是Q上的未定元。
关键词 :未定元,整环,商域,多项式环
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
本文所使用的符号和术语都是标准的,可参考 [1] [2] 与 [3] [4] 。
假定 是一个具有单位元的交换环, 是 的子环并且包含 的单位元。设 ,一个可以写成
形式的的元称作 上的 的多项式,其中 称为多项式的系数。
的一个元 称作 上的一个未定元,如果在 里找不到不全为零的元 使得
令 是环 上一个一元多项式,则非负整数 称为这个多项式的次数。特别地,多项式0没有次数。
值得注意的是, 中未必存在 上的未定元。例如,有理数集合中就不存在整数集合上的未定元。不过,却有如下的结论:
给定具有单位元的交换环 ,必存在 上的未定元,而也就有上的多项式环 存在。
在本文中,关于未定元的刻画,我们有下面的结论。
命题1:设D是一个整环,Q是D的一个商域,则 是D上的一个未定元,当且仅当 是Q上的未定元。
2. 证明
为命题的证明,我们需要下面的几个引理,其中引理1与引理3分别是[3,第三章第十节定理1]和[3,第三章第十节定理3]。
引理1:无零因子的交换环 必是一个域 的子环,其中 刚好是由所有元
所做成的,其中
。
引理2:若 是一个整环,则 上的一元多项式环 也是一个整环。
证明:注意到, 是一个有单位元的交换环。要证 是一个整环,只需证明 是没有零因子。
设 ,那么 和 可写成
的形式,这里 。于是
。
但 ,而 无零因子,所以 ,从而 。因此, 无零因子。
引理3:若 是一个至少含两个元素的环, 是一个包含 的域,则 包含 的一个商域。
命题的证明:若 为Q上的一个未定元,则由D Q可知 也是D上的未定元。
设 为D上的未定元,由Q是D的商域可知 ,下证 也是Q上的未定元。因 为D上的未定元,所以存在一元多项式环 。由引理2,可知 也为整环。从而,存在域F使得 成为F的子环。注意到,D F。由引理3,Q F。
在F中考虑运算,假设有Q中不全为零的元 ,其中 不全为零, 均不为零,使得
。
于是,
。
故
。
由于 为D上的未定元,所以,
又D无零因子,故 均为零,矛盾。
致谢
作者感谢河南工业大学理学院科教融合项目以及河南工业大学“大学生创新创业训练计划项目”的支持。作者同时感谢审稿人的宝贵意见。
基金项目
本文由河南工业大学项目(26510009)、河南省教育厅项目(17A110004)以及科技厅项目(182102410049)资助。
文章引用
陈 意,陈晓友. 关于未定元的注记
A Note on the Indeterminate[J]. 理论数学, 2019, 09(01): 46-48. https://doi.org/10.12677/PM.2019.91006
参考文献
- 1. Jacobson, N. (1985) Basic Algebra. W. H. Freeman and Company, New York.
- 2. Rotman, J.J. (2000) A First Course in Abstract Algebra. Prentice Hall, Upper Saddle River.
- 3. 张禾瑞. 近世代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1978: 102-124.
- 4. 聂灵沼, 丁石孙. 代数学引论[M]. 北京: 高等教育出版社, 2000.
NOTES
*通讯作者。