Pure Mathematics
Vol.
09
No.
04
(
2019
), Article ID:
30979
,
6
pages
10.12677/PM.2019.94069
Normality Concerning Meromorphic Functions and Shared Set
Jinhua Cai, Guoqiang Dang
School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangzhou Guangdong
Received: May 31st, 2019; accepted: Jun. 10th, 2019; published: Jun. 26th, 2019
ABSTRACT
The normal family of meromorphic functions concerning shared set was studied. The following result was proved: Let be a family of meromorphic functions in a domain D, a, b and c be three finite complex numbers, where , k and q be two positive integers, let . If for each , 1) ,, where is holomorphic function and ; 2) have zeros with multiplicities at least , then is normal in D.
Keywords:Meromorphic Functions, Normality, Shared Set
亚纯函数分担集合的正规定则
蔡金华,党国强
广州大学数学与信息科学学院,广东 广州
收稿日期:2019年5月31日;录用日期:2019年6月10日;发布日期:2019年6月26日
摘 要
讨论了亚纯函数分担集合的正规定则,主要结果为:设 是区域D内的一族亚纯函数,a,b和c是三个有限复数,且 ,k和q是两个正整数,令 。若对任意的 ,满足:1) ,,其中 是全纯函数, ;2) 的零点重级至少为 ,则 在D内正规。
关键词 :亚纯函数,正规族,分担集合
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言及主要结果
设 为区域D内的一族亚纯函数,如果对于 的任一函数序列 均可选出一个子序列 在区域D上按球距内闭一致收敛,则称 在D内正规。
设f和g是区域D内的两个亚纯函数,a是一个复数。若 与 在D有相同的零点,则称f与g在区域D内分担a或称IM分担a;若 与 在D有相同的零点并且所有零点的重级也相同,则称f与g在区域D内CM分担a。
用记号 来表示若 则 ,如果 且 ,我们记为 。如果把复数a替换为集合S,我们记为 。
1992年,Schwick [1] 首次把亚纯函数正规族与分担值联系起来,证明了
定理A设 为区域D上的非常数亚纯函数, , 和 是三个互相判别的有穷复数。若对任意的 ,f与 分担 ,,则 在D内正规。
此后,与分担值结合的亚纯函数正规定则在文 [2] [3] [4] 中得到进一步研究。自然地,人们会问:如果将分担三个复数 替换为分担集合 ,相应的结论是否成立?2007年,刘晓俊和庞学诚 [5] 考虑亚纯函数及其一阶导数分担一个集合的正规性问题,证明了?
定理B设 为区域D内的一族亚纯函数, , 和 是三个互相判别的有限复数, ,若对任意的 ,,其中 ,则 在D内正规。
一个自然的问题是将定理B中的 改为 ,结论是否仍然成立。2011年,张汉等人 [6] 探究f和 分担一个集合的正规性,证明了
定理C设 为区域D内的一族亚纯函数, , 和 为三个互相判别的有限复数, , 是一个正整数,a为任意有限复数。若对任意的 , 的零点和极点重级都 ,且 ,其中 ,则 在D内正规。
2008年,韩明华和顾永兴 [7] 探讨 和f分担两个值的情形,证明了
定理D设 为区域D内的一族亚纯函数, , 和c是三个有限复数且 。若对任意的 ,满足,1) 的零点重级均 ;2) ,其中 ,,那么 在D内正规。
2018年,陈鸿辉等人 [8] 考虑 和f分担一个集合S的情况,证明了
定理E设 为区域D内的一族亚纯函数,a,b和c是三个判别的有限复数且 ,k是正整数,令 。若对任意的 ,满足,1) 的零点重级均 ;2) ,其中 ,则 在D内正规。
本文推广了定理E,证明了
