两类Virasoro代数的构造和相关性质 The Construction and Related Properties of Two Kinds of Virasoro Algebras

doi:10.12677/PM.2020.105054

Pure Mathematics
Vol. 10 No. 05 ( 2020 ), Article ID: 35559 , 10 pages
10.12677/PM.2020.105054

The Construction and Related Properties of Two Kinds of Virasoro Algebras

Wenwen Ma, Lixia Ye^*

●How to Cite this Article

Department of Mathematics, Zhejiang International Studies University, Hangzhou Zhejiang

Received: Apr. 17^th, 2020; accepted: May 7^th, 2020; published: May 14^th, 2020

ABSTRACT

In this paper, we generalize the Virasoro Algebra of rank 8 constructed by Yu Demin et al. in 2013 from two aspects. Two kinds of Virasoro Algebras are constructed by redefining the Lie operation and extending the rank to 2n. Their automorphism groups, centers, ideals and subalgebras are also studied, respectively.

Keywords:Virasoro Algebra, Automorphism Group, Ideal, Subalgebra

两类Virasoro代数的构造和相关性质

马雯雯，叶丽霞^*

浙江外国语学院数学系，浙江杭州

收稿日期：2020年4月17日；录用日期：2020年5月7日；发布日期：2020年5月14日

摘要

本文从两个方面推广了余德民等人在2013年构造的秩为8的Virasoro代数。通过重新定义李运算和将秩推广至2n，分别构造了两类新的Virasoro代数，并分别研究了它们的自同构群、中心、理想、子代数等相关性质。

关键词 :Virasoro代数，自同构群，理想，子代数

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1. 引言

Virasoro代数是一类复数域上重要的无限维李代数，其表示理论在共形场论和弦论中有十分重要的应用，其研究方法和结果也促进了大量与之相关的无限维分次李代数的研究，其中对李代数进行形变与推广是产生新代数的一种重要手段。文献 [1] 定义了Virasoro-like李代数 $g_{4}$ 。文献 [2] - [8] 对 $g_{4}$ 进行推广，分别得到了一些相关的Virasoro李代数。余德民等人在文献 [7] 中构造了一类秩为8的Virasoro代数，并对其相关性质进行研究。本文将文献 [7] 从两方面进行推广。一是重新定义李运算构造秩为8的Virasoro代数，二是将其推广至秩为2n的情形，并分别研究两类代数的自同构群及其子群、子代数、单性等相关性质。

2. 秩为8的Virasoro代数

设 $V = \underset{(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8}) \in Z^{8}}{\oplus} C L_{(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8})}$ 为复数域C上的一个线性空间， $L_{(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8})} (a_{i} \in Z, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)$ ，在线性空间V上定义李运算如下：

$\begin{array}{l} [L_{(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8})}, L_{(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}, b_{6}, b_{7}, b_{8})}] \\ = [a_{8} (b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + b_{6} + b_{7}) - b_{8} (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7})] \\ \times L_{(a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3}, a_{4} + b_{4}, a_{5} + b_{5}, a_{6} + b_{6}, a_{7} + b_{7}, a_{8} + b_{8})} \end{array}$

在基上进行双线性扩张，易验证李运算满足反对称性和雅克比恒等式，故线性空间V关于这个李运算构成一个新的Virasoro代数。

定理2.1 令 $P = {f | f (L_{α}) = L (a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, a_{i_{3}}, a_{i_{4}}, a_{i_{5}}, a_{i_{6}}, a_{i_{7}}, a_{8})}$ ，其中 $α = (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8}) \in Z^{8}$ ， $i_{1}, i_{2}, i_{3}, i_{4}, i_{5}, i_{6}, i_{7}$ 为1，2，3，4，5，6，7的一个排列。在P上定义映射乘法 $\forall f_{i}, f_{j} \in P$ ， $f_{i} \circ f_{j} (L_{α}) = f_{i} (f_{j} (L_{α}))$ ，则集合P关于映射乘法构成一个代数，且与 $S_{7}$ 同构。

证明构造P到 $S_{7}$ 的同构映射 $δ : f \to (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ i_{1} & i_{2} & i_{3} & i_{4} & i_{5} & i_{6} & i_{7} \end{matrix})$ ，易得定理成立。

对 $\forall L_{α} \in V$ ，定义以下变换：

$f_{1} (L_{α}) = L_{α}$ , $f_{2} (L_{α}) = L_{(a_{1}, a_{2}, a_{5}, a_{6}, a_{3}, a_{4}, a_{7}, a_{8})}$ , $f_{3} (L_{α}) = L_{(a_{3}, a_{4}, a_{1}, a_{2}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8})}$ ,

$f_{4} (L_{α}) = L_{(a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{1}, a_{2}, a_{7}, a_{8})}$ , $f_{5} (L_{α}) = L_{(a_{5}, a_{6}, a_{3}, a_{4}, a_{1}, a_{2}, a_{7}, a_{8})}$ , $f_{6} (L_{α}) = L_{(a_{5}, a_{6}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{7}, a_{8})}$ ,

并将 $f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}, f_{5}, f_{6}$ 在V的基向量上进行线性扩张。

定理2.2 映射 $f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}, f_{5}, f_{6}$ 是V的自同构。

证明令 $α = (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8}) \in Z^{8}$ ， $β = (b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}, b_{6}, b_{7}, b_{8})$ 。由于

$\begin{array}{l} f_{2} ([L_{α}, L_{β}]) \\ = [a_{8} (b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + b_{6} + b_{7}) - b_{8} (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7})] \\ \times L_{(a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{5} + b_{5}, a_{6} + b_{6}, a_{3} + b_{3}, a_{4} + b_{4}, a_{7} + b_{7}, a_{8} + b_{8})} \\ = [L_{(a_{1}, a_{2}, a_{5}, a_{6}, a_{3}, a_{4}, a_{7}, a_{8})}, L_{(b_{1}, b_{2}, b_{5}, b_{6}, b_{3}, b_{4}, b_{7}, b_{8})}] \\ = [f_{2} (L_{α}), f_{2} (L_{β})], \end{array}$

故 $\forall x, y \in V$ ， $f_{2} ([x, y]) = [f_{2} (x), f_{2} (y)]$ ，又f₂是双射，故f₂是V的同构。

