大连海事大学理学院，辽宁 大连

收稿日期：2023年5月6日；录用日期：2023年6月7日；发布日期：2023年6月14日

摘要

本文主要研究非简单曲线的保长度流及其应用，在该保长度流下，如果初始曲线是具有对称性的局部凸曲线，那么在演化过程中该曲线保持局部凸性和长度，且收敛到一个多重圆。作为该流的应用，可获得非简单曲线的等周不等式和对数型不等式。

关键词

非简单曲线，保长度流，几何不等式

A Length-Preserving Flow for Non-Simple Curves and Its Applications

Lin Liu^*, Weiping Wu

School of Science, Dalian Maritime University, Dalian Liaoning

Received: May 6^th, 2023; accepted: Jun. 7^th, 2023; published: Jun. 14^th, 2023

ABSTRACT

This article mainly studies the length-preserving flow of non-simple curves and its applications. Under this flow, if the initial curve is a locally convex curve with symmetry, this curve is still locally convex and keeps length, and converges to a multiple circle. As an application of this flow, isoperimetric inequality and logarithmic inequalities for non-simple curves can be obtained.

Keywords:Non-Simple Curves, Length-Preserving Flow, Geometric Inequalities

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言及主要结果

曲线流自20世纪80年代以来受到广泛关注，相关研究已深入到图像处理、相变模拟、医学断层扫描等诸多应用领域。曲线流研究中的最简单模型是平面曲线收缩流(CSF)，嵌入曲线在该流下先变凸，而后在有限时间内收敛到一个点。曲线收缩流(CSF)下的自相似解研究对流的奇性分析至关重要，而非简单曲线中的Abresch-Langer曲线(全曲率为 $2m\pi$ 的n重对称局部凸曲线，且 $1/2\le m/n\le \sqrt{2}/2$ )是曲线收缩流的一类重要自相似解。非简单曲线是指平面上含有自交点的浸入曲线，若非简单曲线的相对曲率处处大于零，则称这样的非简单曲线为局部凸曲线。

Epstein和Gage在 [1] 中首次考虑了局部凸曲线的收缩流，Wang，Li和Chao在 [2] 中讨论了全曲率为 $2m\pi$ 的n重对称局部凸曲线( $m/n\le 1$ )的保面积流(演化过程中曲线的代数面积保持不变)。在2001年，潘生亮在 [3] 中首次提出速度项带有支撑函数的曲线流模型。近年来，速度项带有支撑函数的逆曲率流在等周型问题的研究中起到重要作用，可参见Guan和Li的综述文章 [4] 。Yang和Wu在 [5] 中利用速度项带有支撑函数的保长度流(演化过程中曲线的长度保持不变)，讨论了平面凸曲线的曲率型不等式和反向等周不等式。

本文考虑非简单曲线的如下演化模型：

$\{\begin{array}{l}{X}_t=\left(p-\frac{1}{k}\right)N,\\ X\left(\cdot ,0\right)=X_0(\cdot ),\end{array}$ (1.1)

其中p和k是演化曲线X的支撑函数和曲率，N是演化曲线的单位内法向量。

因为增加演化模型的切分量不改变演化曲线的形状 [6] ，所以可以在流(1.1)中增加恰当的切分量 $\alpha$ ，使得模型分析简单。通过引入局部凸曲线的切向角 $\theta$ ，可取 $\alpha =-{\left(p-1/k\right)}_{\theta }$ ，得到与流(1.1)等价的如下模型：

$\{\begin{array}{l}{X}_t=\alpha T+\left(p-\frac{1}{k}\right)N,\\ X\left(\theta ,0\right)=X_0\left(\theta \right),\theta \in \left[0,2m\pi \right],\end{array}$ (1.2)

同时保证切向量T，单位内法向量N和切向角 $\theta$ 均与时间t无关 [6] 。

本文主要考虑一类非简单曲线在流(1.2)下的演化，并利用该流来讨论相应的等周不等式和对数型不等式. 本文的主要结果如下：

定理1.1 如果初始曲线是全曲率为 $2m\pi$ 的n重对称局部凸曲线，且 $m/n\le 1$ ，那么该曲线在流(1.2)下演化保持局部凸性，长度不变，且收敛到一个m重圆。