定理1设 是区域D内的一族亚纯函数,a,b和c是三个有限复数,且 , 和q是两个正整数,令 。若对任意的 ,满足,1) 的零点重级 ;2) ,其中 , 是全纯函数,且 ,则 在D内正规。
下面的例子说明定理1中的条件“ 的零点重级 ”是必须的。
例1令 ,k和q是两个正整数, ,,。 ,其中 ,。显然 。但是, 在D上不正规。
2. 引理
定理的证明需要下列引理。
引理1 (Zalcman-Pang引理) [9] 设 为区域D内的一族亚纯函数,k为正整数, 中的每个函数的零点重级至少为k,且存在一个正数A,若 ,必有 。那么,若 在D内不正规,则对于每一个 ,,存在
1) 函数列 ;
2) 点列 , ;
3) 正数列 ;
4) 实数r, 。
使得函数 在复平面C上按球面距离内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数 ,并且 的零点重级均 ,它的级至多为2。
引理2 [10] 设 为复平面上的一个超越亚纯函数,k为一个正整数,b为非零有限复数,则f或者 有无穷多个零点。
引理3 [11] 设 , 是常数。 和 是两个互素的多项式,且 ,k是正整数。若 ,则有
1) ;
2) ,其中 和b是常数;
3) 若 的零点重级均 ,则结论2) 中 ,且 ,其中 和d是常数。
引理4 [12] 设k是一个正整数,f是一个有穷级的亚纯函数,且零点重级至少为k。设a是一个非零复数,若 和 分担0,且 ,则f是一个常数。
3. 定理1的证明
假设 在D内不正规,则 在 内不正规。由引理1,可知存在函数列 ,点列 ,,正数列 ,使得函数 在复平面C上按球面距离内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数 ,且 的级至多为2,零点重级均 。
下面我们分两种情形进行讨论。
情形1 。即 且 。为了明确起见,不妨假设 。
我们断言
1) ;
2) 。
下面我们证明断言1),因为
则
其中 。
可证 ,否则, ,由 的定义,可找到一个非零常数w,使 ,进而可知 是一个次数为k次的多项式。由于 的零点重级均 ,则 为常数。矛盾。假设存在一点 ,使得 ,故 不是 的极点。取 ,使 在 内是全纯的,因此在 内有
由Hurwitz定理,可找到一个点列 ,,使 。由条件可知, 或者 。
如果 ,可得 。
如果 ,可得 。
因此 是 的极点,矛盾。所以断言1)成立。同理可证断言2)也成立。
因为 ,根据 的定义,可找到一个非零常数w,使 。根据引理2,可得 是超越亚纯函数。因为 的零点重级均 和 ,则 不是多项式。根据引理3,令 ,其中 是常数。由于 ,由 的定义,可找到一个常数d,使 ,其中 或者 。经过简单的计算,可得 ,所以 有解,进而 有解,与断言2)矛盾。
情形2 ,即 或 。不妨假设 。
可断言
3) ;
4) 。
下面我们证明断言3),使用情形1的方法,可找到一个点列 ,,使 ,由条件可知, 或者 。
假设 ,可得 。
假设 ,可得 ,此时 是 的极点,这与 矛盾,故这种情况不成立。
所以断言3)成立,同理可证断言4)成立。
子情形2.1 且 。
根据情形1的表述,可知这种情况不成立。
子情形2.2 , 或 ,。
为了明确起见,不妨设 ,则有 。可证 ,否则 。存在 ,使 。即 是 的零点。因为 的零点重级均 ,所以 也是 的零点。即 ,矛盾。所以有 。由于 的零点重级均 ,可得 。因此 和 分担0。因为 且 ,再根据 的定义和情形1的表述,可知存在一个非零常数w,使 ,由引理4,可知 是一个常数,矛盾。
子情形2.3 且 ,即断言3)和断言4)同时成立。
因为 ,显然 。否则 ,存在 ,使 ,故 是 的零点。由条件,可知 也是 的零点,即 。同理可得 ,这与 矛盾。
综上所述, 在D内正规。定理1证毕。
基金项目
国家自然科学基金(编号:11271090),广东省自然科学基金(编号:2016A030310257、2015A030313346)},广州大学研究生创新能力培养资助计划(2018GDJC-D28)资助。
文章引用
蔡金华,党国强. 亚纯函数分担集合的正规定则
Normality Concerning Meromorphic Functions and Shared Set[J]. 理论数学, 2019, 09(04): 527-532. https://doi.org/10.12677/PM.2019.94069
参考文献
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