Pure Mathematics
Vol.
10
No.
02
(
2020
), Article ID:
34177
,
11
pages
10.12677/PM.2020.102013
Gradient Estimate for Harmonic Maps from Finsler Manifolds to Riemannian Manifolds
Zhenhai Fan, Yibin Ren*
College of Mathematics and Computer Science, Zhejiang Normal University, Jinhua Zhejiang
Received: Jan. 21st, 2020; accepted: Feb. 6th, 2020; published: Feb. 13th, 2020
ABSTRACT
In this paper, we study gradient estimate for harmonic maps from Finsler manifolds to Riemannian manifolds. As an application, we obtain Liouville type theorem of harmonic maps from a weak Landsberg manifold to a Cartan-Hadamard manifold. Moreover, we generalize the Liouville type theorem to a regular ball of Riemannian manifold.
Keywords:Gradient Estimate, Harmonic Map, Liouville Theorem, Landsberg Manifold
从Finsler流形到Riemann流形的调和映射梯度估计
范振海,任益斌*
浙江师范大学,数学与计算机科学学院,浙江 金华
收稿日期:2020年1月21日;录用日期:2020年2月6日;发布日期:2020年2月13日
摘 要
本文主要研究了从Finsler流形到Riemann流形的调和映射的梯度估计,并由此得到从弱Landsberg流形到Cartan-Hadamard流形的调和映射Liouville型定理。此外,我们还将这一定理推广至目标流形为正则球的情形。
关键词 :梯度估计,调和映射,Liouville型定理,Landsberg流形
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
1975年,丘成桐 [1] 建立了非负Ricci曲率完备Riemann流形上正调和函数的梯度估计,并给出了相应的Liouville型定理。之后,郑绍远 [2] 和H.I.Choi [3] 分别推导了从Ricci曲率有下界的完备Riemann流形到Cartan-Hadamard流形和正则球的调和映射的梯度估计,同时得到了相应的Liouville型定理。他们主要运用了Bochner技巧和最大值原理。
夏超 [4] 将Cheng-Yau [6] 在Riemann流形上调和函数的梯度估计推广到了Finsler流形。Ohata-Sturm [5] 研究了Finsler流形上的热方程全局解的梯度估计。莫小欢 [7] 定义了从Finsler流形到Riemann流形的调和映射并研究了它的第一变分公式。之后,Shen-Zhang [8] 计算了这类映射的能量泛函的第二变分公式。一个自然的问题是研究Finsler流形上这类调和映射的梯度估计和Liouville型定理。设M是Finsler流形,SM是其上的射影球丛,N是Riemann流形,光滑映射
的能量为
我们称映射
是调和映射,如果它是能量泛函E的极值点 [7]。它的张力场表示为:
(1)
本文将推导
的Bochner公式:
其中
是M上Riemann曲率张量R的对称化(具体见(6)式),
是水平Laplacian。由于水平Laplacian具有极大值原理,因此我们可以将调和映射的梯度估计推广到Finsler流形上来。具体结果如下:
