ABSTRACT

Through several examples, the methods and steps of solving a class of differentiable functions that satisfy given conditions are given.

Keywords:Relationships, Functions, Differential Equations

一类满足给定条件的可微函数解析式的求法

孔志宏

太原师范学院数学系，山西 晋中

收稿日期：2019年8月19日；录用日期：2019年9月9日；发布日期：2019年9月16日

摘 要

通过实例给出了求解一类满足给定条件的可微函数的解析式的方法和步骤。

关键词 :关系式，函数，微分方程

Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

已知某函数满足给定的关系式，要求出此函数，当这类问题作为独立的试题(或题目)出现时，不少人往往感觉到无从入手，解决这类问题也没有明确的思路。本文对几个实例进行了剖析解答。解答的过程本身给出了解决这类问题的思路和方法。

2. 几个实例

例1： [1] 函数 $f\left(x\right)$ 满足条件

$f\left(x+y\right)={\text{e}}^{x}f\left(y\right)+{\text{e}}^{y}f\left(x\right),f^{\prime }\left(0\right)=\text{e}$ ，

求 $f\left(x\right)$ 。

解：当 $y=0$ 时，有

$f\left(x\right)={\text{e}}^{x}f\left(0\right)+f\left(x\right)$ ，

得到

$f\left(0\right)=0$ 。 (1)

于是

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x\right)=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+y\right)-f\left(x\right)}{y}\\ =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{{\text{e}}^{x}f\left(y\right)+{\text{e}}^{y}f\left(x\right)-f\left(x\right)}{y}\\ =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{{\text{e}}^{x}f\left(y\right)-{\text{e}}^{x}f\left(0\right)+{\text{e}}^{y}f\left(x\right)-f\left(x\right)}{y}\\ ={\text{e}}^x\underset{y\to 0}{\lim }\frac{f\left(y\right)-f\left(0\right)}{y}+f\left(x\right)\underset{y\to 0}{\lim }\frac{{\text{e}}^y-1}{y}\\ ={\text{e}}^x{f}^{\prime }\left(0\right)+f\left(x\right)\end{array}$ ，

即

$f^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)+{\text{e}}^{x+1}$

$f\left(x\right)={\text{e}}^x\left(x\text{e}+c\right)$ 。 (2)

将(1)代入(2)，得 $c=0$ ，所求 $f\left(x\right)=x{\text{e}}^{x+1}$ 。

例2： [2] 设函数 $\phi \left(t\right)$ 于 $-\infty <t<+\infty$ 上连续， ${\phi }^{\prime }\left(0\right)$ 存在且满足关系式

$\phi \left(t+s\right)=\phi \left(t\right)\phi \left(s\right)$ ，

试求此函数。

解：当 $t=0,s=0$ 时，有

$\phi \left(0\right)={\phi }^2\left(0\right)$ ，

或

$\phi \left(0\right)\left[1-\phi \left(0\right)\right]=0$ 。

但 $\phi \left(0\right)\ne 0$ ，否则取 $s=0$ 时，对任意 $t\in \left(-\infty ,+\infty \right)$ ，有

$\phi \left(t+0\right)=\phi \left(t\right)\phi \left(0\right)$ ，

得出 $\phi \left(t\right)=0$ ，无意义。所以

$\phi \left(0\right)=1$ (3)

于是

$\begin{array}{c}{\phi }^{\prime }\left(t\right)=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{\phi \left(t+s\right)-\phi \left(t\right)}{s}=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{\phi \left(t\right)\phi \left(s\right)-\phi \left(t\right)}{s}\\ =\underset{s\to 0}{\lim }\frac{\phi \left(t\right)\left[\phi \left(s\right)-1\right]}{s}=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{\phi \left(t\right)\left[\phi \left(s\right)-\phi \left(0\right)\right]}{s}\\ =\phi \left(t\right){\phi }^{\prime }\left(0\right)\end{array}$ ，

即

${\phi }^{\prime }\left(t\right)={\phi }^{\prime }\left(0\right)\phi \left(t\right)$ ，

$\phi \left(t\right)=c{\text{e}}^{{\phi }^{\prime }\left(0\right)t}$ 。 (4)

将(3)代入(4)，得 $c=1$ ，所求函数 $\phi \left(t\right)={\text{e}}^{{\phi }^{\prime }\left(0\right)t}$ 。

例3： [2] 求具有性质

$x\left(t+s\right)=\frac{x\left(t\right)+x\left(s\right)}{1-x\left(t\right)x(s)}$

的函数 $x\left(t\right)$ ，已知 $x^{\prime }\left(0\right)$ 存在。

解：当 $t=0,s=0$ 时，有

$x\left(0\right)=\frac{2x\left(0\right)}{1-x^2\left(0\right)}$ ，

则

$x\left(0\right)=0$ 。 (5)