同理， $f_{1}, f_{3}, f_{4}, f_{5}, f_{6}$ 是V的自同构。

定理2.3 $H = {f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}, f_{5}, f_{6}}$ 关于映射乘法同构于对称群 $S_{3}$ 。

证明由于三元对称群 $S_{3} = {e, (23), (12), (123), (13), (132)}$ 。建立 $F : H \to S_{3}$ 。由于

$F (f_{2} \circ f_{3} (L_{α})) = F (L_{(a_{5}, a_{6}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{7}, a_{8})}) = F (f_{6} (L_{a})) = (132)$ ,

$F (f_{2} (L_{α})) \circ F (f_{3} (L_{α})) = (23) (12) = (132)$ ,

同理得 $\forall f_{i}, f_{j} \in H$ ， $F (f_{i} \circ f_{j}) = F (f_{i}) \circ F (f_{j})$ ，又F为双射，故F为同构映射，即H同构于 $S_{3}$ 。

由定理2.3易得以下推论成立。

推论2.1 $\forall L_{α} \in V$ ，定义以下变换：

$f_{7} (L_{α}) = L_{(a_{2}, a_{1}, a_{6}, a_{5}, a_{4}, a_{3}, a_{7}, a_{8})}$ , $f_{8} (L_{α}) = L_{(a_{4}, a_{3}, a_{2}, a_{1}, a_{6}, a_{5}, a_{7}, a_{8})}$ , $f_{9} (L_{α}) = L_{(a_{4}, a_{3}, a_{6}, a_{5}, a_{2}, a_{1}, a_{7}, a_{8})}$ ,

$f_{10} (L_{α}) = L_{(a_{6}, a_{5}, a_{4}, a_{3}, a_{2}, a_{1}, a_{7}, a_{8})}$ , $f_{11} (L_{α}) = L_{(a_{6}, a_{5}, a_{2}, a_{1}, a_{4}, a_{3}, a_{7}, a_{8})}$ ,

并将 $f_{7}, f_{8}, f_{9}, f_{10}, f_{11}$ 在V的基向量上进行线性扩张。则 $H^{*} = {f_{1}, f_{7}, f_{8}, f_{9}, f_{10}, f_{11}}$ 关于映射乘法与对称群 $S_{3}$ 同构。

推论2.2 对 $\forall L_{α} \in V$ ，定义以下变换：

$f_{12} (L_{α}) = L_{(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{7}, a_{8}, a_{5}, a_{6})}$ , $f_{13} (L_{α}) = L_{(a_{3}, a_{4}, a_{1}, a_{2}, a_{7}, a_{8}, a_{5}, a_{6})}$ ,

则 $I = {f_{1}, f_{3}, f_{12}, f_{13}}$ 关于映射乘法构成一个Klein四元群。

$\forall L_{α} \in V$ ，定义 $f_{14} (L_{α}) = \frac{1}{n^{2}} L_{n α} (n \neq 0)$ 。显然， $f_{14}$ 有以下两种特殊情形：

当 $n = 1$ 时， $f_{14} = f_{1}$ ， $f_{14} (L_{α}) = L_{α}$ ；当 $n = -1$ 时， $f_{14}$ 是同构，记为 $f_{15}$ ， $f_{15} (L_{α}) = L_{- α}$ 。

推论2.3 ${f_{1}, f_{15}}$ 在以上映射乘法的定义下构成一个二阶群。

引理2.1 定义 $\forall L_{α} \in V$ ， $f_{16} (L_{α}) = \frac{1}{n_{1} n_{2}} L_{(n_{1} a_{1}, n_{1} a_{2}, n_{1} a_{3}, n_{1} a_{4}, n_{1} a_{5}, n_{1} a_{6}, n_{1} a_{7}, n_{2} a_{8})} (n_{1} n_{2} \neq 0)$ ，并将 $f_{16}$ 在V的基向量上线性扩张，则 $f_{16}$ 是V的单自同态。

证明

$\begin{array}{l} f_{16} ([L_{α}, L_{β}]) \\ = \frac{1}{n_{1} n_{2}} [a_{8} (b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + b_{6} + b_{7}) - b_{8} (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7})] \\ \times L_{(n_{1} (a_{1} + b_{1}), n_{1} (a_{2} + b_{2}), n_{1} (a_{3} + b_{3}), n_{1} (a_{4} + b_{4}), n_{1} (a_{5} + b_{5}), n_{1} (a_{6} + b_{6}), n_{1} (a_{7} + b_{7}), n_{2} (a_{8} + b_{8}))} \\ = [\frac{1}{n_{1} n_{2}} L_{(n_{1} a_{1}, n_{1} a_{2}, n_{1} a_{3}, n_{1} a_{4}, n_{1} a_{5}, n_{1} a_{6}, n_{1} a_{7}, n_{2} a_{8})}, \frac{1}{n_{1} n_{2}} L_{(n_{1} b_{1}, n_{1} b_{2}, n_{1} b_{3}, n_{1} b_{4}, n_{1} b_{5}, n_{1} b_{6}, n_{1} b_{7}, n_{2} b_{8})}] = [f_{16} (L_{α}), f_{16} (L_{β})], \end{array}$

故对于 $\forall x, y \in V$ ， $f_{16} ([x, y]) = [f_{16} (x), f_{16} (y)]$ ，易知 $f_{16}$ 为单射，故 $f_{16}$ 是V的单自同态。

显然， $f_{16}$ 有以下四种特殊情况：

当 $n_{1} = 1$ ， $n_{2} = 1$ 时， $f_{16}$ 为恒等同构，即 $f_{1}$ ， $f_{1} (L_{α}) = L_{α}$ ，

当 $n_{1} = 1$ ， $n_{2} = - 1$ 时， $f_{16}$ 为同构，记为 $f_{17}$ ， $f_{17} (L_{α}) = - L_{(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, - a_{8})}$ ，

当， $n_{2} = 1$ 时， $f_{16}$ 为同构，记为 $f_{18}$ ， $f_{18} (L_{α}) = - L_{(- a_{1}, - a_{2}, - a_{3}, - a_{4}, - a_{5}, - a_{6}, - a_{7}, a_{8})}$ ，