定理1 设
是非紧的弱Landsberg流形满足
其中
,设
是Cartan-Hadamard流形。如果M上存在一个满足比较定理性质的正函数
(具体见定义1),那么任意限制在
上的调和映射
有如下梯度估计
(2)
其中
, 是定义在
的距离函数,且
由r决定。
我们称调和函数
满足次线性增长条件,如果
由定理1,我们可直接得到如下的Liouville型定理:
定理 2设
是非紧的弱Landsberg流形满足
,设
是Cartan-Hadamard流形。如果M 上存在一个满足比较定理性质的正函数
,那么任意满足次线性增长条件的调和映射
必定是常值映射。
当目标流形具有正截面曲率时,我们也可以得到类似梯度估计。设N是Riemann流形且截曲率有上
界
,,若落在
的割迹之内且
,则我们称
是Rieman流形N的正则球,当
时,我们要求
。
定理3 设
是非紧的弱Landsberg流形满足
其中
。设N是Riemann流形且截曲率有上界
,, 是N的正则球。如果M上存在一个满足比较定理性质的正函数
,那么任意限制在
上的调和映射
有
(3)
其中
由r,
和D决定。
进而,由定理3我们得到相应的Liouville型定理:
定理4 设
是非紧的弱Landsberg流形满足
。如果M上存在一个满足比较定理性质的正函数
,那么从M到正则球的调和映射必是常值映射。
2. 预备知识
在这一节,我们介绍Finsler几何的一些基础知识和Finsler流形到Riemann流形的调和映射。另外,我们还将推导最大值原理和Bochner公式。
设M是m维光滑流形,
是切丛TM上的局部坐标,若函数
满足:
i) 正齐性:
;
ii) 光滑性:
是
的;
iii) 正定性:对于任意向量
,
是正定矩阵,则称F为流形M上的Finsler度量。具备Finsler度量的光滑流形M称为Finsler流形,记为
。记M的射影球丛为SM,切丛TM的自然投影确定了射影球丛SM上的一个投影
。
我们仍用
表示球丛上的局部坐标,其中
是齐次坐标。记
是切丛TM的拉回,其局部自然标架为
。我们用
表示自然标架
的对偶。基本张量g定义为
其中
。如果
不依赖于向量y的选取,那么F是Riemann度量。令
称为Hilbert形式。其对偶向量场记为
Cartan张量C是定义在
上的三阶对称张量:
其中
。它的平均值
称为Cartan形式:
其中
。Deicke定理 [9] 表明,正定的Finsler度量是Riemann度量的充要条件为Cartan形式消失。
设
是m维Finsler流形,由于l是单位长的向量场,因此总存在
上的局部正交标架场
使得
,它的对偶标架场记为
且。在此标架下陈联络
的结构方程可表为:
(4)
其中
’s是陈联络1形式,
’s是Cartan张量在
下的分量。曲率形式
可表示为:
其中
和分别称为Finsler流形M的Riemann曲率和Minkowski曲率。记Riemann曲率张量
(5)
由于
一般不具有对称性 [9],因此我们定义对称张量
如下:
(6)
Landsberg曲率L和平均Landsberg曲率J分别定义为:
若(平均)Landsberg曲率恒为零,则称Finsler流形
是(弱) Landsberg流形。众所周知,
是
上的局部标架场 [7],它的对偶标架场记为
。球丛 SM上的Sasaki型Riemann度量定义为:
它与局部坐标系的选取无关。为简便起见,我们规定指标
, 遵循Einstein 求和约定。记垂直子丛
,其中
是自然投影
的切映射。在Sasaki 型Riemann度量G之下,切丛TSM可以分解为
其中HSM称为水平子丛。局部上,
是垂直子丛VSM的一组基,
是水平子丛HSM的一组基。
设
是Riemann流形,
是
上的局部正交标架场,它的对偶向量场记为
。Levi-Civita
联络的结构方程可表示为:
(7)
其中
是Riemann流形N的Riemann曲率张量。
设
是光滑映射。它在SM上的提升仍然记为
,能量定义为:
这里c是
维标准球面的体积,
是G下的标准体积形式。值得注意的是,
是水平的,i.e.