定理1.2 (等周不等式) 如果X是全曲率为 $2m\pi$ 的n重对称局部凸曲线，且 $m/n\le 1$ ，那么有

$L^2\ge 4m\pi A,$ (1.3)

其中L为X的长度，A为X的代数面积，且(1.3)中等号成立当且仅当X是一个m重圆。

定理1.3 (对数型不等式) 如果X是全曲率为 $2m\pi$ 的n重对称局部凸曲线，且 $m/n\le 1$ ，那么有

${\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\log k\text{d}\theta }\ge 2m\pi \log \frac{2m\pi }{L},$ (1.4)

${\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\frac{\log k}{k}\text{d}\theta }\le L\log \frac{2m\pi }{L},$ (1.5)

其中k为X的曲率，L为X的长度，且等号成立当且仅当X是一个m重圆。

本文的结构安排如下：

本文分成三个部分，第一部分为引言和主要结果，该部分主要介绍本文的研究目的和主要结论；第二部分是预备知识，该部分主要介绍局部凸曲线的相关概念以及演化模型相关几何量的发展方程；第三部分为主要结果的证明，该部分利用文献 [3] 和 [5] 中的技巧给出本文重要定理的证明。

2. 预备知识

设X是全曲率为 $2m\pi$ 的局部凸曲线， $\theta$ 为局部凸曲线的切向角，则X的支撑函数 [1] 定义为

$p\left(\theta \right)=-X\cdot N.$

局部凸曲线X的曲率与支撑函数满足如下关系 [1] ：

$k=\frac{1}{p_{\theta \theta }+p}.$ (2.1)

利用支撑函数，局部凸曲线X的长度和代数面积的可以表示为 [1] ：

$L={\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }p\left(\theta \right)\text{d}\theta },$ (2.2)

$A=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\left(p^2\left(\theta \right)-p_{\theta }^2\left(\theta \right)\right)\text{d}\theta }.$ (2.3)

类似文献 [3] 和 [6] 中计算可得：

引理2.1 若局部凸曲线按流(1.2)演化，则支撑函数、曲率、长度和代数面积的发展方程分别为

$p_t=\frac{1}{k}-p,$ (2.4)

$k_t=-k^2{\left(\frac{1}{k}\right)}_{\theta \theta },$ (2.5)

$L_t=0,$ (2.6)

$A_t=-2A+{\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\frac{1}{k^2}\text{d}\theta }.$ (2.7)

3. 主要结果的证明

定理1.1的证明 记曲率半径 $\rho =1/k$ ，由(2.5)可得

${\rho }_t={\rho }_{\theta \theta }$ .

若 $m=\min \left\{\rho \left(\theta ,0\right)|\theta \in \left[0,2m\pi \right]\right\}$ ， $M=\max \left\{\rho \left(\theta ,0\right)|\theta \in \left[0,2m\pi \right]\right\}$ ，根据抛物方程的极值原理， $m\le \rho \left(\theta ,t\right)\le M$ 。由此，对任意时间t， $k\left(\theta ,t\right)=1/\rho \left(\theta ,t\right)>0$ ，即初始曲线在演化过程中保持局部凸性。再由一致抛物方程的正则性理论，可得

$\left|{\rho }^{\left(i\right)}\right|\le C_i,$

其中 ${\rho }^{\left(i\right)}$ 表示 $\rho$ 的i阶导数， $C_i$ 为与时间无关的常数。因此，流(1.2)在 $\left[0,\infty \right)$ 存在。

为说明流(1.2)的收敛性，记 $L_0$ 为初始曲线的长度，考虑几何量

$Q\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }{\left(\rho -c\right)}^2\text{d}\theta },c=L_0/2m\pi .$

通过 $L_t=0$ 和分部积分，可得

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}Q}{\text{d}t}=2{\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\left(\rho -c\right){\rho }_t\text{d}\theta }\\ =2{\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\left(\rho -c\right){\rho }_{\theta \theta }\text{d}\theta }\\ =-2{\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }{\rho }_{\theta }^2\text{d}\theta }.\end{array}$

由于 ${\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\left(\rho -c\right)\text{d}\theta }=0$ ，根据Wirtinger不等式 [7] 可知

