﻿ MATLAB PDE工具箱在半导体器件中的应用研究 Application Research of MATLAB PDE Toolbox in Semiconductor Device

Computer Science and Application
Vol. 09  No. 05 ( 2019 ), Article ID: 30223 , -51 pages
10.12677/CSA.2019.95098

Application Research of MATLAB PDE Toolbox in Semiconductor Device

Ning Ma*, Zhenyu Wang, Zijun Zhu

College of Science, China University of Petroleum (Beijing), Bejing

Received: Apr. 29th, 2019; accepted: May 9th, 2019; published: May 16th, 2019

ABSTRACT

Semiconductor is a new kind of material discovered recently. Its conductivity is between conductor and insulator, and its conductivity changes with temperature. It is an important material for making electronic devices. Therefore, numerical simulation of semiconductor device problems is becoming more and more important. The mathematical models of semiconductor devices are considered. Matlab PDE toolbox can solve a series of problems semiconductor device simulation. Numerical simulation of the electric potential, electron concentration and the temperature distribution in the image can verify the semiconductor physical change in the situation. So the PDE toolbox has the advantages of simple operation and fast computation.

Keywords:Semiconductor, PDE Toolbox, Numerical Simulation

MATLAB PDE工具箱在半导体器件中的 应用研究

Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.

1. 引言

2. 半导体器件的数学模型

$-\Delta \psi =\nabla \cdot u=a\left(p-e+N\left(x\right)\right),\text{}\left(x,t\right)\in \Omega ×J,J=\left(0,\stackrel{¯}{T}\right],$ (2.1)

$\frac{\partial e}{\partial t}=\nabla \cdot \left[{D}_{e}\left(x\right)\nabla e-{\mu }_{e}e\nabla \psi \right]-R\left(e,p,T\right),\text{}\left(x,t\right)\in \Omega ×J,$ (2.2)

$\frac{\partial p}{\partial t}=\nabla \cdot \left[{D}_{p}\left(x\right)\nabla p+{\mu }_{p}p\nabla \psi \right]-R\left(e,p,T\right),\text{}\left(x,t\right)\in \Omega ×J,$ (2.3)

$\rho \left(x\right)\frac{\partial T}{\partial t}-\Delta T=\left\{\left({D}_{p}\left(x\right)\nabla p+{\mu }_{p}p\nabla \psi \right)-\left({D}_{e}\left(x\right)\nabla e-{\mu }_{e}\left(x\right)e\nabla \psi \right)\right\}\cdot \nabla \psi ,\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\left(x,t\right)\in \Omega ×J.$ (2.4)

$\psi \left(x,t\right)=e\left(x,t\right)=p\left(x,t\right)=T\left(x,t\right)=0,\text{}\left(x,t\right)\in \partial \Omega ×J,$ (2.5)

$e\left(x,0\right)={e}_{0}\left(x\right),p\left(x,0\right)={p}_{0}\left(x\right),T\left(x,t\right)={T}_{0}\left(x\right),\text{}x\in \Omega .$ (2.6)

3. PDE工具箱简介

MATLAB是用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言，自带强大的各种工具箱功能，其中偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)本质可以看做一些M文件的集合，用户只要使用界面或M文件，画出所需要的求解区域，输入方程类型和有关系数，就可得到可视化结果 [10] 。

3.1. PDE工具箱求解的方程类型

$-\nabla \cdot \left(c\nabla u\right)+au=f,x\in \Omega ,$ (3.1)

$d\frac{\partial u}{\partial t}-\nabla \cdot \left(c\nabla u\right)+au=f,x\in \Omega ,$ (3.2)

$d\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {t}^{2}}-\nabla \cdot \left(c\nabla u\right)+au=f,x\in \Omega$ (3.3)

3.2. 方程边界条件类型

1) 狄利克雷(Dirichlet)条件

$hu=r,x\in \partial \Omega$ (3.4)

2) 诺依曼(Neumann)条件

$\stackrel{\to }{n}\cdot \left(c\nabla u\right)+qu=g,x\in \partial \Omega$ (3.5)

3) 混合条件

4. 半导体器件数学模型的求解

4.1. 半导体器件内电子位势变化模型

1) 考虑半导体电导率为 $\delta$，在定常电流下，电子位势V表示的Poisson方程：

$-\nabla \cdot \left(\delta \nabla V\right)=Q$

Figure 1. Electron potential change model (1)

2) 假如一块圆形半导体器件中心挖去一正方形，外边界满足Neumann条件，内边界满足Dirichlet条件，考虑从 $-x$ 方向电流流入的电子位势方程定解问题模型下：

$\Delta r+{k}^{2}=0$

$r=-{\text{e}}^{-ikx}$ (外边界条件)

$\frac{\partial r}{\partial n}=-ik$ (内边界条件)

Figure 2. Electron potential change model (2)

4.2. 半导体器件最小曲面的研究

$-\nabla \left(\frac{1}{\sqrt{1+{|\nabla u|}^{2}}}\nabla u\right)=0,\Omega =\left\{\left(x,y\right)|{x}^{2}+{y}^{2}\le 1\right\}.$

Figure 3. Numerical solution of minimal surface

4.3. 半导体器件的热传导问题

1) 假设一长为L的匀质半导体柱形器件，其一端初始温度为20℃，一端与100℃恒温热源接触，其侧面与周围绝热的数值模型如下，讨论温度分布及热流变化情况。

$\frac{\partial u}{\partial t}=a\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}},\text{\hspace{0.17em}}0\le x\le 1,t>0$

$u\left(x,0\right)=20$

$u\left(0,t\right)=0,u\left(l,t\right)=100,$

$a=\frac{k}{c\rho }$

(a) (b) (c)

Figure 4. (a) Heat conduction model at t = 25; (b) at t = 100; (c) at t = 500

2) 环境向半导体内部的热量传递也为抛物型模型，数学模型为：

$\rho C\frac{\partial T}{\partial t}-\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)=Q+h\cdot \left({T}_{ext}-T\right)$

Figure 5. Heat conduction model (2)

4.4. 半导体器件电子浓度变化模型

$\frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u=0$

$u=100$(左边界条件)

$\frac{\partial u}{\partial n}=-1$(右边界条件)

$\frac{\partial u}{\partial n}=0$(其他边界条件)

${u|}_{t={t}_{0}}=0.$

(a)(b)

Figure 6. (a) Electron potential change 2D graph; (b) Electron potential change 3D graph

5. 结论

Application Research of MATLAB PDE Toolbox in Semiconductor Device[J]. 计算机科学与应用, 2019, 09(05): 874-822. https://doi.org/10.12677/CSA.2019.95098

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NOTES

*通讯作者。