对任意
都成立。由引言可知能量泛函的极值点是调和映射,它具有如下重要性质:
定理5 [7] 设
是从Finsler流形M到Riemann流形N的光滑映射。则
是调和映射当且仅当
具有消失的张力场。
设
是光滑函数。水平Laplace算子定义为
(8)
其中
这里是HSM的局部标架场。若f是流形M上的函数的提升 [10] [11],则
。水平
Laplace算子同样满足最大值原理。
引理1 设
是半正定矩阵,
是半负定矩阵,那么
。
证明 因为A是一个半正定矩阵,所以存在一个
矩阵C使得
,又因为B是一个半负定矩阵,我们有,
引理2 (最大值原理)设
是光滑函数。若
是函数f的最大值点,则
。
证明 在最大值点
处,
和
恒为零。因此,利用(8),我们有在
处
它的系数矩阵:
是半正定的,这里
。根据引理1,得证。
现在,我们将推导Bochner公式。光滑映射的提升
的协变导数可表示为:
(9)
(10)
(11)
引理3 设
是光滑映射,我们有如下交换关系:
(12)
(13)
(14)
证明 利用(9),可得
(15)
对(15)两边外微分得到,
因为
(16)
所以,
于是(12)成立。
再对(16)两边外微分得到,
(17)
因为
(18)
所以
即(13)和(14)得证。
为了证明Bochner公式,我们先介绍如下结论:
引理4 [7] 对
,我们有
其中
表示S关于度量G的散度。
引理5 设
是光滑映射,那么
(19)
证明根据定义
因为
所以,利用引理3和引理4,可得
(20)
由于
根据(1),证毕。
引理6 设M是非紧弱Landsberg流形满足
,其中
,N是Riemann流形且截曲率有上界
。
若
是调和映射,则
(21)
证明 由于M是弱Landsberg流形,则
。又因为
是调和映射,所以
。从而结合引理5,我们有
再利用M与N的曲率条件,我们可得
在Riemann几何中,距离函数对于梯度估计具有重要作用。为了解决Finsler流形的梯度估计问题,我们需要一些类似的辅助函数。
定义1 我们称
函数
满足比较定理性质,如果
i) 对于任意
, 都是SM上的紧集;
ii) 存在常数
,使得
,且
。
例1 设
是完备非紧Riemann流形,
是定义在
处的距离函数。设SM是流形M的射影球丛,自然地,Riemann度量可以诱导一个Finsler度量
。由于M是一个Riemann流形,则陈联络正是Levi-Civita联络。故而
在自然投影
的提升的梯度和Laplace算子满足
其中
是水平Laplace算子。若流形M的Ricci曲率有下界,则根据Laplace比较定理,有
,因此,
满足比较定理性质。
3. 定理1的证明:目标流形是Cartan-Hadamard流形
设
是非紧弱Landsberg流形且满足
,其中
,设
是Cartan-Hadamard流形。设函数r满足比较定理性质,
, 是定义在
的距离函数。根据Hessian比较定理,可得
(22)
令
是一个光滑函数满足
那么截断函数
(23)
满足
(24)
为了估计
,我们考虑辅助函数
(25)
这里
。设
是函数
在区域
内的最大值点,则结合引理2在
我们有
(26)
(27)
因为N是Cartan-Hadamard流形,并利用引理6 (此时
),我们有
(28)
将(28)式代入(27)式,可得
(29)
利用(26)式和Cauchy不等式,我们有在
处
(30)
应用上式和(22)式,(29)式可化为
(31)
两边同乘以
,并结合F的定义,以及
的估计(24),我们可得在
处
(32)
依赖于r。于是
(33)
证毕。
4. 定理3的证明:目标流形是正则球
设是非紧弱Landsberg流形满足
,其中
,设
是Riemann流形 N的正则球且截曲率有上界
,其中
。设函数r满足比较定理性质,
, 是定义在
的距离函数。令
根据Hessian比较定理,在上,可得
(34)
调和映射
满足
,由复合映射求导法则易知,
(35)
因为
,所以存在依赖于D和
的常数b和
使得
(36)
考虑辅助函数
令
是由(23)式定义的截断函数。设
是函数
在
内的最大值点,则结合引理2,在最大值点
我们有
(37)
(38)
由引理6可知
(39)
利用上式,(38)式可化为
(40)
从(37)式可知
(41)
将(35),(41)式代入(40)式,可得
(42)
利用(24)式和
,(42)式可化为
(43)
利用一元二次方程解的估计 [3],在
处我们有,
于是
(44)
其中
依赖于
。由上式可立即推出(3)。
文章引用
范振海,任益斌. 从Finsler流形到Riemann流形的调和映射梯度估计
Gradient Estimate for Harmonic Maps from Finsler Manifolds to Riemannian Manifolds[J]. 理论数学, 2020, 10(02): 80-90. https://doi.org/10.12677/PM.2020.102013
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NOTES
*通讯作者。