当 $n_{1} = - 1$ ， $n_{2} = - 1$ 时， $f_{16}$ 为同构，记为 $f_{19}$ ， $f_{19} (L_{α}) = L_{- α}$ 。

定理2.4 $M = {f_{1}, f_{17}, f_{18}, f_{19}}$ 在以上映射乘法的定义下构成Klein四元群。

证明由题意得， $f_{17} \circ f_{18} (L_{α}) = f_{17} (- L_{(- a_{1}, - a_{2}, - a_{3}, - a_{4}, - a_{5}, - a_{6}, - a_{7}, a_{8})}) = L_{- α} = f_{19} (L_{α})$ ，又有 $f_{18} \circ f_{17} (L_{α}) = f_{18} (- L_{(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, - a_{8})}) = L_{- α} = f_{19} (L_{α})$ ，同理， $f_{17} \circ f_{19} = f_{19} \circ f_{17} = f_{18}$ ， $f_{18} \circ f_{19} = f_{19} \circ f_{18} = f_{17}$ ， $f_{17}^{2} = f_{18}^{2} = f_{19}^{2} = f_{1}$ ，故 $M = {f_{1}, f_{17}, f_{18}, f_{19}}$ 构成Klein四元群。

对该李代数上的子代数进行探讨，得到相关结果如下。

性质2.1 V无中心。

证明令 $α_{i} = (a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, a_{i_{3}}, a_{i_{4}}, a_{i_{5}}, a_{i_{6}}, a_{i_{7}}, a_{i_{8}}) (i = 1, 2, \dots, n)$ ，

$d = (d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}, d_{5}, d_{6}, d_{7}, d_{8})$ , $r = (r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}, r_{5}, r_{6}, r_{7}, r_{8})$ .

假设V有中心 $C_{1} L_{α_{1}} + C_{2} L_{α_{2}} + \dots + C_{n} L_{α_{n}}$ ，则对 $\forall L_{β} \in V$ ，有

$\begin{array}{l} [C_{1} L_{α_{1}} + C_{2} L_{α_{2}} + \dots + C_{n} L_{α_{n}}, L_{β}] \\ = C_{1} [b_{8} (a_{1_{1}} + a_{1_{2}} + a_{1_{3}} + a_{1_{4}} + a_{1_{5}} + a_{1_{6}} + a_{1_{7}}) - a_{1_{8}} (b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + b_{6} + b_{7})] L_{α_{1} + β} \\ + C_{2} [b_{8} (a_{2_{1}} + a_{2_{2}} + a_{2_{3}} + a_{2_{4}} + a_{2_{5}} + a_{2_{6}} + a_{2_{7}}) - a_{2_{8}} (b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + b_{6} + b_{7})] L_{α_{2} + β} \\ + \dots \\ + C_{n} [b_{8} (a_{n_{1}} + a_{n_{2}} + a_{n_{3}} + a_{n_{4}} + a_{n_{5}} + a_{n_{6}} + a_{n_{7}}) - a_{n_{8}} (b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + b_{6} + b_{7})] L_{α_{n} + β} \end{array}$

又由假设及李运算的反对称性，得 $[C_{1} L_{α_{1}} + C_{2} L_{α_{2}} + \dots + C_{n} L_{α_{n}}, L_{β}] = 0$ 。于是

$C_{i} [b_{8} (a_{i_{1}} + a_{i_{2}} + a_{i_{3}} + a_{i_{4}} + a_{i_{5}} + a_{i_{6}} + a_{i_{7}}) - a_{i_{8}} (b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + b_{6} + b_{7})] = 0$ ,

$i = 1, 2, \dots, n$ ,

故 $\frac{b_{8}}{b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + b_{6} + b_{7}} = \frac{a_{i_{8}}}{a_{i_{1}} + a_{i_{2}} + a_{i_{3}} + a_{i_{4}} + a_{i_{5}} + a_{i_{6}} + a_{i_{7}}}$ 或 $C_{i} = 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ ，而存在 $L_{d} \in V$ ，有 $\frac{d_{8}}{d_{1} + d_{2} + d_{3} + d_{4} + d_{5} + d_{6} + d_{7}} \neq \frac{b_{8}}{b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + b_{6} + b_{7}}$ 。

故若 $C_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 不全为0，存在 $L_{d} \in V$ ，有

$[C_{1} L_{a_{1}} + C_{2} L_{a_{2}} + \dots + C_{n} L_{a_{n}}, L_{d}] \neq [L_{d}, C_{1} L_{a_{1}} + C_{2} L_{a_{2}} + \dots + C_{n} L_{a_{n}}]$ .

而 $C_{i} = 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ 时， $\forall L_{r} \in V$ ，有 $[0, L_{r}] = [L_{r}, 0]$ 。故V为无中心的Virasoro代数。

性质2.2 设 $V_{8}$ 为 ${L_{(b_{1} + t, b_{2} - t, b_{3} + t, b_{4} - t, b_{5} + t, b_{6} - t, b {}_{7}, b_{8})} - L_{(b_{1} - t, b_{2} + t, b_{3} - t, b_{4} + t, b_{5} - t, b_{6} + t, b_{7}, b_{8})} | b_{i}, t \in Z}$ 构成的李代数，则 $V_{8}$ 是V的非零真理想，V不是单李代数。

证明因为 $\forall L_{α} \in V$ ， $L_{(b_{1} + t, b_{2} - t, b_{3} + t, b_{4} - t, b_{5} + t, b_{6} - t, b_{7}, b_{8})} - L_{(b_{1} - t, b_{2} + t, b_{3} - t, b_{4} + t, b_{5} - t, b_{6} + t, b_{7}, b_{8})} \in V_{8}$ 有