${\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }{\rho }_{\theta }^2\text{d}\theta }\ge \frac{1}{m^2}{\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }{\left(\rho -c\right)}^2\text{d}\theta },$

于是

$\frac{\text{d}Q}{\text{d}t}\le -\frac{2}{m^2}{\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }{\left(\rho -c\right)}^2\text{d}\theta }=-\frac{2Q}{m^2},$

这表明

$Q\left(t\right)\le Q\left(0\right){\text{e}}^{-\frac{2t}{m^2}}.$

因此，当 $t\to \infty$ 时， $Q\left(t\right)\to 0$ ，从而， $\rho =1/k\to c$ ，即初始曲线收敛到半径为 $L_0/2m\pi$ 的m重圆。

定理1.2的证明 根据(2.1)，(2.3)和(2.7)，演化曲线的代数面积的发展方程可以重新表示为

$A_t={\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\left(p_{\theta \theta }^2-p_{\theta }^2\right)\text{d}\theta }.$

由于演化曲线是全曲率为 $2m\pi$ 的n重对称的，且 $m/n\le 1$ ，则支撑函数p是周期为 $2m\pi /n\le 2\pi$ 的函数。因此，根据Wirtinger不等式 [7] ，有

$A_t={\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\left(p_{\theta \theta }^2-p_{\theta }^2\right)\text{d}\theta }\ge 0.$

利用定理1.1的结论，可得

$L{\left(0\right)}^2=L{\left(\infty \right)}^2=4m\pi A\left(\infty \right)\ge 4m\pi A\left(0\right),$

且等号成立当且仅当 $p_{\theta }=0$ ，即对任意时间t，p为常数，这表明其为m重圆。

定理1.3的证明 几何量 ${\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\log \rho \text{d}\theta }$ 的发展方程为

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\log \rho \text{d}\theta }={\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\frac{{\rho }_t}{\rho }\text{d}\theta }={\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\frac{{\rho }_{\theta \theta }}{\rho }\text{d}\theta }={\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\frac{{\rho }_{\theta }^2}{{\rho }^2}\text{d}\theta }\ge 0.$

由此可得

${\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\log \rho \left(\theta ,0\right)\text{d}\theta }\le {\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\log \rho \left(\theta ,\infty \right)\text{d}\theta }=2m\pi \log \frac{L_0}{2m\pi },$

再由 $\rho =1/k$ 可得(1.4)，(1.4)等号成立当且仅当 ${\rho }_{\theta }=0$ ，即对任意时间t， $\rho$ 为常数，表明其为m重圆。

类似地，可以考虑

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\rho \log \rho \text{d}\theta }=-{\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\frac{{\rho }_{\theta }^2}{\rho }\text{d}\theta }\le 0.$

由此可得

${\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\rho \left(\theta ,0\right)\log \rho \left(\theta ,0\right)\text{d}\theta }\ge {\displaystyle {\int }_0^{2m\pi }\rho \left(\theta ,\infty \right)\log \rho \left(\theta ,\infty \right)\text{d}\theta }=L_0\log \frac{L_0}{2m\pi },$

再由 $\rho =1/k$ 可得(1.5)，(1.5)等号成立当且仅当 ${\rho }_{\theta }=0$ ，即对任意时间t， $\rho$ 为常数，表明其为m重圆。

注 鉴于平面凸曲线的对数型不等式

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\log \left(k\sqrt{A/\pi }\right)\text{d}\theta }\ge 0$

和

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{1}{k}\log \left(k\sqrt{A/\pi }\right)\text{d}\theta }+\frac{\sqrt{L^2-4\pi A}}{2}\log \left(\frac{L+\sqrt{L^2-4\pi A}}{L-\sqrt{L^2-4\pi A}}\right)\ge 0$

在对数型曲线流的渐近行为研究中起到重要作用(参见潘生亮，高来源和史珂的文章 [8] )，定理1.3的对数型不等式也可以用来考虑非简单曲线的对数型演化问题。

文章引用

刘 琳,吴玮娉. 非简单曲线的保长度流及其应用
A Length-Preserving Flow for Non-Simple Curves and Its Applications[J]. 理论数学, 2023, 13(06): 1596-1600. https://doi.org/10.12677/PM.2023.136162

参考文献