于是

$\begin{array}{c}{x}^{\prime }\left(t\right)=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{x\left(t+s\right)-x\left(t\right)}{s}\\ =\underset{s\to 0}{\lim }\frac{\left[x\left(t\right)+x\left(s\right)\right]-x\left(t\right)\left[1-x\left(t\right)x\left(s\right)\right]}{s\left[1-x\left(t\right)x\left(s\right)\right]}\\ =\underset{s\to 0}{\lim }\frac{x\left(s\right)\left[1+x^2\left(t\right)\right]}{s\left[1-x\left(t\right)x\left(s\right)\right]}\end{array}$ 。

而

$\underset{s\to 0}{\lim }\frac{x\left(s\right)}{s}=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{x\left(s\right)-x\left(0\right)}{s}=x^{\prime }\left(0\right)$ ，

$\underset{s\to 0}{\lim }\left[1-x\left(t\right)x\left(s\right)\right]=1-x\left(t\right)x\left(0\right)=1$ ，

所以

$x^{\prime }\left(t\right)=x^{\prime }\left(0\right)\left[1+x^2\left(t\right)\right]$ ，

$\arctan x\left(t\right)=x^{\prime }\left(0\right)t+c$ 。 (6)

将(5)代入(6)，得 $c=0$ ， $\arctan x\left(t\right)=x^{\prime }\left(0\right)t$ ， $x\left(t\right)=\tan \left[x^{\prime }\left(0\right)t\right]$ 。

例4： [3] 求满足关系式

$f\left(x+a\right)=\frac{f\left(x\right)+f\left(a\right)}{1+f\left(x\right)f\left(a\right)},f^{\prime }\left(0\right)=1$

的可微函数 $f\left(x\right)$ 。

解：当 $x=0$ 时，有

$f\left(0\right)\left[1-f^2\left(a\right)\right]=0$ ，

则

$f\left(0\right)=0$ 或 $f\left(a\right)=\pm 1$ 。

当 $f\left(a\right)=\pm 1$ 时，由关系式得

$f\left(x+a\right)=\pm 1$ ， $f^{\prime }\left(x+a\right)=0$ ，

因此 $f^{\prime }\left(0\right)=0$ ，这与题设 $f^{\prime }\left(0\right)=1$ 矛盾，所以

$f\left(0\right)=0$ 。 (7)

于是

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(a\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+a\right)-f\left(a\right)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)\left[1-f^2\left(a\right)\right]}{x\left[1+f\left(x\right)f\left(a\right)\right]}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-f^2\left(a\right)}{1+f\left(x\right)f\left(a\right)}\\ =f^{\prime }\left(0\right)\left[1-f^2\left(a\right)\right]=1-f^2\left(a\right)\end{array}$ 。

这样，问题相当于

$y^{\prime }=1-y^2,y\left(0\right)=0$ ， (8)

(8)的通解为

$\ln \left|\frac{1+y}{1-y}\right|=2x+\tilde{c}$ ，

即

$y=\frac{c{\text{e}}^{2x}-1}{c{\text{e}}^{2x}+1}$ ， (9)

将(8)中初值条件代入(9)，得 $c=1$ ，于是所求函数

$f\left(x\right)=\frac{{\text{e}}^{2x}-1}{{\text{e}}^{2x}+1}$ 。

例5： [4] 证明：函数方程 $f\left(5x\right)=5f\left(x\right)$ 有解 $f\left(x\right)=cx$ 。

证：方程 $f\left(\alpha x\right)=\alpha f\left(x\right)$ 两端对 $\alpha$ 求导，得

$x\frac{\text{d}f\left(\alpha x\right)}{\text{d}\left(\alpha x\right)}=f\left(x\right)$ 或 $\frac{\text{d}f\left(\alpha x\right)}{\text{d}\left(\alpha x\right)}=\frac{f\left(x\right)}{x}$ ，

令 $\alpha =5$ ，即有

$\frac{\text{d}f\left(5x\right)}{\text{d}\left(5x\right)}=\frac{f\left(x\right)}{x}$ ，

则

$\frac{\text{d}f\left(x\right)}{\text{d}x}=\frac{f\left(x\right)}{x}$ ，

此方程的解为 $f\left(x\right)=cx$ 。

文章引用

孔志宏. 一类满足给定条件的可微函数解析式的求法
The Solution of Analytical Formula for a Class of Differentiable Functions Satisfying Given Conditions[J]. 理论数学, 2019, 09(07): 804-808. https://doi.org/10.12677/PM.2019.97105

参考文献