$\begin{array}{l} [L_{(b_{1} + t, b_{2} - t, b_{3} + t, b_{4} - t, b_{5} + t, b_{6} - t, b_{7}, b_{8})} - L_{(b_{1} - t, b_{2} + t, b_{3} - t, b_{4} + t, b_{5} - t, b_{6} + t, b_{7}, b_{8})}, L_{α}] \\ = [b_{8} (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7}) - a_{8} (b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + b_{6} + b_{7})] \\ \times (L_{(b_{1} + t + a_{1}, b_{2} - t + a_{2}, b_{3} + t + a_{3}, b_{4} - t + a_{4}, b_{5} + t + a_{5}, b_{6} - t + a_{6}, b_{7} + a_{7}, b_{8} + a_{8})} \\ - L_{(b_{1} - t + a_{1}, b_{2} + t + a_{2}, b_{3} - t + a_{3}, b_{4} + t + a_{4}, b_{5} - t + a_{5}, b_{6} + t + a_{6}, b_{7} + a_{7}, b_{8} + a_{8})}) \in V_{8} . \end{array}$

可以确定 $\forall L_{α} \in V$ 而 $L_{α} \notin V_{8}$ 。假设 $L_{α} \in V_{8}$ ，则一定有

$L_{α} = \sum_{i = 1}^{n} k_{i} (L_{(k_{i_{1}} + t, k_{i_{2}} - t, k_{i_{3}} + t, k_{i_{4}} - t, k_{i_{5}} + t, k_{i_{6}} - t, k_{i_{7}}, k_{i_{8}})} - L_{(k_{i_{1}} - t, k_{i_{2}} + t, k_{i_{3}} - t, k_{i_{4}} + t, k_{i_{5}} - t, k_{i_{6}} + t, k_{i_{7}}, k_{i_{8}})})$ ,

显然矛盾。故 $V_{8}$ 是V的非零真理想，V不是单李代数。

由于 $\forall L_{α} \in V$ ， $[L (- 1, - 1, - 1, - 1, - 1, - 1, 6, 0), L_{α}] = 0$ ，易得以下结论。

性质2.3 由 $L (- 1, - 1, - 1, - 1, - 1, - 1, 6, 0)$ 构成的子空间为V的一维交换理想，即V不是半单李代数。

性质2.4 设 $N = (\begin{matrix} a_{1_{8}} & a_{1_{1}} + a_{1_{2}} + a_{1_{3}} + a_{1_{4}} + a_{1_{5}} + a_{1_{6}} + a_{1_{7}} \\ a_{2_{8}} & a_{2_{1}} + a_{2_{2}} + a_{2_{3}} + a_{2_{4}} + a_{2_{5}} + a_{2_{6}} + a_{2_{7}} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n_{8}} & a_{n_{1}} + a_{n_{2}} + a_{n_{3}} + a_{n_{4}} + a_{n_{5}} + a_{n_{6}} + a_{n_{7}} \end{matrix})$ ，其中矩阵元素均为整数，则由基向量

$L_{α_{1}}, L_{α_{2}}, \dots, L_{α_{n}}$ 构成的子空间是V的交换子代数。

证明由于 $r (N) < 2$ 则 $r (N) = 0$ 或 $r (N) = 1$ 。

若 $r (N) = 0$ ，则矩阵N中的每个行向量皆是0，故对任意的 $i (i = 1, 2, \dots, n)$ 都有 $a_{i_{8}} = 0$ ， $a_{i_{1}} + a_{i_{2}} + a_{i_{3}} + a_{i_{4}} + a_{i_{5}} + a_{i_{6}} + a_{i_{7}} = 0$ 。故结论成立。

若 $r (N) = 1$ ，则N的任意一个子矩阵 $P = (\begin{matrix} a_{i_{8}} & a_{i_{1}} + a_{i_{2}} + a_{i_{3}} + a_{i_{4}} + a_{i_{5}} + a_{i_{6}} + a_{i_{7}} \\ a_{j_{8}} & a_{j_{1}} + a_{j_{2}} + a_{j_{3}} + a_{j_{4}} + a_{j_{5}} + a_{j_{6}} + a_{j_{7}} \end{matrix}) (\forall i \neq j)$ 都满足 $r (P) < 1$ 或 $r (P) = 1$ 。故 $| P | = 0$ ，即

$a_{i 8} (a_{j 1} + a_{j 2} + a_{j 3} + a_{j 4} + a_{j 5} + a_{j 6} + a_{j 7}) - a_{j 8} (a_{i 1} + a_{i 2} + a_{i 3} + a_{i 4} + a_{i 5} + a_{i 6} + a_{i 7}) = 0$ .

综上，由基向量 $L_{α_{1}}, L_{α_{2}}, \dots, L_{α_{n}}$ 生成的子空间是V的交换子代数。

性质2.5 设 $V^{+}$ 是根据基向量 $L_{α} (a_{i} \in N^{*}, i \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8})$ 构成的V的线性子空间，则 $V^{+}$ 中不存在二维非交换李子代数。

证明令。假设 $V^{+}$ 中存在二维非交换李子代数，那么

$V^{+}$ 中有基向量x，y， $[x, y] = x$ 。令 $x = \sum_{i = 1}^{n} k_{i} L_{a_{i}}$ ， $k_{i} \neq 0$ ， $y = \sum_{j = 1}^{n} k_{j} L_{β_{j}}$ ， $k_{j} \neq 0$ ，那么x与y已按字典序

排列。由

$\begin{array}{l} x = [x, y] \\ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} k_{i} q_{j} [a_{i_{8}} (b_{j_{1}} + b_{j_{2}} + b_{j_{3}} + b_{j_{4}} + b_{j_{5}} + b_{j_{6}} + b_{j_{7}}) - b_{j_{8}} (a_{i_{1}} + a_{i_{2}} + a_{i_{3}} + a_{i_{4}} + a_{i_{5}} + a_{i_{6}} + a_{i_{7}})] \\ \times L_{(a_{i_{1}} + b_{j_{1}}, a_{i_{2}} + b_{j_{2}}, a_{i_{3}} + b_{j_{3}}, a_{i_{4}} + b_{j_{4}}, a_{i_{5}} + b_{j_{5}}, a_{i_{6}} + b_{j_{6}}, a_{i_{7}} + b_{j_{7}}, a_{i_{8}} + b_{j_{8}})}, \end{array}$

则 $[x, y]$ 上的极小项为 $L_{α_{1} + β_{1}}$ ，极小项系数为

$k_{1} q_{1} [a_{1_{8}} (b_{1_{1}} + b_{1_{2}} + b_{1_{3}} + b_{1_{4}} + b_{1_{5}} + b_{1_{6}} + b_{1_{7}}) - b_{1_{8}} (a_{1_{1}} + a_{1_{2}} + a_{1_{3}} + a_{1_{4}} + a_{1_{5}} + a_{1_{6}} + a_{1_{7}})]$ ,

而x的极小项为，极小项系数为 $k_{1}$ 。

由 $a_{1_{i}}, b_{1_{i}} \in Z^{+} (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)$ ，故 $L_{α_{1} + β_{1}} \neq L_{α_{1}}$ ，故 $k_{1} = 0$ 。而由题意 $\forall k_{i} \neq 0$ ，故 $V^{+}$ 中不存在二维非交换李子代数。

构造7个李代数 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A_{7}$ 。显然它们都是C上线性空间，其基向量都是 $L_{α} (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8} \in Z)$ 。依次作如下定义，

$A_{1}$ 上李运算： $[L_{α}, L_{β}] = [a_{1} (b_{8} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + b_{6} + b_{7}) - b_{1} (a_{8} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7})] L_{α + β}$ ，

$A_{2}$ 上李运算： $[L_{α}, L_{β}] = [a_{2} (b_{1} + b_{8} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + b_{6} + b_{7}) - b_{2} (a_{1} + a_{8} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7})] L_{α + β}$ ，

$A_{3}$ 上李运算： $[L_{α}, L_{β}] = [a_{3} (b_{1} + b_{2} + b_{8} + b_{4} + b_{5} + b_{6} + b_{7}) - b_{3} (a_{1} + a_{2} + a_{8} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7})] L_{α + β}$ ，

$A_{4}$ 上李运算： $[L_{α}, L_{β}] = [a_{4} (b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{8} + b_{5} + b_{6} + b_{7}) - b_{4} (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{8} + a_{5} + a_{6} + a_{7})] L_{α + β}$ ，

$A_{5}$ 上李运算： $[L_{α}, L_{β}] = [a_{5} (b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{8} + b_{6} + b_{7}) - b_{5} (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{8} + a_{6} + a_{7})] L_{α + β}$ ，

$A_{6}$ 上李运算： $[L_{α}, L_{β}] = [a_{6} (b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + b_{8} + b_{7}) - b_{6} (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{8} + a_{7})] L_{α + β}$ ，

$A_{7}$ 上李运算： $[L_{α}, L_{β}] = [a_{7} (b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + b_{6} + b_{8}) - b_{7} (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{8})] L_{α + β}$ 。

定理2.5 代数 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A_{7}$ 都与V同构。

证明 $\forall L_{α} \in V$ ，构造 $f_{20} : V \to A_{1}$ ， $f_{20} (L_{α}) = L (a_{8}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{1})$ 。由于

$\begin{array}{l} f_{20} ([L_{α}, L_{β}]) \\ = [a_{8} (b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + b_{6} + b_{7}) - b_{8} (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7})] \\ \times L_{(a_{8} + b_{8}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3}, a_{4} + b_{4}, a_{5} + b_{5}, a_{6} + b_{6}, a_{7} + b_{7}, a_{1} + b_{1})} \\ = [f_{20} (L_{α}), f_{20} (L_{β})], \end{array}$

故 $\forall x, y \in V$ ， $f_{20} ([x, y]) = [f_{20} (x), f_{20} (y)]$ ，且 $f_{20}$ 是双射，故 $f_{20}$ 为同构映射，V与 $A_{1}$ 同构。

同理， $\forall L_{α} \in V$ ，定义

$f_{21} (L_{α}) = L (a_{1}, a_{8}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{2})$ , $f_{22} (L_{α}) = L (a_{1}, a_{2}, a_{8}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{3})$ ,

$f_{23} (L_{α}) = L (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{8}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{4})$ , $f_{24} (L_{α}) = L (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{8}, a_{6}, a_{7}, a_{5})$ ,

$f_{25} (L_{α}) = L (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{8}, a_{7}, a_{6})$ , $f_{26} (L_{α}) = L (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{8}, a_{7})$ ,

则 $f_{21}, f_{22}, f_{23}, f_{24}, f_{25}, f_{26}$ 都为同构映射，即代数 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A_{7}$ 都与V同构。

3. 秩为2n的Virasoro代数

将文献 [7] 基元的秩推广至2n，可得一类新的Virasoro代数如下。

设 $U = \underset{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2 n}) \in Z^{2 n}}{\oplus} C L_{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2 n})}$ 为复数域C上一线性空间，基为，在线性空间U上定义李运算如下：

$\begin{array}{l} [L_{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2 n})}, L_{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{2 n})}] \\ = [(a_{n + 1} + a_{n + 2} + \dots + a_{2 n}) (b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}) \\ - (b_{n + 1} + b_{n + 2} + \dots + b_{2 n}) (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})] L_{(a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{2 n} + b_{2 n})} \end{array}$

在基上双线性扩张，可由定义分别验证该运算满足反对称性和雅克比恒等式，从而得到该线性空间U关于所定义的运算构成一个新的无限维李代数。

定理3.1 令 $α^{'} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2 n}) \in Z^{2 n}$ ， ${P^{'}}_{1} = {f | f (L_{α^{'}}) = L_{(a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, \dots, a_{i_{n}}, a_{n + 1}, a_{n + 2}, \dots, a_{2 n})}}$ ，

${P^{'}}_{2} = {f | f (L_{α^{'}}) = L_{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, \dots, a_{i_{n}})}}$ ，其中 $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}$ 与 $i_{n + 1}, i_{n + 2}, \dots, i_{2 n}$ 分别是 $1, 2, \dots, n$ 和 $n + 1, n + 2, \dots, 2 n$ 的

排列。定义映射乘法为 $h_{i} \circ h_{j} (L_{α^{'}}) = h_{i} (h_{j} (L_{α^{'}}))$ ， $\forall h_{i}, h_{j} \in {P^{'}}_{1}, {P^{'}}_{2}$ ，则 ${P^{'}}_{1}, {P^{'}}_{2}$ 关于映射乘法都构成自同构群，且与对称群 $S_{n}$ 同构。

证明分别构造到对称群 $S_{n}$ 的映射：

$δ_{1} : f \to (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ i_{1} & i_{2} & \dots & i_{n} \end{matrix})$ , $δ_{2} : f \to (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ i_{1} & i_{2} & \dots & i_{n} \end{matrix})$ .

易得 $δ_{1}, δ_{2}$ 分别是集合 ${P^{'}}_{1}, {P^{'}}_{2}$ 与 $S_{n}$ 之间的同构映射。故 ${P^{'}}_{1}, {P^{'}}_{2}$ 关于映射乘法都构成自同构群，且与对称群 $S_{n}$ 同构。

对于 ${P^{'}}_{1}$ 中元素， $\forall L_{α^{'}} \in U$ ，定义

$h_{1} (L_{α^{'}}) = L_{(a_{k + 1}, a_{k + 2}, \dots, a_{2 k}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}, a_{2 k + 1}, a_{2 k + 2}, \dots, a_{2 n})}$ ,

$h_{2} (L_{α^{'}}) = L_{(a_{2 k + 1}, a_{2 k + 2}, \dots, a_{3 k}, a_{k + 1}, a_{k + 2}, \dots, a_{2 k}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}, a_{3 k + 1}, a_{3 k + 2}, \dots, a_{2 n})}$ ,

$h_{3} (L_{α^{'}}) = L_{(a_{2 k + 1}, a_{2 k + 2}, \dots, a_{3 k}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}, a_{k + 1}, a_{k + 2}, \dots, a_{2 k}, a_{3 k + 1}, a_{3 k + 2}, \dots, a_{2 n})}$ ,

$h_{4} (L_{α^{'}}) = L_{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}, a_{2 k + 1}, a_{2 k + 2}, \dots, a_{3 k}, a_{k + 1}, a_{k + 2}, \dots, a_{2 k}, a_{3 k + 1}, a_{3 k + 2}, \dots, a_{2 n})}$ ,

$h_{5} (L_{α^{'}}) = L_{(a_{k + 1}, a_{k + 2}, \dots, a_{2 k}, a_{2 k + 1}, a_{2 k + 2}, \dots, a_{3 k}, a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}, a_{3 k + 1}, a_{3 k + 2}, \dots, a_{2 n})}$ ,

其中 $k \in Z$ ，且 $4 k < n$ ，将 $h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4}, h_{5}$ 分别在U的基向量上线性扩张。

定理3.2 $h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4}, h_{5}$ 是U的同构。

证明令 $β^{'} = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{2 n})$ 。由

$\begin{array}{l} h_{1} ([L_{α^{'}}, L_{β^{'}}]) \\ = [(a_{n + 1} + a_{n + 2} + \dots + a_{2 n}) (b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}) - (b_{n + 1} + b_{n + 2} + \dots + b_{2 n}) (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})] \\ \times L_{(a_{k + 1} + b_{k + 1}, a_{k + 2} + b_{k + 2}, \dots, a_{2 k} + b_{2 k}, a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{k} + b_{k}, a_{2 k + 1} + b_{2 k + 1}, a_{2 k + 2} + b_{2 k + 2}, \dots, a_{2 n} + b_{2 n})}, \end{array}$

又由

$\begin{array}{l} [h_{1} (L_{α^{'}}), h_{1} (L_{β^{'}})] \\ = [L_{(a_{k + 1}, a_{k + 2}, \dots, a_{2 k}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}, a_{2 k + 1}, a_{2 k + 2}, \dots, a_{2 n})}, L_{(b_{k + 1}, b_{k + 2}, \dots, b_{2 k}, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{k}, b_{2 k + 1}, b_{2 k + 2}, \dots, b_{2 n})}] \\ = [(a_{n + 1} + a_{n + 2} + \dots + a_{2 n}) (b_{k + 1} + b_{k + 2} + \dots + b_{2 k} + b_{1} + b_{2} + \dots + b_{k} + b_{2 k + 1} + b_{2 k + 2} + \dots + b_{n}) \\ - (b_{n + 1} + b_{n + 2} + \dots + b_{2 n}) (a_{k + 1} + a_{k + 2} + \dots + a_{2 k} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} + a_{2 k + 1} + a_{2 k + 2} + \dots + a_{n})] \\ \times L_{(a_{k + 1} + b_{k + 1}, a_{k + 2} + b_{k + 2}, \dots, a_{2 k} + b_{2 k}, a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{k} + b_{k}, a_{2 k + 1} + b_{2 k + 1}, a_{2 k + 2} + b_{2 k + 2}, \dots, a_{2 n} + b_{2 n})} . \end{array}$

由 $4 k < n$ ，故

$b_{k + 1} + b_{k + 2} + \dots + b_{2 k} + b_{1} + b_{2} + \dots + b_{k} + b_{2 k + 1} + b_{2 k + 2} + \dots + b_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ ,

于是 $h_{1} ([L_{α^{'}}, L_{β^{'}}]) = [h_{1} (L_{α^{'}}), h_{1} (L_{β^{'}})]$ ， $\forall x, y \in U$ ， $h_{1} ([x, y]) = [h_{1} (x), h_{1} (y)]$ ， $h_{1}$ 是同态映射。由于 $h_{1}$ 为双射，故 $h_{1}$ 为U的同构。同理， $h_{2}, h_{3}, h_{4}, h_{5}$ 都是U的同构。

定理3.3 $H^{'} = {ε, h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4}, h_{5}}$ 在关于映射乘法同构于对称群 $S_{3}$ 。

证明由于 $S_{3} = {e, (23), (12), (123), (13), (132)}$ 。建立 $F^{'} : H^{'} \to S_{3}$ 。由

$\begin{array}{l} F^{'} (h_{2} \circ h_{3} (L_{α^{'}})) \\ = F^{'} (L (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}, a_{2 k + 1}, a_{2 k + 2}, \dots, a_{3 k}, a_{k + 1}, a_{k + 2}, \dots, a_{2 k}, a_{3 k + 1}, a_{3 k + 2}, \dots, a_{2 n})) \\ = F^{'} (h_{4} (L_{α^{'}})) \\ = (23), \end{array}$

又由 $F^{'} (h_{2} (L_{α^{'}})) \circ F^{'} (h_{3} (L_{α^{'}})) = (13) (132) = (23)$ ， $F^{'} (h_{2} \circ h_{3}) = F^{'} (h_{2}) \circ F (h_{3})$ 。

同理，可得 $\forall h_{i}, h_{j} \in H^{'}$ ，，又 $F^{'}$ 为双射，故 $F^{'}$ 为同构映射。即 $H^{'}$ 在以上映射乘法的定义下同构于三元对称群 $S_{3}$ 。

对于 $P_{1}'$ 中元素， $\forall L_{α^{'}} \in U$ ，定义

$h_{6} (L_{α^{'}}) = L_{(a_{2 k}, a_{2 k - 1}, \dots, a_{k + 1}, a_{k}, a_{k - 1}, \dots, a_{1}, a_{2 k + 1}, a_{2 k + 2}, \dots, a_{2 n})}$ ,

$h_{7} (L_{α^{'}}) = L_{(a_{3 k}, a_{3 k - 1}, \dots, a_{2 k + 1}, a_{2 k}, a_{2 k = 1}, \dots, a_{k + 1}, a_{k}, a_{k - 1}, \dots, a_{1}, a_{3 k + 1}, a_{3 k + 2}, \dots, a_{2 n})}$ ,

$h_{8} (L_{α^{'}}) = L_{(a_{3 k}, a_{3 k - 1}, \dots, a_{2 k + 1}, a_{k}, a_{k - 1}, \dots, a_{1}, a_{2 k}, a_{2 k - 1}, \dots, a_{k + 1}, a_{3 k + 1}, a_{3 k + 2}, \dots, a_{2 n})}$ ,

$h_{9} (L_{α^{'}}) = L_{(a_{k}, a_{k - 1}, \dots, a_{1}, a_{3 k}, a_{3 k - 1}, \dots, a_{2 k + 1}, a_{2 k}, a_{2 k - 1}, \dots, a_{k + 1}, a_{3 k + 1}, a_{3 k + 2}, \dots, a_{2 n})}$ ,

$h_{10} (L_{α^{'}}) = L_{(a_{2 k}, a_{2 k - 1}, \dots, a_{k + 1}, a_{3 k}, a_{3 k = 1}, \dots, a_{2 k + 1}, a_{k}, a_{k - 1}, \dots, a_{1}, a_{3 k + 1}, a_{3 k + 2}, \dots, a_{2 n})}$ .

由定理3.3易得以下推论成立。

推论3.1 $H^{*}^{'} = {ε, h_{6}, h_{7}, h_{8}, h_{9}, h_{10}}$ 关于映射乘法同构于对称群 $S_{3}$ 。

对于 $P_{1}'$ 中元素， $\forall L_{α^{'}} \in U$ ，定义

$h_{11} (L_{α^{'}}) = L_{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2 k}, a_{3 k + 1}, a_{3 k + 2}, \dots, a_{4 k}, a_{2 k + 1}, a_{2 k + 2}, \dots, a_{3 k}, a_{4 k + 1}, a_{4 k + 2}, \dots, a_{2 n})}$ ,

$h_{12} (L_{α^{'}}) = L_{(a_{k + 1}, a_{k + 2}, \dots, a_{2 k}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}, a_{3 k + 1}, a_{3 k + 2}, \dots, a_{4 k}, a_{2 k + 1}, a_{2 k + 2}, \dots, a_{3 k}, a_{4 k + 1}, a_{4 k + 2}, \dots, a_{2 n})}$ .

定理3.4 $I^{'} = {e, h_{1}, h_{11}, h_{12}}$ 关于映射乘法构成Klein四元群。

证明由定义，

$h_{1} \circ h_{11} (L_{α^{'}}) = L_{(a_{k + 1}, a_{k + 2}, \dots, a_{2 k}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}, a_{3 k + 1}, a_{3 k + 2}, \dots, a_{4 k}, a_{2 k + 1}, a_{2 k + 2}, \dots, a_{3 k}, a_{4 k + 1}, a_{4 k + 2}, \dots, a_{2 n})} = h_{12} (L_{α^{'}})$ .

又有 $h_{11} \circ h_{1} (L_{α^{'}}) = L_{(a_{k + 1}, a_{k + 2}, \dots, a_{2 k}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}, a_{3 k + 1}, a_{3 k + 2}, \dots, a_{4 k}, a_{2 k + 1}, a_{2 k + 2}, \dots, a_{3 k}, a_{4 k + 1}, a_{4 k + 2}, \dots, a_{2 n})} = h_{12} (L_{α^{'}})$ ，同理，得 $h_{1} \circ h_{12} = h_{12} \circ h_{1} = h_{11}$ ， $h_{11} \circ h_{12} = h_{12} \circ h_{11} = h_{1}$ ， $h_{1} = h_{11}^{2} = h_{12}^{2} = e$ 。故 $I^{'}$ 构成Klein四元群。

$\forall L_{α^{'}} \in U$ ，构造 $h_{13} : U \to U$ ， $h_{13} (L_{α^{'}}) = \frac{1}{m^{2}} L_{m α^{'}} (m \neq 0)$ ，则 $h_{13}$ 有以下两种特殊情形：

当 $m = 1$ 时， $h_{13}$ 是恒等同构，即 $h_{13} = e$ ， $h_{13} (L_{α^{'}}) = L_{α^{'}}$ ，

当 $m = - 1$ 时， $h_{13}$ 是同构，记为 $h_{14}$ ， $h_{14} (L_{α^{'}}) = L_{- α^{'}}$ 。

推论3.2 ${e, h_{14}}$ 关于映射乘法构成一个二阶群。

引理3.1 $\forall L_{α^{'}} \in U$ ，构造 $h_{15} (L_{α^{'}}) = \frac{1}{m_{1} m_{2}} L_{(m_{1} a_{1}, m_{1} a_{2}, \dots, m_{1} a_{n}, m_{2} a_{n + 1}, m_{2} a_{n + 2}, \dots, m_{2} a_{2 n})}, n \neq 0$ ，则 $h_{15}$ 是U的单自同态。

证明

$\begin{array}{l} h_{15} ([L_{α^{'}}, L_{β^{'}}]) \\ = \frac{1}{m_{1} m_{2}} [(a_{n + 1} + a_{n + 2} + \dots + a_{2 n}) (b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}) - (b_{n + 1} + b_{n + 2} + \dots + b_{2 n}) (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})] \\ \times L_{(m_{1} (a_{1} + b_{1}), m_{1} (a_{2} + b_{2}), \dots, m_{1} (a_{n} + b_{n}), m_{2} (a_{n + 1} + b_{n + 1}), m_{2} (a_{n + 2} + b_{n + 2}), \dots, m_{2} (a_{2 n} + b_{2 n}))} \\ = [\frac{1}{m_{1} m_{2}} L_{(m_{1} a_{1}, m_{1} a_{2}, \dots, m_{1} a_{n}, m_{2} a_{n + 1}, m_{2} a_{n + 2}, \dots, m_{2} a_{2 n})}, \frac{1}{m_{1} m_{2}} L_{(m_{1} b_{1}, m_{1} b_{2}, \dots, m_{1} b_{n}, m_{2} b_{n + 1}, m_{2} b_{n + 2}, \dots, m_{2} b_{2 n})}] \\ = [h_{15} (L_{α^{'}}), h_{15} (L_{β^{'}})], \end{array}$

故有 $\forall x, y \in U$ ， $h_{15} ([x, y]) = [h_{15} (x), h_{15} (y)]$ ，又 $h_{15}$ 为单射，故 $h_{15}$ 是单自同态。

显然， $h_{15}$ 有四种特殊情况：

当 $m_{1} = 1$ ， $m_{2} = 1$ 时， $h_{15}$ 为恒等同构，即e， $h_{15} (L_{α^{'}}) = L_{α^{'}}$ ，

当 $m_{1} = 1$ ， $m_{2} = - 1$ 时， $h_{15}$ 为同构，记为 $h_{16}$ ， $h_{16} (L_{α^{'}}) = - L_{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, - a_{n + 1}, - a_{n + 2}, \dots, - a_{2 n})}$ ，

当 $m_{1} = - 1$ ， $m_{2} = 1$ 时， $h_{15}$ 为同构，记为 $h_{17}$ ， $h_{17} (L_{α^{'}}) = - L_{(- a_{1}, - a_{2}, \dots, - a_{n}, a_{n + 1}, a_{n + 2}, \dots, a_{2 n})}$ ，

当 $m_{1} = - 1$ ， $m_{2} = - 1$ 时， $h_{15}$ 为同构，记为 $h_{18}$ ， $h_{18} (L_{α^{'}}) = L_{- α^{'}}$ 。

定理3.5 $M = {e, h_{16}, h_{17}, h_{18}}$ 关于映射乘法构成Klein四元群。

以下结果与秩为8的代数类似，不再证明。

性质3.1 U无中心。

性质3.2 设 $U_{n}$ 为 $L_{β^{'}} - L_{(b_{1} - t, b_{2} - t, \dots, b_{k} - t, b_{k + 1} + t, b_{k + 2} + t, \dots, b_{2 k} + t, b_{2 k + 1}, b_{2 k + 2}, \dots, b_{2 n})}$ $(b_{i}, t \in Z, i \in {1, 2, \dots, 2 n})$ 构成的李代数。则 $U_{n}$ 是U的非零真理想，U不是单李代数。

性质3.3 由 $L_{(\underset{k 个}{\underset{︸}{- 2 m, - 2 m, \dots, - 2 m}}, \underset{2 k 个}{\underset{︸}{m, m, \dots, m}}, \underset{(2 n - 3 k) 个}{\underset{︸}{0, 0, \dots, 0}})}$ 构成的一维子空间是U的一维交换理想，即U不是半单李代数。

性质3.4设 $N^{'} = (\begin{matrix} a_{1_{n + 1}} + a_{1_{n + 2}} + \dots + a_{1_{2 n}} & a_{1_{n}} + a_{1_{1}} + a_{1_{2}} + \dots + a_{1_{n - 1}} \\ a_{2_{n + 1}} + a_{2_{n + 2}} + \dots + a_{2_{2 n}} & a_{2_{n}} + a_{2_{1}} + a_{2_{2}} + \dots + a_{2_{n - 1}} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m_{n + 1}} + a_{m_{n + 2}} + \dots + a_{m_{2 n}} & a_{m_{n}} + a_{m_{1}} + a_{m_{2}} + \dots + a_{m_{n - 1}} \end{matrix})$ ，其中矩阵元素均为整数，则由

基向量 $L_{{α^{'}}_{1}}, L_{{α^{'}}_{2}}, \dots, L_{{α^{'}}_{m}}$ 构成的子空间是U的交换子代数。

基金项目

2018年浙江省高等教育十三五第一批教学改革研究项目“基于超星学习通平台的混合式教学模式研究——以线性代数课程为例”(jg20180248)。

文章引用

马雯雯,叶丽霞. 两类Virasoro代数的构造和相关性质
The Construction and Related Properties of Two Kinds of Virasoro Algebras[J]. 理论数学, 2020, 10(05): 448-457. https://doi.org/10.12677/PM.2020.105054

参考文献

1. Zhang, H. and Zhao, K. (1986) Represent of Virasoro Lie Algebra and Its q-Analog. Communications in Algebra, 20, 3715-3724.

2. 余德民, 张再云, 周立仁, 甘向阳. 一类无限维李代数的同构与同态[J]. 青海师范大学学报(自然科学版), 2009(2): 4-10.

3. 黄忠铣. 秩为3的广义Virasoro李代数[J]. 九江学院学报(自然科学版), 2017(1): 67-68.

4. 余德民, 李炳君, 万前红. 一类推广的Virosoro-like李代数[J]. 湖南理工学院学报(自然科学版), 2011, 24(1): 17-20.

5. 余德民, 李炳君, 万前红. 一类广义的Virasoro-like李代数的同构群与单性[J]. 数学进展, 2013, 42(5): 620-624.

6. Yu, D. and Li, A. (2013) Simplicities and Automorphisms of a Special Infinite Dimensional Lie Algebra. Chinese Quarterly Journal of Mathematics, 28, 612-617.

7. 余德民, 李炳君. 一类广义的无限维Virasoro李代数[J]. 湖南理工学院学报(自然科学版), 2015, 28(1): 7-9.

8. 黄忠铣. 秩为n的广义Virasoro李代数的同构[J]. 长江大学学报(自然版), 2017, 14(13): 68-70.

NOTES

^*通讯作者。

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